高等数学(微分中值定理与导数的应用)练习题目及答案

lim x2 x0 x
0．
18．设 x 0 ，证明： x x2 ln(1 x) . 2
证 令 f (x) x x2 ln(1 x) ，则 f (x) 1 x 1 x2 ，
2
1 x 1 x
因为 x 0 ，则 f (x) 0 ，从而 f (x) 在 0, 单调减少，又 f (x) 在 x 0 处连续， 故
f (x) f (0) 0 ，即 x x2 ln1 x．
2
19．求 y 2x3 3x2 12x 2 的单调区间、凹凸区间、极值与拐点．
解 定义域为 (, ) ，且 y 6x2 6x 12 6(x 1)(x 2) ， y 12x 6 6(2x 1) ；
令
y
0 得驻点
x1
1 ，
《高等数学Ⅰ(一)》第三章测试卷参考答案
一、 B B C B C C B B
二、9． 0 ．
10． 2 ．
12． (1, 0) ． 13． y 0 ． 15．曲率为 K 1 / 2 ，曲率半径为 R 2
11． 3 ． 6
14． 2dt ．
．
三、16．计算 lim x0
x sin x (arctan x)3
．
1
17． lim 1 x2 x ． x0
x sin x
lim
x0Biblioteka Baidu
(arctan
x)3
lim x0
x sin x x3
1
ln(1 x2 )
lim 1 x2 x lim e x
x0
x0
lim 1 cos x
lim
1 2
x2
1
．
x0 3x2
x0 3x2 6
e e e 1 lim ln(1x2 ) x0 x
2
22
20．在一点 (0 ,1) ，使得 f ( ) f ( ) e1 ．
提示：令 F x ex f (x) ，在[0,1] 上用拉格朗日中值定理证得．
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x2
2 ；令
y
0
得
x3
1 2
；
x
(, 1)
x1 1
(1, 1) 2
x3
1 2
(1 , 2) 2
x2 2 (2, )
y
0
0
y
0
y
单增、凸
极大值 单减、凸 拐点 单减、凹 极小值 单增、凹
函数的单调递增区间为 (, 1] 和[2, ) ，单调递减区间为[1, 2] ；凹区间为[1 , ) ， 2
凸区间为 (, 1] ；极大值为 y(1) 9 ，极小值为 y(2) 18 ；拐点为 (1 , 9) .