导数的单调性PPT课件

我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数 y=f(x)的导数.从函数y=x2-2x-1的图象可以看到:在区 间(1,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的 增大而增大,即y’>0时,函数在区间(1,+∞)内为增函 数；反之，在区间(- ∞,1)上,y’<0,函数递减。
定理：
y
（2）求函数的导数 f ' (x ) 2x 4
（3）令 f '(x) 0 f ' (x) 0
在定义域内解不等式，求自变量x的
取值范围，也即函数的单调区间。
2
o
x
令2x－4>0,解得x>2∴x∈(2,＋∞)时，f ( x是) 增函数 令2x－4<0,解得x<2∴x∈(-∞,2)时， f ( x )是减函数
上是减函数，在 （1, ＋∞）上是 增函数。
在(－ ∞,＋∞) 上是增函数
知识探究
y 1
o
1.在x＝1的左边函数图像的单调性
如何？
2.在x＝1的左边函数图像上的各点
x
切线的倾斜角为 其斜率有什么特征？
(锐角/钝角)?
3.由导数的几何意义，你可以得到
什么结论？
4.在x＝1的右边时，同时回答上述问题。
解：函数f(x)的定义域是(－ ∞,＋∞)
f '(x) 6x2 12x
y
令6x2－12x>0,解得x>2或x<0 ∴当x ∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数； 当x ∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
o
x
令6x2－12x<0,解得,0<x<2 ∴当x ∈(0,2)时，f(x)是减函数。
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补充例题
利用导数求函数单调区间的一般步骤：
（1）求函数f(x)的定义域
（2）求函数的导数f'(x)
（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,在其定义域 内解不等式求自变量x的取值范围，即函 数的单调区间。
[练一练]:确定函数 f (x ) 2x 3 6x 2 7 ， 在哪个区间是增函数，哪个区间是减函数?
对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减
的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做
f(x)的单调区间。
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区
间y 1 x
y
y x2 2x 1
y
y 3x
y
o
x
1
o
Βιβλιοθήκη Baidu
x
1
o
x
在（－ ∞ ，0）和 在（－ ∞ ，1）
（0, ＋∞）上分别 是减函数。但在定义 域上不是减函数。
x a 2 x 0 x 2 ( 2 a 4 ) x a2 0 2 x(xa)
f ' ( x ) 0 x 2 ( 2 a 4 ) x a2 0 同 理 f' ( x ) 0 x 2 ( 2 a 4 ) x a2 0
考察函数y f '(x) x2 (2a 4)x a2
教学目标
1.知识目标:掌握用导数的符号判别函数增减 性的方法,提高对导数与微分的学习意义的认识.
2.能力目标：训练解题方法，培养解题能力。 重点：利用导数的符号确定函数的单调区间。
难点：利用导数的符号确定函数的单调区间.
情境设置
以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设
x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2) 的大小，或者 通过作图,借助图形的直观得到函数的单调区间.
知识点提炼:
[定理]一般地，函数y＝f（x）在某个区 间内可导： 如果恒有 f’(x)>0 ，则 f(x)在是增函数。 如果恒有 f’(x)<0 ，则 f(x)是减函数. 如果恒有 f’(x)＝0 ，则 f(x)是常数。
求函数单调区间的步骤： （1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,在其定义 域内解不等式求自变量x的取值范围，即函数 的单调区间。
在区间（0,2 a 2 1 a）和(2 a 2 1 a,) 上f(x)是增函数
令f'(x) 0,解得2 a 2 1 a x 2 a 2 1 a 在区间（2 a 2 1 a,2 a 2 1 a）上f(x ) 是减函数
考 察 函 数 y f'(x ) x2 (2a 4)x a2
例如: 函数f(x)=x3在(-∞,+∞)内,当x=0时, f'(x)=0,
当x≠0时, f'(x)=3x2>0, y=f(x)在(-∞,+∞)内为增函数
例1.确定函数 f (x ) x 2 4x 5 在哪个区
间是减函数？在哪个区间上是增函数？
解: (1)求函数的定义域,函数f (x)
的定义域是(－ ∞,＋∞)
Δ (2a 4)2 4a2 4 1 a 2)当a 1时，f'(x) x2 2x 1 (x 1)2,(x 0)
令f'(x) 0，解得x 1
f( x ) 在区间（0,1）和( 1,) 上是递增
又 f(1)1 ln2,f(x )在x1处连续 f(x )在(0, )上单调递增
单调性的概念 对于给定区间上的函数f(x):
1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当 x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上 是增函数（或单调递增函数）
2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当 x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间 上是减函数（或单调递减函数）
[练一练]:求函数y=2X2-lnx的单调区间。
解：易得y' 4x 1 4x2 1
xx
令y' 4x2 1 0 x 4x2 1 0 x
1 x 0或x 1
2
2


1，0 2
和
1， 2

上，fx

是增函数。
令y' 4x2 1 0 x 4x2 1 0 x
Δ (2a 4)2 4a2 4 1 a
考 察 函 数 y f'(x ) x2 (2a 4)x a2 Δ (2a 4)2 4a2 4 1 a
1)当0 a 1时，Δ 0, 令 f'(x ) 0,即: x2 (2a 4)x a2 0 解得 x 2 a 2 1 a或x 2 a 2 1 a
知识提炼
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：
如果恒有 f '(x) 0 ，则 f ( 是增函x 数。 )
如果恒有 f '(x) 0 ，则 f ( x ) 是减函数。
如果恒有f '(x) 0，则 f ( x ) 是常数。
注意：函数y=f(x)在某个区间内为常数，当且仅当 f'(x)=0在该区间内恒成立时，否则可能使f'(x)=0的点只 是“驻点”（曲线在该点处的切线与x轴平行），实际上， 若在某区间上有有限个点使f'(x)=0，在其余的点恒有 f'(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情况完全类似)
0 x 1或x -1
2
2

0，1 2
和
-
，
1 2
上，fx

是减函数。
知识延展型设a 0,求函数fx x lnx a,
x 0的单调区间.
解：f'(x) 1 1 ,(x 0) 2 x xa
a 0 ,x 0 令 f' ( x ) 0 即 1 1 0 2 x xa
3)当 a 1时 ， Δ 0 x2 (2a 4)x a2 0 恒 成 立 .即 'f(x ) 0恒 成 立 f(x )在 （ 0, ） 上 单 调 递 增 。
作业布置： 书本P128 习题3.6 1. 2.（3）（5）（6）