圆的参数方程

2. 圆x2+y2=16按向量 按向量a=(3,2)平移后 所得 平移后,所得 按向量 平移后 曲线的方程是__________________. (x-3)2+(y-2)2=16
y
如图： 如图：
4 O’(3,2) -4 4 o （0，0） -4
半径不变, 半径不变 圆心由(0.0) 圆心由 平移到(3.2) 平移到
表示正弦于余弦） （分析：将参数方程化为用x.y表示正弦于余弦） 分析：将参数方程化为用 表示正弦于余弦
3.已知圆的方程是 2+y2-2x+6y+6=0,则它的 已知圆的方程是x 则它的
x =1+2cosθ 参数方程为_______________. y =-3+2sinθ
（分析：由圆得方程配方可得圆心于半径，代入参数方程 分析：由圆得方程配方可得圆心于半径， 可得） 可得）
y
已知点P(x,y)是圆 2+y2+2x-2 y=0上的一 是圆x 例２ 已知点 是圆 上的一 3 个动点,求 的最小值; 个动点 求:(1)x+y的最小值 的最小值 (2) x2+y2的最大值 的最大值。 y=0的参数方程为 解:(1)圆x2+y2+2x-2 3 的参数方程为 x = -1+2cosθ y = 3+2sinθ π ∴x+y= 3 -1+2(sinθ+cosθ) = 3-1+2 2sin(θ+ ) 4 π ∵ sin(θ+ ) ∈ [-1,1] 4π ∴ 当sin(θ+ )=-1时, (x+y)min= 3-1-2 2 时 4
1.圆心为 ,b)、半径为 的圆的参数 圆心为(a 半径为r的圆的参数 圆心为 方程为 x =a+rcosθ
y =b+rsinθ
(θ为参数 为参数)
2.圆的普通方程和参数方程互化 圆的普通方程和参数方程互化
第82页习题第9，10题
想一想不用参数方程怎么求？ 想一想不用参数方程怎么求？
已知点P是圆 是圆x 例1. 如图,已知点 是圆 2+y2=16上的一个动点, 上的一个动点 当点P在圆 点A是x轴上的定点,坐标为 是 轴上的定点 坐标为(12,0).当点 在圆 线段PA中点 中点M的轨迹是什么 上运动时,线段 中点 的轨迹是什么? 解:设M的坐标为 的坐标为(x,y), 圆x2+y2=16 设 的坐标为 的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ ∴可设点 坐标为 可设点P坐标为 可设点 坐标为(4cosθ,4sinθ)
高二 （2） ） 吴华明
1.圆的标准方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 ,它表示的 圆的标准方程是_______________
是 ___________________________的圆。 为圆心,r为半径 以C(a，b)为圆心 为半径 为圆心 x2+y2+Dx+Ey+F=0，(其中 其中 2.圆的一般方程是__________________________
D E 一个点( 一个点 − ,− ) 当D2+E2-4F<0时,方程 __________________; 时 2 2
x2+y2+Dx+Ey+F=0__________________。 不表示任何图形
1. 下列方程中 表示圆的是( D ) 下列方程中，表示圆的是
A. x2+y2-2x+2y+2=0 （半径为零） 半径为零） B. x2+y2-2xy+y+1=0 （多了 的项） 多了xy的项 的项） C. x2+2y2-2x+4y+3=0（二次项系数不同） 二次项系数不同） D.2x2+2y2+4x-12y+9=0 2. 圆x2+y2=16按向量 按向量a=(3,2)平移后 所得 平移后,所得 按向量 平移后 (x-3)2+(y-2)2=16 曲线的方程是__________________.
如图,设⊙O的圆心在原点,半径是 ,与x轴正 的圆心在原点 半径是r 轴正 半轴的交点为P 圆上任取一点P 半轴的交点为 0,圆上任取一点 ,若OP0按逆时 针方向旋转到OP位置所形成的角 位置所形成的角∠ 针方向旋转到 位置所形成的角∠P0OP=θ, 求P点的坐标。 点的坐标
y P(x,y) r
圆心为(a,b)、半径为 的圆的参数方程为 半径为r的圆的参数方程为 圆心为 半径为
x =a+rcosθ (θ为参数 为参数) y =b+rsinθ
1.圆的参数方程有什么特点 用参数来表示圆的坐标 圆的参数方程有什么特点？ 2.怎样把圆的普通方程和参数方程互化 怎样把圆的普通方程和参数方程互化？
普通 方程
设参数θ 设参数 消去参数θ 消去参数
参数 方程
1.写出下列圆的参数方程 x = 3cosθ 写出下列圆的参数方程: (1)圆心在原点 半径为 3 y = 3sinθ 圆心在原点,半径为 :______________;
（分析：由圆心为原点、半径为r的圆的参数 分析：由圆心为原点、半径为 的圆的参数 可得） 方程 x =rcosθ 可得）
D E 以C( − 2 ,− 2 )为 为 2+E2-4F>0) 它表示的是_________________ D _____________, 1 圆心,以 圆心 以 D2 + E2 − 4F 为半径 ____________________________的圆。 2
3.当D2+E2-4F=0时,方程 2+y2+Dx+Ey+F=0表示 时 方程x 表示
θ O
P0 x
x =rcosθ 方程组 叫做 y =rsinθ
圆心为原点、半径为 的 圆心为原点 半径为r的 半径为 圆的参数方程
为圆心r为半径作圆 解: 以O为圆心 为半径作圆 为圆心 为半径作圆, 求圆心为O1(a,b), 求圆心为 按向量OO 则⊙O1是⊙O按向量 1=(a,b) 按向量 半径为r 半径为 的圆的参 平移后得到的。 平移后得到的 数方程。 x’=x+a 则平移公式为 y ① y’=y+b P’(x’,y’) O1 x =rcosθ ∵⊙O的参数方程为 的参数方程为 ② y =rsinθ x’=a+rcosθ P(x,y) 式代入① 将②式代入①式得 θ y’=b+rsinθ P0 x O x =a+rcosθ ∴⊙O1的参数方程是 y =b+rsinθ
y P M
O
A x
x =6+2cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 的轨迹方程为 y =2sinθ ∴点M的轨迹是以 的轨迹是以(6,0)为圆心 为半径的圆 为圆心、2为半径的圆 为半径的圆。 点 的轨迹是以 为圆心
已知点P是圆 是圆x 例1. 如图,已知点 是圆 2+y2=16上的一个动点, 上的一个动点 当点P在圆 点A是x轴上的定点,坐标为 是 轴上的定点 坐标为(12,0).当点 在圆 线段PA中点 中点M的轨迹是什么 上运动时,线段 中点 的轨迹是什么? 的坐标为(x,y), 解:设M的坐标为 设 的坐标为 P M 由中点坐标公式得: 由中点坐标公式得: 的坐标为(2x-12,2y) 点P的坐标为 的坐标为 O A x ∵点P在圆 2+y2=16上 在圆x 点 在圆 上 ∴(2x-12)2+(2y)2=16 的轨迹方程为(x-6)2+y2=4 即 M的轨迹方程为 的轨迹方程为 ∴点M的轨迹是以 的轨迹是以(6,0)为圆心 为半径的圆 为圆心、2为半径的圆 为半径的圆。 点 的轨迹是以 为圆心
Hale Waihona Puke Baidu
x =-2+cosθ (2)圆心 圆心(-2,-3),半径为 : ______________. 半径为1 y =-3+sinθ
（分析：圆心为(a,b)、半径为 的圆的参数 分析：圆心为 、半径为r的圆的参数 可得） 方程 x =a+rcosθ 可得）
y =rsinθ
y =b+rsinθ
x =5cosθ+1 2.若圆的参数方程为 ,则其标准 则其标准 y =5sinθ-1 (x-1)2+(y+1)2=25 方程为:_________________.
x
如图,设⊙O的圆心在原点,半径是 ,与x轴正 的圆心在原点 半径是r 轴正 半轴的交点为P 圆上任取一点P 半轴的交点为 0,圆上任取一点 ,若OP0按逆时 针方向旋转到OP位置所形成的角 位置所形成的角∠ 针方向旋转到 位置所形成的角∠P0OP=θ, 点 在 的终边上 求P点的坐标。 解:∵点P在∠P0OP的终边上 点的坐标 y y sinθ = P(x,y) r 根据三角函数的定义得 x r cosθ = θ r P0 x O x =rcosθ ∴P点坐标为 点坐标为 y =rsinθ