大学物理习题册及解答(第二版)第四章 刚体的定轴转动

p B mB = p A mA LB LA
3．一静止的均匀细棒,长为l、质量为M,可绕通过棒的端点且垂直 于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动,转动惯量为Ml2/3.一质量为 m、速率为υ的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的 自由端,设穿过棒后子弹的速率为υ/2 ,则此时棒的角速度应为
mυ 3mυ (A) (B) Ml 2Ml
2
杆和两球对转轴的总转动惯量
2 3 2 2 2 2 J 杆 = ∫ λ sin θl dl = λl sin θ = ml sin θ −l 3 3
l 2 2
2. 细棒A的长度是细棒B的长度的2倍，两根匀质细棒密度相等， 二棒的下端分别都由铰链连于地面，将两棒竖立，释放后，两棒 落地时动量大小之比为
τ = τ − τ = MgR
人 物
设u为人相对绳的匀速度，υ为重物上升的 速度。则该系统对滑轮轴的角动量为
M 1M 13 L = υR − M (u − υ ) R + ( R )ω = MRυ − MRu 2 2 4 8
2
2
据转动定律
du Q =0 dt
dL τ= dt
dυ 4 →a = = g dt 13
F m1 g m2 g
=J +J
rod
C , disk
+ m [b + l ]
1
2
= m l / 3 + m b / 2 + m (l + 2lb + b )
2 2 2 2 2 1 1
M = (m gl sin θ ) / 2 + m g wenku.baidu.coml + b) sin θ
2 1
Q M = Jα M g sinθ[m l + 2m (l + b)] Qα = = J 2m l / 3+ m (3b + 4lb + 2l )
1 MR （2）由垂直轴定理有： J = J = J = 2 3 2 由平行轴定理有： J = J + MR = MR 2
xC yC zC
2
2
2
PP′
xC
（3）复摆的摆动周期为
2R T = 2π g
1
J T = 2π mgl 3R T1 4 = = 1.1547 T = 2π T2 3 2g
2
2 长为l质量为m2的均匀细杆一端固定。另一端连有 质量为m1 、半径为b的均匀圆盘。求该系统从图中 位置释放时的角加速度。 解： J
8 (C) mωl 2 sin 2 θ 3
(D) 2mωl sin θ
2 2
dl
l
分析：距离坐标原点为l，长为dl dJ = (λdl )(l sin θ ) 2 的一段杆对转轴的转动惯量为： 积分上得杆对转轴的转动惯量
O l
m
2 2 2 = 8 ml 2 sin 2 θ J 总 = J 球1 + J 球 2 + J 杆 = 2m(l sin θ ) + ml sin θ 3 3 系统对定轴的角动量 L = J 总ω
F mg
1 aF ≥ amg 2
1 F ≥ mg = 98N 2
4.定轴转动刚体的角动量(动量矩)定理的内容是定轴转动刚体所受外 力对轴的冲量矩等于转动刚体对轴的角动量（动量矩）的增量． 其数学表达式可写成
∫
t2
t1
ex Mz d t = Jω − Jω0 ．
动量矩守恒的条件是 刚体所受对轴的合外力矩等于零． ． 5．一均匀细直棒，可绕通过其一端的光滑固定轴在竖直平面内转 动．使棒从水平位置自由下摆，棒是否作匀角加速转动？ 否 ____．理由是 在棒的自由下摆过程中，转动惯量不变，但使棒下摆 的力矩随棒的下摆而减小．由转动定律知棒摆动的角加速度也要 随之变小. 6. 一飞轮以角速度ω0 绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯 量为J1 ；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转 轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍．啮合后整个系 统的角速度ω= /3
联解上四式，得：
T − µ m g = m a (2) ∴α = a / r 1 (T − T )r = mr α (3) 2 m −µ m
2 k 2 2
2 1 2
(4)
T=
1
m + m + m/ 2 (1+ µ )m + µ m/ 2 (1+ µ )m + m/ 2
1 2
k 2
a=
1
k
2
g
m + m + m/ 2
1 2
mg
1
T=
2
k
1
k
m + m + m/ 2
1 2
mg
2
4．质量为M，长为l的均匀细杆，可绕A端的水平轴自由转动，当 杆自由下垂时，有一质量为m的小球，在离杆下端的距离为a处垂 直击中细杆，并于碰撞后自由下落，而细杆在碰撞后的最大偏角 为θ，试求小球击中细杆前的速度。 解：球与杆碰撞瞬间，系统所受合外力矩为零，系 统碰撞前后角动量守恒
3. 一根绳子绕在半径为30 cm的轮子上．当轮子由初速度2.0 rad/s 匀减速到静止，绳子在轮上的长度为25 m．轮子的加速度和轮子 转过的周数为
( A ) - 0.942rad/s 2 ,13.3
( B) - 0.884rad/s 2 ,13.3 ( D) - 0.884rad/s 2 ,2.67
m υ (l − a ) = J ω
1 J = Ml 3
2
杆摆动过程机械能守恒
1 l Jω = Mg (1 − cos θ ) 2 2
2
解得小球碰前速率为
Ml 2gl θ υ= sin m(l − a) 3 2
5．一轻绳绕过一半径R，质量为M/4的滑轮。质量为M的人抓住绳 子的一端，而绳子另一端系一质量为M/2的重物，如图。求当人相 对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？ 解：选人、滑轮、与重物为系统，系统所受对滑轮轴的 外力矩为 1
α = g sin θ / l lmg sin θ = ml α 杆刚被释放时θ=0, α = g/l 杆与水平方向夹角为60°时， θ=30o， α = g/2l
2
0
8 长为l、质量为M的匀质杆可绕通过杆一端O的水平光滑固定轴 转动，转动惯量为Ml2/3,开始时杆竖直下垂．有一质量为m的子 弹以水平速度υ0 射入杆上A点，并嵌在杆中，OA＝2l/3，则子弹 υ 6υ0 射入后瞬间杆的角速度ω=
v v v M = r ×F 2.力矩的定义式为_________．
变角动量 在力矩作用下，一个绕轴转动的物体作______ _运动． 角动量 若系统所受的合外力矩为零，则系统的____________守恒． 3 质量为20 kg、边长为1.0 m的均匀立方物体，放在水平地面 上．有一拉力F作用在该物体一顶边的中点，且与包含该顶边的 物体侧面垂直，如图所示．地面极粗糙，物体不可能滑动．若 要使该立方体翻转90°，则拉力F不能小于___ 解：要使该立方体翻转90o,则拉力F对转轴的力矩 不能小于重力对转轴的力矩，即：
ω
0
7．一长为l，质量可以忽略的直杆，可绕通过其一端的 水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固 定着一质量为m的小球，如图所示．现将杆由水平位置 无初转速地释放．则杆刚被释放时的角加速度α0= _ ， 杆与水平方向夹角为60°时的角加速度α=_
θ
mg
解：将小球和刚作为一系统,因杆质量可忽略,所以系统在转动时受 到的对转轴的力矩为小球的重力矩，对系统应用转动定律有：
5mυ ( C) 3Ml
7mυ ( D) 4Ml
二 填空题
5．将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，在绳端挂一质 量为m的重物，飞轮的角加速度为β．如果以拉力2mg代替重物拉 绳时，飞轮的角加速度将 (A) 小于β （Β）大于β,小于2 β （C）大于2β, （D）等于2β.
6．一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个 人.把人和圆盘取作系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的 摩擦，此系统 (A) 动量守恒． (B) 机械能守恒． (C) 对转轴的角动量守恒． (D) 动量、机械能和角动量都守恒． (E) 动量、机械能和角动量都不守恒． 7．花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开， 转动惯量为J0，角速度为ω0，然后她将两臂收回，使转动惯量减少 为J0 /3,这时她转动的角速度变为
第四章 刚体定轴转动(一)
一．选择题
1．几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几 个力的矢量和为零，则此刚体 (A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变． (C) 转速必然改变． (D) 转速可能不变，也可能改变． 2.关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位 置无关． （B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置 无关． （C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置． （D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间 分布无关．
2 1 2 2 2 2 1
3. 物体质量为m1和m2，定滑轮的质量为m，半径为r，可视作均匀 圆盘。已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为µk，求m1下落的加速度 和两段绳张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑轮轴受 的摩擦力忽略不计。 m2 T α 2 解：对两物体应用牛顿第二定律，对滑轮利用 f T1 转动定律得： m1 m1 g − T1 = m1 a (1) a 因绳与滑轮不打滑
分析：系统对转轴的角动量守恒
(4 + 3M / m)l
三．计算题
1．（1）一个质量为M，半径为R的环放在刀口上，环可以在自 身平面内摆动，形成一个物理摆。求此时圆环摆的转动惯量。 （2）假设一个相同的环固定在与其共面且与圆周相切的轴PP΄ 上环可以自由在纸面内外摆动。求此时圆环摆的转动惯量。 O R C (*)（3）求两种小摆动的周期。哪种摆动的周期较长？ 解：（1）圆环放在刀口上O，以环中 O 2 P ŷ P΄ J zc = MR x 心的平衡位置C点的为坐标原点。Z轴 Z 指向读者。圆环绕Z轴的转动惯量为 R 2 2 由平行轴定理，关于刀口的转动惯量为 J zo = J zc + MR = 2MR
1 (A ) ω 3
0
( B)
1 ω 3
0
(C)
3ω
0
( D) 3ω
0
8．光滑的水平桌面上，有一长为2l、质量为m的匀质细杆，可绕过 其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由转动，其转动惯量为 ml2/3，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m的小球各自在垂直于 杆的方向上正对着杆的一端，以相同速率v相向运动，当两小球同 时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动， v 则这一系统碰撞后的转动角速度应为
(C) - 0.942rad/s ,2.67
分析：
2 2as = −υ 0
2
2 βθ = −ω
2 0
a = rβ
υ 0 = rω 0
s θ θ= N= = 13.3圈 r 2π 2 − ω0 2 = −0.024rad / s β= 2θ
4．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端 分别悬有质量为m1和m2的物体(m1 >m2）．绳与轮之间无相对滑 动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等． (B) 左边大于右边． (C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断．
2υ (A ) 3L 8υ (D ) 9L
4υ (B ) 5L 12 υ (E ) 7L
6υ (C ) 7L
v
O 1-2 题俯视图
二．填空题
1．如图所示，P、Q、R和S是附于刚性轻质细杆上的质量分别为 4m、3m、2m和m的四个质点，PQ＝QR＝RS＝l，则系统对 OO′ 轴的转动惯量为：_____ 2 50ml
pB 2 (A) = pA 2
pB 3 (B) = pA 4
pB 2 (C) = pA 4
pB 1 ( D) = pA 2
分析：细杆在下落过程中只有重力做功，系统机械 能守恒，以地面为重力势能0点，则有：
L 1 2 mgL mgL 3g mg = Jω ω= = = 2 2 2 J mL / 3 L L 1 落地时动量 p = mυC = m ω = m 3gL 2 2
1 d 13 即 MgR = ( MRυ − MRu ) 2 dt 8
该题也可在地面参考系中分别对人和物体利用牛顿第二定 律，对滑轮应用转动定律求解。
一选择题
第四章 刚体定轴转动(二)
1. 如图所示的刚性哑铃，设长为2l的杆质量与两个小球的质量相 等，均为m．哑铃杆中点O与定轴连接，杆与轴保持夹角θ不变， 哑铃绕定轴旋转，角速度为ω．系统对定轴的角动量为 7 (A) 2ml 2ω sin 2 θ ( B ) m ω l 2 sin 2 θ m 3