第二章对偶问题一般题答案

对偶问题一般习题答案

● 一般题目

内容1：根据原规划，写出对偶规划 1.1 写出下面线性规划问题的对偶问题

(a.) 234

12341234

12341234max 2343567358

..12999200,0,0,z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+--=⎧⎪++-≥⎪⎨

--+≤⎪⎪≥≥≤⎩

无约束 (b.) 111111

111max (1,)(1)..0(1,)1n

j j

j n

ij j i j n ij j i j j j z c x a x b i m m m a x b m i m s t x j n n n x n j n

=== =⎧≤ ≤≤≤⎪⎪⎪⎪= +≤≤⎨⎪⎪≥ ≤≤≤⎪+≤≤⎪⎩∑∑∑无约束,当 内容2：根据对偶问题，判定原问题有最优解、无解、有无穷大解 2.1 应用对偶理论, 证明线性规划问题有最优解。

12

1212

12max 3224

3214

..3

01,2j z x x x x x x s t x x x j =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨

-≤⎪⎪≥ =⎩

提示：找到原问题和对偶问题的一个可行解，那么就能说明原问题有最优解。 2.2 应用对偶理论, 证明线性规划问题是可行的，但无最优解。

123

13123max 4

..1401,2,3j

z x x x x x s t x x x x j =-+⎧-≥⎪

-+≥⎨⎪≥ =⎩

提示：说明对偶问题无解，再根据原问题有可行解，就说明原问题为无穷解，所以没有最优解。

2.3 应用对偶理论, 证明线性规划问题无解。

12

1212

12max 5241

..23101,2j z x x x x x x s t x x x j =+-≥⎧⎪+≤⎪⎨

-≤⎪⎪≥ =⎩

提示：说明对偶问题有无穷解，就说明原问题无解。

内容3：由原问题的最优解得到对偶问题的最优解 3.1 课本2.11题。

（a ）写出最优单纯形表

由最优单纯形表

对于2x 有 []2311/2*(1/2)*4c c c -+-=- 对于2x 有 []43141/2*(1/6)*4(0)c c c c -+-=-= 对于5x 有 []53150*(1/3)*2(0)c c c c -+=-=

可得1c 、2c 和3c 的值

由于 11/2

01/61/3B -⎛⎫= ⎪

-⎝⎭

13112321a a B a a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

且1

*B B

I -=

那么可求得11a 、21a 、13a 和23a

由于

121221/2*1/2a B a -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝

⎭⎝⎭ 那么可求得12a 和22a

3.2 原规划为

12

121

2max 332212416

..515

01,2j z x x x x x s t x x j =++≤⎧⎪≤⎪⎨

≤⎪⎪≥ =⎩

引入松弛变量后为 12

12314

25max 332212416

..515

01,2,3,4,5j z x x x x x x x s t x x x j =+++=⎧⎪+=⎪⎨

+=⎪⎪≥ =⎩

对偶规划为

123

1213min 121615243..25301,2,3j

w y y y y y s t y y y j =++⎧+≥⎪+≥⎨⎪≥ =⎩

已知对偶规划的最优解为(3/2, 0, 0), 试完成原规划的最优单纯形表(不用单纯形求解，并写出具体思路)。

第一步：先给出原问题的初始单纯形表

第二步：根据对偶问题的最优解(3/2, 0, 0)，得到下图

第三步：由于只能是5x 、1x 和2x 为基变量，那么3x 40x ==，立即可得

14x =，22x =，55x =，且可得下表

第四步：预指定1x 为第一行的基变量，那么2x 为第三行的基变量，有下表

检验1x 是否为第一行的基变量。根据表3的第一行和14416x x +=，立即可验证1x 确实是第一行的基变量。

第五步：在表4中，对于4x 有0=0-(3*1/4+0*5/4+3*34a )，因而可得

第六步：根据1

*B B

I -=，可得

1

23

01/405/411/21/40B a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 202400015B ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

内容4：计算影子价格和隐含成本 4.1 课本(2.12)。（略）

内容5：会使用对偶单纯形法 5.1 用对偶单纯形法解下列问题

（a.） 1234

1234234

1234min 6735563412

5610

..25801,2,3,4j z x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =++++-+≥⎧⎪+-≥⎪⎨

+++≥⎪⎪≥ =⎩

引入松弛变量转化为下式

1234123452346

12347max 67355634125610

..25801,2,3,4,5,6,7j z x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x j =------+-+=-⎧⎪--++=-⎪⎨

----+=-⎪⎪≥ =⎩

（b ） 123

123123

123min 2242352373

..46501,2,3j z x x x x x x x x x s t x x x x j =---++≥⎧⎪++≤⎪⎨

++≤⎪⎪≥ =⎩

引入松弛变量转化为下式

12312341235

1236max 2242352373

..46501,2,3j z x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =++---+=-⎧⎪+++=⎪⎨

+++=⎪⎪≥ =⎩

令1236546x x x x =---代入上式得

23623

236234236235max 2(546)242(546)352

..3(546)7302,3,4,5,6j

z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x j =---++⎧------+=-⎪

---+++=⎨⎪≥ =⎩ 即

236

23642365max 585728

..111131202,3,4,5,6j

z x x x x x x x s t x x x x x j =---⎧+++=⎪

---+=-⎨⎪≥ =⎩ （c ） 123

1231312313

min 2332384..226247

01,2,3

j z x x x x x x x x s t x x x x x x j =--+⎧--+≥-⎪

+≤⎪⎪+-≤⎨⎪+≤⎪⎪≥ =⎩（略）