复数与复变函数

第一章复数与复变函数

一、判断题。

1. i4=-1.（）

2.两个复数之间可以比较大小。（）

3.任何复数都可以用三角表示。（）

4.区域D的内点一定是极限点。

5.若尔当曲线一定把复平面分为三部分。（）

6.复变函数一定是单值函数。（）

7.arg（1+2i）＞arg(1-2i).( )

8.设f(z)= 1

z−1

,则f(z)在点z=1处一定不连续。（）

9.复数列{z n}n=1∞的极限为z0,则z0一定是复数集合

{z n|n=1,2,…}的聚点。（）

10.复球面上点与扩充复平面上点一定存在一一对应关系。（）

11.lim

Z→0

Z

|Z|

不存在。（）

12.在z平面内，中心为i，半径为1的圆方程为|z-i|=1.（）

二、选择题。

1．当z=1+i

1−i

时，z100+z75+z50的值等于（）。

A.i

B.-1

C.1

D.-1

2.设复数z满足arg(z+2)=π

3

,那么z=（）。

A.-1+√3i B .-√3+i C.-1

2+√3

2

i D.-√3

2

+1

2

i

３.复数z=tanθ-i(π

2

＜θ<π)的三角表示式是（）。

Ａ.secθ[cos（π

２＋θ)＋ｉsin（π

２

＋θ）］

Ｂ. secθ[cos（３π

２＋θ)＋ｉsin（３π

２

＋θ）］

Ｃ．－secθ[cos（３π

２＋θ)＋ｉsin（３π

２

＋θ）］

Ｄ. -secθ[cos（π

２＋θ)＋ｉsin（π

２

＋θ）］

４.若z为非零复数，则|z2−z̅2|与2z z̅的关系是（）。

A.|z2−z̅2|≥2z z̅

B.|z2−z̅2|=2z z̅

C.|z2−z̅2|≤2z z̅

D.不能比较大小。

5.设x,y为实数，z1=x+√11+iy, z2=x−√11+iy,且有|z1|+|z2|=12,则动点（x,y）的轨迹是（）。

A．圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

6.一个复数为1-√3i，则该复数关于x轴对称的复数是（）。

A. 1+√3i

B.1-√3i

C.√3-i

D.√3-i

7.使得z2=|z2|成立的复数z是（）。

A.不存在的

B.唯一的

C.存虚数

D.实数

8.设z为复数，则方程z+|z̅|=2+i的解是（）。

A.−3

4+i B.3

4

+i C.3

4

−i D.− 3

4

−i

9.满足不等式|z-i|≥2的所有点z构成的集合是（）。

A.有界区域

B.无界区域

C.有界闭区域

D.无界闭区域

10.方程|z+2-3i|=√2所代表的曲线是（）。

A.中心为2-3i，半径为√2的圆周

B.中心为-2+3i ，半径为2的圆周

C.中心为-2+3i ，半径为√2的圆周

D.中心为2-3i ，半径为2的圆周

11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ）。

A.|z|=2

B. |z+3|-|z-3|=4

C.|z-1|=1

D. z z ̅+a z ̅+a ̅z+a a ̅-c=0(c ＞0)

12.设f(z)=1-z ̅,z 1=2+3i, z 2=5-i,则f(z 1−z 2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)=( ).

A.-4-4i

B.4+4i

C.4-4i

D.-4+4i

13.设z=x+iy, z 0=x 0+i y 0,则Im()Im()lim

000x x 0y y

z z z z →≠--=（ ）。 A.i B.-i C.0 D.不存在

14.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z 0=z 0=x 0+i y 0处连续的充要条件是（ ）。

A.u(x,y)在（x 0，y 0）处连续

B ．v(x,y)在（x 0，y 0）处连续

C ．u(x,y)和v(x,y)都在（x 0，y 0）处连续

D ．u(x,y)+ v(x,y)在（x 0，y 0）处连续

15.设复数列z n =1n +2n n+2i ,则lim n n z →∞

=( ). A.-2i B.2i C.-i D.i

16.简单曲线是（ ）曲线。

A ．连续 B.光滑 C.无重点的连续 D.无重点的光滑

17.极限lim o

z z f(z)=a 与z 趋于z 0的方式是（ ）。 A ．无关 B.有关 C.不一定有关 D.以上都对

18.设z=cos θ+i cos θ,则|z|=( ).

A.1

B.|cos θ|

C.√2|cos θ|

D. √2

19.区域1＜|z|＜2的边界是|z|=1和|z|=2，则它们的正向是（ ）。

A. |z|=1和|z|=2都是“逆时针”

B.|z|=1和|z|=2都是“ 顺时针”

C.|z|=1是“顺时针”，|z|=2是“逆时针”

D.|z|=1是“逆时针”，|z|=2是“顺时针”

20.函数f(z)=z 2+8

z 3+8不连续点的集合元素的个数是（ ）。

A.1

B.2

C.3

D.4

三、填空题

1.设z=(1+i )(2−i )（3−i)

(3+i )(2+i), 则|z|=____________.

2.设z=(2-3i)(-2+i),则argz=________.

3.设|z|=√5，arg(z-i)=3π4,则z=________.

4.复数（cos 5θ+i sin 5θ）2

（cos 3θ−i sin 3θ）2的指数表示为___________.

5.以方程z 6=7-√15i 的根对应点为顶点的多边形的面积为_____.

6.不等式|z-2|+|z+2|＜5所表示的区域是曲线_______的内部.

7.方程|2z−1−i

2−(1−i)2|=1所表示曲线的直角坐标方程为__________.

8.方程|z+1-2i|=|z-2+i|所表示的曲线是连接点______和_____