状态反馈控制器设计习题
自动化专业06级《现代控制理论》试卷答案精选全文完整版
自动化专业06级《现代控制理论》试卷答案一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。
（ √ ）1. 相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显著优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计。
（ √ ）2. 传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。
（ × ）3. 状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都是具有物理意义。
（ × ）4. 输出变量是状态变量的部分信息，因此一个系统状态能控意味着系统输出能控。
（ √ ）5. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。
（ × ）6. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。
（ × ）7. 一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。
（ √ ）8. 若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。
（ × ）9. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。
（ × ）10. 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。
二、（15分）建立一个合理的系统模型是进行系统分析和设计的基础。
已知一单输入单输出线性定常系统的微分方程为：)(8)(6)()(3)(4)(t u t u t u t y t y t y++=++&&&&&& （1）采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；（7分＋3分） （2）归纳总结上述的实现过程，试简述由一个系统的n 阶微分方程建立系统状态空间模型的思路。
（5分） 解：（1）方法一：由微分方程可得345213486)(222++++=++++=s s s s s s s s G令352113452)(21++⋅+=+++=s s s s s s s G 每一个环节的状态空间模型分别为：⎩⎨⎧=+−=1111x y u x x & 和 ⎩⎨⎧+−=+−=1212223u x y u x x&又因为11y u =， 所以⎩⎨⎧−=+−=212113x x x u x x&&， 212x x y −= 因此，采用串联分解方式可得系统的状态空间模型为：u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0131012121&& []u x x y +⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=2112对应的状态变量图为：方法二： 由微分方程可得32143486)(22++⋅++=++++=s s s s s s s s s G 每一个环节的状态空间模型分别为：⎩⎨⎧+=+−=u x y u x x 11113& 和 ⎩⎨⎧+−=+−=121223u x y u x x&又因为11y u =， 所以⎩⎨⎧+−=+−=ux x x u x x2121133&&， u x x y +−=213 因此，采用串联分解方式可得系统的状态空间模型为：u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1133012121&& []u x x y +⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=2113对应的状态变量图为（2）单输入单输出线性时不变系统传递函数的一般形式是1110111)(a s a sa sb s b s b s b s G n n nn n n n +++++++=−−−−L L若，则通过长除法，传递函数总可以转化成0≠n b )(s G d s a s c d a s a s a s c s c s c s G n n n n n +=++++++++=−−−−)()()(01110111L L 将传递函数c (s )/a (s )分解成若干低阶(1阶)传递函数的乘积，然后根据能控标准型或能观标准型写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写出原来系统的状态空间模型。
现代控制理论试卷答案3套
现代控制理论试卷 1一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打×(1)用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。
（）(2)线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的能观性不变。
（）(3)若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。
（）(4)状态反馈不改变被控系统的能控性和能观测性。
（）(5)通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时能控和能观的。
（）二、（12分）已知系统1001010,(0)00121x x x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()x t.三、(12分) 考虑由下式确定的系统：2s+2(s)=43Ws s++，求其状态空间实现的能控标准型和对角线标准型。
四、（9分）已知系统[]210020,011003x x y⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？五、(17分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性.[]xy u x x 11103211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=六、（17分）已知子系统1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求出串联后系统的状态模型和传递函数.七、（15分）确定使系统2001020240021a x x u b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦为完全能控时，待定参数的取值范围。
八、（8分）已知非线性系统 ⎩⎨⎧--=+-=2112211sin 2x a x xx x x试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。
现代控制理论 试卷 1参考答案一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1) 用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。
状态反馈和状态观测器习题与解答
第6章 “状态反馈和状态观测器”习题与解答6.1 判断下列系统能否用状态反馈任意地配置特征值。
1) 121310⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x u2) 100100210100200⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x x u解 1) []1103⎡⎤==⎢⎥⎣⎦c u b Ab ，秩2c u =，系统完全能控，所以可以用状态反馈任意配置特征值。
2) 2101010010204000000⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦c u bAbA b ，秩2c =u ，系统不完全能控，所以不能通过状态反馈任意配置特征值。
6.2 已知系统为122331233xx xx xx x x u ===---+试确定线性状态反馈控制律，使闭环极点都是3-，并画出闭环系统的结构图。
解 根据题意，理想特征多项式为*332()(3)92727s s s s s α=+=+++ 010*********u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦x =x + 令[]123u k k k =-x ，并带入原系统的状态方程，可得123010001131313k k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥------⎣⎦x x 其特征多项式为32321()(13)(13)(13)s s k s k s k α=++++++，通过比较系数得3139,k += 21327,k += 31327,k +=即，1263k =，2263k =，183k =，26268333u x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦。
闭环系统的结构图：6.3 给定系统的传递函数为1()(4)(8)G s s s s =++ 试确定线性状态反馈律，使闭环极点为2 4 7---，，。
解 根据题意，理想特征多项式为*32()(2)(4)()1350567s s s s s s s α=+++=+++由传递函数 3211()(4)(8)1232g s s s s s s s==++++可写出原系统的能控标准形01000010032121u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦x =x +令[]123u k k k =-x ，并带入原系统的状态方程，可得1230100013212k k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦x x其特征多项式为32321()(12)(32)3s s k s k s k α=+++++通过比较系数得156,k =23250,k += 31213,k +=即 156,k =218,k =31k =。
现代控制理论实验五、状态反馈控制器设计河南工业大学
河南工业大学《现代控制理论》实验报告专业: 自动化 班级: F1203 姓名: 蔡申申 学号:201223910625完成日期：2015年1月9日 成绩评定:一、实验题目：状态反馈控制器设计二、实验目的1. 掌握状态反馈和输出反馈的概念及性质。
2. 掌握利用状态反馈进行极点配置的方法。
学会用MATLAB 求解状态反馈矩阵。
3. 掌握状态观测器的设计方法。
学会用MATLAB 设计状态观测器。
三、实验过程及结果1. 已知系统u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111100020003.[]x y 3333.02667.04.0= （1）求解系统的零点、极点和传递函数，并判断系统的能控性和能观测性。
A=[-3 0 0;0 2 0;0 0 -1];B=[1;1;1];C=[0.4 0.266 0.3333];[z p k]=ss2zp(A,B,C,0)系统的零极点：z =1.0017-1.9997p =-3-12k =0.9993[num den]=ss2tf(A,B,C,0)num =0 0.9993 0.9973 -2.0018den =1 2 -5 -6系统的传递函数：G1=tf(num,den)G1 =0.9993 s^2 + 0.9973 s - 2.002-----------------------------s^3 + 2 s^2 - 5 s - 6Continuous-time transfer function.Uc=ctrb(A,B); rank(Uc)ans =3满秩，系统是能控的。
Vo=obsv(A,C); rank(Vo)ans =3满秩，系统是能观的。
（2）分别选取K=[0 3 0]，K=[1 3 2]，K=[0 16 /3 –1/3]（实验中只选取其中一个K为例）为状态反馈矩阵，求解闭环系统的零点、极点和传递函数，判断闭环系统的能控性和能观测性。
不确定切换中立时滞系统状态反馈控制器设计
摘 要 ： 研 究 了具 有 两 类 不 确 定 性及 区 间 时 变 时 滞 切 换 中立 系 统 的 控 制 器 设 计 问 题 。 基 于 平 均 驻 留 时 间方 法 ， 用 分 段 Ｌ ａ ｕ ｏ －Ｋｒｓｖ ｋｉ 函 ， 线 性 矩 阵 不 等 式 形 式 得 到 了依 赖 于 区 间 时 滞 的控 制 器 设 计 的 充 分 条 利 ｙｐ ｎ ｖ ａｏ ｓｉ泛 以
不 确 定 切 换 中立 时 滞 系统 状 态 反馈 控 制器 设 计
王 立敏 ，宋 岱 才 ，白 静
（． 宁石 油 化 工 大 学 理 学 院 ， 宁 抚 顺 １ ３ ０ ； ． 山火 炬 职 业 技 术 学 院 ， 东 中 山 ５８ ３ ） １辽 辽 １０ １ ２ 中 广 ２ ４ ６
Ｗ ＡＮＧ — ｍ ｉ ＯＮＧ ｉ ｃ ｉ，Ｂ ｉｇ Ｌｉ ｎ ，Ｓ Ｄａ— ａ ＡＩＪｎ
（ ． ｏ ｌｇ ｆ ｃｅ ｃｓ １ Ｃ ｌｅ ｅｏ Ｓ ｉｎ ｅ ，Ｌｉｏ ｉｇ Ｓ ｉｕ ｉｅ ｓｔ ａ ｎｎ ｈ ｈ ａ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ，Ｆｕ ｈ ｎＬｉｏ ｉｇ １ ３ ０ ，Ｐ． Ｃｈｎ ｓｕ ａｎｎ １ ０ １ Ｒ． ｉ ａ；
Ｄｅ ｉ ｎ ｏ ｔ ｔ ｅ ｂ ｃ ｎ ｒ ｌ ｒ ｆ ｒ Ｕｎ ｅ ｔ ｉ ｗｉｃ ｅ ｓｇ ｆＳ ａ ｅ Ｆｅ ｄ ａ ｋ Ｃｏ ｔ ｏ ｌ ｏ ｃ ｒ ａｎ Ｓ ｔ ｈ ｄ ｅ Ｎｅ ｔ ａ ｙ ｔ ｍ ｓＷ ｉｈ Ｔｉ ｅ Ｖａ ｙ ｎ ｌ ｙ ｕ ｒ ｌＳ ｓ ｅ ｔ ｍ — ｒ ｉ ｇ Ｄｅａ ｓ
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Ｓ ａ ｉ ｚ ｔ ｎ Ａｖ ｒ ｇ ｗｅｌ ｔｍｅ Ｄｅ ａ ｔｂｌ ａｉ ； ｉ ｏ ｅａｅ ｄ ｌ ｉ ； ｌ ｙ— ｒ ｎ ｅ— ｄ ｐ ｎ ｅ ｔ Ｌｉ ｅ ｒ ｍａ ｒｘ ｉ ｅ ｕ ｌ ｉｓ Ｓ ｔ ｈ ｄ ｅ ｔａ ａｇ ｅ ｅ ｄ ｎ ； ｎ ａ ｔ ｉ ｎ ｑ ａｉ ｅ ； ｗｉ ｅ ｎ ｕ ｒ ｌ ｔ ｃ
PID控制器与状态反馈控制器MATLAB教学实例设计
PID控制器与状态反馈控制器MATLAB教学实例设计作者：张栋来源：《教育教学论坛》2015年第04期摘要：为解决控制理论授课过程中PID控制器与状态反馈控制器设计的区别与联系，本文设计了一个MATLAB/SIMULINK仿真教学实例，便于学生深入理解与掌握教学过程中的基本理论与方法。
关键词：PID控制器；状态反馈；观测器；参数整定中图分类号：G642.1 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）04-0165-02一、引言PID控制器设计与状态反馈控制器两类控制器[1，2]相同之处为二者均属于反馈控制，因此在实际使用中，都需考虑闭环系统的稳定性；两类控制器最主要的相异之处为二者闭环系统极点的配置灵活性不同： PID控制器属于输出反馈，只能将闭环极点配置到闭环系统的根轨迹上；而状态反馈控制器在被控系统状态完全可控的条件下，可以将闭环极点任意配置。
本文利用MATLAB与SIMULINK仿真设计了一个实例，对同一个被控对象进行PID控制器设计与基于观测器的状态反馈控制器设计，将教学过程中较深刻的控制器设计理论用最直观的方式体现出来，利于学生的理解与掌握。
二、仿真实例设计选取被控对象微分方程数学模型如下：三种控制器下，单位阶跃响应曲线如图2所示。
在MATLAB中输入如下代码：G=tf（[2.93*6 23.898*6 48.721*6]，[1，6，41，7，0]）%计算带有PID控制器的控制系统前向通道传递函数；rlocfind（G）%当K=1时，从根轨迹取相应闭环极点；rlocus（G）%绘制闭环系统根轨迹图；（（a）闭环系统根轨迹图（根轨迹增益为1时的某一根）；（b）PID控制器参数取某一数据时，闭环系统在根轨迹上的落点上。
）代码运行结果（图3）显示具有PID控制器的闭环系统闭环极点为-1.4771+6.3688i，-1.4771-6.3688i，-1.5229+2.1260i，-1.5229-2.1260i，一定落在该系统的根轨迹上。
状态反馈控制器设计
第五章 状态反馈控制器的设计题目：系统结构图如下图所示：要求：闭环系统的输出超调量σ≤5%，峰值时间t p ≤0.5s 。
分别求出开环、PID 闭环、状态反馈闭环、PID/状态反馈闭环的单位阶跃响应，并分析相应曲线得出结论。
1．开环系统单位阶跃响应图 1 开环系统仿真模型0.0.0.0.1.1.仿真时间（s ）阶跃响应图2 开环系统单位阶跃响应分析：由图中的响应曲线可知开环系统不稳定，通过开环传递函数G K （s ）=3211872s s s++也可以判断出开环系统不稳定。
2．闭环传递函数及其单位阶跃响应（1）闭环传递函数G B (s)=32118721s s s +++，特征根分别为λ1=-12.0138，λ2=-5.9722，λ3=-0.0139。
（2）闭环传递函数仿真模型及其单位阶跃响应曲线见图3、图4。
图3 闭环传递函数仿真模型图4 闭环传递函数单位阶跃响应分析：响应曲线表明，系统是稳定的，但是系统的响应时间太长，远达不到要求。
3．加入PID控制器，并进行参数整定后的单位阶跃响应图 5 PID控制仿真模型其中参数设置为：K p =256.8 ，K i =0.2，K d=23.2。
图6 PID 闭环控制输出波形图分析：通过Workspace 数据查询可知峰值时间tp=0.98686s ，最大输出值为1.0485，所以超调量为4.85%，满足要求，峰值时间达不到要求。
4．加入状态反馈控制器的单位阶跃响应图7 状态反馈控制仿真模型其中H1 到H3依次为10000、284.8、96.1。
0.0.0.0.1.-4t i m e(sec)O u t p u t图8 状态反馈控制单位阶跃响应分析：通过Workspace数据查询可知峰值时间tp=0.4492s，最大输出值为1.0449，所以超调量为4.49%，满足性能指标要求。
5．状态反馈/PID控制的单位阶跃响应图9 状态反馈/PID控制仿真模型其中PID参数设置为：K p =1.05 ，K i =0.01，K d=0；状态反馈控制H1 到H3依次为10000、284.8、96.1。
（完整版）状态反馈控制器的设计
（完整版）状态反馈控制器的设计上海电⼒学院实验报告⾃动控制原理实验课程题⽬：状态反馈控制器的设计班级：姓名：学号：时间：⼀、问题描述已知⼀个单位反馈系统的开环传递函数为，试搭建simulink 模型。
仿真原系统的阶跃响应。
再设计状态反馈控制器，配置系统的闭环极点在，并⽤simulink 模型进⾏仿真验证。
⼆、理论⽅法分析MATLAB提供了单变量系统极点配置函数acker (),该函数的调⽤格式为K=place ( A，b，p)其中，P为期望闭环极点的列向量，K为状态反馈矩阵。
Acker ()函数时Ackerman 公式编写，若单输⼊系统可控的，则采⽤状态反馈控制后，控制量u=r+Kx 。
对于多变量系统的状态反馈极点配置，MATLAB也给出了函数place ()，其调⽤格式为K=place ( A，B，P)状态反馈是将系统的状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输⼊端与参考输⼊叠加形成控制量，作为受控系统的输⼊，实现闭环系统极点的任意配置，⽽且也是实现解耦和构成线性最优调节器的主要⼿段。
只要给定的系统是完全能控且能观的，则闭环系统的极点可以通过状态反馈矩阵的确定来任意配置。
这个定理是⽤极点配置⽅法设计反馈矩阵的前提和依据。
在单输⼊，单输出系统中，反馈矩阵有唯⼀解，且状态反馈不改变系统的零点。
三、实验设计与实现1、搭建原系统的sumlink模型并观察其单位阶跃响应原系统sumlink模型原系统单位阶跃响应由原系统单位阶跃响应可知系统不稳定2、⽤极点配置法设计状态反馈控制器①利⽤matlab计算系统的状态空间模型的标准型>> a=[10];b=[1 5 6 0];[A B C D]=tf2ss(a,b)A = -5 -6 01 0 00 1 0B = 1C = 0 0 10③系统能控性矩阵>> uc=ctrb(A,B)uc = 1 -5 190 1 -50 0 1 >> rank(uc) ans = 3 所以系统完全能控③系统能观型矩阵>> vo=obsv(A,C) vo = 0 0 100 10 010 0 0 >> rank(vo) ans = 3 所以系统完全能观所以可以⽤极点配置法设计状态反馈控制器④求解系统反馈矩阵>> p=[-3 -0.5+j -0.5-j];k=acker(A,B,p)k = -1.0000 -1.7500 3.7500 加⼊反馈后的系统闭环极点为：>>sysnew=ss(A-B*k,B,C,D);pole(sysnew)ans = -3.0000-0.5000 + 1.0000i-0.5000 - 1.0000i⑤搭建加⼊反馈控制器后系统的sumlink模型⑥观察新系统的单位阶跃响应四、实验结果分析加⼊反馈控制器后系统的闭环极点在，符合题⽬要求。
极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理
这两个多项式的系数相等，可得出：
0 0
1
1
n n1
i中含F阵系数fij
当F阵为1 n时
n个方程可解n个系数 fi
(i 1,2,...,n)
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
设系统期望的闭环极点为s1、s2、sn ,则其
闭环特征式为s s1 s s2 s s3 s sn
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
ห้องสมุดไป่ตู้
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
s
1
0
0
0
0
s
1
0
0
0
0
0
s
1
a0 f1 a1 f2 a2 f3 an2 fn1 an1 fn s
sn (an1 fn )sn1 a1 f2 s a0 f1
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
解：
系统能控。
举例----求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
设： F f1 f2
F 7 1
w
u+
x2 ∫
--
++ -5
x2 x1
∫ x1
-
F 7 1
1
+
2
+
y
-6 1
7
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
试求：（1）求状态反馈矩阵F使闭环系统有期望 极点s1,2=-3±2j; (2)绘制带有状态反馈控制器的状态变量图
现代控制理论习题解答(第五章)
第五章 状态反馈和状态观测器3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。
(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。
)(t y题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：[]x y u x x 10112101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 23111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c U rank U系统能控，可以设计状态反馈阵。
设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kx r u -= 求希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求加入反馈后的系统特征多项式：)22()3()(1212k s k k s bK A sI s f ++-++=+-=依据极点配置的定义求反馈矩阵：]1316[131634)22(6)3(21112=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-K k k k k k 方法二：[][][]1316)346(311110)(*10211=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--I A A A f U K c方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发） 求系统传递函数写出能控标准型：2321)111()()(2++-=+-+=s s ss s s U s Y []xy u x x 10103210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 求系统希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求状态反馈矩阵K ~：[][][]33236234~21=--==k k K [][][][]5.05.031111010111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--Ab bP⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=105.05.011A P P P []1316~==P K K【解】：依据系统传递函数写出能控标准型ss s s s s s U s Y 2310)2)(1(10)()(23++=++= []x y u x x 0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：464]1)1)[(2()(*232+++=+++=s s s s s s f求状态反馈矩阵：[][][]144342604321=---==k k k K 。
现代控制理论状态反馈控制器设计
取k=1，则
⎡0 − 1⎤ ⎡ p1 ⎢ 1 0⎥ ⎢ p ⎦⎣ 2 ⎣ p 2 ⎤ ⎡ p1 +⎢ ⎥ p3 ⎦ ⎣ p 2 p 2 ⎤ ⎡ 0 1⎤ ⎡ p1 − 2 ⎢p ⎥ ⎢ p3 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣− 1 0⎦ p 2 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ p1 [ 0 1 ] ⎢p ⎢ ⎥ p3 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣1⎦ p 2 ⎤ ⎡1 0⎤ =0 +⎢ ⎥ ⎥ p 3 ⎦ ⎣0 1 ⎦
AT P + PA − 2kPBB T P + I = 0
（黎卡提矩阵方程）
优点：若对给定的常数 k 0 ，以上矩阵方程有解，则对
u = − kB T Px 都是系统的稳定化控制律。 任意的 k ≥ k 0 ，
结论：正无穷大的稳定增益裕度！ 例 设计系统的一个稳定化状态反馈控制律
&1 ⎤ ⎡ 0 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡x =⎢ + ⎢ ⎥u ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ & 2 ⎦ ⎣− 1 0⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣1⎦
现代控制理论
Modern Control Theory
状态反馈控制器设计
状态反馈控制器设计
9 建立了状态空间模型 9 提出了基于状态空间模型的运动分析 9 探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 认识世界 ⇒ 如何来改变世界？！ 设计控制系统！ 开环控制、闭环控制 经典控制中，用系统输出作为反馈控制器的输入； 根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈
dV ( x ) dt = x T ( AT P + PA) x − 2kx T PBB T Px = x T ( AT P + PA − 2kPBB T P ) x
若矩阵P满足
AT P + PA − 2kPBB T P = − I
状态反馈
+αn
（28.10）
∏ (λ − μ ) = λ
i i =1
n
n
+ α 1λ n −1 +
+ α n = α d (λ )
（28.11）
如果 u = Fz ，且 F 为行向量
~ ~ F = f1
那么
[
~ fn
]
~ − α1 + f 2 0 1 ~ − α1 + f n ⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
28.2 状态反馈
对于状态反馈，测量所有的状态变量。从而对象形式为 ( A, B, I , 0 ) ――此处为了简单 忽略了输入前馈矩阵 D， 因为考虑它只会带来符号的复杂而对结果没有影响。 该对象形式意 味着输出方程式就是简单的 y = x 。 （许多应用中，直接测量系统所有的状态变量是不可能 的或者是不实际的。输出反馈将在章节的后面讨论。 ） 现在进一步验证状态反馈。设控制量 u 表示为 u = Fx + v ，其中 F 为一个常数矩阵， v 是外部输入。 这就对应了 LTI 系统的状态反馈。 结合该控制准则和 n 阶对象状态空间描述， 即 n 阶对象为：
（28.12）
~ ⎡− α 1 + f1 ⎢ 1 ~ ~~ ⎢ A + bF = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
显然， 只需简单地选择 fi = −α i + α i ， i = 1,
d
d 就能得到期望的闭环特征多项式 α ( λ ) 。 ,n ，
通过这样的变换，就可以使特征值位于期望的位置。现在，为了利用相似变换和 F ， 必须找到 F ,从而使 A + bF 有相同的特征值。由于 u = Fz 以及 x = Tz ， u = FT −1 x ，于是 定义出 F = FT
电路分析状态反馈列题
【例9.43】 已知系统传递函数()(1)KG s s s =+，引入状态反馈后的系统变量图如9.14所示。
图9.14 例9.43图等效地，可变换成如图9.15所示的结构图。
图9.15 图9.14等效变换图上图所示系统的开环传递函数为()21()(1)KG s k s k s s ′=++ (9.171)由式(9.171)易知，与原系统相比，引入状态反馈后闭环系统的开环传递函数等效地增加了一个开环零点12s k k =−。
选择不同的12,k k ，则开环零点的位置也会不同，于是引起闭环根轨迹的改变（如图9.16所示），根据需求就能做到极点的任意配置。
图9.16 状态反馈引起的闭环根轨迹的变化上例是针对一个二阶系统所作的分析，经过简单的拓延，很容易对一般性的n 阶系统得出相ryKk 1k 2ryKk 1s +k 2－k 1/k 2－1j j－1同的结论：在n 阶系统引入状态反馈后，相当于引入了()1n −个开环零点，其位置由状态反馈增益矩阵K 决定，改变系统的闭环根轨迹，从而进行极点的任意配置。
【例9.44】设受控系统传递函数为10()(1)(2)G s s s S =++试用状态反馈使闭环极点配置在－2，－1±j 。
解：传递函数无零，极点对消，所以该系统可控。
该系统的可控标准型实现为：u x x x x x x+ −−= 100320100010321321 []x y 0010=设状态反馈矩阵为 []123K k k k =则，状态反馈系统特征方程[]123000100()000010000231I A BK k k k λλλλ−−=−+ −−0)2()3(01223=+++++=k k k λλλ给定闭环极点的系统特征方程：0464)1)(1)(2(23=+++=−++++λλλλλλj j根据两特征方程同次项系数相等的条件，得： 334k += 226k += 14k = 可求出由x 1，x 2，x 3引出的反馈系数为：即： 14k =， 24k =， 31k =状态反馈系统的状态变量图如图9.17所示，图中虚线部分为受控系统。
状态反馈控制器与状态观测器
测控系统课程设计题目:状态反馈控制器与状态观测器——方案B1 2院（系）机电及自动化学院专业测控技术与仪器（辅助）学号姓名级别 2 0 0 9指导老师2012年6月摘要在经典控制系统设计中，对于一个简单的SISO （单输入单输出）闭环系统而言，控制器部分只有简单的增益环节c K ，因此系统仅有唯一的控制参数c K 可供调整。
对于N 维控制系统，控制器需要至少N 个独立变量来调整系统所需根极点的位置，状态反馈控制器则可以将系统的所有状态变量X 都进行反馈，将系统的根极点调整到需要的位置。
而状态反馈控制的实现前提就是要求系统的所有状态变量可测，此时，利用系统某种数学形式的仿真来估计状态值，即系统的状态观测设计，就可以保证系统带全观测的状态反馈控制顺利实现。
本文主要介绍了带全观测器的状态反馈控制器。
关键词：状态反馈，状态观测AbstractThe classical control system design, for a simple SISO (SISO) closed loop system, a controller part is only the simple gain link, therefore only one control parameter can be adjusted. For the N control system, the controller needs at least N independent variable to adjust the system required root pole position, a state feedback controller can be a system of all state variables in X feedback, the system root poles are adjusted to the needs of the location of. While the state feedback control is the premise requirement system realizes all the state variables can be measured, this time using a mathematical form, system simulation to estimate the state value, namely the system state observer design, can guarantee system with full state feedback control for the smooth realization of observation. This paper mainly introduces the observer-based state feedback controller.Key words : state feedback, state observer目录1. 状态反馈控制器 ................................................................................................... - 4 -1.1状态反馈的定义 ................................................................................................ - 4 -1.2状态反馈控制器 ................................................................................................ - 4 -1.3完全可控性........................................................................................................... - 5 -1.4状态反馈控制器的极点配置...................................................................... - 6 -2.状态观测器设计 ...................................................................................................... - 7 -2.1系统状态观测器定义...................................................................................... - 7 -2.2完全可观性........................................................................................................... - 9 -2.3观测器增益的确定 ......................................................................................... - 10 -3.带全观测器的状态反馈控制 ...................................................................... - 10 -3.1仿真程序及分析 .............................................................................................. - 10 -3.2程序运行结果.................................................................................................... - 12 -4.学习小结....................................................................................................................... - 13 - 参考文献 ........................................................................................................................... - 13 -1. 状态反馈控制器1.1状态反馈的定义经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入； 现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征，故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。
现代控制理论试习题(详细答案
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 12。
…..233118x x x x y x ==--=010080x ⎡⎢=⎢⎢-⎣分） 00⎣(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分）2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎤⎡⎤⎡110C 1分）0140x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=-8181881C U ……..…………..…….…….（1分） 11188P ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦……..………….…..…….…….（1分） ⎦⎤⎢⎣⎡=43412P ……..………….…...…….…….（1分）1314881148P -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦..………….…...…….…….（1分） 101105C A PAP -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1011 43418181Pb b C ……….…...…….…….（1分）1分） 解（3分） 3分）2分）（81分）11121112221222420261p p p p p ⎪-+=⎨⎪-=-⎩………...……....…….…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩………...…………....…….…….（1分）1112122275485388p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦...…………....…….…….（1分） 111211122275717480 det det 05346488p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦………...（1分） P 正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.………（1分）八、给定系统的状态空间表达式为1010x --⎡⎢=-⎢⎢⎣2322213332223321(21)3313332(3)(26)64E E E E E E E E E E E λλλλλλλλλλ=+++++++++++++=+++++++++ -- 2分 又因为 *32()331f λλλλ=+++ ------- 1分列方程32123264126333E E E E E E +++=++=+= ----- 2分1232,0,3E k E =-==- ----------- 1分观测器为10312ˆˆ0110010113x x u y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦------- 1分 方法 2λ⋅分 分分分10ˆ0110x -⎡⎢=-⎢⎢⎣九 分） 1200A tAt A t e e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭1A t t e e =…………………………..……….（1分） 11210()12s sI A s ---⎛⎫-= ⎪--⎝⎭101111212s s s s ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪---⎝⎭………..……….（1分）(){}2112220t A t t t t e e L sI A e ee --⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭……….…（1分）()112200000t At tt tt e e L sI A e e e e --⎛⎫ ⎪⎡⎤=-= ⎪⎣⎦ ⎪-⎝⎭……….……….（2分） 222001000001t t tt t t t e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………..……….（2分）一、（（ × （ × （ √ （ √二、（的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。
状态反馈控制器的设计
状态反馈控制器的设计状态反馈控制器是一种常见的控制器设计方法，用于调节系统的动态响应和稳定性。
它通过测量系统的输出和状态，并将这些信息与期望输出进行比较，来计算出控制器的控制输入。
接下来，我将介绍状态反馈控制器的基本原理、设计步骤和两个常见的设计方法。
状态反馈控制器的基本原理是基于系统的状态反馈，即通过系统的状态变量来进行控制。
在状态反馈控制器的设计中，首先需要确定系统的状态方程或状态空间表达式。
状态方程描述了系统的状态变化关系，通常使用微分方程或差分方程表示。
状态空间表达式则是将系统的状态方程转换为矩阵形式，以便于计算和分析。
设计一个状态反馈控制器包括以下步骤：1.系统建模：首先需要建立系统的数学模型，确定系统的输入、输出和状态变量。
这可以通过物理建模、数学建模或实验数据分析等方法来完成。
系统的模型可以是连续时间模型，也可以是离散时间模型。
2.系统稳定性分析：通过分析系统的特征值或极点，判断系统的稳定性。
如果系统的特征值都位于单位圆内或实部小于零，则系统是稳定的。
3.设计目标确定：根据系统的性能要求和目标，确定设计的指标，例如系统的快速响应、稳定性、误差补偿等。
4.控制器设计：根据系统的状态方程和控制目标，使用控制理论和方法，设计控制器的增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法和最优控制方法。
5.系统闭环仿真：将设计好的控制器与系统模型相连，进行闭环仿真，检验系统在不同工况和干扰下的响应性能。
可以通过调整控制器的参数来优化系统的性能。
接下来，我将介绍两种常见的状态反馈控制器设计方法：极点配置法和最优控制方法。
1.极点配置法：该方法通过选择恰当的状态反馈增益矩阵，使系统的极点移动到预定位置。
首先需要确定期望的系统极点位置，然后使用反馈增益矩阵的公式进行计算和调整。
极点配置法的优点是设计简单，但对系统的模型和性能要求较高。
2.最优控制方法：该方法是基于最优控制理论，对系统的控制性能进行优化设计。
最优控制方法通常需要确定一个性能指标，例如系统的能量消耗、误差最小化等，然后使用最优化算法来计算最优的控制器增益矩阵。
状态反馈控制系统的设计与实现
控制工程学院课程实验报告:现代控制理论课程实验报告实验题目：状态反馈控制系统的设计与实现班级自动化（工控）姓名曾晓波学号2009021178 日期2013-1—6一、实验目的及内容实验目的:(1 ）掌握极点配置定理及状态反馈控制系统的设计方法；（2 ）比较输出反馈与状态反馈的优缺点;（3 ）训练Matlab程序设计能力。
实验内容：(1 )针对一个二阶系统,分别设计输出反馈和状态反馈控制器；（2 ）分别测出两种情况下系统的阶跃响应；（3 )对实验结果进行对比分析。
二、实验设备装有MATLAB的PC机一台三、实验原理一个控制系统的性能是否满足要求，要通过解的特征来评价，也就是说当传递函数是有理函数时,它的全部信息几乎都集中表现为它的极点、零点及传递函数。
因此若被控系统完全能控，则可以通过状态反馈任意配置极点,使被控系统达到期望的时域性能指标。
闭环系统性能与闭环极点(特征值）密切相关，在状态空间的分析和综合中，除了利用输出反馈以外，主要利用状态反馈来配置极点,它能提供更多的校正信息.(一) 利用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统可控。
设SIMO （Single Input —Multi Output ）受控系统的动态方程为状态向量x 通过状态反馈矩阵k ，负反馈至系统参考输入v ，于是有这样便构成了状态反馈系统，其结构图如图1-1所示图1—1 SIMO 状态反馈系统结构图状态反馈系统动态方程为闭环系统特征多项式为()()f I A bk λλ=-+ （1—2) x b v u 1s C A k-y x设闭环系统的期望极点为1λ，2λ，…，n λ，则系统的期望特征多项式为)())(()(21*n f λλλλλλλ---= （1—3） 欲使闭环系统的极点取期望值，只需令式（1—2)和式（1-3）相等,即)()(*λλf f = (1-4） 利用式（1-4）左右两边对应λ的同次项系数相等,可以求出状态反馈矩阵 []n k k k 21=k(二) 对线性定常连续系统∑(A ，B ,C ），若取系统的输出变量来构成反馈,则所得到的闭环控制系统称为输出反馈控制系统。
现代控制理论试题(详细答案)-现控题目
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）12233131835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分）[]100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。
线性时不变系统的状态反馈控制器设计
线性时不变系统的状态反馈控制器设计前言前面一篇博客介绍了基于状态空间模型的系统分析。
本篇博客将针对线性时不变系统，基于状态空间模型并根据系统的性能要求来设计控制系统。
一个系统的控制方式有开环控制和闭环控制。
开环控制指的是把一个确定的控制信号（关于时间的函数）加到系统的输入端，使得系统具有其中一种期望的性能，如稳定的跟踪一些参考输入或者使系统的状态达到一些特定值，等等。
上一篇博客讲的系统的能控性就是利用了开环控制，即存在一个特定的控制作用（开环控制）使得系统在有限时间内，从初始状态转移到零状态。
然而，由于建模存在的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素，使得我们没办法获得实际物理系统的真实动态方程，我们能得到的仅仅是粗略的低阶的名义模型或有时又称标称模型。
因此在对实际系统的控制过程中，若不能根据系统当前的运行状况及时修改系统的行为，而仍按照名义模型设计的开环控制作用会使得实际系统产生一些意想不到的情况，很难使实际物理系统按我们原先所期望的方式运行。
因此，我们必须根据系统的运行状况实时地来确定控制信号而不是采用预先设计好的控制信号，这就是反馈控制（feedback control）。
在经典控制理论中，我们依据描述对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统的可测量输出作为反馈信号。
而现代控制理论则是用刻画系统内部特征的状态空间模型来描述对象，出了可测量的输出信号外，还可以用系统的内部状态来作为反馈信号。
根据可利用的信息是系统的输出还是状态，相应的反馈控制可分为输出反馈和状态反馈。
本篇博客以状态空间模型描述的线性时不变系统为研究对象，介绍状态反馈控制器的一些设计方法。
首先介绍反馈控制的种类、结构及其对系统性能的影响。
进而介绍改善系统动态性能的极点配置方法，提出极点配置状态反馈控制律的设计算法。
针对极点配置方法可能影响系统稳态性能的问题，介绍了实现精确跟踪的控制系统设计方法。
线性反馈控制系统控制系统结构控制系统由被控对象和控制器（controller）两部分组成。
状态反馈控制器设计习题
Chapter5 状态反馈控制器设计控制方式有“开环控制”、“闭环控制”。
“开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种期望的性能。
然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制”。
在经典控制理论中，我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。
通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性。
利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求。
参见138P 例5.3.3，通过状态反馈的极点配置，使闭环系统的超调量%5≤p σ，峰值时间（超调时间）s t p 5.0≤，阻尼振荡频率10≤d ω。
5.1 线性反馈控制系统的结构与性质设系统),,(C B A S =为 Bu Ax x+= Cx y = （5-1）图5-1 经典控制-输出反馈闭环系统经典控制中采用输出(和输出导数)反馈（图5-1）：v Fy u +-= F 为标量，v 为参考输入 （5-2）Bv x BFC A v Fy B Ax Bu Ax x+-=+-+=+=）（）（ 可见，在经典控制中，通过适当选择F ，可以利用输出反馈改善系统的动态性能。
现代控制中采用状态反馈（图5-1）： v Kx u +-=，n m K ⨯~ （K 的行=u 的行，K 的列=x 的行）称为状态反馈增益矩阵。
状态反馈后的闭环系统),,(C B A S K K =的状态空间表达式为Bv x A Bv x BK A xK +=+-=)( Cx y = （5-3） 式中： BK A A K -≡ （5-4）图5-2 现代控制-状态反馈闭环系统若FC K =，“状态反馈”退化成“输出反馈”，表明“输出反馈”只是“状态反馈”的一种特例，因此，在经典控制理论中的“输出反馈”（比例控制P ）和“输出导数反馈”（微分控制D ）能实现的任务，状态反馈必能实现，反之则未必。
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Chapter5 状态反馈控制器设计控制方式有“开环控制”、“闭环控制”。
“开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种期望的性能。
然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制”。
在经典控制理论中，我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。
通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性。
利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求。
参见138P 例5.3.3，通过状态反馈的极点配置，使闭环系统的超调量%5≤p σ，峰值时间（超调时间）s t p 5.0≤，阻尼振荡频率10≤d ω。
5.1 线性反馈控制系统的结构与性质设系统),,(C B A S =为 Bu Ax x+= Cx y = （5-1）图5-1 经典控制-输出反馈闭环系统经典控制中采用输出(和输出导数)反馈（图5-1）：v Fy u +-= F 为标量，v 为参考输入 （5-2）Bv x BFC A v Fy B Ax Bu Ax x+-=+-+=+=）（）（ 可见，在经典控制中，通过适当选择F ，可以利用输出反馈改善系统的动态性能。
现代控制中采用状态反馈（图5-1）： v Kx u +-=，n m K ⨯~ （K 的行=u 的行，K 的列=x 的行）称为状态反馈增益矩阵。
状态反馈后的闭环系统),,(C B A S K K =的状态空间表达式为Bv x A Bv x BK A xK +=+-=)( Cx y = （5-3） 式中： BK A A K -≡ （5-4）图5-2 现代控制-状态反馈闭环系统若FC K =，“状态反馈”退化成“输出反馈”，表明“输出反馈”只是“状态反馈”的一种特例，因此，在经典控制理论中的“输出反馈”（比例控制P ）和“输出导数反馈”（微分控制D ）能实现的任务，状态反馈必能实现，反之则未必。
定理5-1（124P 定理5.1.1） 若n 阶系统),,(C B A S =是状态完全能控的，则经过状态反馈后的闭环系统),,(C B A S K K =仍然是状态完全能控的。
即状态反馈不改变系统的能控性。
但状态反馈不一定能保持原系统的能观性。
证明 对系统（5-1）的任意能控状态x ，根据能控性定义，在a t t ≤<0时间内，存在一个控制作用)(t u ，使得在该控制作用下0)()()0(=→=a t x t x x 。
对（5-1）加了状态反馈控制律v Kx u +-=后，需要证明x 仍然是闭环系统（5-3）的能控状态。
事实上，在时间段a t t ≤<0上，取 x K u v += （5-5）则由于 )()()]()([)()(t u B t x A t x K t u B t x BK A x+=++-= 所以，x 也是闭环系统（5-3）的能控状态。
由于x 的任意性，定理得证。
例5-1原系统为u x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1013212121 ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21)21(x x y ，状态反馈矩阵为 )13(--=K ，讨论系统经状态反馈前后的能控性和能观性。
解：n CA C n AB B==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=24721Rank Rank 21120Rank )(Rank ， 原系统能控且能观；经状态反馈后，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=0021BK A A Kn B A BK ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=20120Rank )(Rank ，系统经状态反馈后能控性不变；但n CA C K <=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12121Rank Rank ，系统经状态反馈后不能保持原系统的能观性（状态反馈有可能改变输出端）。
定理5-2（126P 定理5.1.2）“输出反馈”不改变系统的能控性和能观性（证明略）。
定理5-3（126P 定理5.1.3）对能控的单输入、单输出系统，“状态反馈”不能移动系统的零点（证明见126P ）。
证明：系统传递函数为 B A sI C s G 1)()(--=，由于系统的能控性，状态空间模型必能通过非奇异变换得到（等价于）能控标准型)~,~,~(C B A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-11...1...0000 (1)0~n a a a A，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100~ B 由关系式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0111111...001...1 (000)...11)~(a s a s s s a s a a s s s A sI n n n n n n)...(~011a s a s B n n n +++=--可得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-----101111...1~)~(n n n n s s a s a s B A sI由于等价的状态空间模型具有相同的传递函数，所以B A sIC a s a s c s c s c s s a s a s c c c B A sI C n n n n n n n n n n 1011011110111101)(...~~...~1...)~...~~(~)~(~-----------=++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=- （1） 采用状态反馈v x K u +-=~~后，同理可得闭环系统的传递函数 )(...)(~~...~~)]~~~([~0011101111k a s k a s c s c s c B K B A sI C n n n n n n ++++++++=-------- （2） 其中 ]...[~110-=n k k k K 。
由（1）、（2）可知，状态反馈仅改变传递函数的分母多项式的系数（只改变系统的极点多项式），而不会改变分子多项式的系数。
此时，只要不发生零极点相消的现象，状态反馈就不能改变零点。
证毕。
5.2 稳定化状态反馈控制器的设计稳定是一个系统正常运行的首要条件。
若一个系统不稳定，则必须运用外部控制设法让其稳定。
如何确定增益矩阵K ，使下面闭环系统是渐近稳定的？Bv x A Bv x BK A xF +=+-=)( Cx y = （5-6） 根据Lyapunov 稳定性定理，系统（5-6）渐进稳定的充要条件是存在一个二次型的Lyapunov 函数Px x x V T =)(，其中P 是待定的对称正定矩阵。
可以通过使标量函数Px x x V T =)(的时间导数是负定的来确定P 和K 。
5.2.1 Riccati 矩阵方程处理方法这种方法可用来处理非线性系统、时滞系统等各类系统的镇定问题，也可用于鲁棒控制器的设计。
对标量函数Px x x V T =)(求时间导数：PBu x Px B u x PA P A x x P x Px x tx V T T T T T T T +++=+=)(d )(d （5-7） 应用P P =T 可知，后面两项“标量”相等PBu x Px B u T T T = （5-8） 于是PBu x x PA P A x tx V T T T 2)(d )(d ++= （5-9） 若选取控制u 具有以下结构形式Px kB u T -= 0>k （5-10）x P PBB kx PA P A x Px PBB kx x PA P A x tx V T T T T T T T T )2-(2-)(d )(d +=+= （5-11） 进一步，选取矩阵P P =T 使其满足（Riccati 矩阵方程）I P PBB kx PA P A T T T -=+2- （5-12） 则0d )(d <-=x x tx V T ，满足渐进稳定的充要条件。
从（5-12）解出正定对称矩阵P P =T ，代入（5-10）就可得到控制规律。
这种基于Riccati 矩阵方程（5-12）的稳定化控制器设计方法称为Riccati 矩阵方程处理方法。
若对给定的00>k ，Riccati 方程有一个正定对称解矩阵P ，则对任意的0k k ≥，x P PBB kx PA P A x tx V T T T T )2-(d )(d +=)2-(0<-=+≤x x x P PBB x k PA P A x T T T T T因此，对任意0k k ≥，Px kB u T -=都是系统的稳定化控制律。
这表明稳定化控制律Px kB u T -=具有正无穷大的稳定增益裕度，这在实际应用中是非常有用的，操作人员可以根据实际情况，在不破坏系统稳定性的前提下，调节控制器的增益参数，使系统满足其他性能要求。
例5-2 对双积分系统u x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001102121 设计稳定化状态反馈控制器。
解：已经讨论，系统不是一个渐近稳定的，取1=k ，Riccati 方程为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110011032213221p p p p p p p p 01001)10(10232213221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p p p p p p p p 可以求得： 23213233321=-==p p p ，， 容易验证⎪⎪⎭⎫⎝⎛3221p pp p 是正定的，因此，对任意的1≥k x kp p k x p pp p k Px kB u T )3231(2)()10(323221+--=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=都是所考虑系统的稳定化状态反馈控制器。
5.2.2 线性矩阵不等式处理方法根据线性时不变系统稳定性定理，闭环系统Bv x BK A x+-=)( 渐近稳定的充要条件是存在一个正定对称矩阵P ，使得0)()(<-+-BK A P P BK A T （5-13） 求解上述非线性矩阵方程十分困难，为此，作适当的变量代换0<--+PBK P B K P A PA T T T两边左、右×1-P 对称矩阵 01111<--+----）（）（KP B B K P A P AP T T T记 110--=>=KP Y P X ， （5-14） 0<--+BY B Y XA AX T T T （5-15） 不等式（5-15）是一个关于矩阵变量Y X 、的线性矩阵不等式。
如果能从（5-15）确定Y X 、（X 正定对称矩阵），则1-=KP Y 是系统（5-1）Bu Ax x+= 的一个稳定化状态反馈增益矩阵，01>=-P X 是Bv x BK A x+-=)( 相应闭环系统的一个Lyapunov 矩阵。