平面向量在坐标中的运算(习题带答案)

;.

一．复习巩固

1、下列说法正确的是（D ）

A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.

B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.

C 、向量的大小与方向有关.

D 、向量的模可以比较大小.

2、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r

是（D ）

A 、相等的向量

B 、平行的向量

C 、有相同起点的向量

D 、模相等的向量 3、给出下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =r r

，则a b =r r ；

③若AB DC =u u u r u u u r

，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r

；

⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ；⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P .

其中不正确的命题的个数为（B ）

A 、2个

B 、3个

C 、4个

D 、5个

4、下列命中，正确的是（ C ）

A 、|a r |＝|b r |⇒a r ＝b r

B 、|a r |＞|b r |⇒a r ＞b r

C 、a r ＝b r ⇒a r ∥b r

D 、｜a r ｜＝0⇒a r ＝0

6．如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点， 若AB →＝a ，AC →＝b ，则MN →

＝__ _____.

7．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ A ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b

C ．a =-

b

D ．a 与b 方向相反

8．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OB →，OC →

， OD →，OE →，OF →，AB →，BC →，CD →，EF →，DE →，FA →中与OA →

共线的向量有 A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 （ C ）

;.

9、已知点C 在线段AB

的延长线上，且

λ

λ则,CA BC ==等于( D )

A ．3

B ．31

C ．3-

D ．31-

10.设a 、b 是不共线的两个非零向量,

(1)若2,3,OA a b OB a b OC =-=+u u u r u u u r u u u r

=a-3b,求证:A 、B 、C 三点共线;

(2)若8a+kb 与ka+2b 共线,求实数k 的值. 正负4

导学稿

平面向量的坐标运算

教学目标：理解平面向量的坐标概念；掌握平面向量的和、差和积的坐标运算。 教学重难点：平面向量的坐标运算；定比分点坐标公式。 一、知识要点 1.两个向量的夹角

（1）定义：已知两个 向量a 和b,作OA=a ，OB=b ，则∠AOB=θ 叫做向量a 与b 的夹角.

(2)范围向量夹角θ的范围是 ,a 与b 同向时，夹角θ= ;a 与b 反向时，夹角θ= .

(3)向量垂直：如果向量a 与b 的夹角是 ，则a 与b 垂直，记作 . 2.平面向量基本定理及坐标表示

(1)平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e 1,e 2表示成a=λ1e 1+λ2e 2的形式，我们称它为向量a 的分解. 当e 1,e 2所在直线 时，就称为向量a 的正交分解.其中，不共线的向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组 . (2)平面向量的坐标表示

①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i,j 作为基底，对于平面上的向量a,有且只有一对有序实数x,y,使a=xi+yj, 把有序数对 称为向量a 的（直角）坐标，记作a= ，其中 叫a 在x 轴上的坐标， 叫a 在y 轴上的坐标.

②设，则向量OA 的坐标（x,y)就是终点A 的坐标，即若OA= ，则A 点坐标为 ,反之亦成立.（O 是坐标原点） 3.平面向量的坐标运算

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（2）向量坐标的求法 已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB=(x 2-x 1, y 2-y 1),即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去 的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示

设a=(x 1,y 1), b=(x 2, y 2), 其中b ≠0,则a 与b 共线 a= = .

(4)设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则a b +r r =.

(5)设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则a b -r r

=.

(6)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r

.

(7)设a r =(,),x y R λ∈，则λa r

=(,)x y λλ.

（8）设a r =(,),x y 则22

a x y =+r

（9）设a r =11(,)x y ,b r

=22(,)x y ，2121y y x x b a +=⋅→→

（10）1212

22221122

cos x x y y x y x y θ+=+⋅+

4.两向量的位置关系

1）设a r =11(,)x y ,b r

=22(,)x y ，02121=+⇔⊥→→y y x x b a

2）设a r =11(,)x y ,b r

=22(,)x y ，则a ||b 12210x y x y ⇔-=（斜乘相减等于零）

3）共线：→

→=b a λ

二、方法规律总结

1.借助于向量可以方便地解决定比分点问题.在处理分点问题,比如碰到条件“若P 是线段AB 的分点，且|PA|=2|PB|”时，P 可能是AB 的内分点，也可能是AB 的外分点，即可能的结论有：AP=2PB 或AP=-2PB.

2.中点坐标公式：P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2),则P 1P 2的中点P 的坐标为 ：

△ABC 中,若A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,C （x 3,y 3）,则△ABC 的重心G 的坐标为：

向量的数量积

1)投影：a r 在b r

上的“投影”的概念：cos a θ

r

叫做向量a r 在b r 上的“投影”， 向量a r

在向

量b r 上的投影cos a θ

r ，它表示向量a r 在向量b r 上的投影对应的有向线段的数量。它是一个

实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零。

).

2,2(2121y y x x ++).3

,3(

3

21321y y y x x x ++++θOB=|a|cos θ

A b

a