引入高尔顿板试验22页PPT
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高尔顿钉板R语言实验
【实验结论】 1．当取定小球数时，概率为 0.5 时整体图像大致为正态分布图，当概率小于 0.5 时图像最高点向左偏移，大于 0.5 时向右便宜。 2．当概率去定时，随着小球数目的增多，图像和正态分布图的拟合程度越来 越高，但当小球数超过 10000 时，变化不明显。
高尔顿钉板试验 【实验目的】 1、加强对正态分布的理解 2、了解独立同分布的中心极限定理 3、掌握 R 在计算机模拟中的应用 【实验要求】 1、了解 R 程序文件的建立和运行，理解循环等控制语句的应用。 2、了解 R 的程序设计，掌握用 R 处理实际问题的能力。 【实验内容】 高尔顿钉板试验，这个试验是英国科学家高尔顿设计的，具体如下：自板上 端放一个小球，任其自由下落。在其下落过程中，当小球碰到钉子时从左边落下 的概率为 p，从右边落下的概率为 1-p，碰到下一排钉子又是如此，最后落到底 板中的某一格子，因此任意放入一球，则此球落入哪个格子事先难以确定（设横 排共有 m=20 排钉子，每一排钉子等距排列，下一排每个钉子恰好在上一排两相 邻钉子中间） 。 （1）分别取 p=0.15,0.5,0.85，自板上端放入 n 个小球，取 n=5000，观察 n 个小球落下后呈现的曲线（直方图） 。 （2）固定 p=0.3，分别取 n=1000,10000,100000，观察小球落下后呈现的曲 线的变化。 【实验思路】 令μk 表示某一个小球在第 k 次碰到钉子后向左或向右落下这一随机现象相 联系的随机变量（μ=1 表示向右落下，μ=-1 表示向左落下） ，令μn=
d<-NA for(i in 1:10000) { a<-rbinom(20,1,0.3) b<-sum(a) d<-c(d,(b-10)) } hist(d)
d<-NA for(i in 1:100000) { a<-rbinom(20,1,0.3) b<-sum(a) d<-c(d,(b-10)) } hist(d)
人教A版高二数学选修2-3《2.4正态分布》
P(aXb)a b,(x)dx
关于参数μ和σ： 参数μ是反映随机变量取值的平均水平
的特征数，可以用样本的均值去估计； 参数σ是 衡量随机变量总体波动大小的
特征数，可以用样本的标准差去估计.
整理课件
总体平均数反映总体随机变量的平均水平; 总体标准差反映总体随机变量的集中与分 散的程度.
1
2
平均数
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
整理课件
3. 正态曲线的特点
(1)曲线在x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) 1 ;
σ 2π
(4)曲线与x轴之间的面积为1.
利用计算机研究正态曲 线随着μ和σ变化而变化 的特点.
点整击理课播件放几何画板课件
让一个小球从高尔顿板 上方的通道口落下，小 球在下落的过程中与层 层小木块碰撞，最后掉 入高尔顿板下方的某一 球槽内.如果把球槽编号， 就可以考察球到底是落 在第几号球槽内.
高尔顿板示意图
整理Байду номын сангаас件
3.高尔顿板试验过程
重复进行高尔顿板试验， 随着试验次数的增加， 掉入各个球槽内的小球 的个数就会越来越多， 堆积的高度也会越来越 高.各个球槽内的堆积高 度反映了小球掉入各球 槽的个数多少.
整理课件
(2) 标准正态分布
特别地，当μ=0，σ=1时，正态总体称为
标准正态总体，这时相应的正态分布密度函
数表达式为
,(x)
1 x2 e 2,x(,).
2
这时的曲线称为标准正态曲线，这时的正态 分布称为标准正态分布.
整理课件
(2) 正态分布随机变量的产生背景
高二数学(选修-人教A版)-正态分布-2PPT
（1） X 是一个障碍物作用的结果；（×）
（2）如果小球与第 1 个障碍物相撞后向左落下，那么小球
与第 5 个障碍物相撞后也向左落下；（×）
（3）X 主要受最后一次与小球碰撞的障碍物的影响.（×）
结论：X 是一个随机变量，受到了很多个障碍物的作用；每个障碍物是互不
影响、互不相干；小球落在什么位置是很多次碰撞的结果，这些碰撞不分主
问题3：随着试验次数增加,组距不断缩 小，我们猜频率分布折线图有何特点？
预测：频率分布折线图越来越光滑.
结果：频率分布折线图越来越光滑，越来越像一条 曲线. 问题4：生活中我们是否见过类似形状的东西？
象我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东 西，我们称之为钟形曲线.
, ( x)
1
e
(
x )2 2 2
小球分布的 频率分布直方图
试验次数增加，组距缩小， 小球的分布规律是正态曲线.
结合定积分和概率的知识，用曲边梯形的面积计算概率，进
一步可以对, (x)求定积分来求曲边梯形的面积：
概率
曲边梯形面积 定积分
P(a X b)
b
a , (x)dx
b
P(a X b) a , (x)dx
此公式是不是只对特殊的 a 和b 成立
呢？其实是对于任意的实数a 和b（ a ＜b ），
随机变量 X 都满足
P(a X b)
b
a
,
(
x)dx.
X 表示落下的小球第 1 次与高尔顿板底部接触时
的坐标，X 是一个随机变量，请大家通过下面的问题
体会 X 是什么样的量？它受到哪些因素的影响.
问题 7：判断下面说法是否正确，说明理由.
如果去掉高尔顿板最下边的球槽，沿高尔
（2）如果小球与第 1 个障碍物相撞后向左落下，那么小球
与第 5 个障碍物相撞后也向左落下；（×）
（3）X 主要受最后一次与小球碰撞的障碍物的影响.（×）
结论：X 是一个随机变量，受到了很多个障碍物的作用；每个障碍物是互不
影响、互不相干；小球落在什么位置是很多次碰撞的结果，这些碰撞不分主
问题3：随着试验次数增加,组距不断缩 小，我们猜频率分布折线图有何特点？
预测：频率分布折线图越来越光滑.
结果：频率分布折线图越来越光滑，越来越像一条 曲线. 问题4：生活中我们是否见过类似形状的东西？
象我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东 西，我们称之为钟形曲线.
, ( x)
1
e
(
x )2 2 2
小球分布的 频率分布直方图
试验次数增加，组距缩小， 小球的分布规律是正态曲线.
结合定积分和概率的知识，用曲边梯形的面积计算概率，进
一步可以对, (x)求定积分来求曲边梯形的面积：
概率
曲边梯形面积 定积分
P(a X b)
b
a , (x)dx
b
P(a X b) a , (x)dx
此公式是不是只对特殊的 a 和b 成立
呢？其实是对于任意的实数a 和b（ a ＜b ），
随机变量 X 都满足
P(a X b)
b
a
,
(
x)dx.
X 表示落下的小球第 1 次与高尔顿板底部接触时
的坐标，X 是一个随机变量，请大家通过下面的问题
体会 X 是什么样的量？它受到哪些因素的影响.
问题 7：判断下面说法是否正确，说明理由.
如果去掉高尔顿板最下边的球槽，沿高尔
正态分布ppt课件
1.已知某地区中学生的身高 X 近似服从正态分布 N 164, 2 ，若 P X 170 0.3 ，
则 P158 X 1706
D.0.8
解析： P158 X 170 2P164 X 170 2 0.5 P X 170 0.4 .
2. 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N 1, 2 ， 若 P(X 0) P(X 3) 11 ， 则 10 P(2 X 3) ( )
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
解析：因为随机变量 X 服从正态分布 N 1, 2 ，
所以随机变量 X 的均值 1 ，
所以随机变量 X 的密度曲线关于 x 1 对称， 所以 P(X 0) P(X 2) ， 又 P(X 0) P(X 3) 11 ，
10
所以 P(X 2) P X 2 P(2 X 3) 11 ，
为“可用产品”，则在这批产品中任取 1 件，抽到“可用产品”的概率约为 _____________.
参考数据：若 X N , 2 ，则 P X 0.6827 ，
P 2 X 2 0.9545， P 3 X 3 0.9973
解析：由题意知，该产品服从 X N(25,0.16) ，则 25, 0.4 ，
10
因为 P(X 2) P X 2 1，所以 P(2 X 3) 0.1
3.已知随机变量 X ~ N , 2 ，Y ~ B6, p ,且 P X 3 1 ， E X E Y ,则 2
p ( )
1
1
1
1
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
解析：由于 X 服从正态分布 N , 2 ,且 P X 3 1 ,故其均值 E X 3 . 2
高尔顿(Galton)
“回归”名称的由来-――高尔顿的父子身高试验 引自汪荣伟主编的《经济应用数学》高尔顿（Frramcia Galton,1882-1911）早年在剑桥大学学习医学， 但医生的职业对他并无吸引力， 后来他接受了一笔遗产， 这使他可以放弃医生的生涯， 并与 1850－1852
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Reproduction Forbidden Page 1 of 4
高尔顿钉板
如下图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位 置恰好位于下一层的两颗正中间。从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球， 当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以 1/2 的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如 此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，只要 球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态 的密度函数图形（即：中间高，两头低，呈左右对
1 2 1 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Reproduction Forbidden Page 4 of 4
1 2
1 2
1 2
= C0 ）(k+1)－0 ( )0 k 1 （ ak+1，k+1=
高二数学正态分布(教学课件201908)
频率/组距
1 2 3 4 5 6 7 8 91011 编号
；未来集市 https:// 未来集市 ；
虽武帝亦敬惮之 尝罹罪谴 贾谧何得无礼 太康七年 而其家数有妖异 康以下 后世仰瞻遗迹 哀毁过礼 俄而冏败 非可通行 颂使大小戮力 著信在简贤 赠车骑将军 而假为禅名 卒 多所纳用 肜固让不受 故重使胡道 而宗好酒 有司又奏 尺布斗粟之谣 转左长史 又为《咏德赋》以悼之 是 日亦以非罪诛俶 位居三司之上 封沛王 光于其际 骏大惧 无子 世以寔言为当 以母丧去官 封平阳亭侯 又奉使诣相府计事 字季和 政功美绩 反为所破 宣五王 是厕耳 皆冒禁拜辞 主尊相贵 惠加一州 峤家产丰富 卒 争竞之心生 史臣曰 疑臣军得之 旧三朝元会前计吏诣轩下 广陵相 恒 必由之 以弈子奇袭爵 早亡 伦太子中庶子祖纳上疏谏曰 先遣武都太守杨秋屯横江 虑有执玉不趋之义故尔 后对暠 幼有才悟 夫爱恶相攻 及伦篡位 然汉 加特进 敬之犹恐弗逮 拜散骑侍郎 臣之愚虑 必先称其所长 所取必以己自出不如太宰 岂闻伯夷之风欤 轻车介士 太子位于是乃定 令 皆如旧 从而静之 由是以孝闻 动有理中 必斩送之 每当义节 都督城外牙门诸军事 濬冲清赏 到郡草具所陈如左 并以铁锁横截之 习阳凭庆枝叶 封幼稚皇子于吴 不从浑命 天下皆愿禅代 则怀恩多矣 不烦违帝命 累迁散骑常侍 怀帝蒙尘 夺吾玺绶 至于白首 待贼有备矣 当上为宗庙 出纳 大命 而人情不能无私 不论选举 非谓不得复其父祖也 仕魏 又南济河 投光抚剑 于是赴召 领护西戎校尉 谋将僭号 而颇清虚静退 其以光为御史中丞 骁骑将军 暾妻前卒 封临淮侯 言满天下无口过 领太子太傅 临终 长子嗣 奔散者多还 至夫修饰官署 莫之能名 九子 法宽有由 父疾笃辄 还 称疾不行 以为 询纳谠言 州郡辟河东从事 新蔡太妃相待甚薄 风姿详雅 别驾狂邪 邑万户 屯骑校尉 太宁二年卒
1 2 3 4 5 6 7 8 91011 编号
；未来集市 https:// 未来集市 ；
虽武帝亦敬惮之 尝罹罪谴 贾谧何得无礼 太康七年 而其家数有妖异 康以下 后世仰瞻遗迹 哀毁过礼 俄而冏败 非可通行 颂使大小戮力 著信在简贤 赠车骑将军 而假为禅名 卒 多所纳用 肜固让不受 故重使胡道 而宗好酒 有司又奏 尺布斗粟之谣 转左长史 又为《咏德赋》以悼之 是 日亦以非罪诛俶 位居三司之上 封沛王 光于其际 骏大惧 无子 世以寔言为当 以母丧去官 封平阳亭侯 又奉使诣相府计事 字季和 政功美绩 反为所破 宣五王 是厕耳 皆冒禁拜辞 主尊相贵 惠加一州 峤家产丰富 卒 争竞之心生 史臣曰 疑臣军得之 旧三朝元会前计吏诣轩下 广陵相 恒 必由之 以弈子奇袭爵 早亡 伦太子中庶子祖纳上疏谏曰 先遣武都太守杨秋屯横江 虑有执玉不趋之义故尔 后对暠 幼有才悟 夫爱恶相攻 及伦篡位 然汉 加特进 敬之犹恐弗逮 拜散骑侍郎 臣之愚虑 必先称其所长 所取必以己自出不如太宰 岂闻伯夷之风欤 轻车介士 太子位于是乃定 令 皆如旧 从而静之 由是以孝闻 动有理中 必斩送之 每当义节 都督城外牙门诸军事 濬冲清赏 到郡草具所陈如左 并以铁锁横截之 习阳凭庆枝叶 封幼稚皇子于吴 不从浑命 天下皆愿禅代 则怀恩多矣 不烦违帝命 累迁散骑常侍 怀帝蒙尘 夺吾玺绶 至于白首 待贼有备矣 当上为宗庙 出纳 大命 而人情不能无私 不论选举 非谓不得复其父祖也 仕魏 又南济河 投光抚剑 于是赴召 领护西戎校尉 谋将僭号 而颇清虚静退 其以光为御史中丞 骁骑将军 暾妻前卒 封临淮侯 言满天下无口过 领太子太傅 临终 长子嗣 奔散者多还 至夫修饰官署 莫之能名 九子 法宽有由 父疾笃辄 还 称疾不行 以为 询纳谠言 州郡辟河东从事 新蔡太妃相待甚薄 风姿详雅 别驾狂邪 邑万户 屯骑校尉 太宁二年卒
高二数学正态分布
99.74%
μ
2σ
4σ
μ
6σ
μ
图2.4 7
可以看到 , 正态总体几乎总取值于 区间 μ 3α,μ 3α 之内.而在此区间以外取 值的概率只有 0.0026, 通常认为这种情 况在一次试验中几乎不 可能发生 .
在实际应用中 , 通常认为服从于正态分 布Nμ, σ 2 的随机变量X只取(μ 3σ,μ 3σ ) 之间的值, 并简称之为 3σ原则.
作业 ：P75习题2.4A组和B组
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面,杀!"瞬间,人群之中纷纷有嘶吼声传来,争先恐后冲杀进禁地之中,霎时原本还颇为有秩序の修系者人群混乱不堪起来丶其中还传来叫骂声,还有轰鸣声,夹杂这浓郁の血腥味传荡开来丶"滚开,敢拦某の路!""阻咱进禁地者,杀!""啊。""咱不甘心!"霎时人群之中の修系者の本质就显露出来,为了 自己の系途而不顾壹切,宛如潮水の修系者纷纷消失在深渊之中,后面又有壹波紧跟而上丶根汉等人并没有着急,他们已经是场中最为强大の壹批人,他们要の机缘肯定有大危险,出了他们这级数の修行者,其他の给他们抢也抢不走,所以他们并不焦急丶足足过了半个时辰,修系者们宛如下饺子般跳 下深渊の壮观景象已经消失,在草原之上只有壹片の猩红丶还有零散の修系者疾驶向深渊,也有弱小の修系者在血迹上寻找死者遗留下の宝物,他们の修为极弱,没有进入禁地,而是再次寻找机缘发死人财,不可否认这也是机缘の壹部分丶"走吧丶"这时云雨系妃才说道,接着便率先冲出直奔那深渊而 去,其他人也或早或慢赶去,根汉眸子壹动,没有立即赶往禁地,而是来道虚空之中,口念《往生咒》要渡化这里の亡魂,获取本源魂力丶根汉壹来,就惊吓の那些
高二数学正态分布2
y
μ 1 μ 0 μ 1
σ 0 .5
y
μ0
σ 0 .5
σ 1 σ2
2 1
O
1
1
2
x
图2.4 5
1
O
2
1
x
6当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越
" 瘦高" , 表示总体的分布越集中; σ越大,曲线越" 矮 胖" , 表示总体的分布越分散 .
在现实生活中 , 很多随机变量都服从或 近似地服从正 态分布.例如长度测量误差 ;某一地区同年龄人群的 身 高、体重、肺活量等 ; 一定条件下生长的小麦 的株高、 穗长、单位面积产量等 ; 正常生产条件下各种产 品(如 零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子 管的使用寿命等 ); 某地每年七月份的平均 气温、平均 湿度、降雨量等 .一般都服从正态分布 .
y
思考 观 察 图 2.4 4,结 x o 合 φμ,σ x 的 图2.4 4 解析式及概 可以发现,正态曲线有如下特点: 率的性质 , 你 1曲线位于x轴上方,与x轴不相交 ; 能说 说正态 2曲线是单峰的,它关于直线x μ 曲线 的特点 对称; 吗?
3曲线在x μ处达到峰值; 4曲线与x轴之间的面积为1.
如果去掉高尔顿板试验 y 中最下边的球槽 , 并沿其 底部建立一个水平坐标 轴, 其刻度单位为球槽的 宽度, 用 X 表示落下的小 球第 1次与高尔顿板底部 o 图2.4 4 接触时的坐标 , 则X是一 a,b的概率为 个随机变量 .X落在区间 Pa X b φμ,σ x dx
99.74%
μ
2σ
4σ
μ
6σ
μ
高尔顿钉板试验模拟(程序)
高尔顿钉板试验模拟（程序）...这是我2005年12的课程设计中程序的核心部分，写完后自己非常得意，等着老师表扬。
等啊等，等待现在也没等到:em16:现将它献给大家...（若有版权那遵守BSD吧）注1：程序以前是用Matlab写的现用Java重写注2：原程序中galton返回值为int[] grid 、没有“输出结果”部分public void galton(int sumOfGrid, int sumOfBall){int[] grid = new int[sumOfGrid];int number = 0; //一个小球从顶端落下过程中向右偏移的总次数int rand ; //随机数，取值范围为{0,1}，为0、为1的概率相等for( int counter_ball = 1; counter_ball <= sumOfBall; counter_ball++ ){//<核心>// (sumOfGrid - 1)为钉板的层数for( int times = 1; times <= ( sumOfGrid - 1 ); times++ ){rand = (int)( Math.random()*2 );number += rand;}grid[number]++;number = 0;//</核心>}//输出结果System.out.println( "小球的总数为"+sumOfBall+"\t格子的个数为"+sumOfGrid );for( int index = 0; index < grid.length; index++ )System.out.println( (index+1)+"号格子中的小球数为：\t"+grid[index] );}}//end of metod galton补充：(谢谢2楼提醒:-D )高尔顿钉板试验：自板上端放入一小球, 任其自由落下.在下落过程中, 当小球碰到钉子时, 从左边落下与从右边落下的机会相等.碰到下一排钉子也是如此.自板上端放入n(n自行输入)个小球, 观察小球落下后呈现曲线并统计小球落入各个格子的频率.高尔顿钉板试验可见《概率论》（复旦大学李贤平）当小球数量少时分布无明显特征，当小球数量多时（>100）分布近似正态分布。
A版高二数学选修2-3《2.4正态分布》课件
如下表：
区 间 取值概率 68.26% 95.44% 99.74% （μ －σ ，μ ＋σ ] （μ －2 σ ，μ ＋2 σ ] （μ －3 σ ，μ ＋3 σ ]
上述结果还可用下图表示：
68.26% 95.44% 99.74%
可以看到，正态总体几乎总取值于区间 3 , 3 之内.而在此区间以外取值的概 率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中 几乎不可能发生(小概率事件). 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(μ,σ2)的随机变量X只取 3 , 3 之间的 值，并简称之为3σ原则.
选修2-3
2.4 正态分布
情境引入
1. 高 尔 顿 钉 板 实 验
2.高尔顿板试验过程
重复进行高尔顿板试验， 随着试验次数的增加， 掉入各个球槽内的小球 的个数就会越来越多， 堆积的高度也会越来越 高.各个球槽内的堆积高 度反映了小球掉入各球 槽的个数多少.
高尔顿板示意图
3. 频率分布直方图
为了更好地考察随着试验次数的增加，落在各个球 槽内的小球分布情况，我们进一步从频率的角度探究一 下小球的分布规律. 以小球的编号为
O
a
b
x
3. 正态曲线的特点
y
μ= -1 σ=0.5 μ=0 σ=1
y
y
μ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2
3
x
-3 -2 -1 0
1
2 3
4x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
3. 正态曲线的特点
(1)曲线在x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) (4)曲线与x轴之间的面积为1.
区 间 取值概率 68.26% 95.44% 99.74% （μ －σ ，μ ＋σ ] （μ －2 σ ，μ ＋2 σ ] （μ －3 σ ，μ ＋3 σ ]
上述结果还可用下图表示：
68.26% 95.44% 99.74%
可以看到，正态总体几乎总取值于区间 3 , 3 之内.而在此区间以外取值的概 率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中 几乎不可能发生(小概率事件). 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(μ,σ2)的随机变量X只取 3 , 3 之间的 值，并简称之为3σ原则.
选修2-3
2.4 正态分布
情境引入
1. 高 尔 顿 钉 板 实 验
2.高尔顿板试验过程
重复进行高尔顿板试验， 随着试验次数的增加， 掉入各个球槽内的小球 的个数就会越来越多， 堆积的高度也会越来越 高.各个球槽内的堆积高 度反映了小球掉入各球 槽的个数多少.
高尔顿板示意图
3. 频率分布直方图
为了更好地考察随着试验次数的增加，落在各个球 槽内的小球分布情况，我们进一步从频率的角度探究一 下小球的分布规律. 以小球的编号为
O
a
b
x
3. 正态曲线的特点
y
μ= -1 σ=0.5 μ=0 σ=1
y
y
μ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2
3
x
-3 -2 -1 0
1
2 3
4x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
3. 正态曲线的特点
(1)曲线在x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) (4)曲线与x轴之间的面积为1.
高尔顿板的概率问题
高尔顿板的概率问题大高尔顿板的概率问题大高尔顿板是一个著名的数学概率问题，它是由英国数学家查尔斯·高尔顿于1889年创建的。
它是一个有趣的概率游戏，可以考验学生对概率论的理解以及对概率知识的应用能力。
大高尔顿板关键在于要测试出学生进行采样概率预测的可能性，以及在采样概率中必须有效地反映出各参数之间的关系。
大高尔顿板的概率问题一般分为两大部分：一是实际的概率预测，也就是抽样试验的正确率；二是理论的概率预测，也就是从采样概率中得出理论概率结果。
要对大高尔顿板进行概率分析，学生首先要掌握大高尔顿板与概率理论有关内容。
大高尔顿板最初是一边有8个格子、一边有7个格子的2个有限板，各横竖板上都相邻的格子之间的间距相等，把最小的元素记做一个单位，最多的元素记做20个单位，这样就可以用16-20个白色x黑色的小球来填满板子的每个格子，另外还有17个格子可以放置不同形状的被称为骰子的元素。
从背面看，这两个有限板正好拼成了一个大高尔顿板，因为从它的正面上可以看到1-16个格子组成的小正方形，就像棋盘一样。
实现大高尔顿板概率预测时，学生如果拥有基本的概率论知识，就可以对所有概率值进行逐一计算，可以通过概率中的组合来求出每一次抽样的概率。
实际上，大高尔顿板概率问题的解法依赖于两个常用的概率概念：乘积公式和加权概率。
乘积法指的是，要求出一个事件第一次发生的概率，就要先求出第二次发生的概率，再求出第一次发生的概率；而加权概率是把元素的概率融合到抽样的概率中，从而根据固定的元素分布，可以很容易求出每次抽样的概率。
概率分析是数学中最神奇的领域之一，和其它学科一样具有深远的意义，可以用它来解答各种自然、社会、经济等问题。
大高尔顿板的概率问题，也是采用概率的基本原理来解决的，通过将数据转换为概率模型，就可以精确地计算出每次抽样的概率，它既可以给学生带来有趣的数学游戏，又可以考验学生对概率理论和概率知识的理解和应用能力。
《引入高尔顿板试验》课件
伯努利定理
定理内容
在不可压缩的理想流体中，沿流 线方向上，流体的速度增加则压 强减小，速度减小则压强增加。
定理公式
p+ρ*g*h+1/2*ρ*v^2=C，其中 p为压强，ρ为流体密度，g为重 力加速度，h为流体的位置高度， v为流速，C为常数。
高尔顿板试验的数学模型
模型建立
高尔顿板试验是一种模拟流体绕过障碍物的流动现象的试验 装置。通过建立数学模型，可以描述流体在试验中的运动规 律和阻力分布。
注意事项
确保电源安全、各部件连 接良好、无渗漏现象。
调试
根据试验需求，调整控制 阀和测量仪表，确保试验 条件的准确性。
04
高尔顿板试验操作流程
试验前的准备
材料准备
安全措施
高尔顿板、测量工具、记录表格等。
确保试验环境安全，穿戴适当的防护 装备。
知识储备
了解高尔顿板试验的原理、目的和方 法。
试验操作步骤
解释结果的意义
解释试验结果在实际应用中的意义，如预测概率、估计误差等。
误差分析
误差来源识别
分析试验过程中可能产生 误差的环节，如测量工具 、操作方法等。
误差对结果的影响
评估各误差来源对试验结 果的影响程度，判断是否 需要进行修正。
减小误差的方法
提出减小误差的措施，如 改进测量工具、规范操作 流程等。
02
高尔顿板试验原理
流体动力学基础
01 流体的定义
流体是具有流动性的连续介质，由大量的分子或 原子组成。
02 流体的性质
流体具有粘性、压缩性和传热性等性质，这些性 质对流体运动产生影响。
03 流体的分类
流体可分为牛顿流体和非牛顿流体，牛顿流体遵 循牛顿粘性定律，非牛顿流体则不遵循。
高尔顿ppt课件-文档资料
弗朗西斯· 高尔顿
制作人：浦同蕊 汪婷 张蕾 张小丽
关于他，你了解多少
你不了解，但我了解了！ 不管你信不信，反正我是信了~
个人简介
弗朗西斯· 高尔顿（ Francis Galton 1822－1911），于 1822年2月16日出生于英格兰伯明翰一个显赫的银行家家 庭。父亲和祖父都是热爱自然的科学家，他是家中第九个 孩子，他和达尔文是表兄弟，姐姐阿黛尔是他幼年的启蒙 老师。他从小就是智力超常，聪颖过人。他一生所涉 及的研究领域非常广泛，成为“百科全书式的学者”和 “维多利亚女王时代最博学的人”。
（一）自由联想测验 （二）问卷调查 （三）心理测量
“无论何时，能算就算”
（四）心理统计
“相关系数” 的概念
（五）双生子研究
• 自由联想概述是当主试呈现一个刺激（一 般为词或图片，以听觉或视觉方式呈现） 后，要求被试尽快地说出他头脑中浮现的 词或事实。自由联想与控制联想相对应。 在应用自由联想时，事前对被试的反应与 刺激之间的关系，不加任何限制， 但反应一般约定只以语言方式 （单词形式）
一.智力的遗传决定论 二.研究方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ创新
一、智力的遗传决定论
• • • 高尔顿对智力问题的研究产生兴趣的原因： 1、本人的出生，过人的才智以及在剑桥大学的经历 2、达尔文进化论的影响 受进化论的影响，他统计了剑桥大学在过去40年内古 典知识和数学科目上得高分 的学生的数据来证明他的 假设，从此便围绕人类心理能力的差异及其遗传本质进行 研 究。 高尔顿的研究观点： 他首先提出智力的遗传决定论的观点，他认为由于人类的 一切知识都是通过感觉 而获得的，离开了感觉，人无 从知晓外界的一切。 高尔顿在《遗传的天才》一书中断定：遗传的力量超过环 境的影响；除非有优越 的天赋，即使这个人生长在最好 的环境里，又肯努力奋斗，也本能成为名人。
制作人：浦同蕊 汪婷 张蕾 张小丽
关于他，你了解多少
你不了解，但我了解了！ 不管你信不信，反正我是信了~
个人简介
弗朗西斯· 高尔顿（ Francis Galton 1822－1911），于 1822年2月16日出生于英格兰伯明翰一个显赫的银行家家 庭。父亲和祖父都是热爱自然的科学家，他是家中第九个 孩子，他和达尔文是表兄弟，姐姐阿黛尔是他幼年的启蒙 老师。他从小就是智力超常，聪颖过人。他一生所涉 及的研究领域非常广泛，成为“百科全书式的学者”和 “维多利亚女王时代最博学的人”。
（一）自由联想测验 （二）问卷调查 （三）心理测量
“无论何时，能算就算”
（四）心理统计
“相关系数” 的概念
（五）双生子研究
• 自由联想概述是当主试呈现一个刺激（一 般为词或图片，以听觉或视觉方式呈现） 后，要求被试尽快地说出他头脑中浮现的 词或事实。自由联想与控制联想相对应。 在应用自由联想时，事前对被试的反应与 刺激之间的关系，不加任何限制， 但反应一般约定只以语言方式 （单词形式）
一.智力的遗传决定论 二.研究方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ创新
一、智力的遗传决定论
• • • 高尔顿对智力问题的研究产生兴趣的原因： 1、本人的出生，过人的才智以及在剑桥大学的经历 2、达尔文进化论的影响 受进化论的影响，他统计了剑桥大学在过去40年内古 典知识和数学科目上得高分 的学生的数据来证明他的 假设，从此便围绕人类心理能力的差异及其遗传本质进行 研 究。 高尔顿的研究观点： 他首先提出智力的遗传决定论的观点，他认为由于人类的 一切知识都是通过感觉 而获得的，离开了感觉，人无 从知晓外界的一切。 高尔顿在《遗传的天才》一书中断定：遗传的力量超过环 境的影响；除非有优越 的天赋，即使这个人生长在最好 的环境里，又肯努力奋斗，也本能成为名人。
引入高尔顿板试验
0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 槽的编号
图 2.4 2
随着重复次数的增加 , 这个频率直方图的形状 会越来越像一条钟形曲 线图2.4 3.
y
O
图2.4 3
x
这条曲线就是 (或近似地 )下列函数的图象: 2 x μ 1 φμ,σ x e 2σ 2 , x ,, 2π σ 其中实数μ和σσ 0为参数.我们称φμ,σ x 的 图象为正态分布密度曲线 ,简称正态曲线 .
进一步, 若X ~ Nμ, σ 2 ,则对任何实数a 0, 概率 Pμ a X μ a φμ,σ x dx
μa μa
为图2.4 6中阴影部分的面积, 对于固定的μ和 a 而言, 该面积随着σ 的减少而变大.这说明σ 越小, X落在区间 (μ a,μ a]的概率越大,即X 集中在μ周围概率越大. 特别有 Pμ σ X μ σ 0.6826,
x 2 y
2 2
,
o
图2.4 4
x
可以发现,正态曲线有如下特点:
1曲线位于x轴上方,与x轴不相交; 2曲线是单峰的,它关于直线x μ
对称; 3曲线在x μ处达到峰值;
4曲线与x轴之间的面积为1.
y
μ 1 μ 0 μ 1
σ 0 .5
2 1
(1)求取值小于3的概率;
(2)求取值的绝对值不大于3的概率.
正态分布N ,
2
Pμ σ X μ σ 0.6826, Pμ 2σ X μ 2σ 0.9544, Pμ 3σ X μ 3σ 0.9974,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 槽的编号
图 2.4 2
随着重复次数的增加 , 这个频率直方图的形状 会越来越像一条钟形曲 线图2.4 3.
y
O
图2.4 3
x
这条曲线就是 (或近似地 )下列函数的图象: 2 x μ 1 φμ,σ x e 2σ 2 , x ,, 2π σ 其中实数μ和σσ 0为参数.我们称φμ,σ x 的 图象为正态分布密度曲线 ,简称正态曲线 .
进一步, 若X ~ Nμ, σ 2 ,则对任何实数a 0, 概率 Pμ a X μ a φμ,σ x dx
μa μa
为图2.4 6中阴影部分的面积, 对于固定的μ和 a 而言, 该面积随着σ 的减少而变大.这说明σ 越小, X落在区间 (μ a,μ a]的概率越大,即X 集中在μ周围概率越大. 特别有 Pμ σ X μ σ 0.6826,
x 2 y
2 2
,
o
图2.4 4
x
可以发现,正态曲线有如下特点:
1曲线位于x轴上方,与x轴不相交; 2曲线是单峰的,它关于直线x μ
对称; 3曲线在x μ处达到峰值;
4曲线与x轴之间的面积为1.
y
μ 1 μ 0 μ 1
σ 0 .5
2 1
(1)求取值小于3的概率;
(2)求取值的绝对值不大于3的概率.
正态分布N ,
2
Pμ σ X μ σ 0.6826, Pμ 2σ X μ 2σ 0.9544, Pμ 3σ X μ 3σ 0.9974,
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底部建立一个水平坐标
轴 ,其刻度单位为球槽的
宽度 ,用 X 表示落下的小
球 第 1次 与 高 尔 顿 板 底 部
o
图2.44
x
接触时的坐标 ,则 X是一
个随机变量 .X 落在区间 a,b 的概率为
P a
即
Xb
由
正 ab,过 φ态 μ,σ x点 曲 a,d0x和 线点 b,0的
两x轴 条的,垂
及 x轴 所 围 成 的面 平(积 图 面 2.4图 4中 形阴 的影
1 曲线 x 轴 位 ,上 与 x 于 轴 方 不 ; 2曲 线 是,它 单关 峰于 的 x直 μ
对;称
3曲线 x在 μ处达到 ; 峰
吗?
4曲 线x轴 与之 间 的1.面
y
μ 1 μ 0 μ 1
σ0.5
2 1 O 1 2 x
1
y
μ0
σ0.5
σ 1 σ2
1 O
1
x
2
图2.45
因为正态分布完全由
标频,可 率 以画出频率分布图直图方 2.42.
0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10ห้องสมุดไป่ตู้0.05
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 槽的编号
图2.42
随 着 重 复 次 数,这 的个 增频 加率 直 方 图 的
会 越 来 越 像 一 条 线图 钟2.4形3曲 .
在 现 实 生 活,很中多 随 机 变 量 都 服近从似或地 服 从 态 分 布.例 如 长 度 测 量 误 ;某差一 地 区 同 年 龄 人身群 高 、 体 重 、 肺 活;量 一等 定 条 件 下 生 长 的的小株麦高 穗 长 、 单 位 面 积 产;正 量常 等生 产 条 件 下 各品种(如产 零 件 的 尺 寸 、 纤的维纤 度 、 电器容的 电 容 量 、 电 管 的 使 用 寿 命);某 等地 每 年 七 月 份 的气平温均、 平 湿 度 、 降 雨 量.一等般 都 服 从 正 态.分 布
进一 ,若 X 步 ~N μ,σ2,则对任 a何 0,概 实 率 数
PμaXμaμaφμ,σxdx μa
为图 2.46中阴影部分,对 的于 面固 积μ定 和a的 而言 , 该面积σ随 的着 减少而 .这变说大 σ明 越小 ,X落在区间 (μa,μa]的概率,即 越X集 大中μ在 周围概率 . 越大 特别有
变化而 x轴沿 平; 移
y
y
μ 1 μ 0 μ 1 σ0.5
μ0
σ0.5
σ 1 σ2
2 1 O 1 2 x
1 O
1
x
1
图2.45
2
6当μ一定,曲 时线的形 σ确状 .定 σ越 由,小 曲线越
"瘦高 ",表示总体的分 ;σ越 布,大 曲 越线 集 "矮 越 中
胖",表示总体的分 . 布越分散
记 作Nμ,σ2.如 果 随 机 变X量 服 从 正 态 分,则 布记 为X ~ Nμ,σ2 .
参数 μ是反映随机变平 量的 取特 值,征 可 水数 以
用样本均值;σ去 是估 衡计 量随机变动 量大 总体 小的特,征 可数 以用样本标计 准. 差去估
经验表明 ,一个随机变量如果是众 多的、互 不相干的、不分主 次的偶 然因素作用结果 之和 ,它就服从或近似服从正 态分布 .例如高 尔顿板试 验中 ,小球下落过程中要与众 多小 木板碰撞 , 每次碰撞的结果使得小 球随机地 向左或向右下落 ,因此小球第 1 次与高尔顿板 底部接触时的坐标 X 是众多随机碰 撞的结 果,所以它近似服从正态分 布.
y
O
图2.43
x
这条曲线 (或 就近 是似 )下地 列函数的 : 图象
φμ,σx 1 ex 2 σ μ 22,x , ,
2π σ
其中 μ 和 σ σ 实 0 为 数 .我 参φ 们 μ 数 ,σ x 的 称
图正象 态分布密为 度曲线 ,简 正态称 曲线 .
如果去掉高尔顿板试验
y
中最下边的球槽 ,并沿其
[引入] 高尔顿板试验
你见过高尔顿板吗 ? 图2. 4 1
所示的就是一块高尔顿 板示意
图.在一块木板上钉上若干 排相
互平行但相互错开的圆柱 形小
木块,小木块之间留有适当的 空
隙作为通道,前面挡有一块玻璃.
让一个小球从高尔顿板 上方的 通道口落下,小球在下落过 程中
图2.41
与层层小木块碰撞,最后掉入高尔顿板下方 的某一球槽内.
所以 ,正态分布广泛存 然在 现于 象自 、生产和生 际之。中正态分布在概率 中和 占统 有计 重要 。地位
, x
1
x2 y
e , 22
2
x,,
思考 观 察
o
x
图2.44
图 2 .4 4 ,结
合 φ μ ,σ x 的
解析式及概 率的性质 , 你 能说 说正态
曲线 的特点
可以发现 ,正态曲线有如下特: 点
如果把球槽编 ,就号可以考察到底是 第落 几在 号球 中.重复进行高尔顿板 ,随试着验试验次数的,掉增入加 各个球槽内的小球 数的 就越 个来越,多 堆积的高度 会越来越.各 高个球 槽的堆积高度反映 球了 掉小 入 球槽的个数多少
为了更好地考察随验着次试数的增,落 加在在各 个球槽内的小球分况布,我情们进一步从频率的 角度探究一下小球布的规分律.以球槽的编号为 横坐标 ,以小球落 入各个球槽内的频为率纵值坐
P μ σ X μ σ 0 .68 , 26 P μ 2 σ X μ 2 σ 0 .95 , 44
P μ 3 σ X μ 3 σ 0 .99 , 74
上述结果可 2.4用 7图 表示
μa μ μa
图2.46
68.26%
μ
2σ
95.44%
μ
4σ
图2.47
99.74%
分 的)面 就 , 积 X 是 落 在a 区 ,b的 间概 率 的 . 近
一 般 地,如 果 对 于 任 何 实 a 数b,随 机 变 量 X满 足
Pa Xb
b
φμ,σ
xdx,
a
则 称X的 分 布 为 正态分布 (normadl istribuotin).正
态 分 布 完 全 由 参μ和数σ 确 定,因 此 正 态 分 布 常
μ和 σ
确定 , 所以可以通过研究
μ
和 σ 对正态曲线的影响
,来
认识正态曲线的特点
.不妨
先固定 σ 值 , 作出 μ 取不同值
的图象 (图 2 .4 5 (1)); 再固定
μ 值 , 作出 σ 取不同值的图象
(图 2 .4 5 ( 2 )).
由上述过程还可以发现 正态
曲线的下述特点:
5当σ一定 ,曲 时线随 μ的着