三角函数图象变换论文

浅谈三角函数的图象变换

【摘要】：三角函数的图象变换问题,一直是中学数学的重点和难点内容,也是高考必考的热点题型.近年来,各级各类考试命题者不断变换考查的角度,相继推出了许多新颖别致,极富思考性和挑战性的创新题型,给此类问题注入了新的活力.常有学生诉说如下的困惑，这次考试我又将平移方向和平移长度搞错了。下面精选出一些典型例题予以解析,旨在引导同学们探索题型规律,掌握解题方法。

【关键词】：变换问题函数图象三角函数解题方法图象变换典型例题

三角函数的图象是三角函数的概念和性质的直观形象的反映，是研究三角函数的性质的基础。而三角函数的图象的特征和性质，又是通过函数的图象变换反映出来的，因此掌握这一函数图象的变换关系及灵活运用，是分析和解决与三角函数的图象有关的问题的关键。同时，三角函数的图象变换也是历年高考中的常考内容。

下面浅谈三角函数的图象变换。对于这一函数的图象变换，课本上首先分别探索了、ω、a对图象的影响，即得到下面三种基本变换：

1、相位变换：把的图象上所有点向左（当>0时）或向右（当1时）或伸长（当01时）或缩短（当0然后在此基础上，归纳总结出由正弦曲线得到函数的图象的变换过程：

课本对于这一过程的归纳总结，虽然体现了由简单到复杂、由特

殊到一般的化归思想，说明了图象的变换过程，但是学生在学习理解上却存在一定的困难，有相当部分的学生全靠死记硬背，形成思维定势。如果改变图象的变换顺序，即先进行周期变换，再进行相位变换，则容易产生错误。如对于的图象变换，在由变换到后，有些学生错误地认为：只需再将其图象向左或向右平移||个单位，而正确的图象变换应该是向左或向右平移个单位，即函数变换为。相位φ变换实质上就是将函数的图象向左或向右平移．当先作周期变换后作相位变换时，须提出系数ω，这是因为周期变化时改变了x 的值，此时其初相位（非0初相）同时也改变相应得到改变，且改变的倍数相同．当先作相位变换后作周期变换，由于此时x的系数为1，系数提不提无影响，为了统一记忆我们也视为提出系数“1”．因而有“变φ要把系数提”之说。这样就避免了容易发生的错误，有助于分析和解决问题。请看下面的例题。

例1、要得到的图象，只需将函数的图象( )个单位长度（a）向左平移（b）向右平移（c）向左平移（d）向右平移分析：因为，由图象变换可知应将函数的图象向右平行移动，移动单位为，即有，于是选（d）。

变式：要得到的图象，只需将的图象( )个单位长度

（a）向左平移（b）向右平移（c）向左平移（d）向右平移分析：因为，即，所以选（c）。

评注：进行图象变换时应切记无论是哪种变换都是对字母x而言的，注意到这一点就无须担心到底是先作相位变换还是先作周期变

换。

例2、已知函数 ( )的图象如图1所示，那么( )

（a）（b）

（c）（d）

分析：由图象可知：又,

所以，于是选（c）。

评注：①此题牵涉到三角函数的性质、图象及其变换，要解决它需要综合应用这些知识；

②数形结合是数学中重要的思想方法，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。

例3、为了得到函数的图象，只需将的图象（）

（a）向左平移（b）向左平移（c）向右平移（d）向右平移解：因为，又题中变换与图象变换相逆，因此方向应向右，平移单位为：，所以应选（d）。

变式：将的图象沿x轴向右平移个单位长度，再保持图象上每个点的纵坐标不变，而横坐标伸长为原来的2倍，得到的曲线与相同，则是( )

（a）（b）

（c）（d）

解：将图象上的每个点的纵坐标不变，而横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，再将此图象向左平移个单位得到

，即，选（c）。

评注：图象变换的过程是可以互逆的。例题3及其变式的设计有助于培养学生的逆向思维能力，开阔学生的视野，做到举一反三，加深对知识的理解。

总之，为了让学生充分理解和完全掌握三角函数的图象变换，我们在设计相关题组时，可以对自变量x进行变化，可以对函数的解析式进行变化，还可以对变换过程的顺序进行变化。三角函数图象的周期、振幅、相位等变换的问题是历年高考中常考查的内容。对此类命题的求解，无论三种变换怎样摆设，先要弄清哪是原函数的图象，哪是新函数的图象，再根据三角函数的图象变换规律，很快就可得到解决。

参考文献：

熊道军．三角函数的图象变换

王勇．独具魅力的三角函数图象变换问题

王学忠．三角函数的图象变换的教学与评析