哈尔滨三中2019-2020学年高二(下)第一次段考数学试卷(理科)(3月份)(含答案解析)

哈尔滨三中2019-2020学年高二(下)第一次段考数学试卷(理科)(3月

份)

一、单项选择题（本大题共10小题，共50.0分）

1. 函数f(x)=x 2−sinx 在[0,π]上的平均变化率为( )

A. 1

B. 2

C. π

D. π2

2. 若f′(x 0)=−3，则ℎ→0lim f(x 0+ℎ)−f(x 0−3ℎ)ℎ=( )

A. −3

B. −12

C. −9

D. −6

3. 沿直线运动的物体从时间t 到t +Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt→0Δs

Δt 为( )

A. 从时间t 到t +Δt 时物体的平均速度

B. t 时刻物体的瞬时速度

C. 当时间为Δt 时物体的速度

D. 从时间t 到t +Δt 时位移的平均变化率

4. 若函数f(x)=ax 2−x +ln x 在区间(1,4)上单调递增，则a 的取值范围是 ( )

A. [0,+∞)

B. [14,+∞)

C. [1

8,+∞) D. [3

32,+∞)

5. 曲线y =x 3−x +3在点(1,3)处的切线的斜率等于( )

A. 2

B. 4

C. 12

D. 6

6. 函数f(x)=2sinx −x 在区间[0,π

2]上的最大值为( )

A. 0

B. 2−π2

C. √3−π3

D. 1−π

6

7. 若函数f (x )=x −lnx 的单调递增区间是( )

A. (0,1)

B. (0,e )

C. (0,+∞)

D. (1,+∞)

8. 若函数f(x)=13x 3+1

2mx 2+x +1在上有极值点，则实数m 的取值范围是( )

A. (−∞,−2)∪(2,+∞)

B. (−∞,−2)∪[2，+∞)

C. (−2,2)

D. [−2,2]

9. 已知函数f(x)=x +e −x ，若存在x ∈R ，使得f(x)≤ax 成立，则实数a 的取值范围是(

)

A. (−∞,l −e]

B. (l,+∞)

C. (1−e,1]

D. (−∞,1−e]∪(1，+∞)

10.若关于x的不等式2x3+ax2>ln x2在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为()

A. [−2,+∞)

B. (−2,+∞)

C. [−1,+∞)

D. (−1,+∞)

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.函数f(x)=1

3

x3−2x2+3x−1的单调递增区间为____________．

12.函数f(x)=2xe1−x−1的极大值是__________..

13.若函数f(x)=x2lg a−2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是____.

14.定义在(−π

2,π

2

)上的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(1)=0.当x>0时，f(x)

则不等式f(x)<0的解集为_______．

三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）

15.求曲线y=x3的过(1,1)的切线方程．

16.求函数的单调区间f(x)=−1

3

ax3+x2+1(a≤0)．

17.设函数f(x)=(x−1)e x−kx2(其中k∈R).

(Ⅰ)当k=1时，求函数f(x)的单调区间;

,1]时，求函数f(x)在[0,k]上的最大值M．

(Ⅱ)当k∈(1

2

18.(Ⅰ)求证：不等式lnx≤k√x−1对k≥1恒成立．

(Ⅱ)设数列{a n}的通项公式为a n=√2

，前n项和为S n，求证：S n≥ln(2n+1)

2n−1

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

【试题解析】

本题考查变化率的计算，注意平均变化率的计算公式，属于基础题．

根据题意，由函数的解析式计算可得f(0)、f(π)的值，进而由变化率公式计算可得答案． 解：根据题意，f(x)=x 2−sinx ，则f(0)=0，f(π)=π2−sinπ=π2，

则f(x)在[0,π]上的平均变化率为

Δy Δx =f(π)−f(0)π−0=π2−0π−0=π；

故选：C ．

2.答案：B

解析：

本题主要考查了导数的定义及其导数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题．

解：∵f′(x 0)=−3，

则ℎ→0lim f(x 0+ℎ)−f(x 0−3ℎ)ℎ=m →0lim [4·f(x 0+4m)−f(x 0)4m ]=4m →0lim

(f(x 0+4m)−f(x 0)4m )=4f′(x 0)=4×(−3)=−12，

故选B ．

3.答案：B

解析：

本题主要考查导数的应用，熟悉导数的定义是解答本题的关键，属于基础题．

解：由题意可知物体从时间t 到t +Δt 时，位移为Δs ，则lim

Δt→0Δs Δt 的意义即为t 时刻物体的瞬时速度．

故选B ．

4.答案：C

解析：

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．

求出函数的导数，问题转化为a ≥

x−12x 2在(1,4)恒成立，令g(x)=x−12x 2，x ∈(1,4)，根据函数的单调性求出a 的范围即可．

解：f ′(x)=2ax −1+1x

=2ax 2−x+1x ， 若f(x)在(1,4)递增，

则2ax 2−x +1≥0在(1,4)恒成立，

即a ≥x−1

2x 2在(1,4)恒成立，

令g(x)=

x−1

2x 2，x ∈(1,4)， g ′(x)=2−x

2x 3，

令g ′(x)>0，解得：1

令g ′(x)<0，解得：2

故g(x)在(1,2)递增，在(2,4)递减，

故a ≥g(x)max =g(2)=18，

故选C ． 5.答案：A

解析：

本题考查导数的几何意义，属于基础题．

求出导数，然后由导数的几何意义即可求解．

解：因为y =x 3−x +3，

所以y′=3x 2−1，