材料力学-第四章 扭转_2

T
T 6b 3T TS 2 2 2 2 4G 4G ( 2b ) 8Gb 3
1 2b 2
1 4b 2 2 2 3
结论 若将开口件加工为闭口件，将极大地提高构件的扭转
强度和刚度。
本 章 作 业
4-5，4-10， 4-13，4-29 4-16， 4-17 ， 4-19 4-21（c），4-23 4-32，4-34
max
T h b2 T [ ] 2 0.246 2b b
取 b = 45 mm。
6 T 3 10 b 3 3 44.3 0.492[ ] 0.492 70
由 h / b = 2 查表得 = 0.229
T 3 10 6 2 1 2 10 m G 2b b 3 80 103 0.229 2 454
闭口薄壁杆件切应力分析
F
dx dx
x
0
1 1dx 2 2 dx 0
1
1
2
x
2
1 1 2 2
dFS ds
Const
dT ds
T ds ds 2
S S


闭口薄壁杆件切应力

ds dFS
例 正方形截面轴两端承受转矩而产生自由扭转。在强度相同
长度相等的条件下计算圆轴与正方形截面轴的重量比。
转矩 T 在矩形边中点引起最大切应力。 max 由正方形 h / b = 1
T h b2
3
查表得 = 0.208
圆轴
max
T [ ] 3 0.208b
16T d π[ ]

2.约束扭转
扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截 面翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横 截面的翘曲程度不同,将在横截面上产生附 加的正应力。
分析与讨论
横截面上角点处扭转切应力的情况是怎样的？ 如果角点处存在着切应力，将 会导致什么情况产生？ 由此可得到什么结论？
三角形截面轴的情况又怎样？
§5-6 非圆截面杆扭转的概念

圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均
建立在平面假设 的基础上。

对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保
持为平面，杆的横截面已由原来的平面变
成了曲面。这一现象称为截面翘曲。

因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对
非圆截面杆均不适用。

非圆截面杆在扭转时有两种情形:
1.自由扭转或纯扭转 在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横 截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪应力,而没有正应 力。
本 章 内 容 小 结
线弹性圆轴扭转切应力
Tr IP
切应力在横截面上的分布规律 最大切应力
max
T [ ] WP
WP
1 πd 3 16
实心
WP
1 π D 3 1 4 16
空心
当圆轴各段的轴径和扭矩互不相同时，应综合考虑以 确定最大切应力所在的截面。
线弹性圆轴扭转的相对转角
狭长矩形截面 两个端面的相对转角
max

3T 2 ht 3TL G ht3
等厚度开口薄壁杆件可展平为狭长矩形计算。 不同厚度开口薄壁杆件可视为若干个狭长矩形的组合。
闭口薄壁杆件
在闭口薄壁杆件中，沿厚度方向上的扭转切应力均匀 分布，并形成切应力流 。 切应力流特点 闭口薄壁杆件切应力 两个端面的相对转角
相同，左为开口，右为闭口，比较两者 在相同扭矩 T 作用下的最大切应力和单
位长度转角。
开口件 1max
3T 3T T 2 2 ht 6b 2b 2
2
3T 3T T 1 3 3 Ght G 6b 2Gb 3
闭口件 2b
T T 2 2 2 2 2 2b 4b

T 2
max
T 2 min
两个端面的相对转角
L
两个端面的相对转角 S

TL ds 4G 2 S

等厚度截面两个端面的相对转角
TSL 4G 2 TS 4G 2
等厚度截面单位长度上的相对转角
例
2b δ b δ b 2b
如图的两薄壁杆件尺寸、材料完全
i 3T ti

k 1
n
hk t k3
max 3T t max

k 1
n
hk t k3
n
i 3T L G hk t k3
k 1
4. 闭口薄壁杆件
在闭口薄壁杆件中，沿厚度方向上的扭转切应力均
匀分布，并形成切应力流 (shearing stress flow )。
max
3T 2 ht
t h
3TL G ht3 3T G ht3
例 立柱横截面是长为 2b 、宽为 b 的矩形。两
2b
端转矩为 3 kN m，许用切应力为 70 MPa ，试 确定尺寸 b 。若材料 G = 80 GPa ，根据所选定
b
的尺寸确定单位长度的相对转角。
转矩在长边中点引起最大切应力。 max 由 h / b = 2 查表得 = 0.246
Const
max
T 2 min
TL ds 4G 2 S

屈服扭矩和极限扭矩
横截面上切应力分布的概貌
本章内容结束
3
T b 0.208[ ]
max
16T [ ] 3 πd
两者重量比即横截面积之比：
π 3 16T 0.208[ ] G1 π d 2 0.82 4 π[ ] T G2 4b
2
2
3. 开口薄壁杆件
h
h
等厚度开口薄壁杆件可展平为狭长矩形计算。 不同厚度开口薄壁杆件可视为若干个狭长矩形的组合。 第 i 个狭长矩形长边各点处 最大切应力发生在壁厚 最大的狭长矩形长边上 相对转角
2. 矩形截面轴
角点上切应力必为零。
b
最大切应力出现在长边中点
max
h
T h b2
与 h / b 有关，见有关数表
轴两端面相对扭角

TL G h b 3
与 h / b 有关，见有关数表

狭长矩形截面
max
T h b2
1 3
最大切应力 两个端面的 相对转角 单位长度上 的相对转角
T dx 适用于变截面或有分布力偶矩作用的情况。 GI P 0

L

TL GI P
适用于等截面且无分布力偶矩作用的情况。
分段等截面圆轴应分段求出相对转角再求和。 单位长度上的相对转角

d T dx GI P
扭转超静定问题
平衡方程 物理方程 协调方程
矩形截面轴的扭转切应力
T 最大切应力（长边中点） max h b2 TL 轴两端面相对扭角 G h b 3