小学奥数之三角形的分割讲义
直角三角形分割问题
直角三角形分割问题
（最新版）
目录
1.直角三角形分割问题的定义和背景
2.直角三角形分割问题的解法
3.直角三角形分割问题的实际应用
正文
1.直角三角形分割问题的定义和背景
直角三角形分割问题是指给定一个直角三角形，如何将其分割成若干个较小的直角三角形，使得这些较小的直角三角形的面积之和等于原三角形的面积。
这个问题起源于古希腊，一直是数学领域中的经典问题之一。
2.直角三角形分割问题的解法
直角三角形分割问题的解法可以分为两种：解析法和几何法。
解析法是利用数学公式和定理进行求解，其中最著名的方法是利用勾股定理和相似三角形的性质。
具体来说，设直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c，我们需要找到两个数 x 和 y，使得 x^2 + y^2 = c^2。
这样，我们可以将直角三角形分割成两个直角三角形，其直角边分
别为 x 和 y，斜边为 c。
几何法是利用几何图形的性质进行求解，其中最著名的方法是利用切割线定理。
具体来说，我们可以在直角三角形的斜边上找一个点，然后将这个点与直角顶点相连，形成一个新的直角三角形。
我们可以通过切割线定理求出这个新直角三角形的面积，从而得到原直角三角形分割后的面积。
3.直角三角形分割问题的实际应用
直角三角形分割问题在实际生活中有很多应用，例如在测量土地面积、设计建筑物和解决物理问题等方面。
此外，这个问题也是许多数学竞赛和
智力题的常见题目，可以锻炼解题者的思维能力和创新能力。
综上所述，直角三角形分割问题是一个既有趣又有用的数学问题，其解法可以分为解析法和几何法。
小学奥数：三角形的分割
三角形的分割（二）同学们大家好！在上一讲中，我们一起研究了“三角形的分割”的一些知识。
其中有一条很重要的知识“等底等高的三角形面积相等”。
今天我们这一讲一起来研究这些知识的应用。
【典型例题】一. 阅读思考：例1. 如图，点D 、E 、F 与点G 、H 、N 分别是三角形ABC 与三角形DEF 各边的中点。
那么阴影部分的三角形面积的和是三角形ABC 的面积的()()。
（十一届迎春杯决赛题）B E C分析与解答：因为D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，所以DE 、EF 、DF 分别平行于AC 、AB 、BC ，所以∆∆BDE EFC 和是等底等高的三角形，∆∆A EFC DE 和，∆∆BDE DEF 和分别是等底等高的三角形。
解：S S DEF ABC ∆∆=14S S S S S S S GHN DEF ABC DEF GHN ABC∆∆∆∆∆∆==∴=-=12116316阴即S S ABC阴∆=316例2. 下图中，三角形ABC 的面积是12平方厘米。
并且BE=2EC ，F 是CD 的中点。
那么阴影部分的面积是（ ）平方厘米。
（第十二届迎春杯训练题）B分析与解答：因为∆∆ACE ABE 和的高相等，而BE=2EC ，所以∆ABE 的面积是∆ACE 面积的2倍。
解：S ABE ∆=8（平方厘米） S A C E ∆=4（平方厘米）又因为S S S S ACF ADF BCF BDF ∆∆∆∆==, 所以S S S ACF BCF ABC ∆∆∆+==126（平方厘米） 于是S S S S BEF ACF BCF ACE ∆∆∆∆=+-()=-=642()平方厘米又S S CEF BEF ∆∆==⨯=122121（平方厘米） 所以S S S S BDF BCF BEF CEF ∆∆∆∆==+=+=213（平方厘米） S S S B D F BEF 阴影=+=+=∆∆325（平方厘米）【模拟试题】（答题时间：30分钟）二. 尝试练习：1. 有一张等腰直角三角形的纸片，沿它的斜边上的高把这个三角形对折；再沿小三角形的斜边上的高把它对折；再沿更小三角形斜边上的高把它对折。
小学四年级奥数讲义专题一 三角形
小学四年级奥数讲义专题一三角形小学四年级奥数讲义专题一：三角形
1. 三角形的定义
三角形是由三条线段组成的图形，它的特点是有三个顶点和三条边。
2. 三角形的分类
2.1 依据边长分类
- 等边三角形：三条边的长度都相等。
- 等腰三角形：两条边的长度相等。
- 普通三角形：三条边的长度都不相等。
2.2 依据角度分类
- 直角三角形：其中一个角度为90度。
- 钝角三角形：其中一个角度大于90度。
- 锐角三角形：三个角度都小于90度。
3. 三角形的性质
- 三角形的三个内角之和始终为180度。
- 三角形的两边之和大于第三边。
- 等边三角形的三个角度均为60度。
- 等腰直角三角形的两个锐角度均为45度。
4. 三角形的计算公式
4.1 周长
三角形周长是三条边的长度之和，可以使用以下公式计算：周长 = 边1长度 + 边2长度 + 边3长度
4.2 面积
三角形的面积可以使用以下公式计算：
面积 = 底边长度 * 高 / 2
5. 三角形的练题
1. 判断下列图形中是否为三角形：
- (图形1描述)
- (图形2描述)
- (图形3描述)
2. 求下列三角形的周长和面积：
- (三角形1描述)
- (三角形2描述)
- (三角形3描述)
通过学习本讲义，希望同学们能够掌握三角形的定义、分类、性质和计算方法，进一步提高数学运算能力。
三角形分割的探究课
三角形分割的探究课三角形是几何学中重要的形状之一，它具有许多特性和性质。
在本篇文章中，我们将探索三角形分割的方法和相关性质。
一、三角形的三边分割三角形的三条边可以通过在边上选择任意一点来进行分割。
令我们感兴趣的是，这些分割点对于三角形的性质有何影响。
让我们以等边三角形为例进行探究。
等边三角形具有三条相等的边以及三个相等的内角，为了进行分割，我们选择任一边上的一点，并将其连接到另外两个顶点。
这样，三角形被分割出了三个小三角形。
我们注意到，无论我们在哪个边上选择点进行分割，得到的三个小三角形的性质都是相同的，这是因为等边三角形的对称性。
二、三角形的角分割除了边的分割，我们还可以通过在角的内部选择一个点来进行三角形的分割。
这将产生两个新的三角形和一个四边形。
让我们讨论一下关于这种分割方式的一些有趣的发现。
1. 角平分线当我们选择三角形的顶点作为分割点时，分割线将成为该角的平分线。
平分线将角分为两个相等的角，这个性质在几何学中非常重要。
2. 高度线如果我们选择三角形的底边上的一个点作为分割点，分割线将垂直于底边并延长到对边。
这条垂直线，也被称为高度线，将三角形分割为两个新的三角形和一个三角形。
三、三角形分割的应用三角形的分割可以应用于各种几何问题和实际应用中。
下面是其中几个例子。
1. 面积计算通过将三角形分割成更小的三角形，我们可以更容易地计算复杂形状的面积。
通过将三角形分割成一系列简单的形状，我们可以使用已知的面积公式计算每个小形状的面积，并将它们相加得到整体的面积。
2. 角度关系通过三角形的分割，我们可以研究角度之间的关系。
例如，我们可以探索内角和外角之间的关系，或者通过角平分线探索角的性质。
3. 相似性和比例三角形的分割也与相似三角形和比例有关。
通过将三角形分割成相似的小三角形，我们可以推导出相似性的性质，并在比例问题中应用它们。
四、结论三角形分割是几何学中一种有趣而有用的方法。
无论是边的分割还是角的分割，都可以帮助我们更好地理解三角形的性质和关系。
四年级奥数《数学图形的分割与剪拼课件》
知识链接
单位元分割
例题（六）（★ ★ ★ ）
正三角形ABC的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍， 连结六个
端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积。
例题（六）（★ ★ ★ ）
采用分割法，过A、B、C分别作平行线，得到下图;
目录
01
单击添加标题
02
单击添加标题
03
单击添加标题
04
单击添加标题
01 点击添加文字
点击此处添加标题
您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后， 在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。在此录 入上述图表的综合描述说明。
点击此处添加标题
您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后， 在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。在此录 入上述图表的综合描述说明。
根据等底高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4 个等底高的小三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积 必定相等。
知识链接
等底等高的两个三角形的面积相等
例题（四）（★ ★ ★ ★）
怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角 形。
（1）分成8块的方法：先取各边的中点并把它们连接起来， 得到4个大小、形状相同三角形，然后再把每一个三角形分成两部分。
图形的分割与剪拼
四年级 第13课
知识链接
一、了解一下 图形的分割与剪拼 用一条线段把一个长方形分成形状大小都相同的两块，一共有多少种 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割。 按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合。 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼。 二、会用到的 几何变换：平移，旋转，对称 动手
小学奥数《三角形的认识》教学课件
本讲主要内容： 三角形的定义； 三角形的分类； 三角形的三边关系； 三角形的内角和； 三角形的外角和。
新知探究
mathematics
知识梳理
数学知识点
mathematics
总一关：认识三角形 按边分类； 按角分类
新知探究
mathematics
第三关：多边形内（外）角和 每增加一条边，内角增加180度； 任意多边形外角和都是360度
1
2
3
1
3
2
其它多边形的内角和都 是通过三角形得到的
数学例题
mathematics
例题1： （1）三角形是由___________条边，___________个角，___________个顶点构成的； 下图 是一个三角形，如果用字母 A、B、C 分别表示三角形的三个顶点，那么这个三角形可以表 示为___________。 （2）三角形可以按照角来分： 三个角都是锐角的三角形叫做____________________； 有一个角是直角的三角形叫做____________________； 有一个角是钝角的三角形叫做____________________。 （3）三角形也可以按照边来分： 有两条边相等的三角形叫做____________________； 三条边都相等的三角形叫做____________________。
多边形内角和： 设边数为n，内角和为180°×（n-2）。 多边形外角和： 任意多边形外角和是360°。
2 1
1
3
2
4
1
3
2
数学例题
mathematics
例题3： （1）三角形三个内角的角度之和是多少度？你是怎么得到的呢？ （2）如图 1，∠1+∠2+∠3+∠4=___________． （3）如图 2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=____________． （4）如图 3，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______________． （5）通过以上题目，总结： n边形的内角和=______________．
小学奥数中常见的辅助线的添加技巧3-等形分割(三角形面积、正方形面积、圆的面积等图形问题)
小学奥数中常见的辅助线的添加技巧方法3、等形分割（三）等形分割例1 如图1，ABC 为等腰直角三角形，面积为90平方厘米，四边形ADEF 为正方形，求它的面积。
练习1 如图1-1，在等腰直角三角形ABC 中，ADEF 为正方形，它的面积是24平方厘米，求△ABC 的面积。
练习2 如图1-2，将三角形ABC 的边AB 、AC 都延长到原来长度的2倍处，它的面积将增加几倍？练习3 把边长是10厘米的正方形卡片按图的方法重叠起来。
3张这样的卡片重叠以后组成的图形的面积是多少平方厘米？AB C EF DAB CEF DABC B 'C'图1-1图1-2图1-3图1例2 如图2，△ABC 为等腰直角三角形，面积为90平方厘米，DEFG 为正方形，求它的面积。
练习1 如图2-1，EFGH 是等腰直角三角形ABC 内的一个正方形，已知这个正方形的面积是60平方厘米，求三角形ABC 的面积。
练习2 如图2-2，正方形ABCD 和正方形EFGH 分别内接于同一个等腰三角形（这里的“内接”指正方形的四个顶点全部落在三角形的边上）。
已知正方形ABCD 的面积是72平方厘米，求正方形EFGH 的面积。
练习3 如图2-3，△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，四边形EFGH 是正方形，求△ABC 和△DEC 的面积之比。
ABCEFDGA BE FDG H ABCEF DG H图2图2-1图2-2图2-3ABC FGH例3 如图3，三角形ABC 为等边三角形，D 为AB 边上的中点，DE 与BC 垂直，已知三角形BDE 的面积为5.6平方厘米，求等边三角形ABC 的面积。
练习1 如图3-1，D 为等腰直角三角形ABC 的腰AB 的中点， DE 与BC 垂直，已知三角形ABC 的面积为48平方厘米，求三角形BDE 的面积。
练习2 如图3-2，把一块面积为108平方厘米的正方形铁皮，做成一个无盖的正方体盒子。
小学奥数 图形的分割与拼接.学生版
4-2-3.图形的分割与拼接知识点拨本讲主要学习三大图形处理方法：1．理解掌握图形的分割；2．理解掌握图形的拼合；3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．模块一、图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BA O【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．【例 2】用直线把左图分成面积相等的两部分，在右图中画虚线给出了分法，其中正确的有________个。
例题精讲llll【例 3】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．AO【例 4】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【例 5】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．【例 6】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．231DCBA【例 7】把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？20402060【例 8】下图是一个34⨯的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【巩固】右图是一个44⨯的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【例 9】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【例 10】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 11】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【例 12】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【例 13】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．【例 14】如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴ 请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵ 分割后每个小图形的周长是厘米．⑶ 分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．第3题【例 15】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【例 16】如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．【例 17】如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．【例 18】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？【例 19】将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【例 20】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？奥数读本【例 21】请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字．春春蕾杯赛春春蕾蕾蕾杯杯杯赛赛赛第13题【例 22】 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？学习思考学习思考学习思考考思习学（5）（4）（3）（2）（1）【例 23】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学【例 24】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【例 25】如图，要求把正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．【例 26】将下页图所示图形拆成形状相同、面积相等的三部分，使每个部分中含有一个，请将第一部分的六边形都标上“1”，第二部分的六边形都标上“2”。
小学奥数讲义4年级-5- 图形的剪拼-难版
第5讲图形的剪拼知识梳理把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．典型例题【例1】★请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。
【解析】本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。
方法一：将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。
方法二：画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。
【小试牛刀】试将一个等边三角形分割成8个全等的直角三角形。
【解析】如图【例2】★将右图分割成五个大小相等的图形。
【解析】因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。
3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。
【小试牛刀】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．321D C B A 1FE221D C BA【解析】直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，AD 边长正好为3，所以AD 边分成两段，找到AD 的三等分点E ，现在，CD AE =，DE AB =，BF EF =，所以还要找到BC 的中点F ，连接EF ，就把梯形ABCD 分成完全相同的两部分．如右上图．【例3】★★右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。
五年级奥数专题 等积变换、切割、平移、旋转(学生版)
学科培优数学等积变换、切割、平移、旋转学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华,等积变换试平面几何的基础,解决三角形问题几乎无处不在,切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想,在几何中举足轻重,能使复杂的问题巧妙化解。
所以本讲是非常重要的一讲,也是竞赛常考的知识板块。
重点难点：1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。
2．化未知图形为已知图形。
3. 合理做辅助线4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围主要考点：1. 面积和边的比例关系2. 利用平移、旋转解复杂问题知识梳理常见图形面积的解题方法我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变,高越大（小）,三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变,底越大（小）,三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍,底变为原来的1/3,则三角形面积与原来的一样。
这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论： 1、等底等高的两个三角形面积相等．2、若两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等,其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 3、夹在一组平行线之间的等积变形,如下图,和夹在一组平行线之间,且有公共底边那么；反之,如果,则可知直线平行于。
4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。
小学奥数模块教程三角形
一、 三角形的定义：（一）、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。
（二）、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
三角形只有3条高。
重点：三角形高的画法。
底二、 三角形的特性：（一）、物理特性：稳定性。
如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
（二）、边的特性：任意两边之和大于第三边。
为了表达方便，用字母A 、B 、C 分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC 。
A+B ﹥C三、 三角形的分类：（一）、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
（二）、按照边长短来分：等边三角形（正三角形）、等腰三角形、三条边都不相等的三角形 ※三角形的内角和等于180°；四边形的内角和是360°；五边形的内角和是540°四、 图形的拼组：（一）、用任意2个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。
（二）、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。
（三）、用2个相同的等腰直角的三角形可以拼成一个正方形、一个平行四边形、一个大的等腰的直角的三角形。
五、 密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形等。
顶点 边高知识框架三角形A BC哪种方法更牢固，为什么？【例 1】 是三角形的打“√”，不是三角形的画“○”。
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）【巩固】 一个三角形有（ ）个顶点，（ ）个角和（ ）条边。
【例 2】 一个三角形有（ ）条高。
A 、1B 、3C 、无数【巩固】 直角三角形、钝角三角形只有一条高。
（ ）【巩固】 锐角三角形都有三条高。
（ ）【例 3】 根据下面每个图形标出的底，画出图形的高。
【例 4】底底底例题精讲【巩固】自行车的三角架运用了三角形的（）的特征。
A、稳定性B、有三条边的特征C、易变形【例 5】在能拼成三角形的小棒下面画“☆”。
三角形切割算法
三角形切割算法
三角形切割算法主要用于处理三角形，对其进行分割。
主要有以下两种情况：
1.一种情况是在正负各生成一个三角形；另一个情况是在一侧有一个三角形，
另一侧有两个三角形。
无论哪种情况，关键算法流程都是：顺序访问原三角形的边，设边的第一个顶点是v0，第二个顶点是v1。
如果这个边的两个顶点均在平面一侧，则两个顶点算入平面相应一侧的新多边形。
如果有一个点在平面上，则这个点如果是这个边的第一个顶点，应该在平面两侧的新多边形中都要放。
如果是第二个顶点，则需要判断第一个顶点在平面的哪一侧，并由此将v0、vip、v1按照相应顺序组合，分别放到两侧的多边形中（在这过程中，vip会两侧都放）。
2.另一种算法是基于平面切割三角形的算法。
具体步骤如下：首先确定切割
平面，然后根据切割平面的位置和三角形的顶点顺序，计算切割后三角形的顶点和法向量。
最后根据切割后三角形的法向量和切割平面的法向量，判断切割后三角形的面片方向。
小学奥数讲义图形的分割与拼接专题
图形的分割与拼接专题怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一个图形？这就是本讲要解决的问题。
例1 请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。
分析与解：本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。
方法一：将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。
方法二：画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。
方法三：找出三条边上的中点，然后如左下图所示连结。
方法四：将三条边上的中点两两连结（见右上图）。
前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分，然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。
本题还有更多的分割方法。
例2 将右图分割成五个大小相等的图形。
分析与解：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。
3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。
例3 右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。
分析与解：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8个小方格，并且这两块关于中心点对称。
下面是六种分割方法。
例4 将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。
分析与解：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应是4。
因为题图是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移1使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移2使长为4）。
考虑到缺角这一特点，可做下图所示的分割和拼接。
例5 有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯，现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。
请将它剪成形状相同、面积相等的两块，使其正好铺满房间。
分析与解：首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等，然后考虑如何剪拼。
小学奥数-三角形的分割(一)
三角形的分割（一）同学们大家好！三角形的面积的计算方法大家已经知道了，今天我再告诉大家一个规律：等底等高的三角形面积相等。
这是一个非常重要的规律，在解决多边形面积的许多问题中都要用到它。
今天，我们就一起来研究应用这一规律可以解决哪些问题。
【典型例题】一. 阅读思考：例1. 有一个三角形花坛，想把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分？分析与解答：因为“等底等高的三角形面积相等”，所以要把这个三角形花坛平均分成两个相等的三角形，就是把这个三角形花坛分成两个等底等高的三角形就可以了。
而三角形的每条边都可以作三角形的底，所以我们只要把这三条边分别二等分，再把中点与这条边相对的顶点连接起来就可以了。
例2. 将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？分析与解：根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形，它们的面积就必然相等。
而要找这六个等底等高的小三角形，只需把三角形的某一边六等分，再将各分点与这边相对的顶点连结起来即可。
如图（1）图（1）又因为6163223=⨯=⨯=⨯，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看成1，即16⨯ 而32⨯可以看成是先把原三角形等分两份，再把每一份分别等分成三份。
C C图（2）同理，23⨯可以看成是先把原三角形等分成三份，然后再把每一份等分成两份。
即A A ABC图（3）类似于这样的分法，我们还可以画出许多，这里就不一一列举了。
这两道例题有一个共同的思路，就是想办法找出等底等高的三角形，而找这种三角形，就要几等分某一条线段。
如果两个三角形的底相等，高不相等，它们的面积有什么关系呢？如果两个三角形底的长度相等，高的长度不相等，那么它们的面积之比正好等于这两个三角形高的长度比。
同样的道理，我们还可以推出，如果两个三角形高的长度相等，底的长度不相等，那么这两个三角形的面积之比正好等于它们的底的长度比，因此我们有下面的结论：如果甲、乙两个三角形的底（高）的长度相等，那么甲、乙两个三角形的面积之比等于它们的高（底）的长度之比。
小学奥数专题-图形的分割
几何面积问题除了利用常规的五大模型、各种公式求得之外，还可以用图形分割的思想来做。
我们发现，在迎春杯几何问题中，这类题目很多。
掌握好这种思想方法，可以帮助我们解决很多几何难题。
解题关键:分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。
解题思想:这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方法，更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用。
模块一、简单分割【例 1】 3个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图)，顶点A 和B 分别与正方形中心点重合，如果所构成图形的周长是48厘米，那么这个图形覆盖的面积是__________平方厘米.【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，复试，4题 【解析】 将这3个正方形分割，可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和，故正方形边长为48÷8=6（厘米），则图中每个分割得到的小正方形边长为6÷2=3（厘米），所以这个图形覆盖的面积为6×6×2+3×3×2=90（平方厘米）。
【答案】90平方厘米【例 2】 正方形ABCD 的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．DCB A【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方形的面积是:199⨯=(平方米)．【答案】9平方米【例 3】 将边长为a 的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律，继续下去，得到下图那么，边长为a 的正方形面积是图中阴影部分面积的________ 倍.例题精讲知识点拨4-2-4.图形的分割【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第6题，4分 【解析】 阴影部分是大正方形的0.5×0.5×0.5×0.5=116，所以正方形是阴影的16倍 【答案】16倍【例 4】 正三角形ABC 的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积．CBA【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 采用分割法，过A 、B 、C 分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米．【答案】13平方米【例5】 正六边形ABCDEF 的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．FED CB A FAB CDE【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是:122⨯= (平方米)【答案】2平方米【例 6】 长方形ABCD 的面积是40平方厘米，E 、F 、G 、H 分别为AC 、AH 、DH 、BC 的中点。
分割等腰三角形的说课稿模板
分割等腰三角形的说课稿模板分割等腰三角形的说课稿模板分割等腰三角形的说课稿1一、教材分析（一）、教材内容的地位和作用《分割等腰三角形》是新教材第十四章《三角形》之后的探究课，我根据本校班级学生基础知识掌握良好、认知能力良好但是思维品质缺乏、尖子生凤毛麟角等实际情况下，降低要求设计的一节课，三角形是平面几何最简单的直线型封闭图形，三角形的知识是进一步探究学习其他图形性质的基础；这个学习阶段，处在是演绎几何向论证几何的过渡期，本章对三角形的研究呈现从一般到特殊的过程，而等腰三角形对于学生学习和研究轴对称性具有重要意义。
本节课《分割等腰三角形》的设计也遵循了这个规律，从研究一般三角形到等腰三角形，探究过程中还可以帮助学生理解和掌握运用三角形知识，通过探究活动，不仅加强探索实践精神，而且还让学生感受到我国古老的数学文明，激发探索热情。
（二）、教学目标根据新的《课程标准》要求和教材分析，结合本班学生实际情况，制定如下教学目标：1．学会探究把一个一般的三角形分成两个等腰三角形的条件，进而会探究将一个等腰三角形分割成两个等腰三角形,计算可以被分割的等腰三角形的度数。
2．体现数形结合、分类讨论的思想。
3．培养学生的自主探究的意识，初步掌握探究的一般思路和独立思考的习惯、提高解决问题的能力。
（三）教学重点、难点教学重点、难点：探究把一个一般的三角形分割成两个等腰三角形的思路．探究把一个一般的三角形分割成两个等腰三角形的一般规律。
二、教法、学法分析本节课涉及的知识点有等腰三角形的“等边对等角”、“等角对等边”、“三角形内角和”定理（“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”定理），都是前阶段学生经常使用的熟悉知识，计算分割好的三角形中角之间的关系应该不难，因此本节课将用较多的时间引导学生如何根据图形探究分割的方法和规律，教师以多媒体为教学平台，通过精心设计问题和有效的激励机制充分调动学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。
三角形的分割讲稿
巧妙解答三角形的分割乐山市外国语小学 徐刚同学们在小学五年级时已学过三角形的面积计算方法：三角形面积=底×高÷2由三角形面积公式，要理解关键的一点：等底等高的三角形面积相等。
利用这个特点，我们可以解决三角形的分割一类问题。
下面我们通过几道例题来学习。
例1：在△ABC 中，D 是BC 边的中点。
请问△ACD 的面积占△ABC 的几分之几？ D 是BC 的中点，说明CD 占BC 的1/2，因此△ABD 与△ACD 等底等高，面积相等，所以△ACD 占总面积的1/2。
D CB A例2：在△ABC 中，D 、E 是BC 的三等分点。
请问△ACD 的面积占△ABC 的几分之几？由D 、E 是BC 的三等分点，可知BE=ED ＝DC ，因此△ABE 、△ADE 与△ACD 等底等高，三个图形面积相等，所以△ACD 的面积占△ABC 的1/3。
E A B D C例3：在△ABC 中，D 是BC 边的三等分点，E 是AC 边的四等分点。
请问△CDE 的面积占△ABC 的几分之几？因为D 是BC 边的三等分点，所以CD 占BC 的2/3，因此△ACD 占△ABC 的2/3。
再看下图：E 是AC 边的四等分点，因此CE ＝１/4AC ，所以△CDE 是△ACD 的1/4。
综合以上两点，说明△CDE 占△ABC 的2/3的1/4，所以可以用乘法计算：例4：在△ABC中，D是BC边的三等分点，E是AC边的四等分点。
请问△CDE的面积占△ABC的几分之几？根据前面的学习，这道题我们可以通过怎样的巧妙计算来解决呢？同样，因为CD是BC的2/3，而CE占AC的3/4，所以△CDE占：2/3╳3/4＝1/2小结一下：像这样，在三角形内，要求部分占整体的几分之几，只要用其中的两条边占所在边的几分之几，再相乘就可以了。
例5：在△ABC中，D、E、F、G分别是各边的三等分点。
请问四边形DEFG的面积占△ABC的几分之几？四边形DEFG是个不规则四边形，不便直接计算。
跃峰奥数PPT2几何基础2-1(分割之割取局部)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
几何基础2-1（分割之割取局部）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（组合几何基础部分）第2专题（分割）的第1小节（割取局部），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
所谓分割，就是将严格几何图形按一定的规则分割为若干个指定的图形，讨论分割的可能性、计数、极值及有关性质论证等。
有以下5种常用思考方法：5种思考方法（1）考察极端选择极端元，寻找突破口。
（2）拟对象逼近先满足部分条件，然后改进。
（3）割取局部发掘局部性质，论证必要性。
（4）考察归属考察各个元素在分割中的归属。
（5）估计内角总和计算每个分割点对S的贡献。
本节介绍“割取局部”的相关例子。
所谓分割，就是将严格几何图形按一定的规则分割为若干个指定的图形，讨论分割的可能性、计数、极值及有关性质论证等。
有以下5种常用思考方法：5种思考方法（1）考察极端选择极端元，寻找突破口。
（2）拟对象逼近先满足部分条件，然后改进。
（3）割取局部发掘局部性质，论证必要性。
（4）考察归属考察各个元素在分割中的归属。
（5）估计内角总和计算每个分割点对S的贡献。
本节介绍“考割取局部”的相关例子。
【引例】将一个3×3×3的大立方体分割为27个1×1×1的单位立方体，显然，沿平行3个侧面方向各切两刀即可完成分割。
三角形的等分ppt课件
B
E D
ppt课件完整
13
5、如图，三角形ABC的面积是8平方厘米， BD=2AB，CE=3AC 求三角形ADE的面积？
A C
B
E D
ppt课件完整
14
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
41111422413411211把三角形把三角形abcabc分成甲乙丙三部分使乙的分成甲乙丙三部分使乙的面积是甲的面积是甲的22倍丙的面积是甲的倍丙的面积是甲的33倍
三角形面积的等分
ppt课件完整
1
把一个任意三角形分成两个面积相等的小三角形
A B
A
.
B
Do
C
C
结论：等底等高的 三角形面积相等。
ppt课件完整
A
E
B
C
D
ppt课件完整
10
4、如图，ABCD是平行四边形，E是BC的中点， 平行四边形的面积是三角形ABE面积的多少倍？
A
D
B
E
C
ppt课件完整
11
5、如图，三角形ABC的面积是8平方厘米， BD=2AB，CE=3AC 求三角形ADE的面积？
A C
B
E D
ppt课件完整
12
5、如图，三角形ABC的面积是8平方厘米， BD=2AB，CE=3AC 求三角形ADE的面积？
2
A
如果把它分成三个面积相等的小三角形呢
3=1+1+1
B
C
3=1+2
ppt课件完整
3
要求：
1、把这个三角形分成四个面积相等的小三角形。 2、按照四种不同的分法，请将每种分法各画一个。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形的分割（一）
同学们大家好！三角形的面积的计算方法大家已经知道了，今天我再告诉大家一个规律：等底等高的三角形面积相等。
这是一个非常重要的规律，在解决多边形面积的许多问题中都要用到它。
今天，我们就一起来研究应用这一规律可以解决哪些问题。
【典型例题】
一. 阅读思考：
例1. 有一个三角形花坛，想把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分？
分析与解答：因为“等底等高的三角形面积相等”，所以要把这个三角形花坛平均分成两个相等的三角形，就是把这个三角形花坛分成两个等底等高的三角形就可以了。
而三角形的每条边都可以作三角形的底，所以我们只要把这三条边分别二等分，再把中点与这条边相对的顶点连接起来就可以了。
例2. 将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？
分析与解：根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形，它们的面积就必然相等。
而要找这六个等底等高的小三角形，只需把三角形的某一边六等分，再将各分点与这边相对的顶点连结起来即可。
如图（1）
图（1）
=⨯=⨯=⨯，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看成1，即又因为6163223
16
⨯
⨯可以看成是先把原三角形等分两份，再把每一份分别等分成三份。
而32
C C
图（2）
⨯可以看成是先把原三角形等分成三份，然后再把每一份等分成两份。
同理，23
即
A A A
B
C
图（3）
类似于这样的分法，我们还可以画出许多，这里就不一一列举了。
这两道例题有一个共同的思路，就是想办法找出等底等高的三角形，而找这种三角形，就要几等分某一条线段。
如果两个三角形的底相等，高不相等，它们的面积有什么关系呢？
如果两个三角形底的长度相等，高的长度不相等，那么它们的面积之比正好等于这两个三角形高的长度比。
同样的道理，我们还可以推出，如果两个三角形高的长度相等，底的长度不相等，那么这两个三角形的面积之比正好等于它们的底的长度比，因此我们有下面的结论：如果甲、乙两个三角形的底（高）的长度相等，那么甲、乙两个三角形的面积之比等于它们的高（底）的长度之比。
例3. 把三角形ABC分成甲、乙、丙三部分，使甲的面积是乙的面积的3倍，丙的面积是乙的面积的4倍。
分析与解：要想使三角形甲的面积是三角形乙的面积的3倍，可以使这两个三角形的高相同，而三角形甲的底是三角形乙的底的3倍，同样使三角形丙的高和三角形乙的高相
同，而三角形丙的底是三角形乙的底的4倍，这样一来，我们将三角形ABC的一条边
8等
分，使乙占其中的一份，甲占其中的3份，丙占其中的4份，即可达到目的。
B C
例4. 三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
（如图）
B D C
分析与解：根据如果两个三角形的高相等，那么这两个三角形的面积比等于它们底的比的结论，即可求出三角形ABC的面积。
三角形ADE和三角形DCE中，因为CE=3AE，所以三角形DCE的底是三角形ADE
的底的3倍，又因为这两个三角形的高相同，所以三角形DCE的面积是三角形ADE的面积的3倍，即
三角形DCE面积=三角形ADE面积×3
=20×3=60（平方厘米）
同理，在三角形ABD和三角形ADC中，因为DC=2BD，且这两个三角形有相同的高，
所以三角形ADB的面积是三角形ADC的面积的1
2
，即
三角形ADB面积=三角形ADC面积×1 2
=（三角形ADE面积+三角形DCE面积）×1 2
=（20+60）⨯1 2
=80⨯1 2
=40（平方厘米）
所以三角形ABC面积=40+80=120（平方厘米）
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
二. 尝试练习：
1. 将任意一个三角形的面积五等分，你能找到三种以上的方法吗？
2. 将任意一个三角形的面积四等分，你有几种方法？
3. 见图，在三角形ABC中，CD是AC的2
5
，E是BC的中点，你能在原图形的基础上
将三角形ABC的面积5等份吗？
A
D
B E C
4. 见图ABCD平行四边形，E是BC的中点，平行四边形ABCD的面积比三角形ABE 的面积多多少倍？
D
B
5. 如图，把大三角形分成了甲、乙两部分，乙由A、B两部分组成，求甲与乙两部分面积的比值。
C
9 A B 3 A 4.5 D 4.5 B E
乙甲。