北师大版九年级数学下册2.4 第2课时 商品利润最大问题(导学案)
2020届北师大版九年级数学下册学案2.4 第2课时 商品利润最大问题
2.4 二次函数与一元二次方程第2课时商品利润最大问题学习目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．学习重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．学习难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．学习过程:一、有关利润问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b2）2＋ab ac 442-的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课后练习1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？。
九年级数学下册-北师大版九年级下册数学第2课时 商品利润最大问题北师大版九年级下册数学第2课时 商品利润
（3）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，那么商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少元？
四、课堂小结：
五、布置作业：
2.4二次函数与一元二次方程
第2课时商品利润最大问题
课题
利用二次函数解决商品销售利润问题
授课人
重点难点
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。
教学
方法
引导发现、讨论归纳、讲练结合
课型
复习课
教
学
目
标
1、知识目标：体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学应用价值
若该公司计划年初投入进货成本m不超过200万元，请你分析一下，售价定为多少元，公司获利最大？售价定为多少元，公司获利最少？
三、小练兵：
某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y= –20x +1800.
（1）写出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
销单价x（元）
60
80
100
年销售量（万件）
5
4
3
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）设该种产品的年销售额为P（万元），写出P的函数表达式。
（3）试写出该公司销售该种产品的年获利W（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=每件获利×年销售量-其他开支）。
（4）当销售单价定为多少元时，年获利最大？最大年获利是多少万元？
2019-2020年北师大版九年级数学下册学案2.4 第2课时 商品利润最大问题
2.4 二次函数与一元二次方程第2课时商品利润最大问题学习目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．学习重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．学习难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．学习过程:一、有关利润问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b2）2＋ab ac 442-的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课后练习1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？。
2020年春北师版九年级数学下册教案 2.4 第2课时 商品利润最大问题2
（6）公司希望年获利不低于140万元，应如何确定销售单价？
（7）在年获利不低于140万元的前提下，该公司本年度进货成本m最低为多少元？
（8）物价部门规定，此新型通讯产品售价不得高于每件80元。在此情况下，售价定为多少元时，该公司可获得最大利润？最大利润为多少万元？
2.4二次函数与一元二次方程
第2课时商品利润最大问题
课题
利用二次函数解决商品销售利润问题
授课人
重点难点
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。
教学
方法
引导发现、讨论归纳、讲练结合
课型
复习课
教
学
目
标
1、知识目标：体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学应用价值
2、能力目标：能分析和表示问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。
3、德育目标：培养学生积极的学习态度，养成积极主动的讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计20万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如下表格所示的一次函数关系。
销售单价x（元）
60
80
100
年销售量（万件）
5
4
3
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）设该种产品的年销售额为P（万元），写出P的函数表达式。
（3）试写出该公司销售该种产品的年获利W（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=每件获利×年销售量-其他开支）。
（4）当销售单价定为多少元时，年获利最大？最大年获利是多少万元？
北师大版2019-2020年九年级数学下册教案：2.4 第2课时 商品利润最大问题1
2.4 二次函数的应用 第2课时 商品利润最大问题1．应用二次函数解决实际问题中的最值问题；(重点)2．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．(难点)一、情境导入某商店经营T 恤衫，已知成批购进时单价是25元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是135元时，销售量是500件，而单价每降低10元，就可以多售出200件．请你帮忙分析，销售单价是多少时，可以获利最多？二、合作探究探究点一：商品利润最大问题【类型一】 利用二次函数求实际问题中的最大利润某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x (x ≥60)元时，销售量为y 套．(1)求出y 与x 的函数关系式； (2)当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？ (3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？解析：(1)由销售单价为x 元得到销售减少量，用240减去销售减少量得到y 与x 的函数关系式； (2)直接用销售单价乘以销售量等于14000，列方程求得销售单价； (3)设一个月内获得的利润为w 元，根据题意得w ＝(x －40)(－4x ＋480)，然后利用配方法求最值．解：(1)销售单价为x 元，则销售量减少x －605×20，故销售量为y ＝240－x －605×20＝－4x ＋480(x ≥60)；(2)根据题意可得x (－4x ＋480)＝14000，解得x 1＝70，x 2＝50(不合题意，舍去)，故当销售价为70元时，月销售额为14000元；(3)设一个月内获得的利润为w 元，根据题意得w＝(x －40)(－4x ＋480)＝－4x 2＋640x －19200＝－4(x －80)2＋6400.当x ＝80时，w 有最大值，最大值为6400.所以，当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．方法总结：先得到二次函数的顶点式y ＝a (x －h )2＋k ，当a ＜0，x ＝h 时，y 有最大值k ；当a >0，x ＝h 时，y 有最小值k .变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润w (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和w 和销售时间t 之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由图象上已知的信息，求累积利润w (万元)与销售时间t (月)之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第8个月公司所获利润是多少万元． 解析：(1)本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出w 与t 之间的函数关系式；(2)把w ＝30代入累计利润w ＝12t 2－2t 的函数关系式里，求得月份；(3)分别将t ＝7，t ＝8代入函数解析w ＝12t 2－2t ，再把总利润相减就可得出．解：(1)由图象可知其顶点坐标为(2，－2)，故可设其函数关系式为w ＝a (t －2)2－2.∵所求函数关系式的图象过(0，0)，于是得a (0－2)2－2＝0，解得a ＝12.∴函数关系式为w ＝12(t －2)2－2，即w ＝12t 2－2t .所以，累积利润w 与销售时间t 之间的函数关系式为w ＝12t 2－2t ；(2)把w ＝30代入w ＝12t 2－2t ，得12t 2－2t ＝30.解得t 1＝10，t 2＝－6(不合题意，舍去)．所以，截止到10月末公司累积利润可达30万元；(3)把t ＝7代入关系式，得w ＝12×72－2×7＝10.5，把t ＝8代入关系式，得w ＝12×82－2×8＝16.16－10.5＝5.5(万元)．所以，第8个月公司所获利润是5.5万元． 方法总结：此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给信息的理解是解决问题的关键．【类型二】 综合运用一次函数和二次函数求最大利润宿松超市以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系如图(20≤x≤60)．(1)求每天销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)若该商品每天的利润为w(元)，试确定w(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式，并求售价x为多少时，每天的利润w最大，最大利润是多少？解析：(1)当20≤x≤40时，设y＝ax＋b，当40＜x≤60时，设y＝mx＋n，利用待定系数法求一次函数解析式即可；(2)利用(1)中所求进而得出w(元)与售价x(元/件)的函数表达式，进而求出函数最值．解：(1)分两种情况：当20≤x≤40时，设y＝ax＋b，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20a＋b＝40，40a＋b＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝20，故y＝x＋20；当40＜x≤60时，设y＝mx＋n，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40m＋n＝60，60m＋n＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝－2，n＝140，故y＝－2x＋140.故每天销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数表达式是y＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋20（20≤x≤40），－2x＋140（40＜x≤60）；(2)w＝错误!①当20≤x≤40时，w＝x2－400，由于1＞0，因而抛物线开口向上，且x＞0时w随x的增大而增大，又20≤x≤40，因此当x＝40时，w有最大值，w最大值＝402－400＝1200；②当40＜x≤60时，w＝－2x2＋180x－2800＝－2(x－45)2＋1250，由于－2＜0，抛物线开口向下，又40＜x≤60，所以当x＝45时，w有最大值，w最大值＝1250.综上所述，当x＝45时，w最大值＝1250.所以，售价为45元/件时，每天的利润最大，最大利润是1250元．方法总结：一次函数与二次函数的综合应用问题主要解决的是图象与性质的问题或生活中的实际应用问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】利用表格信息求最大利润某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天)1≤x＜5050≤x≤90售价(元/件)x＋4090每天销量(件)200－2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？解析：(1)分1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利用利润＝每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；(2)利用(1)得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；当50≤x≤90时，y＝(200－2x )(90－30)＝－120x ＋12000.综上所述，y＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000（1≤x ＜50），－120x ＋12000（50≤x ≤90）； (2)当1≤x ＜50时，y ＝－2x 2＋180x ＋2000，二次函数开口向下，对称轴为x ＝45，当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；当50≤x ≤90时，y ＝－120x ＋12000，y 随x 的增大而减小，当x ＝50时，y 最大＝6000.综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．方法总结：本题考查了二次函数的应用，读懂表格信息、理解利润的计算方法，即利润＝每件的利润×销售的件数，是解决问题的关键．三、板书设计商品利润最大问题1．利用二次函数求实际问题中的最大利润 2．综合运用一次函数和二次函数求最大利润 3.利用表格信息求最大利润本节课是在学习了二次函数的概念、图象及性质后，应用二次函数的最大值解决销售问题的最大利润问题．本节课的设计力求通过创设问题情境，有计划、有步骤地安排好思维序列，使学生的思维活动在“探索——发现”的过程中充分展开，力求使学生经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的过程，整个教学过程突出知识的形成与发展的过程，让学生既获得了知识又发展了智力，同时提升了能力.。
【北师大版】九年级数学下册：2.4第2课时商品利润最大问题2教案
2.4 二次函数与一元二次方程第 2 课时商品收益最大问题课题利用二次函数解决商品销售利讲课人润问题要点可以剖析和表示实质问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函难点数的知识求出实质问题的最值。
教课指引发现、议论概括、讲练联合课型复习课方法1、知识目标：领会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感觉数学教应用价值学2、能力目标：能剖析和表示问题中变量之间的二次函数关系，并运用目二次函数的知识求出实质问题的最大（小）值，发展解决问题的能标力。
3、德育目标：培育学生踊跃的学习态度，养成踊跃主动的学习习惯。
教学过程一、引入 :二、走进生活：某通信器械企业销售一种市场需求较大的新式通信产品，已知每件产品的进价为 40 元，每年销售该种产品的总开销（不含进价）总计 20 万元，在销售过程中发现，年销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间存在着以下表格所示的一次函数关系。
销售单价 x（元）6080100年销售量（万件）543（1）求 y 对于 x 的函数关系式；（2）设该种产品的年销售额为 P（万元），写出 P 的函数表达式。
（3）试写出该企业销售该种产品的年赢利 W（万元）对于销售单价 x（元）的函数关系式（年赢利 =每件赢利×年销售量 -其余开销）。
（4）当销售单价定为多少元时，年赢利最大？最大年赢利是多少万元？（5）企业计划年赢利 140 万元，销售单价该定为多少元？（6）企业希望年赢利不低于 140 万元，应怎样确立销售单价？（ 7）在年赢利不低于 140 万元的前提下，该企业今年度进货成本 m 最低为多少元？（ 8）物价部门规定，此新式通信产品售价不得高于每件80 元。
在此状况下，售价定为多少元时，该企业可获取最大收益？最大收益为多少万元？若该企业计划年初投入进货成本 m 不超出 200 万元，请你剖析一下，售价定为多少元，企业赢利最大？售价定为多少元，企业赢利最少？三、小练兵：某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是 60 元．依据市场检查，销售量y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为 y= –20 x +1800.（1）写出销售该品牌童装获取的收益 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于 76 元，不高于 78 元，那么商场销售该品牌童装获取的最大收益是多少元？（3）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于 76 元，且商场要达成许多于 240 件的销售任务，那么商场销售该品牌童装获取的最大收益是多少元？四、讲堂小结：五、部署作业：。
2.4 第2课时 商品利润最大问题1(北师大版本九年级下册教案)
2.4 二次函数的应用第2课时商品利润最大问题1．应用二次函数解决实际问题中的最值问题；(重点)2．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．(难点)一、情境导入某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是25元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是135元时，销售量是500件，而单价每降低10元，就可以多售出200件．请你帮忙分析，销售单价是多少时，可以获利最多？二、合作探究探究点一：商品利润最大问题利用二次函数求实际问题中的最大利润某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元时，销售量为y套．(1)求出y与x的函数关系式；(2)当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？解析：(1)由销售单价为x元得到销售减少量，用240减去销售减少量得到y与x的函数关系式；(2)直接用销售单价乘以销售量等于14000，列方程求得销售单价；(3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得w＝(x－40)(－4x＋480)，然后利用配方法求最值．解：(1)销售单价为x元，则销售量减少x－605×20，故销售量为y＝240－x－605×20＝－4x＋480(x≥60)；(2)根据题意可得x(－4x＋480)＝14000，解得x1＝70，x2＝50(不合题意，舍去)，故当销售价为70元时，月销售额为14000元；(3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得w＝(x－40)(－4x＋480)＝－4x2＋640x－19200＝－4(x－80)2＋6400.当x＝80时，w有最大值，最大值为6400.所以，当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．方法总结：先得到二次函数的顶点式y＝a(x－h)2＋k，当a＜0，x＝h时，y有最大值k；当a>0，x＝h时，y有最小值k.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润w(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和w和销售时间t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由图象上已知的信息，求累积利润w(万元)与销售时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第8个月公司所获利润是多少万元．解析：(1)本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出w 与t 之间的函数关系式；(2)把w ＝30代入累计利润w ＝12t 2－2t 的函数关系式里，求得月份；(3)分别将t ＝7，t ＝8代入函数解析w ＝12t 2－2t ，再把总利润相减就可得出．解：(1)由图象可知其顶点坐标为(2，－2)，故可设其函数关系式为w ＝a (t －2)2－2.∵所求函数关系式的图象过(0，0)，于是得a (0－2)2－2＝0，解得a ＝12.∴函数关系式为w＝12(t －2)2－2，即w ＝12t 2－2t . 所以，累积利润w 与销售时间t 之间的函数关系式为w ＝12t 2－2t ；(2)把w ＝30代入w ＝12t 2－2t ，得12t 2－2t＝30.解得t 1＝10，t 2＝－6(不合题意，舍去)．所以，截止到10月末公司累积利润可达30万元；(3)把t ＝7代入关系式，得w ＝12×72－2×7＝10.5，把t ＝8代入关系式，得w ＝12×82－2×8＝16.16－10.5＝5.5(万元)．所以，第8个月公司所获利润是5.5万元．方法总结：此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给信息的理解是解决问题的关键．综合运用一次函数和二次函数求最大利润宿松超市以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数关系如图(20≤x ≤60)．(1)求每天销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数关系式；(2)若该商品每天的利润为w (元)，试确定w (元)与售价x (元/件)之间的函数关系式，并求售价x 为多少时，每天的利润w 最大，最大利润是多少？解析：(1)当20≤x ≤40时，设y ＝ax ＋b ，当40＜x ≤60时，设y ＝mx ＋n ，利用待定系数法求一次函数解析式即可；(2)利用(1)中所求进而得出w (元)与售价x (元/件)的函数表达式，进而求出函数最值．解：(1)分两种情况：当20≤x ≤40时，设y ＝ax ＋b ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝40，40a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝20，故y ＝x ＋20；当40＜x ≤60时，设y ＝mx ＋n ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40m ＋n ＝60，60m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝140，故y ＝－2x ＋140. 故每天销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数表达式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋20（20≤x ≤40），－2x ＋140（40＜x ≤60）；(2)w ＝错误!①当20≤x ≤40时，w ＝x 2－400，由于1＞0，因而抛物线开口向上，且x ＞0时w 随x的增大而增大，又20≤x≤40，因此当x＝40时，w有最大值，w最大值＝402－400＝1200；②当40＜x≤60时，w＝－2x2＋180x－2800＝－2(x－45)2＋1250，由于－2＜0，抛物线开口向下，又40＜x≤60，所以当x＝45时，w有最大值，w最大值＝1250.综上所述，当x＝45时，w最大值＝1250.所以，售价为45元/件时，每天的利润最大，最大利润是1250元．方法总结：一次函数与二次函数的综合应用问题主要解决的是图象与性质的问题或生活中的实际应用问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】利用表格信息求最大利润某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？解析：(1)分1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利用利润＝每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；(2)利用(1)得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.综上所述，y＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x2＋180x＋2000（1≤x＜50），－120x＋12000（50≤x≤90）；(2)当1≤x＜50时，y＝－2x2＋180x＋2000，二次函数开口向下，对称轴为x＝45，当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；当50≤x≤90时，y＝－120x＋12000，y随x的增大而减小，当x＝50时，y最大＝6000.综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．方法总结：本题考查了二次函数的应用，读懂表格信息、理解利润的计算方法，即利润＝每件的利润×销售的件数，是解决问题的关键．三、板书设计商品利润最大问题1．利用二次函数求实际问题中的最大利润2．综合运用一次函数和二次函数求最大利润3.利用表格信息求最大利润本节课是在学习了二次函数的概念、图象及性质后，应用二次函数的最大值解决销售问题的最大利润问题．本节课的设计力求通过创设问题情境，有计划、有步骤地安排好思维序列，使学生的思维活动在“探索——发现”的过程中充分展开，力求使学生经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的过程，整个教学过程突出知识的形成与发展的过程，让学生既获得了知识又发展了智力，同时提升了能力.。
2020届北师大版九年级数学下册教案2.4 第2课时 商品利润最大问题2
3、德育目标：培养学生积极的学习态度，养成积极主动的学习习惯。
教 学 过 程
一、引入:
二、走进生活：
某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计20万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如下表格所示的一次函数关系。
（5）公司计划年获利140万元，销售单价该定为多少元？
（6）公司希望年获利不低于140万元，应如何确定销售单价？
（7）在年获利不低于140万元的前提下，该公司本年度进货成本m最低为多少元？
（8）物价部门规定，此新型通讯产品售价不得高于每件80元。在此情况下，售价定为多少元时，该公司可获得最大利润？最大利润为多少万元？
2.4 二次函数与一元二次方程
第2课时 商品利润最大问题
课题
利用二次函数解决商品销售利润问题
授课人
重点难点
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。
教学
方法
引导发现、讨论归纳、讲练结合
课型
复习课
教
学
目
标
1、知识目标：体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学应用价值
若该公司计划年初投入进货成本m不超过200万元，请你分析一下，售价定为多少元，公司获利最大？售价定为多少元，公司获利最少？
三、小练兵：
某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y= –20x +1800.
北师大版9年级数学下册2.4 第2课时 商品利润最大问题学案
2.4 二次函数与一元二次方程第2课时商品利润最大问题学习目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．学习重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．学习难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．学习过程:一、有关利润问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b2）2＋ab ac 442-的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课后练习1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？。
2.4第2课时商品利润最大问题导学案北师大版九年级数学下册
第二章二次函数2.4 二次函数的应用第2课时商品利润最大问题学习目标：1．应用二次函数解决实际问题中的最值问题；(重点)2．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．(难点)一、复习回顾类比几何问题求最值，想一想如何求利润问题的最大值？一、要点探究知识点一：利润最大问题例1 服装厂生产某品牌的T 恤衫成本是每件10 元.根据市场调查，以单价13 元批发给经销商，经销商愿意经销5000 件，并且表示单价每降价0.1 元，愿意多经销500 件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多?例2 某旅馆有客房120 间，每间房的日租金为160 元时，每天都客满. 经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10 元，那么客房每天出租数会减少 6 间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高最高总收入是多少?归纳总结议一议还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x (棵) 与橙子总产量y (个) 的二次函数表达式：y = (100 + x)(600 5x) = 5x² + 100x + 60000.（1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系.（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？链接中考1. (泰兴市期末) 一水果店售卖一种水果，以8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以12 元/千克售卖，每天可卖60 千克：若每千克涨价0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价0.5 元，每天要多卖2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为x 元/千克时，一天销售总质量为y 千克.(1) 求y 与x 的函数关系式.(2) 若水果店货源充足，每天以固定价格x 元/千克销售( x > 8 )，试求出水果店每天利润W 与单价x 的函数关系式，并求出当x 为何值时，利润达到最大.二、课堂小结）件，为使利润最大，则每件售价应定为元2. 某种商品的成本是120 元，试销阶段每件商品的售价x（元）与产品的销售量y（件）满足当x=130 时，y=70，当x=150 时，y=50，且y 是x 的一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产品的销售价应定为（）A．160元B．180元C．140元D．200元3. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x (元）之间满足关系：y = ax2+bx75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16 元？参考答案二、小组合作，探究概念和性质知识点一：利润最大问题例1解：设厂家批发单价是为x 元，获利y 元.∵ 13 − x≥0，且x＞10，∵ 10＜x≤13.故厂家批发单价为12 元时，获利最多，为20000元.例2解：设每间客房的日租金提高10x 元，则每天客房出租数会减少6x 间. 设客房日租金总收入为y 元，则y = (160 + 10x)(120 6x)= 60(x 2)2 + 19440∵ x≥0，且120－6x＞0，∵ 0≤x＜20.当x = 2 时，y最大=19440.这时每间客房的日租金为160 + 10×2 = 180 (元)因此，每间客房的日租金提高到180 元时，客房总收入最高, 最高收入为19440 元.议一议（1）（2）链接中考1.当堂检测1.答案：252.答案：A3.解：(1) 由题中条件可求y = x2+20x75∵1<0,对称轴x=10,∵当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元；(2)由对称性知y=16 时，x = 7和13.故销售单价在7 ≤x ≤13 时，利润不低于16元.。
新版北师大数学九下教案：第2课时 商品利润最大问题2
过程中发现，年销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间存在着如下表格所示
的一次函数关系。
销售单价 x（元）
60
80
100
年销售量（万件）
5
4
3
பைடு நூலகம்
（1）求 y 关于 x 的函数关系式；
（2）设该种产品的年销售额为 P（万元） ，写出 P 的函数表达式 。
（3）试写出该公司销售该种产品的年获利 W（万元）关于销售单价 x（元） 的函数关系式（年获利=每件获利×年销售量-其他开支）。
2.4 二次函数与一元二次方程
第 2 课时 商品利润最大问题
课题
重点 难点 教学 方法
教 学 目 标
利用二次函数解决商品销售利 润问题
授课人
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函
数的知识求出实际问题的最值。
引导发现、讨论归纳、讲练结合 课型
复习课
1、 知识目标：体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学 应用价值
（4）当销售单价定为多少元时，年获利最大？最大年获利是多少万元？ （5）公司计划年获利 140 万元，销售单价该定为多少元？
（6）公司希望年获利不低于 140 万元，应如何确定销售单价？
（7）在年获利不低于 140 万元的前提下，该公司本年度进货成本 m 最低 为多少元？
（8）物价部门规定，此新型通讯产品售价不得高于每件 80 元。在此情况
下，售价定为多少元时，该公司可获得最大利润？最大利润为多少万元？ 若该公司计划年初投入进货成本 m 不超过 200 万元，请你分析一下，售价
定为多少元，公司获利最大？售价定为多少元，公司获利最少？
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数2.4 二次函数的应用第2课时 商品利润最大问题导学案
2.4 二次函数与一元二次方程第2课时 商品利润最大问题学习目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值． 学习重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．学习难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题． 学习过程:一、有关利润问题：某商店经营T 恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b2）2＋a b ac 442 的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课后练习1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y （箱）与每箱售价x （元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W （元）与每箱牛奶的售价x （元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？。
2.4第2课时最大利润问题及其他实际问题(教案)2023-2024学年九年级下册数学北师大版(安徽)
一、教学内容
2.4第2课时最大利润问题及其他实际问题，选自2023-2024学年九年级下册数学北师大版（安徽）。本节课将围绕以下内容展开：
1.最大利润问题的数学模型建立，理解并掌握线性方程和不等式在最大利润问题中的应用。
在学生小组讨论环节，我发现学生们在讨论最大利润在实际生活中的应用时，能够提出很多有创意的想法。这说明他们在思考问题时具有一定的深度和广度。不过，如何引导学生将讨论成果进行有效总结和分享，也是我在今后教学中需要关注的问题。
总之，通过本次教学活动，我深刻认识到教学反思的重要性。在今后的工作中，我将不断总结经验教训，努力提高自己的教学水平，以期让每位学生都能在课堂上收获知识、提高能力。同时，我也将更加关注学生的需求，充分调动他们的积极性，让数学课堂变得更加生动有趣。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调线性方程和不等式的建立与应用这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例子和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最大利润相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何通过调整售价和成本来实现最大利润的基本原理。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对于最大利润问题的理解程度参差不齐。有些学生能够迅速掌握线性方程和不等式在解决问题中的应用，而有些学生则在理解上存在一定的困难。这也让我意识到，在今后的教学中，需要更加关注学生的个体差异，因材施教。
在导入新课环节，通过提问的方式引起学生的兴趣，效果还不错。大多数学生都能够积极参与讨论，分享自己在日常生活中遇到的最大利润问题。这说明现实情境的引入对于激发学生的学习兴趣具有很好的作用。
2020届北师大版九年级数学下册教案2.4 第2课时 商品利润最大问题1
2.4 二次函数的应用第2课时商品利润最大问题1．应用二次函数解决实际问题中的最值问题；(重点)2．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．(难点)一、情境导入某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是25元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是135元时，销售量是500件，而单价每降低10元，就可以多售出200件．请你帮忙分析，销售单价是多少时，可以获利最多？二、合作探究探究点一：商品利润最大问题【类型一】利用二次函数求实际问题中的最大利润某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元时，销售量为y套．(1)求出y与x的函数关系式；(2)当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？解析：(1)由销售单价为x元得到销售减少量，用240减去销售减少量得到y与x 的函数关系式； (2)直接用销售单价乘以销售量等于14000，列方程求得销售单价； (3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得w＝(x－40)(－4x＋480)，然后利用配方法求最值．解：(1)销售单价为x元，则销售量减少x－605×20，故销售量为y＝240－x－605×20＝－4x＋480(x≥60)；(2)根据题意可得x(－4x＋480)＝14000，解得x1＝70，x2＝50(不合题意，舍去)，故当销售价为70元时，月销售额为14000元；(3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得w＝(x－40)(－4x＋480)＝－4x2＋640x－19200＝－4(x－80)2＋6400.当x ＝80时，w有最大值，最大值为6400.所以，当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．方法总结：先得到二次函数的顶点式y ＝a(x－h)2＋k，当a＜0，x＝h时，y有最大值k；当a>0，x＝h时，y有最小值k.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润w (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和w 和销售时间t 之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由图象上已知的信息，求累积利润w (万元)与销售时间t (月)之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第8个月公司所获利润是多少万元．解析：(1)本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出w 与t 之间的函数关系式；(2)把w ＝30代入累计利润w ＝12t 2－2t的函数关系式里，求得月份；(3)分别将t ＝7，t ＝8代入函数解析w ＝12t 2－2t ，再把总利润相减就可得出．解：(1)由图象可知其顶点坐标为(2，－2)，故可设其函数关系式为w ＝a (t －2)2－2.∵所求函数关系式的图象过(0，0)，于是得a (0－2)2－2＝0，解得a ＝12.∴函数关系式为w ＝12(t －2)2－2，即w ＝12t 2－2t .所以，累积利润w 与销售时间t 之间的函数关系式为w ＝12t 2－2t ；(2)把w ＝30代入w ＝12t 2－2t ，得12t 2－2t ＝30.解得t 1＝10，t 2＝－6(不合题意，舍去)．所以，截止到10月末公司累积利润可达30万元；(3)把t ＝7代入关系式，得w ＝12×72－2×7＝10.5，把t ＝8代入关系式，得w＝12×82－2×8＝16.16－10.5＝5.5(万元)． 所以，第8个月公司所获利润是5.5万元．方法总结：此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给信息的理解是解决问题的关键．【类型二】 综合运用一次函数和二次函数求最大利润宿松超市以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数关系如图(20≤x ≤60)．(1)求每天销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数关系式；(2)若该商品每天的利润为w (元)，试确定w (元)与售价x (元/件)之间的函数关系式，并求售价x 为多少时，每天的利润w 最大，最大利润是多少？解析：(1)当20≤x ≤40时，设y ＝ax ＋b ，当40＜x ≤60时，设y ＝mx ＋n ，利用待定系数法求一次函数解析式即可；(2)利用(1)中所求进而得出w (元)与售价x (元/件)的函数表达式，进而求出函数最值．解：(1)分两种情况：当20≤x ≤40时，设y ＝ax ＋b ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝40，40a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝20，故y ＝x ＋20；当40＜x ≤60时，设y ＝mx ＋n ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40m ＋n ＝60，60m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝140，故y ＝－2x ＋140. 故每天销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数表达式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋20（20≤x ≤40），－2x ＋140（40＜x ≤60）； (2)w ＝错误!①当20≤x ≤40时，w ＝x 2－400，由于1＞0，因而抛物线开口向上，且x ＞0时w 随x 的增大而增大，又20≤x ≤40，因此当x ＝40时，w 有最大值，w 最大值＝402－400＝1200；②当40＜x ≤60时，w ＝－2x 2＋180x －2800＝－2(x －45)2＋1250，由于－2＜0，抛物线开口向下，又40＜x ≤60，所以当x ＝45时，w 有最大值，w 最大值＝1250.综上所述，当x ＝45时，w 最大值＝1250. 所以，售价为45元/件时，每天的利润最大，最大利润是1250元．方法总结：一次函数与二次函数的综合应用问题主要解决的是图象与性质的问题或生活中的实际应用问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第2题【类型三】 利用表格信息求最大利润某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x (1≤x ≤90)天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x (天) 1≤x ＜5050≤x ≤90售价(元/件) x ＋4090 每天销量(件)200－2x售该商品每天的利润为y 元．(1)求出y 与x 的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？解析：(1)分1≤x ＜50和50≤x ≤90两种情况进行讨论，利用利润＝每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；(2)利用(1)得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．解：(1)当1≤x ＜50时，y ＝(200－2x )(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2000；当50≤x ≤90时，y ＝(200－2x )(90－30)＝－120x ＋12000.综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000（1≤x ＜50），－120x ＋12000（50≤x ≤90）； (2)当1≤x ＜50时，y ＝－2x 2＋180x ＋2000，二次函数开口向下，对称轴为x ＝45，当x ＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；当50≤x≤90时，y＝－120x ＋12000，y随x的增大而减小，当x＝50时，y最大＝6000.综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．方法总结：本题考查了二次函数的应用，读懂表格信息、理解利润的计算方法，即利润＝每件的利润×销售的件数，是解决问题的关键．三、板书设计商品利润最大问题1．利用二次函数求实际问题中的最大利润2．综合运用一次函数和二次函数求最大利润3.利用表格信息求最大利润本节课是在学习了二次函数的概念、图象及性质后，应用二次函数的最大值解决销售问题的最大利润问题．本节课的设计力求通过创设问题情境，有计划、有步骤地安排好思维序列，使学生的思维活动在“探索——发现”的过程中充分展开，力求使学生经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的过程，整个教学过程突出知识的形成与发展的过程，让学生既获得了知识又发展了智力，同时提升了能力.。
九年级数学初三下册：2.4 第2课时 商品利润最大问题2教案 教学设计
第2课时商品利润最大问题
课题
利用二次函数解决商品销售利润问题
授课人
重点难点
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。
教学
方法
引导发现、讨论归纳、讲练结合
课型
复习课
教
学
目
标
1、知识目标：体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学应用价值
若该公司计划年初投入进货成本m不超过200万元，请你分析一下，售价定为多少元，公司获利最大？售价定为多少元，公司获利最少？
三、小练兵：
某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y= –20x +1800.
（1）写出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
销售单价x（元）
60
80
100
年销售量（万件）
5
4
3
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）设该种产品的年销售额为P（万元），写出P的函数表达式。
（3）试写出该公司销售该种产品的年获利W（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=每件获利×年销售量-其他开支）。
（4）当销售单价定为多少元时，年获利最大？最大年获利是多少万元？
2、能力目标：能分析和表示问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。
3、德育目标：培养学生积极的学习态度，养成积极主动的学习习惯。
教学过程
一、引入:
二、走进生活：
某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计20万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如下表格所示的一次函数关系。
北师大版2019-2020年九年级数学下册教案：2.4 第2课时 商品利润最大问题1
2.4 二次函数的应用 第2课时 商品利润最大问题1．应用二次函数解决实际问题中的最值问题；(重点)2．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．(难点)一、情境导入某商店经营T 恤衫，已知成批购进时单价是25元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是135元时，销售量是500件，而单价每降低10元，就可以多售出200件．请你帮忙分析，销售单价是多少时，可以获利最多？二、合作探究探究点一：商品利润最大问题 【类型一】 利用二次函数求实际问题中的最大利润某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x (x ≥60)元时，销售量为y 套．(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？ (3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？解析：(1)由销售单价为x 元得到销售减少量，用240减去销售减少量得到y 与x 的函数关系式； (2)直接用销售单价乘以销售量等于14000，列方程求得销售单价； (3)设一个月内获得的利润为w 元，根据题意得w ＝(x －40)(－4x ＋480)，然后利用配方法求最值．解：(1)销售单价为x 元，则销售量减少x －605×20，故销售量为y ＝240－x －605×20＝－4x ＋480(x ≥60)；(2)根据题意可得x (－4x ＋480)＝14000，解得x 1＝70，x 2＝50(不合题意，舍去)，故当销售价为70元时，月销售额为14000元；(3)设一个月内获得的利润为w 元，根据题意得w ＝(x －40)(－4x ＋480)＝－4x 2＋640x －19200＝－4(x －80)2＋6400.当x ＝80时，w 有最大值，最大值为6400.所以，当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．方法总结：先得到二次函数的顶点式y ＝a (x －h )2＋k ，当a ＜0，x ＝h 时，y 有最大值k ；当a >0，x ＝h 时，y 有最小值k .变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润w (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和w 和销售时间t 之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由图象上已知的信息，求累积利润w (万元)与销售时间t (月)之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； (3)求第8个月公司所获利润是多少万元． 解析：(1)本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出w 与t 之间的函数关系式；(2)把w ＝30代入累计利润w ＝12t 2－2t 的函数关系式里，求得月份；(3)分别将t ＝7，t ＝8代入函数解析w ＝12t 2－2t ，再把总利润相减就可得出．解：(1)由图象可知其顶点坐标为(2，－2)，故可设其函数关系式为w ＝a (t －2)2－2.∵所求函数关系式的图象过(0，0)，于是得a (0－2)2－2＝0，解得a ＝12.∴函数关系式为w ＝12(t －2)2－2，即w ＝12t 2－2t .所以，累积利润w 与销售时间t 之间的函数关系式为w ＝12t 2－2t ；(2)把w ＝30代入w ＝12t 2－2t ，得12t 2－2t ＝30.解得t 1＝10，t 2＝－6(不合题意，舍去)．所以，截止到10月末公司累积利润可达30万元；(3)把t ＝7代入关系式，得w ＝12×72－2×7＝10.5，把t ＝8代入关系式，得w ＝12×82－2×8＝16.16－10.5＝5.5(万元)．所以，第8个月公司所获利润是5.5万元．方法总结：此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给信息的理解是解决问题的关键．【类型二】 综合运用一次函数和二次函数求最大利润宿松超市以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数关系如图(20≤x ≤60)．(1)求每天销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数关系式；(2)若该商品每天的利润为w (元)，试确定w (元)与售价x (元/件)之间的函数关系式，并求售价x 为多少时，每天的利润w 最大，最大利润是多少？解析：(1)当20≤x ≤40时，设y ＝ax ＋b ，当40＜x ≤60时，设y ＝mx ＋n ，利用待定系数法求一次函数解析式即可；(2)利用(1)中所求进而得出w (元)与售价x (元/件)的函数表达式，进而求出函数最值．解：(1)分两种情况：当20≤x ≤40时，设y ＝ax ＋b ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝40，40a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝20，故y ＝x ＋20；当40＜x ≤60时，设y ＝mx ＋n ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40m ＋n ＝60，60m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝140，故y ＝－2x ＋140. 故每天销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数表达式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋20（20≤x ≤40），－2x ＋140（40＜x ≤60）；(2)w ＝错误!①当20≤x ≤40时，w ＝x 2－400，由于1＞0，因而抛物线开口向上，且x ＞0时w 随x 的增大而增大，又20≤x ≤40，因此当x ＝40时，w 有最大值，w 最大值＝402－400＝1200；②当40＜x ≤60时，w ＝－2x 2＋180x －2800＝－2(x －45)2＋1250，由于－2＜0，抛物线开口向下，又40＜x ≤60，所以当x ＝45时，w 有最大值，w 最大值＝1250.综上所述，当x ＝45时，w 最大值＝1250.所以，售价为45元/件时，每天的利润最大，最大利润是1250元．方法总结：一次函数与二次函数的综合应用问题主要解决的是图象与性质的问题或生活中的实际应用问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第2题【类型三】 利用表格信息求最大利润某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x 时间x (天) 1≤x ＜50 50≤x ≤90售价(元/件) x ＋40 90 每天销量(件)200－2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y 元．(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？解析：(1)分1≤x ＜50和50≤x ≤90两种情况进行讨论，利用利润＝每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；(2)利用(1)得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．解：(1)当1≤x ＜50时，y ＝(200－2x )(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2000；当50≤x ≤90时，y ＝(200－2x )(90－30)＝－120x ＋12000.综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000（1≤x ＜50），－120x ＋12000（50≤x ≤90）；(2)当1≤x ＜50时，y ＝－2x 2＋180x ＋2000，二次函数开口向下，对称轴为x ＝45，当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；当50≤x ≤90时，y ＝－120x ＋12000，y 随x 的增大而减小，当x ＝50时，y 最大＝6000.综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．方法总结：本题考查了二次函数的应用，读懂表格信息、理解利润的计算方法，即利润＝每件的利润×销售的件数，是解决问题的关键．三、板书设计商品利润最大问题1．利用二次函数求实际问题中的最大利润 2．综合运用一次函数和二次函数求最大利润 3.利用表格信息求最大利润本节课是在学习了二次函数的概念、图象及性质后，应用二次函数的最大值解决销售问题的最大利润问题．本节课的设计力求通过创设问题情境，有计划、有步骤地安排好思维序列，使学生的思维活动在“探索——发现”的过程中充分展开，力求使学生经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的过程，整个教学过程突出知识的形成与发展的过程，让学生既获得了知识又发展了智力，同时提升了能力.。
2020年春北师版九年级数学下册学案 2.4 第2课时 商品利润最大问题
2.4 二次函数与一元二次方程第2课时 商品利润最大问题学习目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值． 学习重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．学习难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题． 学习过程:一、有关利润问题：某商店经营T 恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b2）2＋a b ac 442 的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课后练习1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y （箱）与每箱售价x （元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W （元）与每箱牛奶的售价x （元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？。
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2.4 二次函数与一元二次方程
第2课时 商品利润最大问题
学习目标:
体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值． 学习重点:
本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．
学习难点:
本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题． 学习过程:
一、有关利润问题：
某商店经营T 恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
二、做一做：
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?
⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?
三、举例：
【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．
（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b
2）2＋a b ac 442 的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？
四、随堂练习：
1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：
①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是a
b a
c 442
；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？
五、课后练习
1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？
3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天销售量y （箱）与每箱售价x （元）之间的函数表达式（注明范围）；
（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W （元）与每箱牛奶的售价x （元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）
（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；
（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？
（赠品，不喜欢可以删除）
数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
它要是给你讲起道理来，那可满满的都是人生啊。
1.人生的痛苦在于追求错误的东西。
所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，便无限远离了原点，却永远无法和它产生交点。
2.人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在无理的隔阂。
3.人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。
但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。
4.零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就能找到你们的平衡点。
5.有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。
至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。
6.幸福是可积的，有限的间断点并不影响它的积累。
所以，乐观地面对人生吧！
（赠品，不喜欢可以删除）
数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
它要是给你讲起道理来，那可满满的都是人生啊。
1.人生的痛苦在于追求错误的东西。
所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，便无限远离了原点，却永远无法和它产生交点。
2.人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在无理的隔阂。
4.人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。
但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。
4.零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就能找到你们的平衡点。
5.有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。
至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。
6.幸福是可积的，有限的间断点并不影响它的积累。
所以，乐观地面对人生吧！。