高中数学必修5第三章不等式复习知识点总结与练习

高中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习（一）

第一节不等关系与不等式

[知识能否忆起]

1．实数大小顺序与运算性质之间的关系

a －

b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的基本性质

1.在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c 的符号”等也需要注意．

2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．

高频考点

1. 比较两个数(式)的大小

[例1]已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5

a 5的大小．

[自主解答]当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5

a 5；

当q ＞0且q ≠1时，

S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5

)q 4(1－q )

＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5. 综上可知S 3a 3＜S 5a 5.

由题悟法

比较大小的常用方法 (1)作差法：

一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．

(2)作商法：

一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：

若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．

[注意]用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．

以题试法

1．(2012·吉林联考)已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )

A ．c ≥b ＞a

B ．a ＞c ≥b

C ．c ＞b ＞a

D ．a ＞c ＞b

解析：选A c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0， ∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋3

4>0，∴1＋a 2>a . ∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 2. 不等式的性质

(2012·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b

c ＜0；③a

－c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

(2)∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．

∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，

∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd

cd ＜0，

故②正确．

∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，

∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确．

∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C.

由题悟法

1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．

2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．

以题试法

2．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2 C ．若a ＜b ＜0，则1a ＜1

b

D ．若a ＜b ＜0，则b a ＞a

b

解析：选BA 中，只有a ＞b ＞0，c ＞d ＞0时，才成立；B 中，由a ＜b ＜0，得a 2＞ab

＞b 2成立；C ，D 通过取a ＝－2，b ＝－1验证均不正确． 3. 不等式性质的应用

典题导入

[例3]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． [自主解答]f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .

设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .

则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩

⎪⎨⎪⎧

m ＝1，n ＝3.

∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，

∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．

由题悟法

利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．

以题试法

3．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧

－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，

试求α＋3β的取值范围．

解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.

则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－1，

y ＝2.

∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．