高等数学(微分中值定理与导数的应用)练习题目及答案
高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)
第三章 微分中值定理与导数的应用一、要求：1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；2、洛必达法则；3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；4、简单不等式证明；5、最值在实际问题中的应用。
二、练习1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ().A.1 B.f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2D. f ( x ) x22 x 1.f ( x)x 22. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的值是 ().A.4B.41C. 1D. 4.11 3.4设函数 f ( x ) ( x 1)( x2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是；.3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是.4. 函数 f ( x ) ln xx2在(0,) 内的零点的个数为.e5. 曲线6. 函数yxe x 的拐点 ，凹区间，凸区间.yln x1x 2的单调区间.7. 曲线 f ( x) e x的渐近线为.x 18. 计算：5 x 4x11(12（2） lim (cos x )（1） limx 1xx) （3） limtan 2 xx1xe 1x 0arctan x x(1 x 2 )1 / 31 ；1（ 4） lim ；（5） lim（6） lim (cscx ) ；x 0x ln(1 2 x 2 )xcosx1x 0x（ 7） lim x 3 (sin 11 sin2 ) ；（ ） lim (tanx )2 x；（ 9） limx；exx2x8x ln xx29. 证明 2 arctanxarcsin2 xx1 .21 x10. 证明方程x5x10 在区间( 1, 0)内有且只有一个实根.11. 证明多项式f x3 3 x a 在0,1上不可能有两个零点 .x12. 证明：当0x时， x sin x 22x13.证明：当x0时，1x2arctan x xx14. 设 f x32bx在 x 1 处有极值-2，试确定系数 a , b ，并求x axy f x 的所有极值点与拐点.15. 求内接于椭圆x2y2221 而面积最大的矩形的各边之长.a b16.由直线 y0,x8及抛物线 y x2围成一个曲边三角形 ,在曲边 y x2上求一点 , 使曲线在该点处的切线与直线y0 及 x 8 所围成的三角形面积最大.17.描绘 (1)y 3 x2，(2) y21的图形 .2( x1) ( x 1) 2( x 1)18.要做一个容积为 2 的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省？19．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500 立方米，底面为正方形。
微分中值定理与导数的应用习题解答
第三章 微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2．选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（C ）．A .x e x f =)( B. ||)(x x f = C.21)(x x f -= D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B ）．A ．),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ．ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ．211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ．211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5．证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明：由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ．同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-证明：只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明. 8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此，当π<<x 0时，x xxcos sin >． （２）当0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<<因为'1()f x x =，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a bξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ． §3.1 洛毕达法则1． 填空题 （１）=→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim (sin )xx x +→=1 ２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ．==∞→∞→nn nn n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ．=-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． x x x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ．x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ．x x x sin lim 20→B ．x x x tan 0)1(lim +→C ． xx x x sin lim +∞→ D ．x nx e x +∞→lim3．求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim． （２）20222lim xx x x -+-→． 解：20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ． （３）30tan sin lim xxx x -→． 解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-． （４）20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim x x e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ． （５）xx x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x x x +='，x x x x xx ln 1lim 1+--→＝xx x x x 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６）)111(lim 0--→x x e x ． 解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→x xe x x e e x x x x x x x （７）x x xtan 0)1(lim +→． 解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x xxxx xx x x x x eeee x．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→． 解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xx x 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９）n n n ∞→lim ．解： 因为1lim 1limln 1lim ===∞→∞→∞→x x xx x x x eex ，所以n n n ∞→lim =1．§3.3 泰勒公式１．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ． 解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2．求函数x e x x f 2)(=的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ， 所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ． 3．求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=． 解：设x x f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=， 则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求．4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→． 解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-， 故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ． 5． 设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 20==→f xx f x ,证明在)1,0(内存在一点,使0)(='''ξf ．证明： 因为 0)(lim 20=→xx f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+=（介于0与之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空题（１）函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调增加．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则． （４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2．单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A .x y -=2),(∞+-∞B .x y e =)0,(-∞ C .x y ln =),0(∞+D .x y sin =),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A .)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B.)(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导,且21,x x ∀,当21x x >时,)()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2．求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x ．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加； 当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ，当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解：011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3．证明下列不等式（１）证明： 对任意实数和, 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令x x x f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ，)(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即 ||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ，11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->,因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增,当1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=,021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增,当0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当0>x 时，6sin 3x x x ->．4． 讨论方程k x x =-sin 2π(其中为常数)在)2,0(π内有几个实根．解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续,且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ，由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos)2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是,最小值是k ---242arccos2ππ．（１）当,0≥k 或242arccos2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２）当0242arccos2<<--k ππ时,有两个实根；（３） 当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5．试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解：c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得：16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解：222)1(11-+-='x x y ,323)1(62-+=''x xx y ,令0=''y ,得0=x ，当1x =±时不存在．当01<<-x 或1>x 时,0>''y ,当1-<x 或10<<x 时,0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时,0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的,从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1．填空题（１）函数x x y 2=取极小值的点是1ln 2x =-． （２） 函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１） 设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（C ）A ．0x x =是)(x f 的唯一驻点B ．0x x =是)(x f 的极大值点C ．)(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足x e x f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C. ))(,00x f x （为拐点D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在至少二阶可导, 且1)()()(lim2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在处( Ａ ) A ． 取得极大值 B ． 取得极小值 C ． 无极值 D ． 不一定有极值 3． 求下列函数的极值 （１）()3/223x x x f -=． 解：由13()10f x x -'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x'==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4． 求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值． 解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x ,2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5．在半径为的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积最大． 解：设圆锥体的高为, 底半径为,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=， 由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π)20(R h <<， 由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=．由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34R h =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大． 6.工厂与铁路线的垂直距离AC 为20km ,点到火车站的距离为100km .欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站与工厂间的运费最省,问点应选在何处？解:设AD x =,与间的运费为, 则)100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ），其中是某一正数． 由0)34005(2=-+='xx k y ,得15=x .由于k y x 400|0==,k y x 380|15==, 2100511500|+==x y ,其中以k y x 380|15==为最小,因此当AD =15=x km 时,总运费为最省．7．宽为的运河垂直地流向宽为的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解： 问题转化为求过点的线段AB 的最大值. 设木料的长度为, y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos +=)2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='， 由0='l 得3tan a bt =, 此时233232)(b a l +=，故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线. 解：由 -∞=+-→231)1(lim x x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线．因为 2)1(lim )(lim ,1)1(lim lim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。
3章微分中值定理与导数应用习题解答
第3章 微分中值定理与导数应用习题解答1.验证中值定理的正确性（1) 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈，因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.(2) 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性.解 因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ.(3) 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性. 解 因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x .化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解, 即确实存在)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--.2. 证明题:(1)证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明 设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为 01111)(22≡---='x x x f ,所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .(2)若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.证明 设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.(3)若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明: 在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明 由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0.又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0.(4) 设a >b >0, n >1, 证明: nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明 设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ). 因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) .3. 用洛必达法则求下列极限: (1)22)2(sin ln limx x x -→ππ; (2)nn m m ax a x a x --→lim; (3)x xx 2tan ln 7tan ln lim0+→; (4)x x x 3tan tan lim 2π→;(5)2120lim x x e x →; (6)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1112lim 21x x x ; (7)x x xa )1(lim +∞→; (8)xx xsin 0lim +→; 解: (1)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(2)nm n m n m ax nn m m ax a nm na mx nx mx a x a x -----→→===--1111limlim. (3)2000021sec 77ln tan 77tan 272tan 7lim lim lim lim 11ln tan 22tan 727sec 22tan 2x x x x x x x x x x x x x x→+→+→+→+⋅⋅====⋅⋅.(4))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x -⋅-==⋅=→→→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim22=---=-=→→x xx x x x ππ.(5)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 2101222t t t t x x xx e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt ). (6)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (7)解法1 因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而 221()ln(1)1lim (ln(1)limlim 11x x x aa axa x x x x x x→∞→∞→∞⋅-+++==- limlim 1x x ax aa x a →∞→∞===+ ,所以 a x ax x x x e exa ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . 解法2 lim 1lim 1axxa ax x a a e x x →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(8) 因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 00ln lim sin ln lim csc x x x x x x →+→+= 2001sin lim lim 0csc cot cos x x x x x x x x→+→+==-=-⋅ ，所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .4. 验证下列各题: (1) 验证极限xxx x sin lim+∞→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 1)s i n 1(l i m s i n l i m =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x xx x sin lim+∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx xx x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则.(2) 验证极限xx x x sin 1sinlim20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 0011sin sin lim sin 1sinlim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sinlim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则. 5. 将下列函数展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式(1) 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1)所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n nn x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-.(2) 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解 因为f '(x )=e x +x e x ,f ''(x )=e x +e x +x e x =2e x +x e x , f '''(x )=2e x +e x +x e x =3e x +x e x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ;f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1!2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.6. 确定下列函数的单调区间:(1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx x y 6941023+-=; 解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.7.证明下列不等式::(1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x ,也就是 x x +>+1211.(2)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0,也就是2x >x 2.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ;(3) y =(x +1)4+e x .解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720,35(.(2)y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.9.求函数的极值:(1) y =2x 3-6x 2-18x +7； (2) y =x -ln(1+x )； (3) y =-x 4+2x 2 .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在x =-1处取得极大值17, 在x =3处取得极小值-47.(2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0.(3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.10.求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4;(2) y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4).解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.11.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解 设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省. 12.从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？解 漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为 l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π).2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.13.一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解 房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R . 令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.。
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第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中 ,在 1,1 上满足罗尔定理条件的函数是 ()A ． y8 x 1 B ． y 4x 2 1 C ． y1D ． y sin x1 x 22．函数 f x满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( )x A ． 2,2B ．2,0C ． 1,2D ． 0,13．方程 x 5 5x 1 0 在1,1 内根的个数是 ()A ．没有实根B ．有且仅有一个实根C ．有两个相异的实根D ．有五个实根4．若对任意 x a, b ，有 f x g x ，则 ( )A ．对任意 x a,b ，有 f x g xB ．存在 x 0 a,b ，使 f x 0 g x 0C ．对任意 x a,b ，有 f x g x C 0 ( C 0 是某个常数 )D ．对任意 x a,b ，有 f xg xC (C 是任意常数 )5．函数 f x3x 5 5x 3 在 R 上有 ()A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点6．函数 f x 2x 3 6x 2 18x 7 的极大值是 ()A ．17B ．11C ．10D ． 97．设 f x 在闭区间1,1 上连续，在开区间1,1 上可导，且 f xM ，f 0 0 ，则必有 ()A ． f xM． f xMC ． f x MD ． f x MB8．若函数 f x 在 a, b 上连续，在 a,b 可导，则 ()A ．存在 0,1 ，有 f b f a f b a b aB ．存在0,1 ，有 f af bf ab a b aC ．存在 a, b ，有 f a f b f a bD ．存在a, b ，有 fbf afa b9．若 a 2 3b 0 ，则方程 f x x 3 ax 2 bx c0 ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根 ．求极限 x 2 sin 1()limx时，下列各种解法正确的是10 sin xx 0A ．用洛必塔法则后，求得极限为 0B ．因为 lim 1不存在，所以上述极限不存在x 0 xx xsin 1C ．原式 lim 0x 0sin x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在11．设函数 y1 2x2 ，在 ()xA ． ,单调增加B ．,单调减少C ． 1,1 单调增加，其余区间单调减少D ．1,1 单调减少，其余区间单调增加e x ()12．曲线 y1 xA ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线 yx的渐近线 ()3 x 2 A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线B ． x3 为其垂直渐近线，但无水平渐近线C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线D ． 只有水平渐近线2x 2 114．函数 f xx 3 1 3 在区间 0,2 上最小值为 ()A ． 729B ． 0C ．1D ．无最小值4x ln 1 x 15．求 limx 2x 01 116．求 limxx 0ln 1 x17．求 lim1 2 sin xxcos3x6118．求 lim 1 x 2 xx 01ln x19．求 limarctgxx220．求函数 y x 3 3x 29x 14 的单调区间。
大一高数 微分中值定理与导数的应用高等数学作业与练习册(第三章习题)
1第三章 微分中值定理与导数的应用本章概述：本章以微分中值定理为中心，讨论导数在研究函数的性态（单调性、极值、凹凸性）方面的应用．重点：中值定理；洛必达法则；函数的单调性，曲线的凹凸性与拐点；函数极值的求法；函数的最值问题；方程根的存在性及不等式的证明．难点：三个中值定理及泰勒公式；方程根的存在性及不等式的证明．基本要求：理解中值定理的条件和结论，它是本章内容的理论基础，是建立导数与函数关系的桥梁；掌握中值定理证明的思想方法--构造性证明方法．此方法不仅在中值定理的证明中，而且在不等式的证明、方程根的存在性及导数的应用中都具有广泛的应用；掌握洛必达法则，它是求未定型极限的一种重要方法；掌握导数的应用，会利用导数研究函数的单调性、极值、最值、曲线的凹凸性和拐点等．第一节 微分中值定理1．填空与选择：（1）下列函数在]1,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ）（A ）xe xf =)(； （B ）||)(x x f =；（C ）21)(x x f -=； （D ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x xx x f ． （2）下列条件不能使)(x f 在],[b a 上应用拉格朗日中值定理的是（ ）（A ）在],[b a 上连续，在),(b a 内可导； （B ）在],[b a 上可导；（C ）在),(b a 内可导，且在a 点右连续，b 点左连续； （D ）在),(b a 内有连续的导数．（3）函数()ln (1)f x x =+在[0,1]e -上满足拉格朗日定理中的数值ξ是（ ）（A ）e ； （B ）1e -； （C ）2e -； （D ）1． （4）设)(x f y =在),(b a 内可导，,x x x +∆是),(b a 内的任意两点，()-()y f x x f x ∆=+∆，则（ ）（A ）x x f y ∆'=∆)(；（B ）在x x x ∆+,之间恰有一点ξ，使x f y ∆'=∆)(ξ； （C ）在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ，使x f y ∆'=∆)(ξ；2（D ）在x x x ∆+,之间的任一点ξ，均有x f y ∆'=∆)(ξ．（5）若)(x f 在),(b a 内可导，且12,x x 是),(b a 内任意两点，且21x x <，则至少存在一点ξ，使（ ）（A ）()()()()f b f a f b a ξ'-=-，其中b a <<ξ； （B ）11()()()()f b f x f b x ξ'-=-，其中b x <<ξ1； （C ）2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-，其中21x x <<ξ； （D ）22()()()()f x f a f x a ξ'-=-，其中2x a <<ξ．（6）设)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程()0f x '=有_____ 个实根, 分别位于区间 中． 2．证明：当1x ≥时，恒等式222arctan arcsin 1x x xπ+=+成立．3．设函数()f x '在[,]a b 上连续,且()()0f a f b <，()0((,))f x x a b '≠∈．证明函数()f x 在区间(,)a b 内有唯一零点．4．证明：方程0xx e +=在区间(1,1)-内有唯一的根．35．设)(x f 在[0,1]上具有二阶导数，(1)(1)0f f =-=，又)()(2x f x x F =．证明在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)("=ξF ．6．证明下列不等式：（1）当1,0n a b >>>时，11()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-．（2）当π<<x 0时，x xx cos sin >．7．设)(x f 是],[b a 上的正值可微函数．证明：存在),(b a ∈ξ，使得)()()()()(lna b f f a f b f -'=ξξ．48． 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，证明在(0,1)内存在一点c ，使 ()2()()cf c f c f c ''+=．本节作业总结：5第二节 罗比达法则1．填空与选择：（1）能用罗必塔法则求极限的是（ ）（A ）4314lim21-+-→x x x x ； （B ）xx x x x ln ln lim++∞→；（C ）xx x x sin 1sinlim2→； （D ）xx xxx e e e e --+∞→+-lim ．（2）下列各式运用洛必达法则正确的是（ ）（A ）==∞→∞→nn nn n e n ln limlim 11lim=∞→n n e ；（B ）=-+→xx x x x sin sin lim∞=-+→xx x cos 1cos 1lim；（C ）xxxx xx x x x cos 1cos1sin2limsin 1sinlim02-=→→不存在；（D ）x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e．（3）=→xx x 3cos 5cos lim2π．（4）=++∞→xxx arctan )11ln(lim．（5）0lim (sin )xx x +→= ．（6）)tan 11(lim 2xx xx -→= ．2． 利用罗必塔法则求下列各极限：（1）123lim23231+--+-→x x x x x x ．（2）lim(0)m m nnx ax a a x a→-≠-．6（3）2ln()2limtan x x xππ+→-． （4）2222limxx xx -+-→．（5）1cos 1lim 2--→x exx ．（6）)1(lim 2x x x x -+⋅+∞→．（7）2)(arcsin 1sin lim x x e xx --→．（8）)111(lim 0--→xx e x．7 （9）x x xtan 0)1(lim +→ ．（10）+2lim arctan xx x π→∞⎛⎫⎪⎝⎭．（11）xx xx xx ln 1lim 1+--→．（12）nn n ∞→lim．本节作业总结：8第三节 泰勒公式1．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．2．求函数x e x x f 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．3．求函数1()f x x=按(1)x +的幂展开的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式．4．求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=．95．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→．本节作业总结：10第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空与选择：（1）函数()f x 在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内()0f x '>是函数()f x 在(,)a b 内单调增加的（ ）（A ）必要非充分条件； （B ）充分非必要条件； （C ）充分必要条件； （D ）无关条件．（2）设()f x =，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （B ）[)2,,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦；（C ）(),1-∞； （D ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（3）下列函数中，（ ）在指定区间内是单调减少的函数．（A ）xy -=2，),(∞+-∞； （B ）xy e =，)0,(-∞；（C ） x y ln =，),0(∞+； （D ）x y sin =，),0(π．（4）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时,)()(21x f x f >, 则( )（A ）任意0)(,>'x f x ； （B ）任意0)(,≤-'x f x ； （C ）)(x f -单调增； （D ）)(x f --单调增． （5）若点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点，则（ ）（A ）必有0()f x ''存在且等于零； （B ）必有0()f x ''存在但不一定等于零； （C ）如果0()f x ''存在，必等于零；（D ）如果0()f x ''存在，必不等于零．（6）若点()1,0是曲线322y ax bx =++的拐点，则（ ）（A ）1,2a b ==； （B ）1,3a b ==-； （C ）0,3a b ==-； （D ）2,2a b == （7）曲线()523539y x x =+-的凹区间为 和 ．（8）曲线exy x -=的拐点为 ．（9）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则11xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调 ．2．确定下列函数的单调区间： （1）82y x x=+．（2）23(1)y x x =-．3．列表求曲线2ln(1)y x =+的拐点和凹凸区间．4．证明下列不等式： （1）当0x >时，arctan ln(1)1x x x+>+．12（2）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．（3）当0x >且1x ≠时，13x>-．5．讨论方程ln x ax =（其中0a >）有几个实根？6．利用凹凸性证明： 当π<<x 0时, πxx >2sin ．137． 设)(x f 在),(b a 内二阶可导，且0)(0=''x f ，其中),(0b a x ∈，则,(0x ))(0x f 是否一定为曲线)(x f 的拐点？举例说明．本节作业总结：14第五节 函数的极值与最大值最小值1．填空与选择：（1）设)(x f 在点0x 可导．则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的（ ）（A ）必要条件； （B ）充分条件； （C ）充要条件； （D ）无关条件．（2）设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ ）（A ）0x x =是)(x f 的唯一驻点； （B ）0x x =是)(x f 的极大值点； （C ）)(x f ''在),(+∞-∞内恒为负；（D ）)(x f ''不为零．（3）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( )（A ）取得极大值； （B ）取得极小值； （C ）无极值； （D ）不一定有极值．（4）设00()()0f x f x '''==，0()0f x '''>，则下列选项正确的是( )．（A ）0()f x '是'()f x 的极大值； （B ）0()f x 是()f x 的极大值； （C ）0()f x 是()f x 的极小值；（D ）00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点．（5）函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为 ，最小值为 ．（6）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内可导，且0()1(0)0,l i m s i n2x f x f x →''==-，则)0(f 是)(x f 的极___ __值．2． 求下列函数的极值：（1）()3/223xx x f -=．15（2）x x x f 1)(=．3．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1）14123223+-+=x x x y ，]4,3[-．（2）y x =+[0,4]．4．过椭圆12222=+by ax 上位于第一象限的点(,)M x y 引切线，此切线与坐标轴构成一个直角三角形，使此三角形的面积为最小，求(,)M x y ．5．某厂每批生产某种商品x单位的费用为()5200=+，得C x x到的收益是2R x x x=-，问每批生产多少单位时才能使()100.01利润最大？本节作业总结：6．工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km,A点到火车站B的距离为100km．欲修一条从工厂到铁路的公路CD, 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B与工厂C间的运费最省,问D点应选在何处？1617第六节 函数图形的描绘1．求22)1(x x y -=的渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形．本节作业总结：18第七节 曲率1．填空：（1）曲线9)2()1(22=-+-y x 上任一点的曲率为 ，b kx y +=上任一点的曲率为__ __．（2）曲线ln y x =在点 处曲率半径最小，曲率半径为 ．（3）曲线x e x y +=sin 的弧微分=ds ． 2．求常数c b a 、、，使c bx ax y ++=2在0=x 处与曲线xe y =相切，且有相同的凹向与曲率． 3． 曲线弧)0(sin π<<=x x y 上哪一点处的曲率半径最小?求出该点的曲率半径．本节作业总结：19第三章 自测题1．填空与选择： （1）设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在a 点处( )（A ）()f x 的导数存在 , ()0f a '≠且； （B ）()f x 取得极大值；（C ）()f x 取得极小值； （D ）()f x 的导数不存在．（2）已知()f x 在[,]a b 可导，且方程()0f x =在(,)a b 有两个不同的根α与β，那么()0f x '=在(,)a b （）根（A ）必有； （B ）可能有； （C ）没有；（D ）无法确定．（3）已知)(x f 对一切x 满足xe xf x x f x --='+''1)]([3)(2．若0)(0='x f （00≠x ），则（ ）．（A ）)(0x f 是)(x f 的极大值； （B ）)(0x f 是)(x f 的极小值；（C ）))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点；（D ）)(0x f 不是)(x f 的极值，且))(,(00x f x 也不是曲线)(x f y =的拐点．（4）011lim cot sin x x xx →⎛⎫-=⎪⎝⎭． （5）函数)1ln(+-=x x y 在区间 内单调减少，在区间 内单调增加． （6）曲线2(2)(3)1x x y x -+=-的渐近线是 ．（7）曲线42y ax x =-拐点的横坐标为1x =，则常数a = ． 2．求下列极限： （1）0lim ln (0)mx x xm +→>．20（2）sin 0lim xx x+→．（3）2)1ln(sin 1tan 1limxx x xx x -++-+→．3．欲做一个底为正方形，容积为3108m 的长方体开口容器，怎样做所用材料最省？4．当02x <<时，证明：24ln 23x x x x ≥+-．215．已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)1,(1)0f f ==，证明在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξξ'=-．6．考研题练练看：（1）（2012年数学一，4分）曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3． （2）（2011年数学一，4分）曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是（ ）（A ）(1,0)； （B ）(2,0)； （C ）(3,0)； （D ）(4,0)．（3）（2010年数学二，4分）曲线322+1xy x =的渐近线方程为 ． （4）（2012年数学一，10分）证明：21lncos 112x xx x x++≥+-(11)x -<<．（5）（2011年数学一，10分）证明：110ln(1)lim zex x x -→+⎛⎫⎪⎝⎭．22（6）（2010年数学二，10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且100(1)3f f ==（），，证明：存在11(0,),(,1)22ξη∈∈，使得22()()f f ξηξη''+=+．（7）（2011年数学一，10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数,其中k 为参数．本章作业纠错与总结：23数学家生平简介： 罗尔：罗尔是法国数学家．1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎．罗尔出生于小店家庭，只受过初等教育，且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人与律师抄录员的微薄收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作，并很有心得．1682年，他解决了数学家奥扎南提出的一个数论难题，受到了学术界的好评，从而名身雀起，也使他的生活有了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行征官员．1685年进入法国科学院，担任低级职务，到1690年才获得科学院发给的固定薪水．此后他一直在科学院供职，1719年因中风去世．罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程0)(=x f 的两个相邻的实根之间，方程0=')x (f 至少有一个根． 1846年，尤斯托．伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理． 拉格朗日：拉格朗日（Lagrange ），法国数学家、物理学家，1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎．17岁时，在偶然读到哈雷的一篇介绍牛顿微积分的短文《论分析方法的优点》后，对数学产生了兴趣．1753年他尚未从都灵炮兵学校毕业，就担任了该校数学课教学工作，1755年9月成为该校教授．1756年经欧拉推荐，被提名为柏林科学院通讯院士．1759年成为柏林科学院院士，1776年被评为彼得堡科学院名誉院士，1783年成为都灵科学院名誉主席及伦敦皇家学会会员．1795年任新成立的巴黎高等师范学院数学教授，巴黎理工学院的第一位几何教授与第一任校长．后被路易十六授与伯爵爵位．拉格朗日是18世纪的伟大科学家，他在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献．但他主要是数学家，研究力学和天文学的主要目的是为了表明数学分析的威力。
《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)
第四章微分中值定理和导数的应用[单选题]1、曲线的渐近线为（）。
A、仅有铅直渐近线B、仅有水平渐近线C、既有水平渐近线又有铅直渐近线D、无渐近线【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察渐近线计算.因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。
[单选题]2、在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（）A、4B、2C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题]3、，则待定型的类型是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题]4、下列极限不能使用洛必达法则的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则.[单选题]5、在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）.A、1B、2C、eD、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察中值定理的应用。
[单选题]6、如果在内，且在连续，则在上（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在上f(a)＜f(x)＜f(b).[单选题]7、的单调增加区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题]8、（）.A、-1B、0C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]9、设，则（）.A、是的最大值或最小值B、是的极值C、不是的极值D、可能是的极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由，我们不能判断f（0）是极值点，所以选D. [单选题]10、的凹区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】若求凹区间则就是求的区间，即6x+6>0，即x>-1.[单选题]11、的水平渐近线是（）.A、x=1，x=-2B、x=-1C、y=2D、y=-1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】水平渐近线就是当x趋于无穷时，y的值就是水平渐近线，x趋于无穷时，y的值是2，所以y=2是水平渐近线；当y趋于无穷时，x的值就是垂直渐近线，本题中由于分母可以分解为（x+1）（x-1），所以当x趋于1或-1时y的值趋于无穷.即x=1，x=-1都是垂直渐近线.[单选题]12、设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为，则P=4时的边际需求为（）.A、-8B、7C、8D、-7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，当P=4时，Q=-8.[单选题]13、设某商品的需求函数为，其中表示商品的价格，Q为需求量，a，b为正常数，则需求量对价格的弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由弹性定义可知，[单选题]14、设函数在a处可导，，则（）.A、B、5C、2D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】因为f(x)可导，可用洛必达法则，用导数定义计算.所以[单选题]15、已知函数（其中a为常数）在点处取得极值，则a=（）.A、1B、2C、0D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在点处取得极值，[单选题]16、某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若零售价定位10元/件，可售出120件；当售价降低0.5元/件时，销量增加20件，问售价p定为多少时利润最大？（）.A、9.5B、9C、8.5D、7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】设销量为Q，则Q=120+20(10-P)·2=520-40P利润此时即取得最大值.[单选题]17、若在（a,b）上，则函数y=f（x）在区间（a,b）上是（）A、增加且凹的B、减少且凹的C、增加且凸的D、减少且凸的【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]18、求极限=（）.A、2B、C、0D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数在区间上的极大值点=（）.A、0B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】令，当时，当时，当时，函数有极大值.[单选题]20、设某商品的供给函数为，其中p为商品价格，S为供给量，a,b为正常数，则该商品的供给价格弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]21、某产品产量为q时总成本C(q)=1100+，则q=1200时的边际成本为() A、0B、C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，q=1200时的边际成本为2.[单选题]22、已知函数f(x)=ax2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=()A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】，得到a=1.[单选题]23、极限=()A、-B、0C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先利用洛必达法则，分子分母分别求导，.[单选题]24、曲线y＝x3的拐点为（）．A、（0，0）B、（0，1）C、（1，0）D、（1，1）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】y＂＝6x，当y＂＝0时，x＝0，将x＝0代入原函数得y＝0，所以选择A．参见教材P108～109．（2015年4月真题）[单选题]25、曲线的水平渐近线为（）．A、y＝0B、y＝1C、y＝2D、y＝3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题因为，所以直线y＝1为曲线的水平渐近线．参见教材P110～111．（2015年4月真题）[单选题]26、函数y＝x3－3x＋5的单调减少区间为（）．A、（－∞，－1）B、（－1，1）C、（1，＋∞）D、（－∞，＋∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】y＇＝3x2－3y＇＝0时，x＝±1．在（－∞，－1）上，y＇＞0，为增函数；在（－1，1）上，y＇＜0，为减函数；在（1，＋∞）上，y＇＞0，为增函数．因此选B．参见教材P100～101．（2015年4月真题）[单选题]27、已知函数（其中a为常数）在处取得极值，则a＝（）．A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】∵在处，取得极值点，∴参见教材P102～104。
微积分习题答案第四章中值定理与导数的应用
练习4.11. 下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？若满足，请求使定理结论成立的ε值： （1） 5252)(23+--=x x x x f ， [-1，1]解：5252)(23+--=x x x x f Θ是初等函数。
在其有意义的区间),(+∞-∞内连续，∴在[-1，1]上连续。
又2106)(2--='x x x f Θ在（-1，1）内可导，内可导在)1,1()(-∴x f 而0)1()1(==-f f因此)(x f 在[-1，1]上满足罗尔定理所有条件。
故有0)153(2)(2=--='εεεf )11(<<-ε 得 )1,1(63751-∈-=ε 舍去)1,1(63752-∉+=ε 于是6375-=ε （2） )ln(sin )(x x f =，]65,6[ππ 解：)ln(sin )(x x f =Θ是初等函数，在其有定义的区间),0(π内连续，]65,6[ )(ππ在x f ∴上连续。
又)65,6(cot )(ππ在x x f =Θ内有定义21ln )65()6()65,6()(==∴ππππf f x f 内可导，而且在因此件。
上满足罗尔定理所有条在]65,6[)(ππx f 故有0cot )(==εεf )656(πεπ<<得)65,6(2πππε∈=(3) 422)(xx x f -= , [-1,1]解：点处不连续在0)(=x x f Θ条件。
上不满足罗尔定理所有在]1,1[)(-∴x f（4） ⎪⎩⎪⎨⎧=01cos )(xx x f 00=≠x x ]2,2[ππ- 解：处不可导在0)(=x x f Θ条件上不满足罗尔定理所有在]2,2[)(ππ-∴x f .2. 证明上存在一个实根在]1,0[0133=+-x x 。
证明：令上连续在则]1,0[)(,13)(3x f x x x f +-=，01)1(,01)0(<-=>=f f 且由)()1,0(11=x f x 内使零值定理知至少存在点ε。
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)
第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000二、填空题 1、__________________ey 82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ．4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ．5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ．6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ．7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． 8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。
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>第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。
高等数学第三章微分中值定理试题及答案
第三章 微分中值定理与导数的应用3.1微分中值定理一、罗尔定理设函数)(x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间),(b a 内可导； （3）)()(b f a f = 则存在),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf1．设()x f 在[]3,0上连续，在()3,0内可导，且()()()3210=++f f f ，()13=f 。
试证：必存在()3,0∈ξ，使()0='ξf证：()x f 在[]3,0上连续，()x f ∴在[]2,0上连续，且有最大值M 和最小值m 。
于是()M f m ≤≤0；()M f m ≤≤1；()M f m ≤≤2，故()()()[]M f f f m ≤++≤21031。
由连续函数介值定理可知，至少存在一点[]2,0∈c 使得()()()()[]121031=++=f f f c f ，因此()()3f c f =，且()x f 在[]3,c 上连续，()3,c 内可导，由罗尔定理得出必存在()()3,03,⊂∈c ξ使得()0='ξf 。
2．设()x f 在[]1,0上连续，()1,0内可导，且()()⎰=13203f dx x f求证：存在()1,0∈ξ使()0='ξf证：由积分中值定理可知，存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,32c ，使得()()⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰321132c f dx x f得到 ()()()03132f dx x f c f ==⎰，对()x f 在[]c ,0上用罗尔定理，（三个条件都满足）， 故存在()()1,0,0⊂∈c ξ，使()0='ξf 。
3.设()x f 在[]2,0上连续，在()2,0内二阶可导，且()⎪⎭⎫ ⎝⎛=210f f ，()()22121f dx x f =⎰，证明：存在一个()2,0∈ε，使得()0=''εf 。
4.设函数在上有二阶导数，且，又，证明：在内至少一个，使.证明: 由于F (1) = F (2) = 0, 所以存在ξ1, 1 < ξ1 < 2, 满足0)('1=ξF . 所以0)(')1('1==ξF F .所以存在ξ, 满足1 < ξ < ξ1, 且 0)(''=ξF .5.设()x f 在[]1,0上连续，()1,0内可导，对任意1>k ，有()()⎰-=k x d x x f xe k f 1011，求证：存在()1,0∈ξ使()()()ξξξf f 11--='证：由积分中值定理可知存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈k c 1,0使得，()()()⎪⎭⎫⎝⎛-⋅==--⎰0111101k k c f ce dx x f xe k f c k x令()()x f xex F x-=1，可知()()1f C F =，()()11f F =，这样()()c F F =1，对()x F 在[]1,c 上用罗尔定理（三个条件都满足）存在()()1,01,⊂∈c ξ，使()0='ξF ，而()()()()x f xe x f xe x f e x F x x x '+-='---111，()()()0111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'='∴-ξξξξξξf f e F又01≠-ξξe，则()()ξξξf f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='11 用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的()x F 是非常关键，下面的模型，就在这方面提供一些选择。
《高等数学》第三章微分中值定理与导数的应用的习题库（201511）
《⾼等数学》第三章微分中值定理与导数的应⽤的习题库（201511）第三章微分中值定理与导数的应⽤⼀、判断题1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（）2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（）3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。
（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以⾄少存在⼀点()1,1ξ∈-使'()0f ξ=。
（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。
（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。
（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-。
（） 9. arctan arctan ,(,)2x x x π+=∈-∞+∞。
（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（） 12. ''222(2)lim lim21(21)x x x x x x →→=--（）13. 22'0011limlim()sin sin x x x x e e x x→→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。
厦门理工学院高数答案练习题微分中值定理与导数的应用
高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系 专业 班 姓名 学号§3.1 微分中值定理一．选择题1． 在区间[]1,1-上，下列函数满足罗尔中值定理的是 [ A ](A)()2321f x x =+ （B ）()211f x x=- （C ）()f x = （D ）()2132f x x x =-+ 2． 若)(x f 在),(b a 内可导,1x 、2x 是),(b a 内任意两点，且21x x <，则至少存在一点ξ，使得 [ C ] （A ）))(()()(a b f a f b f -'=-ξ （b a <<ξ）； （B ）))(()()(11x b f x f b f -'=-ξ （b x <<ξ1）； （C ）))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ）； （D ）))(()()(22a x f a f x f -'=-ξ （2x a <<ξ）3．下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有 [ B ] （A ）212)(xxx f +=,[1,1]- （B ）x x f =)(,[1,2]- （C ）254)(23-+-=x x x x f , [0,1] （D ）)1ln()(2x x f +=,[0,3]4．设)(x f ，)(x g 是恒大于零的可导函数，且0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有 [ A ] （A ）)()()()(x g b f b g x f > （B ）)()()()(x g a f a g x f > （C ）)()()()(b g b f x g x f > （D ）)()()()(a g a f x g x f > 二．填空题1． 对函数r qx px x f ++=2)(在区间],[b a 上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理结论中的ξ 2． 若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得 =-)()(a f b f e e成立3．设()(1)(2)(3)f x x x x x =---,则()0f x '=有 3 个根,它们分别位于区间 （0,1）; (1,2); (2,3) 内. 三．证明题1． 当0a b <<，试证：ln b a b b ab a a--<< 证：令=)(x f x ln ， 可知 )(x f 在],[b a 连续，在),(b a 上可导由拉格朗日定理可知，存在 ),(b a ∈ξ 使得 a ba b a b a b f ln ln ln )(1))(('=-=-=-ξξ 又b a <<<ξ0， 所以ab 111<<ξ， 且 0)(>-a b ， 即ln b a b b ab a a--<<。
高等数学（林伟初）习题详解习题详解-第4章微分中值定理与导数的应用
习题4-11．验证下列各题的正确性，并求满足结论的ξ的值：(1) 验证函数()cos 2f x x =在区间[,]44ππ-上满足罗尔定理；(2) 验证函数()f x =[4,9]上满足拉格朗日中值定理；(3) 验证函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上满足柯西中值定理. 解：(1) 显然()c o s 2f x x =在[,]44ππ-上连续，在(,)44ππ-内可导，且()()044f f ππ-==，又 ()2sin 2f x x '=-，可见在(,)44ππ-内，存在一点0ξ=使()00(2sin 2)0.f x ξ='==-=(2) ()f x =[4,9]上连续，()f x '=，即知()f x =(4,9)内可导，由(9)(4)1945f f -==-得254x =， 即在(4,9)内存在254ξ=使拉格朗日中值公式成立.(3) 显然函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上连续，在开区间)2,1(内可导，且 .02)(≠='x x g 于是)(),(x g x f 满足柯西中值定理的条件.由于,3712)11()12()1()2()1()2(233=-+-+=--g g f f,23)()(x x g x f ='' 令,3723=x 得.914=x 取),2,1(914∈=ξ则等式)()()1()2()1()2(x g x f g g f f ''=--成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.2．不求导数函数()(1)(2)f x x x x =++的导数, 判断方程()0f x '=有几个实根，并指出这些根的范围.解 因为(2)(1)(0)0,f f f -=-==所以)(x f 在闭区间[2,1]--和[1,0]-上均满足罗尔定理的三个条件，从而，在(2,1)--内至少存在一点,1ξ使,0)(1='ξf 即1ξ是)(x f '的一个零点；又在(1,0)-内至少存在一点,2ξ使,0)(2='ξf 即2ξ是)(x f '的一个零点.又因为)(x f '为二次多项式，最多只能有两个零点，故)(x f '恰好有两个零点，分别在区间(2,1)--和(1,0)-.3．设函数)(x f 是定义在(,)-∞∞处处可导的奇函数，试证对任意正数a ，存在(,)a a ξ∈-, 使 ()()f a af ξ'=.证 因()f x (,)-∞∞处处可导，则()f x 在[]a a -，上应用拉格朗日中值定理：存在()a a ξ∈-，，使()()()(())f a f a f a a ξ'--=⋅--.由)(x f 是奇函数，则上式为()()2()f a f a af ξ'+=, 故有()()f a af ξ'=.4．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：(1) 当0b a >>时,ln b a b b aa a b-->>; (2) 若1x ≠, 则x e xe >.证(1) 当0b a >>时,设()ln ,f x x =则)(x f 在[,]a b 上满足拉格朗日定理的条件.故()()()()f b f a f b a ξ'-=- (),a b ξ<< 由1(),f x x '=且111,a bξ>>得：ln b a b b a b aa a bξ--->=>. (2) 若1x ≠,不妨设>1x ，令(),x f x e =则)(x f 在[1,]x 上满足拉格朗日定理的条件.故()(1)()(1)f x f f x ξ'-=- (1),x ξ<< 从而1x e xe e xe xe ξξ=+->>.5．应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式： (1) arcsin arccos (11)2x x x π+=-≤≤;(2) arctan 2x π+=.证(1) 设()f x x =,],1,1[-∈x,01111)(22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-'x x x f ∴,)(C x f ≡].1,1[-∈x 又 ,220arccos 0arcsin )0(ππ=+=+=x f 即.2π=C∴.2arccos arcsin π=+x x(2)设()arctan f x x =+因为21()01+f x x '==，所以 ()f x C ≡,是常数. 又(1)arctan1442f πππ=+=+=, 即.2π=C故arctan 2x π+=.6．设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使2()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-证 作辅助函数3(),g x x =则)(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件，故在)1,0(内至少存在一点,ξ使2(1)(0)().103f f f ξξ'-=-即 2()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-习题4-21．写出函数x x x f ln )(3=在10=x 处的四阶泰勒公式. 解 x x x f ln )(3=， ,0)1(=f22()3ln ,f x x x x '=+ ,1)1(='f()6ln 5,f x x x x ''=+ (1)5,f ''= ()6ln 11,f x x '''=+ (1)11,f '''= (4)6(),f x x= ,6)1()4(=f,6)(2)5(x x f -= .6)(2)5(ξξ-=f 于是所求泰勒公式为x x ln 3)1(-=x 2)1(!25-+x 3)1(!311-+x 4)1(!46-+x ,)1(!5652--x ξ其中ξ在1与x 之间.2. 写出函数1()f x x=在01x =-处的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式. 解 1()f x x =， (1)0,f -= 21(),f x x '=- (1)1,f '-=-32(),f x x ''= (1)2,f ''-=-46(),f x x'''=- (1)6,f '''-=- ()1!()(1),n n n n f x x+=- ()(1)!n f n -=-于是所求的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式为()0(1)()(1)((1))!k nk n k f f x x o x k =-=+++∑(1)((1)).nk n k x o x ==-+++∑3．求下列函数的带皮亚诺余项的n 阶麦克劳林公式： (1)x xe x f -=)(；(2) 1()1xf x x-=+. 解 (1)因为),()!1()(!2)()(1112---+--++-+-+=n n xx o n x x x e所以312(1)()2!(1)!n nxn x x xe x x o x n ---=-+-++-11(1)()(1)!k nkn k x o x k -=-=+-∑. (2) 由 )(1112n n x o x x x x+++++=- 知211(1)()1n n n x x x o x x=-+-+-++ 故 1()1x f x x -=+212111x x x--==-++22[1(1)()]1n n n x x x o x =-+-+-+-1(1)2()nk k n k x o x ==-+-⋅+∑.4. 用泰勒公式计算下列极限：(1) 2230cos limx x x e-→-； (2) 0(cos )sin x x e x→-⋅ 解 (1) x cos ),(!4!21442x o x x ++-=22x e -244211(),222!x x o x =-++⋅∴22cos x x e--44211()(),4!22!x o x =-+⋅ 又3sin x x 4~,x 从而2230cos lim sin x x x e x x -→-44401()12lim x xo x x→-+=1.12=- (2) 24661131()242!83!x x x o x =+-++⋅⋅ ∴22x -46611()44x x o x =-++x cos ),(!4!21442x o x x ++-=2x e ),(!211442x o x x +++= ∴2cos x x e -2443(),224x x o x=--+ 又2sin x 2~,x从而0(cos )sin x x e x →-⋅46646611()443()224x x o x x x o x -++=--+114362-==-. 5. 利用四阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差： (1) 6ln5；(2)e .解 (1) 23111(1)ln(1)(1)23(1)(1)nn n n n x x x x x x n n x θ+-+-+=-+-+-+++ 上式中，取3n =得2344ln(1)234(1)x x x x x x θ+=-+-+).10(<<θ 以15x =代入得6ln 525111110.182752535≈-+=，(取小数点后四位) 其误差 4R 4444111()=4105454(1)5θ-=<⨯⨯+. (2) xe 12)!1(!!21+++++++=n xn x n e n x x x θ (01)θ<<. 取,1=x 5n =得 e 111111 2.7083,2!3!4!5!≈+++++=(取小数点后四位) 其误差 6R 6!e <30.0042.6!<= 习题4-31．计算下列极限：(1) 0lim sin x xx e e x-→-；(2) 2ln cos 2lim()x xx ππ→-;(3) 02lim sin x x x e e xx x-→---；(4) 1ln(1)limarctan 2x x x π→+∞+-； (5) cot limcot 3x xxπ→； (6) 0ln lim ln cot x xx+→；(7) 20tan lim tan x x xx x→-;(8) 22301lim sin 2x x e x x x-→+-;(9) 0ln sin 3lim ln sin 2x xx+→;(10) 2lim xx x e-→+∞;(11) 2lim cot ln()2x x x ππ+→⋅-;(12) 2011lim()sin x x x x→-; (13) 11lim 1ln x x x x →⎛⎫-⎪-⎝⎭; (14) 011lim 1xx e x →⎛⎫-⎪-⎝⎭; (15) 21lim(cos 2)x x x →;(16) 11lim (ln )x x x -→+∞;(17) lim x x x xx e e e e --→+∞-+; (18) sin lim sin x x xx x →∞-+; 解 (1) 00lim lim 2sin cos x x x xx x e e e e x x--→→-+==；(2) 2ln cos 2lim ()x x x ππ→-2tan 2lim2()x xx ππ→-=-24sec 2lim 2x x π→-==-2; (3) 02lim sin x x x e e x x x -→---0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x xx x x e e e e e e x x x ---→→→+--+====-；(4) 1ln(1)lim arctan 2x x x π→+∞+-2111lim 11x x x x →+∞-+=-+221lim11x x x x →+∞-+=-+221lim x x x x →+∞+=+=1； (5) cot lim cot 3x x x π→22csc lim 3csc 3x x x π→-=-22sin 3lim3sin x x x π→=2sin 3cos33lim 32sin cos x x x x x π→⋅=⋅；sin 3cos3lim lim sin cos x x x x x x ππ→→=⋅3cos3lim 1cos x x xπ→=⋅=3(6) 0ln lim ln cot x x x +→201lim csc cot x x x x +→=-201lim csc cot x x x x+→=-0sin cos lim x x x x+→=-=-1； (7) 20tan lim tan x x x x x →-30lim tan x x x x →=-2203lim sec 1x x x →=-2203lim 3tan x x x→==;(8) 22301lim sin 2x x e x x x -→+-22301lim (2)x x e x x x -→+-=23022lim 84x x xe x x -→-+=⋅2201lim 16x x e x -→-= 2021lim 3216x x xe x -→==; (9) 0ln sin 3lim ln sin 2x x x +→03cot 3lim 2cot 2x x x +→=03tan 2lim 2tan 3x x x +→=032lim 123x xx+→==;(10) 2lim xx x e -→+∞2lim x x x e→+∞=22lim lim 0x x x x x e e →+∞→+∞===;(11) 2lim cot ln()2x x x ππ+→⋅-2ln()2lim tan x x x ππ+→-=2212lim sec x x x ππ+→-= 22cos lim 2x x x ππ+→=-22cos sin lim 01x x xπ+→-==;(12) 2011lim()sin x x x x →-20sin lim sin x x x x x →-=30sin lim x x xx →-=20cos 1lim 3x x x →-=0sin lim 6x x x →-=16=-; (13) 11lim 1ln x xx x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭1ln 1lim (1)ln x x x x x x →-+=-1ln lim 1ln x x x x x→=-+1211lim112x xx x →==+;(14) 011lim 1x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭01limx x x x e xe x →-+=-01lim 1x x x x e xe e →-=+- 0lim 2x xx x e xe e →-=+12=-; (15) 2221ln cos2ln cos2limlim(cos 2)lim x x x x xx x x x ee →→→==,又20ln cos 2limx x x →002tan 2tan 2lim lim 22x x x xx x→→--===-故21lim(cos 2)x x x →=2e -;(16) 11lim (ln )x x x -→+∞=ln ln 1lim xx x e-→+∞,又11ln ln ln lim lim 011x x x x x x →+∞→+∞⋅==-, 故11lim (ln )x x x -→+∞=0e =1;(17) lim x x xx x e e e e --→+∞-+221lim 11xxx e e --→+∞-=+;(18) sin 1lim1sin 1x x x x x→∞-=+. 2. 设(0)0f =,(0)2f '=，(0)6f ''=,求20()2lim x f x xx→-. 解 20()2l i mx f x x x →-0()2l i m 2x f x x →'-=0()lim 2x f x →''=(0)32f ''==. 习题4-41．判断函数x y e x =-的单调性.解 .1-='x e y 又).,(:+∞-∞D在)0,(-∞内，,0<'y ∴函数单调减少； 在),0(+∞内，,0>'y ∴函数单调增加. 2．判断函数cos sin y x x x =+在区间3[,]22ππ的单调性.解 cos y x x '=,在区间3(,)22ππ，,0<'y ∴函数单调减少.3．求下列函数的单调区间： (1) 31292)(23-+-=x x x x f ； (2) 2()2ln f x x x =-；(3) ()f x =(4) 2()1x f x x=+.解 (1) ).,(:+∞-∞D 2()61812f x x x x '=-+),2)(1(6--=x x 解方程0)(='x f 得.2,121==x x当1<<-∞x 时，,0)(>'x f ∴)(x f 在(]1,∞-上单调增加； 当21<<x 时，,0)(<'x f ∴)(x f []2,1上单调减少； 当+∞<<x 2时，,0)(>'x f ∴)(x f 在),2[+∞上单调增加.(2) :(0,).D +∞1()4f x x x '=-241x x-=,解方程0)(='x f 得12x =，在1(0,)2内，,0)(<'x f ∴)(x f 在1(0,)2内单调减少；在1(,)2+∞内，,0)(<'x f ∴)(x f 在1(,)2+∞单调增加.(3) ).,(:+∞-∞D y'13=令,0='y 解得14,3x =在21,x =32x =处y '不存在.在(),1-∞内，,0>'y 函数单调增加；在41,3⎛⎫⎪⎝⎭内，,0>'y 函数单调增加；故函数在4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内函数单调增加；在4,23⎛⎫⎪⎝⎭内，,0<'y 函数单调减少； 在()2,+∞内，,0>'y 函数单调增加. (4) :(,1)(1,).D -∞--+∞21()111x f x x x x ==-+++,221(2)()1(1)(1)x x f x x x +'=-=++, 令,0='y 解得12,x =-20,x =在(,2)-∞-内，,0>'y 函数单调增加； 在(2,1)--内，,0<'y 函数单调减少； 在(1,0)-内，,0<'y 函数单调减少； 在(0,)+∞内，,0>'y 函数单调增加.4．当0>x 时，应用单调性证明下列不等式成立：(1) 2x +>(2) 21ln(1)2x x x x >+>-. 证 (1)令()2f x x =+- 则()1f x '==.当0>x 时,,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加，,0)0(=f ∴当0>x 时，()(0)0,f x f >=即2x +-，故2x +>(2)设),1ln()(x x x f +-=则.1)(xx x f +=' )(x f 在],0[+∞上连续，且在),0(+∞内可导，,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加， ,0)0(=f ∴当0>x 时，,0)1ln(>+-x x 即).1ln(x x +>又设21()ln(1),2g x x x x =+-+因为()g x 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，且1()11g x x x'=-++,12x x +=当0>x 时，()0,g x '>又(0)0.g = 故当0>x 时，()(0)0,g x g >=所以.21)1ln(2x x x ->+ 综上，当0>x 时，有21ln(1)2x x x x >+>-，证毕. 5．证明方程53210x x x ++-=有且只有一个小于1的正根. 证 令53()21f x x x x =++-，因)(x f 在闭区间[0,1]连续，且)0(f 1=-,0<(1)f 30=>.根据零点定理)(x f 在(0,1)内有一个零点,即方程53210x x x ++-=至少有一个小于1的正根.在(0,1)内，)(x f '42561x x =++,0> 所以)(x f 在[0,1]内单调增加，即曲线)(x f y =在(0,1)内与x 轴至多只有一个交点.综上所述，方程53210x x x ++-=有且只有一个小于1的正根. 6．求下列曲线的凹凸区间及拐点： (1) 14334+-=x x y ；(2) 2y = (3) 241y x =+；(4) (y x =-解 (1)函数的定义域为),,(+∞-∞,121223x x y -='.3236⎪⎫ ⎛-=''x x y 令,0=''y 得,01=x .22=x)(2) 函数的定义域为),,(+∞-∞ y '13=- y ''=函数y 在1x =处不可导，但1x <时，,0<''y 曲线是凸的，时，,0>''y 曲线是凹的.故凹区间为[1,)+∞，凸区间为(,1]-∞，拐点为(1,2)；(3) 函数的定义域为),,(+∞-∞ y '228(1)xx =-+ , y ''223248(1)x x -=+ 令,0=''y 得1x =2x =在(,-∞，,0>''y 曲线是凹的；在(，,0<''y 曲线是凸的；在)+∞，,0>''y 曲线是凹的.因此凹区间为(,-∞,)+∞，凸区间为[，拐点为(,3)和.(4) 函数的定义域为),,(+∞-∞ 5233(y x x x =-=-,y '21335233x x -=-=, y ''143310299x x --=+=, 令,0=''y 得11,5x =-在20x =处y ''不存在，在1(,)5-∞-，,0<''y 曲线是凸的；在1(,0)5-，,0>''y 曲线是凹的；在(0,)+∞，,0>''y 曲线是凹的；故凹区间为1(,0]5-,[0,)+∞，凸区间为1(,]5-∞-，拐点为1(,5-.7．利用函数的凹凸性证明：若,0,x y x y >≠，则不等式2()x yxyxe ye x y e ++>+成立.证 令()t f t te =(0t >)，则所要证明的不等式改写为()()<()22f x f y x yf ++.因此问题转化为要证明()f t 在(0,)+∞内为凹.由()t t f t te e '=+，()2t tf t te e ''=+，因0t >，()0f t ''>，故()f t 在(0,)+∞内为凹，于是不等式成立.习题4-51．求下列函数的极值： (1) 32()393f x x x x =--+；(2) 2()1xf x x =+; (3) 2()2ln f x x x =-;(4) ()f x =(5) 23()(1)1f x x =--;解 (1) )3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,令,0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x所以, 极大值(1)8,f -=极小值(3)24f =-.(2) 2221(1)(1)()11x x x f x x x--+'==++,令,0)(='x f 得驻点121, 1.x x =-= 所以, 极小值(1),2f -=-极大值(1)2f =. (3) 函数的定义域为(0,),+∞1()4f x x x '=-241x x-=，令,0)(='x f 得驻点12x =，在1(0,)2内，,0)(<'x f )(x f 在1(0,)2内单调减少；在1(,)2+∞内，,0)(<'x f )(x f 在1(,)2+∞单调增加.所以,有极小值11()ln 222f =+.(4) ).,(:+∞-∞D y '13=令,0='y 解得14,3x =在21,x =32x =处y '不存在.在(),1-∞内，,0>'y 函数单调增加；在41,3⎛⎫⎪⎝⎭内，,0>'y 函数单调增加；在4,23⎛⎫⎪⎝⎭内，,0<'y 函数单调减少； 在()2,+∞内，,0>'y 函数单调增加.因此，有极大值4(),33f =极小值(2)0f =. (5) 由,0)1(6)(22=-='x x x f 得驻点,11-=x .1,032==x x ).15)(1(6)(22--=''x x x f因(0)60,f ''=>/故)(x f 在0=x 处取得极小值，极小值为(0) 2.f =-因,0)1()1(=''=-''f f 考察一阶导数)(x f '在驻点11-=x 及13=x 左右邻近的符号: 当x 取1- 左侧邻近的值时, ;0)(<'x f 当x 取1-右侧邻近的值时, ;0)(<'x f 因)(x f '的符号没有改变，故)(x f 在1-=x 处没有极值.同理，)(x f 在1-=x 处也没有极值.2. 设3x π=是函数1()sin sin 33f x a x x =+的极值点，则a 为何值？此时的极值点是极大值点还是极小值点？并求出该值.解 由()cos cos3f x a x x '=+,因3x π=是极值点，故()coscos 033f a πππ'=+=,得a =2,又()(2cos cos3)2sin 3sin3f x x x x x '''=+=--,()2sin 3sin 033f πππ''=--=,所以，3x π=是极大值点，极大值为：1()2sinsin 333f πππ=+=3. 求下列函数在指定区间的最大值与最小值：(1) 42()23f x x x =-+, 3[2]2-，;(2) ()f x x =[3,1]-;(3)()sin cos f x x x x =+,[],ππ-.解 (1)3()444(1)(1),f x x x x x x '=-=+- 解方程,0)(='x f 得1231,0, 1.x x x =-==计算357();216f -=(1)(1)2;f f -==(0)3;f =(2)11f =. 比较得最大值(2)11f =,最小值(1)(1)2f f -==.(2) ()1f x '==,令,0)(='x f 得34x =， 计算(3)1f -=-，35()44f =，(1)1f =.从而得最大值35()44f =,最小值(3)1f -=-.(3) ()cos f x x x '=，令,0)(='x f 在[],ππ-得驻点123,0,.22x x x ππ=-==计算()()222f f πππ-==，(0)1f =，()()1f f ππ-==-.故得到，最大值为()()222f f πππ-==，最小值为()()1f f ππ-==- .4. 求下列曲线的渐近线： (1) 1sin x y x+=; (2) 111x y e-=+.解 (1)因1sin lim0x xx →∞+=, 得水平渐近线0;y = 因01sin limx xx→+,=∞ 得铅直渐近线.0=x (2) 因11lim(1)2x x e-→∞+=, 得水平渐近线2;y =因111lim(1)x x e +-→+=+∞, 得铅直渐近线 1.x =5. 作出下列函数的图形： (1) 3()31f x x x =-+； (2) 43()21f x x x =-+;(3) 2y =(4) 2()1x f x x=+.解 (略) 6. 设A 、B 两个工厂共用一台变压器，其位置如右下图所示，问变压器设在输电干线的什么位置时，所需电线最短？解 设变压器设在输电干线距C 点x km 处，由已知条件可得电线的总长度为()6)f x x =≤≤求导()f x '=，令()0f x '=，在[0,6]内，得为唯一驻点,容易判断，此时，函数有最小值，故变压器设在输电干线距C 点2.4 km 处，所需电线最短.习题4-61．某钟表厂生产某类型手表日产量为Q 件的总成本为21()200100040C =++Q Q Q (元)， (1) 日产量为100件的总成本和平均成本为多少？ (2) 求最低平均成本及相应的产量；(3) 若每件手表要以400元售出，要使利润最大，日产量应为多少？并求最大利润及相应的平均成本？解 (1) 日产量为100件的总成本为2100(100)20010010002125040C =+⨯+=(元)平均成本为21250(100)212.5100C ==(元). (2) 日产量为Q 件的平均成本为()1000()20040C C ==++Q Q Q Q Q， 211000()40C '=-Q Q，令()0C '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为200=Q .D又20031000(200)0C =''=>Q Q ，故200=Q 是()C Q 的极小值点，即当日产量为200件时，平均成本最低，最低平均成本为1000()20021040200200200C =++= (元).(3) 若每件手表要以400元售出，此时利润为()L Q 21400()400200100040C ==---Q -Q Q Q Q 21200100040=-+-Q Q ， 1()20020L '=-+Q Q ，令()0L '=Q ，得唯一驻点为400=Q ，此时，1()020L ''=-<Q ， 因此，要使利润最大，日产量应为400件，此时的最大利润为21()200100075 00040400400400L =-⋅+⨯-=(元) 相应的平均成本为1000()200212.540400400400C =++=(元).2．设大型超市通过测算，已知某种手巾的销量Q (条)与其成本C 的关系为23()100060.003(0.01)C =+-+Q Q Q Q (元),现每条手巾的定价为6元, 求使利润最大的销量.解 利润函数为()L Q 236()10000.003(0.01)C ==-+-Q -Q Q Q ，求导2()0.0060.03(0.01)L '=-Q Q Q ，令()0L '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为2000=Q ，此时，22000()0.0060.03(0.0120.00602000)L =''=-⨯⨯=-<Q Q ，因此，要使利润最大，销量应为2000条，此时的最大利润为23()10000.003(0.013000200020002000)L =-+⨯-⨯=(元).3. 设某种商品的需求函数为1000100P =-Q , 求当需求量300=Q 时的总收入, 平均收入和边际收入，并解释其经济意义.解 设需求量Q 件价格为P 的产品收入为(),R P =⋅Q Q由需求函数1000100P =-Q 得100.01P =-Q 代入得总收入函数2()(100.01)100.01.R =-⋅=-Q Q Q Q Q平均收入函数为 ()()100.01.R R ==-Q Q Q Q 边际收入函数为2()(100.01)100.02.R ''=-=-Q Q Q Q 当300=Q 时的总收入为 ,210030001.030010)300(2=⨯-⨯=R 平均收入为 ,730001.010)300(=⨯-=R边际收入为 (300)100.02300R '=-⨯=，其经济意义是：当需求量为300件时，每增加1个单位商品的需求，将增加4元的收入.4．设某工艺品的需求函数为800.1P =-Q (P 是价格，单位：元, Q 是需求量，单位：件), 成本函数为 500020C =+Q (元).(1) 求边际利润函数()L 'Q , 并分别求200=Q 和400=Q 时的边际利润，并解释其经济意义.(2) 要使利润最大，需求量Q 应为多少?解 (1)已知800.1P =-Q ，500020C =+Q ，则有 2()(800.1)800.1,R P =⋅=-=-Q Q Q Q Q Q2()()()(800.1)(500020)L R C =-=--+Q Q Q Q Q Q边际利润函数为2()(0.1605000)0.260,L ''=-+-=-+Q Q Q Q当200=Q 时的边际利润为(200)0.22006020.L '=-⨯+=当400=Q 时的边际利润为.20604002.0)400(-=+⨯-='L可见销售第201个产品，利润会增加20元，而销售第401个产品后利润将减少20元. (2) 令()0,L '=Q 得,300=x02.0)300(<-=''L故要使利润最大，需求量300=Q 件，此时最大利润为 4000)300(=L (元).5．设某商品的需求量Q 与价格P 的关系为16004P=Q (1) 求需求弹性)(P η，并解释其经济含义;(2) 当商品的价格10=P (元)时, 若价格降低1%, 则该商品需求量变化情况如何？ 解 (1) 需求弹性为)()()(P Q P Q PP '=η1600416004P P P '⎛⎫ ⎪⎝⎭=1600ln 4416004P PP -=⋅ ln 4P =-⋅P )2ln 2(-=.39.1P -≈需求弹性为负, 说明商品价格P 上涨1%时, 商品需求量Q 将减少1.39P %.(2) 当商品价格10=P (元)时, ,9.131039.1)10(=⨯-≈η 这表示价格10=P (元)时, 价格上涨1%, 商品的需求量将减少13.9%. 若价格降低1%, 商品的需求量将增加13.9%.6．某商品的需求函数为3P e -=Q (Q 是需求量，P 是价格)，求：(1) 需求弹性)(P η； (2) 当商品的价格2,34P =，时的需求弹性, 并解释其经济意义.解 (1) 需求弹性为33()()3PP e P P Pe η--'==-； (2) 2(2)13η=<,说明当2P =时，价格上涨1%, 需求减少0.67 %；(3)1η=，说明当3P =时，价格与需求变动幅度相同；4(4)>13η=,说明当4P =时，价格上涨1%, 需求减少1.33 %.7．已知某商品的需求函数为275P =-Q (Q 是需求量，单位：件，P 是价格，单位：元).(1) 求5P =时的边际需求, 并解释其经济含义.(2) 求5P =时的需求弹性, 并解释其经济含义.(3) 当5P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? (4) 当6=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? 解 设,75)(2P P f Q -==需求弹性)(0P P =)()(|0000P f P P f P P ⋅'==η 刻划了当商品价格变动时需求变动的强弱. (1) 当5P =时的边际需求5(5)210P f P='=-=-它说明当价格P 为5元,每上涨1元, 则需求量下降10件. (2) 当5P =时的需求弹性225(5)(5)(10)175755P f P η'=⋅=-⨯=---它说明当5P =时, 价格上涨1%, 需求减少1%.(3) 由 ()(1)R f P η'=⋅+. 又 ()R P P f P =⋅=⋅Q ,于是()()1()()ER P R P R P EP R P f P η''=⋅==+ 由(5)1η=-，得5110P EREP==-= 所以当5P =时,价格上涨1%,总收益不变，此时总收益取得最大值.(4) 由,753P P PQ R -==(6)234,R =(6)R '2675333,P P ==-=- 66(6)0.85(6)P ER R EP R ='=⋅≈- 所以当6=P 时,价格上涨1%,总收益将减少0.85%.复习题4（A ）1．设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，12a x x b <<<，则下式中不一定成立的是A . ()()()()f b f a f b a ξ'-=-()a b ξ<<； B . ()()()()f a f b f a b ξ'-=- ()a b ξ<<；C . ()()()()f b f a f b a ξ'-=- (12x x ξ<<)；D . 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- (12x x ξ<<).答：C 2．当x =4π时，函数1()cos cos 44f x a x x =-取得极值，则a =A ．-2 B．CD ．2答：B3．若在区间I 上，()0f x '>，()0f x ''<，则曲线)(x f y =在I 是 A ．单调减少且为凹弧； B ．单调减少且为凸弧； C ．单调增加且为凹弧； D ．单调增加且为凸弧.答：D4．曲线y =322(1)x x -A ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线；B ．只有水平渐近线；C ．有垂直渐近线x =1；D ．没有渐近线.答：C5．用中值定理证明下列各题：(1) 设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，()()0f a f b ==，且在(a , b )内()0f x ≠，试证：对任意实数k , 存在),(b a <<ξξ使得()()f k f ξξ'=. (2) 设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，()()1f a f b ==，试证：存在,(,)a b ξη∈，使得[()()]1e f f ξηξξ-'+=证 (1) 对任意实数k ，设()()kx F x e f x -=，()()()kx kx F x ke f x e f x --''=-+，显然()F x 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，且()()0F a F b ==，故在[a , b ] 应用罗尔定理，存在),(b a <<ξξ使()0F ξ'=，即()()()0k k F ke f e f ξξξξξ--''=-+=，整理得()()0kf f ξξ'-+=，即()()f k f ξξ'=. (2)设()()x F x e f x =，()()()x x F x e f x e f x ''=+，在闭区间[a , b ]上应用拉格朗日中值定理()()()b a e f b e f a F b aξ-'=-，(,)a b ξ∈即[()()]b a e e e f f b aξξξ-'+=-令()xG x e =，()[()()]b a e e G e e f f b aηξηξξ-''===+-，,(,)a b ξη∈ 故有 [()()]1e f f ξηξξ-'+=，,(,)a b ξη∈.6．求函数1()3f x x=-的1n +麦克劳林公式.解 1()3f x x =-=13(1)3x =-01()33k n nk k x o x ==+∑10()3k nn k k x o x +==+∑ 7. 计算下列极限：(1) lim(arctan )2x x π-；(2) 011lim()1x x e x→--; (3) 1ln 0lim(cot )xx x +→；(4) 110(1)lim xxx x e →⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解 (1) lim(arctan )2x x π-arctan 2lim 1x x π→+∞-=211lim 11x x →+∞+=22lim01x x →+∞=-=+； (2) 011lim 1x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭01lim x x x x e xe x →-+=-01lim 1x x x x e xe e →-=+- 0lim 2x xx x e xe e →-=+12=-； (3) 1ln 0lim(cot )xx x +→ln cot ln cot limln ln 00lim x xxxx x e e+→+→==而0ln cot lim ln x x x +→20csc cot lim 1x xx x +→-=20csc lim cot x x x x+→-= 20csc lim cot x x x x+→-=0lim 1cos sin x xx x +→-==-， 所以 原式=1e -；(4) 110(1)lim xxx x e→⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1ln(1)10lim x x xx e ++-→= 01ln(1)1lim x x x x→+-20ln(1)lim x x x x →+-=0111lim 2x x x →-+= 01lim2(1)x x →-=+12=- 所以 原式=12e-.8．问,,a b c 为何值时，点(-1,1)是曲线32y x ax bx c =+++的拐点，且是驻点？ 解 32y x ax bx c =+++，232y x ax b '=++，62y x a ''=+， 由已知(1)620y a ''-=-+=，得3a =，2(1)3(1)23(1)0y b '-=-+⨯-+=，得3b =，点(-1,1)代入曲线方程：32(1)3(1)3(1)1c -+-+-+=，得2c =9. 证明方程 1ln -=e xx 在区间),0(+∞内有两个实根. 证 令()ln 1x f x x e =-+，11()f x x e '=-e xex-=，（1）当0x e <<时，()0f x '>，即函数单调增加，而()ln 110ef e e e=-+=>，0lim ()x f x +→=-∞，例如11121()ln 10e f e e e e---=-+=-<，因此，函数在(0,)e 内有且只有一个零点，即方程1ln -=exx 在(0,)e 内有且只有一个根；（2）当x e >时，()0f x '<，即函数单调减少，()()f x f e <又()ln 110e f e e e =-+=>，即()ln 11xf x x e =-+<于是ln xx e<，因此lim ()x f x →+∞=-∞，所以函数在(,)e +∞内有且只有一个零点，即方程1ln -=exx 在(,)e +∞内有且只有一个根；综上，即证方程 1ln -=exx 在区间),0(+∞内有两个实根..10．确定函数32()231210f x x x x =+-+的单调区间，并求其在区间[3,3]-的极值与最值.解 2()66126(1)(2)f x x x x x '=+-=-+,令,0)(='x f 得驻点122, 1.x x =-=所以, 函数在(],2-∞-，[1,)+∞单调增加，在[]2,1-单调减少，极小值(1)3f =，极小值(2)30f -=；又(3)55f =，(3)18f -=，因此得最大值(3)55f =,最小值(1)3f =.（B ）1. 设00()()0f x f x '''==，0()0f x ''<，则有（ ） A ．0()f x 是()f x 极大值； B ．0()f x 是()f x 极小值；C ．0()f x '是()f x '的极值；D ．点00(())x f x ，是曲线)(x f y =的拐点.答： D2. 设()(1)f x x x =-，则（ ）A ．0x =是()f x 极值点，但(0, 0)不是曲线)(x f y =的拐点；B ．0x =是()f x 极值点，且(0, 0)不是曲线)(x f y =的拐点；C ．0x =不是()f x 极值点，但(0, 0)是曲线)(x f y =的拐点；D ．0x =不是()f x 极值点，且(0, 0)也不是曲线)(x f y =的拐点.答：B3. 设120ea ->>，证明方程ax x ae =有且只有一个小于1a -的正根.证：因120ea ->>，则12e a ->，即21a e <令()ax f x x ae =-，显然()f x 在1[0,]a -连续，由(0)0f a =-<，1112()(1)0f a a ae a a e ---=-=->， 所以方程ax x ae =在1(0,)a -内至少有一实根，又2()1ax f x a e '=-，在1(0,)a -内0ax e e <<，所以220ax a e a e <<，于是2()10ax f x a e '=->，即函数()ax f x x ae =-在1(0,)a -单调增加，至多与x 轴有一个交点；因此，方程ax x ae =有且只有一个小于1a -的正根.4. 设(0)0f =,()0f x ''<，证明对任意120,0x x >>，恒有1212()()()f x x f x f x +<+.证 由()0f x ''<，知)(x f '单调减少，对任意120,0x x >>， 在1[0,]x 上应用拉氏定理知,11(0,),x ξ∃∈使11111()()(0)()0f x f x f f x x ξ-'==- 在112[,]x x x +上应用拉氏定理知，2112(,),x x x ξ∃∈+使12212221122()()()()()()f x x f x f x x f x f x x x x ξ+-+-'==+-)(x f '单调减少,∴)()(21ξξf f '>' ⇒122111()()()f x x f x f x x x +-<所以1212()()()f x x f x f x +<+. 证毕.5. 当10x >>时，证明不等式212xx +<成立.证 令2()12x f x x =+-，当10x >>时，(0)(1)0f f ==,()22ln 2x f x x '=-,又2()22ln 2>0x f x ''=-,(10x >>)，故()f x '在(0,1)单调增加，由(0)ln 2<0f '=-，(1)22ln 2>0f '=-，故()f x '在(0,1)有且只有一个零点，设为k .易知在(0,)k 内()<0f x '，在(,1)k 内()>0f x ', 因此点x =k 必为()f x 的极小值点. 从而在(0,)k 内，()f x 单调减少，即有0k x >>时，()<(0)0f x f =，于是有212x x +<(0k x >>)在(,1)k 内，()f x 单调增加，即有1x k >>时，()<(1)0f x f =，于是有212x x +<(1x k >>)因在(0,)k 和(,1)k 内()<0f x ，()f k 是函数()f x 的极小值，所以()<0f k .综上即得，在(0,1)内()<0f x ，于是，当10x >>时，不等式212xx +<成立. 证毕. 6. 已知0a b <<，函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，证明在(a , b )内至少存在,ξη使得2()()f f abηηξ''=.证 )(x f y =在区间[a , b ]上应用拉氏定理知，在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ使得- 21 - ()()()f b f a f b a ξ-'=-， 又()f x ，1x在[a , b ]上满足柯西中值定理的条件，故在(a , b )内至少存在一点η，使 2()()().111f b f a f b a ηη'-=--整理得：2()()()f b f a f b a ab ηη'-=-.因此得到，在(a , b )内至少存在,ξη使得2()()f f ab ηηξ''=.证毕.。
中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案
第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．21xy = D ．x y sin = 2．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f =C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数)D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．97．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( )A ．()M x f ≥B ．()M x f >C ．()M x f ≤D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ9．若032<-b a ，则方程()023=+++=c bx ax x x f ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根10．求极限xx x x sin 1sinlim20→时，下列各种解法正确的是 ( )A ．用洛必塔法则后，求得极限为0B ．因为xx 1lim0→不存在，所以上述极限不存在 C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x x x x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数212x xy +=，在 ( ) A ．()+∞∞-,单调增加 B ．()+∞∞-,单调减少 C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少 D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加12．曲线xe y x+=1 ( )A ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线23x xy -=的渐近线 ( ) A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D ． 只有水平渐近线14．函数()()312321--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 ( )A ．4729B ．0C ．1D ．无最小值 15．求()201ln lim x x x x +-→16．求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 11ln 1lim 0 17．求x xx 3cos sin 21lim6-→π18．求()xx x1201lim +→19．求xx arctgx ln 12lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→π20．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。
高等数学微分中值定理与导数应用习题
微分中值定理与导数应用一、选择题1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的=ξ【 】 A. π B. 2π C. 3πD. 4π2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】A. x lnB. x ln lnC.xln 1D. )2ln(x -3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【 】A. 一个实根B. 二个实根C. 三个实根D. 无实根4. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点5. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≤, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧6. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点7. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''<≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧8. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点9. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 10.函数256, y x x =-+在闭区间[2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【】A. 0B. 12C. 52D. 2 11.函数22y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 2 12.函数21,y x =+在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 2 13.方程410x x --=至少有一个根的区间是【 】A.(0,1/2)B.(1/2,1)C. (2,3)D.(1,2) 14.函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的=ξ 【 】A. 0B. 12-C. 1D. 1215.已知函数()32=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定理成立的ξ是【】A.13±B. 13C. 13- D. 13±16.设273+=x y ，那么在区间)3,(-∞和),1(+∞内分别为【 】 A.单调增加，单调增加 B.单调增加，单调减小C.单调减小，单调增加D.单调减小，单调减小二、填空题1. 曲线53)(23+-=x x x f 的拐点为_____________.2. 曲线x xe x f 2)(=的凹区间为_____________。
3微分中值定理与导数的应用习题解答
第三章 微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . xe xf =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='xx x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2c o t a r c t an ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5． 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=- 证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xxcos sin >．（２）当 0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ．§3.1 洛毕达法则1． 填空题 （１） =→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim(sin )xx x +→=1２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ． ==∞→∞→nn n n n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． x x x x sin lim +∞→D ． x nx e x +∞→lim3． 求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim．（２）20222lim x x x x -+-→．解： 20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ．（３）30tan sin limxxx x -→ ．解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-． （４） 20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim xx e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ．（５）x x x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x xx +='， x x x x xx ln 1lim1+--→＝xx x xx 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６） )111(lim 0--→x x e x ． 解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→xx e x x e e x x x xx x x（７） xx xtan 0)1(lim +→ ．解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x xxxx x x x x x x eeeex．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→．解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xxx 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９） n n n ∞→l i m ．解： 因为1lim1limln 1lim===∞→∞→∞→xxxxx x x eex ，所以nn n ∞→lim=1．§3.3 泰勒公式 １．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2． 求函数xe x xf 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ，所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ．3． 求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=． 解：设xx f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=， 则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求． 4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→． 解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-， 故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ．5． 设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 2==→f x x f x ,证明在)1,0(内存在一点ξ,使0)(='''ξf ． 证明： 因为 0)(lim20=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+= （ξ介于0与x 之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1． 填空题（１） 函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调 增加 ．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>．（４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，=b 29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2． 单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A . xy -=2),(∞+-∞ B . xy e = )0,(-∞C . x y ln = ),0(∞+D . x y sin = ),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A . )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2． 求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加； 当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ， 当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解： 011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3． 证明下列不等式（１）证明： 对任意实数a 和b , 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令xxx f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ． 证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当 0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6sin 3x x x ->．4． 讨论方程k x x =-sin 2π(其中k 为常数)在)2,0(π内有几个实根． 解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ， 由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是k -,最小值是k ---242arccos 2ππ．（１） 当,0≥k 或242arccos 2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２） 当0242arccos2<<--k ππ时,有两个实根；（３） 当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5． 试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解： c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解： 222)1(11-+-='x x y , 323)1(62-+=''x xx y ,令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-<x 或10<<x 时, 0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin 证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时, 0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1． 填空题（１）函数xx y 2=取极小值的点是1ln 2x =-． （２） 函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１） 设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ C ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足xex f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C. ))(,00x f x （为拐点D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ )A ． 取得极大值B ． 取得极小值C ． 无极值D ． 不一定有极值3． 求下列函数的极值 （１） ()3/223x x x f -=． 解：由13()10f x x-'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x '==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4． 求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值．解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5． 在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大． 解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=， 由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π )20(R h <<， 由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=． 由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34Rh =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大．6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则 )100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ）， 其中k 是某一正数． 由 0)34005(2=-+='xx k y , 得15=x .由于k y x 400|0==, k y x 380|15==, 2100511500|+==x y , 其中以k y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为最省．7． 宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解： 问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos += )2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='， 由0='l 得3tan abt =, 此时233232)(b a l +=， 故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6 函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线.解：由 -∞=+-→231)1(limx x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线． 因为 2)1(lim )(lim ,1)1(limlim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。