《正态分布》教学设计1

《正态分布》教学设计（1）【教学目标】(1)深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质.(2)理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质.(3)能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律.教学难点正态分布的意义及性质,标准正态总体,标准正态曲线的概念. 如果说二项分布是离散型随机变量最具典型意义的概率分布，那么连续型随机变量最具典型意义的概率分布就是正态分布了。

实践中常见的一类连续型随机变量，多数服从或近似服从正态分布。

例如测量误差、智商以及人体的身高体重、运动员的成绩等等，都可以用正态分布进行描述。

一般地讲，若影响某一变量的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大且相互独立，则这个变量服从正态分布。

更为重要的是，正态分布还是抽样理论和统计推断的基础。

例如，不论总体是否服从正态分布，只要样本容量n 足够大，样本平均数的抽样分布就趋于正态分布。

正态分布的研究始于18世纪，是最重要的概率分布，这是因为：①许多自然现象与社会现象，都可用正态分布加以叙述；②不少离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布都以正态分布为其极限（即当样本相当大时，可用正态近似法解决这些概率分布的问题）；③许多统计量的抽样分布呈正态分布，故在参数估计与假设检验上经常以正态分布为理论基础。

【教学重点】正态曲线的性质【教学难点】对正态分布的理解及应用课时安排：1课时1．正态分布的数学形式自本书第三章引出变量数列，我们便可以列举出不少总体的分布很接近于正态分布，例如男性的身高。

如果我们拥有的数据非常多，在编制变量数列时我们就可以把组分得很细，并得到组距很小的直方图。

现在想象，如果组越分越细，并且纵轴采用频率密度（＝组距频率），直方图最终就转化为的概率密度曲线 (X ＝x )(参见图7．2)。

很显然，从图7．2可以看出，这样的平滑曲线如“钟型”，它具有单峰、对称这两个特点，并且曲线向左、向右延伸，以横轴为渐近线。

上述实例，对于我们领会正态分布是很有启发性的。

根据经验总结和理论分析可知，正态分布的概率密度表达为如下形式ϕ(X ＝x )＝πσ21222)(ομ--X e （7．5）式中π和e 都是常数，分别近似等于3．14和2．72。

从正态分布的数学表达式可以看出，当总体均值μ和方差σ2确定后，正态分布曲线的精确形式也就确定了。

换句话说，有许多不同的正态曲线，每一个对应于μ和σ的一个组合。

分析正态分布的概率密度ϕ(X ＝x )，很容易理解正态曲线具有下列性质：(1)正态曲线以X ＝μ呈钟形对称，其均值、中位数和众数三者必定相等。

(2) ϕ(X ＝x )在X ＝μ处取极大值。

X 离μ越远，ϕ(X ＝x )值越小。

这表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远，X 落在这个区间的概率越小。

正态曲线以X 铀为渐近线，即ϕ(X ＝x )在| X |无限增大时趋于零，即-∞→x lim ϕ(x )＝0或+∞→x lim ϕ( x )＝0。

(3)对于固定的σ值，不同均值μ的正态曲线的外形完全相同，差别只在于曲线在横轴方向上整体平移了一个位置(参见图7．3)。

(4)对于固定的μ值，改变σ值，σ值越小，正态曲线越陡峭；σ值越大，正态曲线越低平(参见图7．4)。

(5)正态分布的数学期望E (X )＝μ，变异数D (X )＝σ2，因为E (X )＝⎰+∞∞-dx x x )（ϕ＝μD (X )＝⎰+∞∞--dx x x )][2（ϕμ＝σ2正态曲线的性质可供阐明标准差。

由于曲线的形状完全取决于标准差σ，所以σ可供作为衡量总体分布状况的一个统一的尺度，称为标准差。

从直观上去理解，σ实际上是一个很好的离势的量度: σ值越小，离中趋势越小，总体中各变量值也就越接近;；σ值越大，离中趋势越大，总体中各变量值也就越分散。

2．标准正态分布我们在统计分析时，经常性的重要工作是要确定给定区间所含总体单位数的比重，也就是变量X 的取值在这个给定区间内出现的频率。

因此在对有限总体的数据进行分组时，得到相对频数分布是很重要的。

对于连续变量，过去由于分组有限，只能加以近似地讨论。

现在，由于正态曲线的一些异乎寻常的数学性质，使得这项工作非但不困难，反而变得简单易行。

一般作法是引入新的随机变量Z [参见(5．12)式]Z ＝σμ-X (7．6) 上式表明，Z 代表以标准差σ为单位表示的变量值离开均值μ的偏差，即代表经σ标准化之后的X 对μ的离差。

故Z 经常被称为变量X 的标准分，或称Z 分数；Z 亦被称为标准正态变量。

如果把Z 代入(7．5)式，我们便得到了用Z 分数表达的标准正态分布，其概率密度为ϕ(Z )＝π2122Z e - (7．7)比较(7．5)和(7．7)式，很容易得知标准正态变量的数学期望E (Z )＝0，变异数(即方差)D (Z )＝1。

实际上，标准正态分布ϕ(Z )只是正态分布的一个特例，即μ＝0，σ2＝1的正态分布，简记作N (0，1)。

对于一般正态分布则简记为N (μ，σ2)。

3．正态曲线下的面积我们在第三章学习过频数(或频率)分布图，从中我们体会到，用几何图形表示统计资料的好处在于，直观地从图形的升降起伏就可以看出总体的分布特征和规律性。

具体来说，矩形的高度（更确切地说是矩形的面积）是和相应区间里所含的总体单位数成正比的。

如果取各矩形的总面积为1，一定区间图形所含的面积就等于变量的取值在该区间出现的频率。

现在组距不断变小，直方图过渡到了平滑曲线，但基本原理并没有变。

和频率分布的直方图一样，正态曲线下的总面积也为1。

从直方图中选取任一个矩形，如图7．5所示，平滑曲线多包含的那一部分面积等于被曲线切去一角的那一部分矩形的面积，增减相当。

而作为频率分布的极限，正态曲线下的面积可设想是组距趋于0而矩形无限增多时所有矩形面积的总和。

在频数分布直方图中，所有矩形的总面积为1，所以正态曲线下的面积当然也是l 。

正态分布是最具典型意义的连续型随机变量的概率分布。

上一章已经说明，对于连续型随机变量，由于X＝x的取值充满一个区间，不能一一列出，因此只能关心X的取值落在一个区间的概率。

现在既然有了正态分布的概率密度(7．5)式，随机变量X的取值在某区间{x1≤X≤x2}上的概率便可用下式求得P(x1≤X≤x2 )＝⎰21)xxdxx（ϕ但积分毕竟太麻烦了，更何况许多人对积分运算不熟悉，为此须计算出现成的数值表供使用者查找。

由于正态曲线的优良性质，这项工作可以卓有成效地完成：①经过X的标准分Z ＝σμ-X，可以将任何正态分布N(μ，σ2)转换成标准正态分布N(0，1)；②运用分布函数的定义，并利用正态曲线的对称性，通过下式（分布函数）可以计算编制出正态分布表(见附表4)。

F(Zα)＝P（0≤Z≤Zα）＝⎰αϕZdZZ)（ (7．8)采用标准正态变量表达正态分布，使标准差得到了进一步阐明。

我们看到，标准差是计算总体单位分布及其标志值变异范围的主要依据，图7．6说明了这一点。

如果从总体均值向右一个标准差定出一区间，则在这个区间正态曲线下方所包含的面积为0．3413。

因此这个面积的两倍，X的取值有68．26％包含在均值两侧各一个标准差的范围之内。

换言之，略多于2／3的总体单位出现在总体均值两边的一个标准差的范围之内。

同样，在均值与距它两个标准差的区间内，正态曲线下方所含面积是0．4773。

因此略多于95％的总体单位包含在均值两边的两个标准差的范围之内。

虽然理论上正态曲线向两边可扩展至无限远，但几乎所有总体单位(99．73％)都位于均值两边的三个标准差的范围之内。

总之，决定任意两点间的面积都完全是可能的。

比如向均值两侧移1．96个标准差，曲线下方便包含了大约95％的面积，如移动2．58个标准差，则面积几乎是99％。

附录4已编制了关于Z和标准正态曲线所含面积之间关系的精确数值表，即Z从0到+∞变化，相应区间所含的面积从0变至0．5。

这种处理具有重要的实用价值，以后只要知道分布是正态的，有关计算只要查表就成了。

[例7．3．1] 设随机变量X服从正态分布N(50．102)，试求P(50≤X≤65)。

[解] 已知μ＝50，σ＝10，Z1＝0Z 2＝σμ-2x＝105065-＝1．5查表得正态曲线在此区间的面积是0．4332(参见图7，7)。

所以，P(50≤X≤65)＝43．32%。

[例7．3．2] 设随机变量X服从正态分布N(168，122)，试求P(X≤143)。

[解] 已知μ＝168，σ＝12，Z α＝σμ-X＝10168143-＝―2．08Z是负值，表示X的取值处于均值左边。

由于曲线完全对称，所以使用正态分布表时可以忽略Zα的正负号。

查表可知，正态曲线在均值与Zα＝2．08之间所含的面积是0．4812。

由于总面积的一半是0．5，因此P(X≤143)可以由下面计算求得P(X≤143)＝0．5―P(0≤Z≤2．08)＝0．5―0．4812＝1．88％这说明，X的取值小于或等于143的概率大约是2％。

由于即将讨论的正态检验几乎都要涉及概率分布的尾端，所以此例说明的是一个非常普遍的问题(参见图7．8)。

[例7．3．3] 设随机变量X服从正态分布N(60，82)，试求：①第一四分位数的标志值；②第一四分位数和标志值为50的取值之间正态曲线所含的面积(参见图7．9)。

[解] 先根据四分位数的定义，通过正态曲线左边尾端面积为0．25，查表求出四分位数Q1对应的Z分数Z α＝0．67＝σμ||1-QQ1＝μ―Zασ＝60―0．67×8＝54．64由此可见，第一四分位数的标志值是54．64。

再求标志值为50的Z分数Z α＝8|6050|-＝1．25查表得Zα＝1．25和均值之间正态曲线所含的面积是0．3944。

所以P(50≤X≤Q1)＝0．3944―0．25＝0．1444这说明，X的取值在第一四分位数Q1和50之间的概率是14．44％。

4．二项分布的正态近似法二项分布是在所谓的重复独立试验之中产生的。

通过本章第一节的讨论，我们已经知道二项分布受成功事件概率p 和试验次数n 两个参数的影响，只要确定了p 和n ，二项分布也随之确定了。

但是，二项分布的应用价值实际上受到了n 的很大限制。

也就是说，只有当n 较小时，我们才能比较方便地利用(7．3)式计算二项分布。

所幸的是，二项分布是以正态分布为极限的。

所以当n 很大时，只要p 或q 不近于零，我们就可以用正态近似来解决二项分布的计算问题，即)(lim b x a P n ≤≤∞→＝P (Z 1≤Z ≤Z 2)＝π21⎰21Z Z 22Z e -d z （7．9）又 Z α＝npqnp x - （7．10） 式中：Z 为标准正态随机变量，n 为重复试验的次数，p 为成功的概率，q ＝1―p 为失败的概率，x 为二项随机变量。