广西省南宁市2021届新高考数学一模考试卷含解析

广西省南宁市2021届新高考数学一模考试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则

1

2

r r =（ ） A

．

51

- B ．32-

C ．21-

D ．23-

【答案】D 【解析】 【分析】

由题先画出立体图，再画出平面11AB C D 处的截面图，由抛物线第一定义可知，点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离因此球2O 内切于正方体，设21r =，两球球心和公切点都在体对角线1AC 上，通过几何关系可转化出1r ，进而求解 【详解】

根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11AB C D 处的截面如图所示，则1

222132

AC O F r AO ====，，所以2231AF AO O F =-=-.又因为11113AF AO O F r r =+=+，因此

(

)

13131r +=-，得123r =-，所以12

23r

r =-.

故选：D 【点睛】

本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养

2．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A B A =I B ．A B B ⋃=

C ．()

U A B =∅I ð

D ．U B A ⊆ð

【答案】D 【解析】 【分析】

化简集合A ，根据对数函数的性质，化简集合B ，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【详解】

由2

230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤， 则31,2A ⎡⎤=-⎢⎥⎣

⎦，故U 3(,1),2

A ⎛⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭

ð，

由2log 1x >知，(2,)B =+∞，因此A B =∅I ，

31,(2,)2A B ⎡⎤

⋃=-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，()U (2,)A B ⋂=+∞ð，

3(2,)(,1),2⎛⎫

+∞⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭

，

故选:D 【点睛】

本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.

3．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）

A ．

1

2

B ．

14

C ．

13

D ．

23

【答案】A 【解析】 【分析】

根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率． 【详解】

由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有2

46C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12

． 故选：A ． 【点睛】

本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数． 4．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2

π

ϕ<图象的一个对称中心为(

3

π

，0)，其相邻一条对

称轴方程为712

x π

=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6

π

个单位长度 B ．向左平移12

π

个单位长度 C ．向左平移6

π

个单位长度 D ．向右平移

12

π

个单位长度

【答案】B 【解析】 【分析】

由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】

根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+

(其中0A >，)2π

ϕ<

的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫

-

⎪⎝⎭

， 可得1A =，

1274123

πππω⋅=-， 解得：2ω=．

再根据五点法作图可得23

π

ϕπ⋅+=，

可得：3

π

ϕ=

，

可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

故把()sin 23f x x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的图象向左平移

12

π

个单位长度， 可得sin 2cos23

6y x x π

π⎛⎫

=+

+

= ⎪⎝

⎭

的图象，