中考第一轮复习教案：直线与圆的位置关系

课题：2013年中考复习第一轮——直线与圆的位置关系

仓山镇中胡国文

复习目标：通过对直线和圆的位置关系的复习，巩固和掌握直线和圆的位置关系的判断方法及切线的判定和性质，切线长定理的运用以及三角形内切圆相关知识，并灵活运用所学知识解决实践问题。

复习重难点：直线和圆的位置关系的判断方法及切线的判断和性质，切线长定理。并能运用解题。

复习过程：一﹑情境引入

1、“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有景象。请观察图中日落的情景, 这可以用所学的圆这一章什么知识来描述？

2、出示本节内容的知识结构图。提问：刚才的日落情境，根据直线与圆的公共点的个数回顾一下，直线和圆的位置关系有几种？

二、基础知识点聚焦：

考点一：直线与圆的位置关系有三种，分别是相交，相切、相离。设圆O的半径是r,O到直线AB的距离

是d，当d>r,时，没有公共点，此时相离，d

练一练：已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围:

（1)若AB和⊙O相离, 则( ); 2)若AB和⊙O相切, 则( ) ;(3)若AB和⊙O相交,则( )

考点二：切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

1、如图, △ABC中,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点D,DE⊥BC于E．求证:DE是圆O的切线.

2、在Rt△ABC

中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D

为圆心

,DB

为半径作⊙D.

求证:AC是⊙D的切线.

方法归纳： 1、连半径，证垂直：如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一

点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可.

2、作垂线，证半径：如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可.

考点三：切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径

提示：切线的性质定理是证明两条直线垂直的重要根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.

考点四：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线会平分两条切线的夹角。

考点五：三角形的内切圆:1、与三角形各边都相切的圆，这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点，内心到三边的距离相等。

2、规律清单：若⊙I内切于△ABC，切点分别为D、E、F，如图所示．

(1)∠BIC＝90°＋

1

2

∠BAC. (2)△ABC三边长分别为a、b、c，⊙I的半径r，则有S△ABC＝

1

2

r(a＋b＋c)．(3)在△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝b ，BC＝a, AB＝c，则内切圆半径r＝

a＋b－c

2

.

三、中考题在线：

类型一：直线和圆的位置关系

例1：（2011杭州）在平面直角坐标系xOy中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（）

A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交

C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离

方法点析：判断直线与圆的位置关系时可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较，在判断关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法。

类型二、圆的切线的判定、性质定理的运用

例2（2012辽宁本溪）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=8。以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE。

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）过D点作DF∥BC交⊙O与点F，求线段DF的长。

【分析】（1）欲证AB是⊙O的切线，只需证明证得AB⊥AD即可。

（2）根据垂径定理推知DF=2DG；然后根据△OGD∽△OEC证得

OD DG

OC EC

，由此可以求得DF的长度。

方法点析：要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线：连半径或者作垂线。在涉及切线问题时，以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法。

类型三、切线长定理的运用

例3、[2012·绵阳]如图,PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接PO、AB 相交于D，C 是⊙O上一点，∠C＝60°.

(1)求∠APB的大小； (2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．

[解析] (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长。

方法点析：(1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基

本方法．(2)利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密

相连．

A B C

D

E O

类型四、三角形的内切圆（选用）

例4、 [2012·玉林]如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D ，E ，过劣弧DE(不包括端点D ，E)上任一点P 作⊙O 的切线MN ，与AB ，BC 分别交于点M ，N ，若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( ) A 、r B 、1.5r C 、2r D 、2.5r

方法点析：解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决 四、探究提高题（选用）：如图， ⊙O 的半径为3cm ，正三角形的边长为10 cm ，圆心O 从B 开始沿折线B-A-C-B 以2 cm/s 的速度移动，设运动时间为t （s ）

问:（1） 在移动过程中， ⊙O 与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t 为何值时， ⊙O 与 AC 相切？

五、2011-2012德阳中考题展示：

B C 23．(2011德阳)(本小题满分14分) 如图，AB 是⊙0的直径，AC 切⊙0 于点A ，AD 是⊙0的弦，OC ⊥AD 于F 交⊙0于E ，连接DE ，BE ，BD ．AE ．

(1)求证：∠C=∠BED ； (2)如果AB=10，tan ∠BAD=3

4

，求AC 的长；

(3)如果DE ∥AB ，AB=10，求四边形AEDB 的面积．

（考点：圆周角定理，平行线性质，勾股定理，锐角三角函数）

23．（2012•德阳）如图，已知点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，

过点B 作⊙O 的切线交直线AC 于点D ，点E 为CH 的中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交AB 的延长线于G ．（1）求证：AE •FD=AF •EC ； （2）求证：FC=FB ； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径r 的长．

（考点：切线的判定与性质；等腰三角形的性质、判定；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质）

六、学生活动：1、感悟，对于复习，我想到了什么？ 2、复习方法点拨：

七、课后作业：（选用）

一、填空题：1、（2011·济宁）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5cm,BC=4cm ，以点C 为圆心，以3cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是 。

2、（2012山东泰安）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC =120°，OC =3，

则 BC

的长为______ 3、（2012广西贵港）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，点C 是劣弧AB 上的一个动点，若∠P ＝40°，则∠ACB 的度数是（ ）

二、选择题：4、（2012福建泉州）如图，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交于点E 、F ，则（ ） A .EF>AE+BF B. EF

5、（2011•金华市）如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ )

A .点（0，3）

B . 点（2，3）

C .点（5，1）

D . 点（6，1） 6、〔2011•南京市〕如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）(a ＞2)，半径为2，函数y =x 的图象被⊙

P 截得的弦AB 的长为23，则a 的值是B A ．23

B ．222+

C ．23

D ．23+

三、解答题：

1. 7、（2012四川广元）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 与⊙O 相切于点E ，AD ⊥CD

（1）求证：AE 平分∠DAC ；（2）若AB=3，∠ABE=60°，①求AD 的长；②求出图中阴影部分的面积。

8、（2012甘肃兰州如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接 DE 、OE ．(1)判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；(2)若tanC ＝

5

2

，DE ＝2，求AD 的长．

9、（2011•德阳）如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=12．BC=16，点0为△ABC 的内心，点M 为斜边AB 的中点，求OM 的长？

提示：

第1题

A

C

B O

1

A

C

B 1

x y 第5题图

(第6题)

A B

B P

x y

y=x

A