[配套K12]2016-2017学年高中数学第二章统计 2.2 用样本估计总体习题课新人教版必

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高中数学第2章统计2_2_2用样本的数字特征估计总体的数字特征随堂巩固验收新人教A版必修3

2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )A．平均数 B．极差C．中位数 D．方差[解析] 判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．[答案] C2．某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数为85，平均数为85.5，则x＋y＝( )A．12 B．13 C．14 D．15[解析] 因为中位数为85，所以4＋x＝2×5，解得x＝6.又平均数为85.5，所以73＋79＋3×84＋86＋87＋88＋93＋90＋y＝855，所以y＝7.故x＋y＝13.[答案] B3．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差[解析] 由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错． [答案] C4．一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )A ．40.6 1.1B ．48.8 4.4C ．81.2 44.4D ．78.8 75.6[解析] 解法一：设原来的数据为x 1，x 2，x 3，…，x n ，则新数据为2x 1－80,2x 2－80,2x 3－80，…，2x n －80，所以(2x 1－80)＋(2x 2－80)＋…＋(2x n －80)n＝1.2，所以2(x 1＋x 2＋…＋x n )－80n n＝1.2，即x 1＋x 2＋…x nn＝40.6. 1n[(2x 1－80－1.2)2＋(2x 2－80－1.2)2＋…＋(2x n －80－1.2)2]＝4.4，即1n[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2x n－81.2)2]＝4.4，则1n[(x1－40.6)2＋(x2－40.6)2＋…＋(x n－40.6)2]＝14n[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2x n－81.2)2]＝14×4.4＝1.1.解法二：设原数据的平均数为x，方差为s2，则数据中的每一个数都乘2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为2x－80，方差为22s2，由题意得2x－80＝1.2,22s2＝4.4，解得x＝40.6，s2＝1.1[答案] A5．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个[解析] 由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为10℃，而一月的平均温差约为5℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20℃时月份只有3个，D错误．[答案] D总体数字特征的实际应用在解决某些实际问题时，我们可以选用科学的抽样方法，从总体中抽取样本，得到样本数据，再根据研究实际问题的需要(是关注平均数的大小，还是注意数据稳定的程序)，求出样本的有关数字特征，利用它估计总体数字特征，从而作出科学决策.【典例】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．满意度评分分[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] 组频数281410 6B分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可);(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意[思路导引] 由频率分布表，先计算每段的频率值，再画图，然后从直方图的高度及分散程度下结论.[解] (1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散.(2)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.记C A表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.明确样本数字特征所反映样本的特征，一般地，平均数反映的是样本个体的平均水平，众数和中位数则反映样本中个体的“重心”，而标准差则反映了样本的波动程度、离散程度，即均衡性、稳定性、差异性等．因此，我们可以根据问题的需要选择用样本的不同数字特征来分析问题．[针对训练] 某校收集该校学生从家到学校的时间后，制作成如图的频率分布直方图：(1)求a 的值及该校学生从家到学校的平均时间；(2)若该校因学生寝室不足，只能容纳全校50%的学生住校，出于安全角度考虑，从家到学校时间较长的学生才住校，请问从家到学校时间多少分钟以上才能住校.[解] (1)由题有(0.009＋0.020＋0.011＋a ＋0.003＋0.002)×20＝1，解得a ＝0.005. 平均到校时间x ＝(10×0.009＋30×0.020＋50×0.011＋70×0.005＋90×0.003＋110×0.002)×20＝41.6(分钟)．(2)原问题等价于求到校时间的中位数，列式计算：x 0＝40－0.009×20＋0.020×20－0.50.020×20×20＝36(分钟)，所以，从家到学校时间36分钟以上才能住校．。

[配套K12]2016-2017学年高中数学第二章统计章末复习课新人教版必修3

第二章统计章末复习课新人教版必修3课时目标 1.巩固本章主干知识点.2.提高知识的综合应用能力．1．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,13,23， (93)产品进行检验，则这样的抽样方法是( )A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上都不对2．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )A．7 B．15C．25 D．353．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A.91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和924．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )A．1 B．2C．3 D．45．如果数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则2x1＋3,2x2＋3，…，2x n＋3的平均数和方差分别为( )A.x和s B．2x＋3和4s2C．2x＋3和s2D．2x＋3和4s2＋12s＋96．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有______根棉花纤维的长度小于20 mm.一、选择题1．为了调查参加运动会的500名运动员的身高情况，从中抽查了50名运动员的身高，就这个问题来说，下列说法正确的是( )A．50名运动员是总体B．每个运动员是个体C．抽取的50名运动员是样本D．样本容量是502．某高级中学高一年级有十六个班，812人，高二年级有十二个班，605人，高三年级有十个班，497人，学校为加强民主化管理，现欲成立由76人组成的学生代表会，你认为下列代表产生的办法中，最符合统计抽样原则的是( )A．指定各班团支部书记、班长为代表B．全校选举出76人C．高三选举出20人，高二选举出24人，高一选举出32人D．高三20人，高二24人，高一32人均在各年级随机抽取3．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40和0.125，则n 的值是( )A．640 B．320C．240 D．1604．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重在[2 700,3 000]的频率为( )A．0.001 B．0.01C．0.003 D．0.35．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )A．92,2 B．92,2.8C．93,2 D．93,2.86．下列图形中具有相关关系的两个变量是( )7．一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99，依从小到大的编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．8．一个样本容量是100的频率分布如图：(1)样本落在[60,70)内的频率为________；(2)样本落在[70,80)内的频数为________；(3)样本落在[90,100)内的频率是0.16，该小矩形的高是________．9．某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)的对应数据如下表：假设得到的关于x和y之间的回归直线方程是y＝b x＋a，那么该直线必过的定点是________．三、解答题10分别计算两个样本的平均数x和方差s2，并根据计算结果估计甲、乙谁的平均成绩较好？谁的各门功课发展较平衡？11．下表数据是退水温度x(℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长度计算(1)(2)指出x，y是否线性相关；(3)若线性相关，求y关于x的回归方程；(4)估计退水温度是1 000℃时，黄酮延长性的情况．12．在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？(不必说明理由)能力提升13．在一次中学生田径运动会上，参加跳高的17名运动员成绩如下：(2)分析这些数据的含义．14．今年西南一地区遭遇严重干旱，某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如下表：((1)(2)估计样本的中位数是多少？(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1 200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？1n1－2＋2－2＋…＋n －2]. 有时也用标准差的平方s 2——方差来代替标准差，实质一样．．求回归直线方程的步骤：先把数据制成表，从表中计算出x n，∑ny 2，∑答案：章末复习课双基演练 1．B2．B [设样本容量为n ，则350750＝7n，∴n＝15.] 3．A4．D [∵x ＋y ＋10＋11＋95＝10，15[(x －10)2＋(y －10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝2，化简得x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，解得x ＝12，y ＝8或x ＝8，y ＝12，∴|x－y|＝4.]5．B [因x 1＋x 2＋…＋x n ＝n x ，所以2x 1＋3＋2x 2＋3＋…＋2x n ＋3n＝1＋x 2＋…＋x n ＋3n n ＝2n xn＋3＝2x ＋3.又(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2＝ns 2，所以[2x 1＋3－(2x ＋3)]2＋[2x 2＋3－(2x ＋3)]2＋…＋[2x n ＋3－(2x ＋3)]2＝4[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝4ns 2.所以方差为4s 2.]6．30解析纤维长度小于20 mm 的频率约为 p ＝5×0.01＋5×0.01＋5×0.04＝0.3， ∴100×0.30＝30. 作业设计1．D [在这个问题中所要考察的对象是身高，另一方面，样本容量是指样本中的个体数目．]2．D [以年级为层，按各年级所占的比例进行抽样，为了使抽取的学生具有代表性，应在各年级进行随机抽样．]3．B [由40n＝0.125，得n ＝320.]4．D [频率＝频率组距×组距，由图易知：频率组距＝0.001，组距＝3 000－2 700＝300，∴频率＝0.001×300＝0.3]5．B [去掉95和89后，剩下5个数据的平均值x ＝90＋90＋93＋94＋935＝92，方差s 2＝15[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.]6．D [A 和B 符合函数关系，即对x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与之对应；从C 、D 散点图来看，D 的散点都在某一条直线附近波动，因此两变量具有相关关系．] 7．76解析由题意知：m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组的个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76. 8．(1)0.2 (2)30 (3)0.016解析 (1)由频率组距×组距＝频率，得频率为0.2；(2)频率为0.3，又由频数＝频率×样本容量，得频数为30；(3)由频率组距＝高，得小矩形的高是0.016.9．(6.5,8)解析 x ＝16(3＋5＋2＋8＋9＋12)＝6.5，y ＝16(4＋6＋3＋9＋12＋14)＝8.由a ^＝y －b ^x 得y ＝b ^x ＋a ^，所以y ＝b ^x ＋a ^恒过(x ，y )，即过定点(6.5,8)．10．解 x 甲＝15(60＋80＋70＋90＋70)＝74，x 乙＝15(80＋60＋70＋80＋75)＝73，s 2甲＝15(142＋62＋42＋162＋42)＝104，s 2乙＝15(72＋132＋32＋72＋22)＝56，∵x 甲>x 乙，s 2甲>s 2乙；∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡． 11．解 (1)散点图如下．(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y 与x 线性相关．b ^＝∑6i ＝1x i y i －6x y∑6i ＝1x 2i －6x 2＝198 400－6×550×571 990 000－6×5502≈0.058 86，a ^＝y －b ^x ＝57－0.058 86×550＝24.627. 因此所求的回归直线方程为y ^＝0.058 86x ＋24.627.(4)将x ＝1 000代入回归方程得y ＝0.058 86×1 000＋24.627＝83.487，即退水温度是1 000℃时，黄酮延长性大约是83.487%.12．解 (1)各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05. ∴第二小组的频率为：1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40.∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04.则补全的直方图如图所示．(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x 人． ∵第二小组的频数为40人，频率为0.40， ∴40x ＝0.40，解得x ＝100(人)．所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．(3)∵0.3×100＝30,0.4×100＝40,0.15×100＝15,0.10×100＝10,0.05×100＝5，即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30,40,15,10,5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．13．解 (1)在17个数据中，1.75出现了4次，次数最多，即众数是1.75；把成绩从小到大排列，中间一个数即第9个数据是1.70中的一个，即中位数是1.70；平均数x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)≈1.69(m )因此，17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m ，1.70 m,1.69 m .(2)众数是1.75说明了跳1.75 m 的人数最多；中位数是1.70 m 说明了1.70 m 以下和1.70 m 以上的成绩个数相等；平均数是1.69 m 说明了所有参赛运动员平均成绩是1.69 m . 14．解 (1)合计 100 1(2)前两个矩形面积和为0.12＋0.24，第三个矩形一半的面积为0.5－(0.12＋0.24)，则所求的中位数为：4.5＋0.5－＋0.240.2＝4.5＋0.7＝5.2.(3)该乡每户平均月均用水量估计为(1.5×12＋3.5×24＋5.5×40＋7.5×18＋9.5×6)/100＝5.14. 上级支援该乡的月调水量应为5.14×1 200＝6 168. 答上级支援该乡的月调水量是6 168吨．。

人教版2017高中数学必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特1PPT课件

人教版2017高中数学—PPT课件—1问题：众数、中位数、平均数这三个数一般都会来自于同一个总体或样本，它们能表明总体或样本的什么性质？众数:反映的往往是局部较集中的数据信息中位数:是位置型数，反映处于中间部位的数据信息平均数:反映所有数据的平均水平例1、求下列各组数据的众数和中位数（1）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9众数是：3和8（2）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9众数是：3练习、求下列各组数据的众数和中位数（1）、1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9（2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9中位数是：5中位数是：4中位数是5中位数是5众数是3,8众数是3,8练习：高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？00.10.20.30.40.50.6月均用水量/t0.5 2.521.5143.53 4.5频率组距0.040.080.150.220.250.140.060.040.02前四个小矩形的面积和=0.49后四个小矩形的面积和=0.262.02如何在频率分布直方图中估计中位数求考试平均分=2.02x =00.50.514 4.50.040.080.02222++++++L =2.02平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。

可将平均数看作整个直方图面积的“重心”3、假设你是一名交通部门的工作人员。

你打算向市长报告国家对本市26条公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2 200万元人民币，另外25个项目的投资在20万与100万．中位数是25万，平均数是100万，众数是20万元。

高中数学第二章统计 2_2_2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课后提升作业(含解析)新人教A版必修3

用样本的数字特征估计总体的数字特征(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·兰州高一检测)10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a【解析】选D.a=×(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7;将10个数由小到大排列为:10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,中位数b=15,众数c=17.2.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示:则7个剩余分数的方差为( )A. B. C.36 D.【解题指南】显然x可不作为最低分、最高分,因此可依据平均分数求出x的值,然后在计算其方差.【解析】选B.由题意知=91,解得x=4.所以s2=[(87-91)2+(94-91)2+(90-91)2+(91-91)2+(90-91)2+(94-91)2+(91-91)2]=(16+9+1+0+1+9+0)=.3.(2015·安徽高考)若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为( )A.8B.15C.16D.32【解题指南】应用标准差、方差公式和性质计算标准差.【解析】选 C.样本数据x1,x2,…,x10的标准差=8,则DX=64,而样本数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差D(2X-1)=22DX=22×64,所以其标准差为 =16. 4.已知样本数据x1,x2,…,x10,其中x1,x2,x3的平均数为a,x4,x5,x6,…,x10的平均数为b,则样本数据的平均数为( )A. B. C. D.【解析】选B.前3个数据的和为3a,后7个数据的和为7b,样本平均数为10个数据的和除以10.【拓展延伸】加权平均数一般地,若取值为x1,x2,…,x n的频率分别为p1,p2,…,p n,则其平均数为=x1p1+x2p2+x3p3+…+x n p n(其中p1+p2+…+p n=1).像这样运用频率计算的平均值称为加权平均数.5.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A.,s2+1002 B.+100,s2+1002C.,s2D.+100,s2【解题指南】根据样本数据均值和方差的计算公式代入求解即可.【解析】选D.样本数据x1,x2,…,x10的均值=(x1+x2+…+x10),方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]新数据x1+100,x2+100,…,x10+100的均值,=(x1+100+x2+100+…+x10+100)=(x1+x2+…+x10)+100=+100,新数据x1+100,x2+100,…,x10+100的方差,s′2=[(x1+100--100)2+(x2+100--100)2+…+(x10+100--100)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=s2.6.(2016·北京高一检测)某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手五次射击的成绩的方差是( )A.0.127B.0.016C.0.08D.0.216【解析】选B.=×(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,所以s2=×[(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2 +(9.7-9.5)2] =0.016.7.一组数据的方差为s2,平均数为,将这组数据中的每一个数都乘以2,所得的一组新数据的方差和平均数为( )A.s2,B.2s2,2C.4s2,2D.s2,【解析】选C.将一组数据的每一个数都乘以a,则新数据组的方差为原来数据组方差的a2倍,平均数为原来数据组的a倍.故答案选C.8.(2016·大连高二检测)甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分比乙同学高;③甲同学的平均分比乙同学低;④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.上面说法正确的是( )A.③④B.①②④C.②④D.①③【解析】选A.甲的中位数是=81,乙的中位数是=87.5,故①错,排除B、D;甲的平均分为=81,乙的平均分为=85,故②错,③对,排除选项C,故选A.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·江苏高考)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________. 【解析】样本数据的平均数为5.1,所以方差为s2=×[(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2]=×[(-0.4)2+(-0.3)2+02+0.32+0.42]=×(0.16+0.09+0.09+0.16)=×0.5=0.1.答案:0.110.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则x2+y2=________.【解析】由平均数为10,得(x+y+10+11+9)×=10,则x+y=20;又由于方差为2,则[(x-10)2+(y-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(9-10)2]×=2,整理得x2+y2-20(x+y)=-192.则x2+y2=20(x+y)-192=20×20-192=208.答案:208【补偿训练】(2016·衡水高一检测)由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________.(从小到大排列)【解析】不妨设x1≤x2≤x3≤x4,得:x2+x3=4,x1+x2+x3+x4=8⇒x1+x4=4s2=1,所以(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2=4.①如果有一个数为0或4;则其余数为2,不合题意;②只能取|x1-2|=1;得:这组数据为1,1,3,3.答案:1,1,3,3三、解答题(每小题10分,共20分)11.某纺织厂订购一批棉花,其各种长度的纤维所占的比例如下表所示:(1)请估计这批棉花纤维的平均长度与方差.(2)如果规定这批棉花纤维的平均长度为4.90厘米,方差不超过1.200,两者允许误差均不超过0.10视为合格产品.请你估计这批棉花的质量是否合格?【解析】(1)=3×25%+5×40%+6×35%=4.85(厘米).s2=(3-4.85)2×0.25+(5-4.85)2×0.4+(6-4.85)2×0.35=1.327 5(平方厘米).由此估计这批棉花纤维的平均长度为4.85厘米,方差为1.327 5平方厘米.(2)因为 4.90-4.85=0.05<0.10,1.327 5-1.200=0.127 5>0.10,故棉花纤维长度的平均值达到标准,但方差超过标准,所以可认为这批产品不合格.12.某学校高一(1)班和高一(2)班各有49名学生,两班在一次数学测验中的成绩统计如下:(1)请你对下面的一段话给予简要分析:高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测验,全班平均分为79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算上游了!”(2)请你根据表中的数据,对这两个班的数学测验情况进行简要分析,并提出建议.【解题指南】(1)根据平均数、中位数、众数所反映的情况来分析.(2)结合标准差的意义来提出建议.【解析】(1)由于(1)班49名学生数学测验成绩的中位数是87,则85分排在全班第25名之后,所以从位次上看,不能说85分是上游,成绩应该属于中游.但也不能以位次来判断学习的好坏,小刚得了85分,说明他对这段的学习内容掌握得较好,从掌握学习的内容上讲,也可以说属于上游.(2)(1)班成绩的中位数是87分,说明高于87分(含87)的人数占一半以上,而平均分为79分,标准差又很大,说明低分也多,两极分化严重,建议加强对学习困难的学生的帮助.(2)班的中位数和平均数都是79分,标准差又小,说明学生之间差别较小,学习很差的学生少,但学习优异的也很少,建议采取措施提高优秀率.【能力挑战题】甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图:(1)分别求出两人得分的平均数与方差.(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.【解题指南】根据图象,写出甲、乙两人各次的成绩,求出平均数,然后求方差,再根据平均数和方差对两人的成绩作出评价.【解析】(1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲:10分,13分,12分,14分,16分; 乙:13分,14分,12分,12分,14分.==13(分),==13(分),=[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,=[(13-13)2+(14-13)3+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.(2)由>可知乙的成绩较稳定.从折线图看,甲的成绩由低到高基本呈上升状态,而乙的成绩有升有降,变化幅度不大,较为稳定.。

高中数学第二章统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总

高中数学第二章统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征预习导航新人教B 版必修31．通过随机抽样，会用样本平均数估计总体平均数，会用样本标准差估计总体标准差．2．掌握几个数据的标准差及方差的计算方法，理解数据标准差的意义和作用．1．众数、中位数、平均数(1)在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．(2)将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(3)如果有n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n ，那么x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )，叫做这n 个数的平均数．总体中所有个体的平均数叫做总体平均数．样本中所有个体的平均数叫做样本平均数．【做一做1】10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12．设平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a <b <cB ．a >b >cC ．a <c <bD ．c >a >b解析：众数c ＝17，中位数b ＝15，平均数a ＝110×(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14．7，所以a <b <c ．答案：A2．样本方差、样本标准差数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述．我们知道，样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．一般地，设样本的元素为x 1，x 2，…，x n ，样本的平均数为x ，定义s 2＝1－x 2＋2－x 2＋…＋n －x 2n ， s ＝1－x 2＋2－x2＋…＋n －x 2n ．其中s 2表示样本方差，s 表示样本标准差．归纳总结因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．【做一做2－1】样本101,98,102,100,99的标准差为( )A ． 2B ．0C ．1D ．2解析：样本平均数x ＝15×(101＋98＋102＋100＋99)＝100，方差s 2＝15×[(101－100)2＋(98－100)2＋(102－100)2＋(100－100)2＋(99－100)2]＝2， ∴s＝2．答案：A【做一做2－2】若k 1，k 2，…，k 6的方差为3，则2(k 1－3)，2(k 2－3)，…，2(k 6－3)的方差为__________．解析：设k 1，k 2，…，k 6的平均数为k ，则16[(k 1－k )2＋(k 2－k )2＋…＋(k 6－k )2]＝3，而2(k 1－3)，2(k 2－3)，…，2(k 6－3)的平均数为2(k －3)，则所求方差为16[4(k 1－k )2＋4(k 2－k )2＋…＋4(k 6－k )2]＝4×3＝12．答案：12。

精品K12学习高考高中复习数学第二章统计2.2用样本估计总体2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征[课时作业] [A 组学业水平达标]1．下列说法不正确的是( ) A ．方差是标准差的平方 B ．标准差的大小不会超过极差C ．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0D ．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散解析：标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散．答案：D2．数学测验中，某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是：2,3，－3，－5,12,12,8,2，－1,4，－10，－2,5,5，这个小组的平均分是( ) A ．97.2 B ．87.29 C ．92.32D ．82.86解析：2,3，－3，－5,12,12,8,2，－1,4，－10，－2,5,5的平均数为：(2＋3－3－5＋12＋12＋8＋2－1＋4－10－2＋5＋5)÷14＝167≈2.29，故这个小组的平均成绩是85＋2.29＝87.29(分)．故选B. 答案：B3．一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则x －y 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3解析：由题意得72＋77＋80＋x ＋86＋905＝81⇒x ＝0，易知y ＝3.∴x －y ＝－3，故选D. 答案：D4．某品牌空调在春节期间举行促销活动，下面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量的情况(单位：台)，则销售量的中位数是( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：由茎叶图可知这些数分别为5,8,10,14,16,16,20,23，∴中位数为14＋162＝15，故选C. 答案：C5．某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m e ，平均值为x ，众数为m 0，则( )A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0＜xC ．m e ＜m 0＜xD ．m 0＜m e ＜x解析：由图可知m 0＝5.由中位数的定义知应该是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从小到大排，第15个数是5，第16个数是6，所以m e ＝5＋62＝5.5.x ＝130(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)≈5.97＞5.5，所以m 0＜m e ＜x ，故选D. 答案：D6．对某商店一段时间内的顾客人数进行了统计，得到了样本的茎叶图(如图所示)，则该样本中的中位数为________，众数为________．解析：将样本数据按大小顺序排列，排在中间位置或中间两个数的平均数是中位数，出现次数最多的是众数，所以根据图中数据可知该样本中的中位数为45，众数为45. 答案：45 457．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．解析：由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1.所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：28．若1,2,3,4，m 这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为________．解析：由1＋2＋3＋4＋m 5＝3得m ＝5，所以这五个数的方差为15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2. 答案：29．如图所示的是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中时所得的环数)，每人射击了6次．甲射击的靶乙射击的靶(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；(2)请用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较．解析：(1)甲、乙两人的射击成绩统计表如下：(2)x 甲＝16×(8×2＋9×2＋10×2)＝9(环)，x 乙＝16×(7×1＋9×3＋10×2)＝9(环)，s 2甲＝16×[(8－9)2×2＋(9－9)2×2＋(10－9)2×2]＝23，s 2乙＝16×[(7－9)2＋(9－9)2×3＋(10－9)2×2]＝1，因为x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定．[B 组应考能力提升]1．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：A.25B.725C.35D ．2解析：x 甲＝7，s 2甲＝15[(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2]＝25，x 乙＝7，s 2乙＝15[(6－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2]＝65，两组数据的方差中较小的一个为s 2甲，即s 2＝25.故选A.答案：A2．样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m .若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A.105 B.305C. 2D ．2解析：依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2. 答案：D3．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值m n＝________.解析：由茎叶图可知甲的数据为27,30＋m,39，乙的数据为20＋n,32,34,38.由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以m ＝3.由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也是33，所以有20＋n ＋32＋34＋384＝33，所以n ＝8，所以m n ＝38.答案：384．农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下(单位：cm)：甲：9,10,11,12,10,20 乙：8,14,13,10,12,21(1)在给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．解析：(1)茎叶图如图所示：(2)x 甲＝9＋10＋11＋12＋10＋206＝12，x 乙＝8＋14＋13＋10＋12＋216＝13，s 2甲＝16×[(9－12)2＋(10－12)2＋(11－12)2＋(12－12)2＋(10－12)2＋(20－12)2]≈13.67，s 2乙＝16×[(8－13)2＋(14－13)2＋(13－13)2＋(10－13)2＋(12－13)2＋(21－13)2]≈16.67.因为x 甲＜x 乙，所以乙种麦苗平均株高较高，又因为s 2甲＜s 2乙，所以甲种麦苗长的较为整齐． 5．某校对高二年级的男生进行体检，现将高二男生的体重(kg)数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图(如图所示)．已知第三组[60,65)的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65 kg 属于偏胖，低于55 kg 属于偏瘦，观察图中的信息，回答下列问题：(1)求体重在[60,65)内的频率，并补全频率分布直方图；(2)用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人？(3)根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．解析：(1)体重在[60,65)内的频率＝1－(0.03＋0.07＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.2，则频率组距＝0.25＝0.04，补全的频率分布直方图如图所示．(2)设男生总人数为n ，由200n＝0.2，可得n ＝1 000.体重超过65 kg 的总人数为(0.03＋0.02＋0.01)×5×1 000＝300，在[65,70)的人数为0.03×5×1 000＝150，应抽取的人数为6×150300＝3，在[70,75)的人数为0.02×5×1 000＝100，应抽取的人数为6×100300＝2，在[75,80]的人数为0.01×5×1 000＝50，应抽取的人数为6×50300＝1.所以在[65,70)，[70,75)，[75,80]三段应抽取的人数分别为3,2,1.(3)中位数为60 kg，平均数为(52.5×0.03＋57.5×0.07＋62.5×0.04＋67.5×0.03＋72.5×0.02＋77.5×0.01)×5＝61.75(kg).。

高中数学第二章统计2.2用样本估计总体2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征教学案新人教A版必修

2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)如何根据样本数据的频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数？(2)如何理解众数、中位数、平均数与极端数据的关系？(3)平均数向我们提供了样本数据的重要信息，平均数会使我们作出对总体的片面判断吗？(4)方差、标准差有什么区别与联系？[新知初探]1．众数、中位数、平均数的概念(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．2．三种数字特征的比较名称优点缺点众数①体现了样本数据的最大集中点；②容易计算①它只能表达样本数据中很少的一部分信息；②无法客观地反映总体的特征中位数①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；对极端值不敏感预习课本P3～6，思考并完成以下问题3.标准差、方差的概念与计算公式 (1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，s ＝ 1n[ x 1－x 2＋ x 2－x 2＋…＋ x n －x 2].(2)方差：标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数． [点睛](1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．[小试身手]1．下列说法不正确的是( ) A ．方差是标准差的平方 B ．标准差的大小不会超过极差C ．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0D ．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散解析：选D 标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散．2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选D 将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，则平均数a ＝110(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位数b ＝15，众数c ＝17，显然a ＜b ＜c ，选D.3．奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为( )A ．减少计算量B ．避免故障C ．剔除异常值D ．活跃赛场气氛解析：选C 因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平．4．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．解析：由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1.所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：2[典例] (单位：岁)：甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？[解] (1)甲群市民年龄的平均数为13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋1710＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征． (2)乙群市民年龄的平均数为54＋3＋4＋4＋5＋6＋6＋6＋6＋5610＝15(岁)，中位数为6岁，众数为6岁．由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．[活学活用](广东高考)已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．解析：由条件知x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝5，则所求均值x 0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n＝2 x 1＋x 2＋…＋x n ＋nn＝2x ＋1＝2×5＋1＝11.答案：11标准差(方差)的计算及应用[典例] 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？[解] (1)x 甲＝110×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，x 乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．(2)由方差公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，得s 2甲＝3，s 2乙＝1.2.(3)x 甲＝x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．又s2甲＞s2乙，说明甲战士射击情况波动比乙大．因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．计算标准差的5步骤(1)求出样本数据的平均数x.(2)求出每个样本数据与样本平均数的差x i－x(i＝1,2，…，n)．(3)求出x i－x(i＝1,2，…，n)的平方值．(4)求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差．(5)求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差．[活学活用]从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42；乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40.问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？解：(1)x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)，x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)．所以x甲<x乙．即乙种玉米苗长得高．(2)s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110×1 042＝104.2(cm2)，s2乙＝110[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]＝110×1 288＝128.8(cm2)．所以s2甲<s2乙.即甲种玉米苗长得齐.[典例] 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数． [解] (1)由题图知众数为70＋802＝75.(2)由题图知，设中位数为x ，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x －70)，所以x ≈73.3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系[活学活用]为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________． (3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．解析：(1)在[55,75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13. (2)设中位数为x ，则0.2＋(x －55)×0.04＝0.5，x ＝62.5. (3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64. 答案：(1)13 (2)62.5 (3)64[层级一学业水平达标]1．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )A ．63B ．64C ．65D ．66解析：选 A 甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数分别是36和27，则中位数之和是36＋27＝63.2．下列说法中，不正确的是( ) A ．数据2,4,6,8的中位数是4,6 B ．数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4C ．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据D ．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是8×5＋7×311解析：选A 数据2,4,6,8的中位数为4＋62＝5，显然A 是错误的，B 、C 、D 都是正确的．故选A.3．已知一组数据，现将每个数据都加上m ，则新的一组数据的平均数与原来一组数的平均数相比( )A ．扩大到m 倍B ．增加m 倍C ．数值不变D ．增加m解析：选D 设原来一组数据为x 1，x 2，…，x n ，平均数x ，那么加上m 后得到的一组新数据为x 1＋m ，x 2＋m ，…，x n ＋m ，其平均数x ′＝m ＋x 1＋x 2＋…＋x nn＝m ＋x .故答案为D.4．如图是一次考试结果的统计图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为( )A ．46B ．36C ．56D ．60解析：选A 根据题中统计图，可估计有4人成绩在[0,20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20,40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40,60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60,80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80,100)之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1 380，平均数为1 38030＝46.5．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生的平均成绩．解：(1)由图可知众数为65， ∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60＋x ，则0.3＋x ×0.04＝0.5，得x ＝5， ∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，故平均成绩约为67.[层级二应试能力达标]1.如图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是( )A ．56分B ．57分C ．58分D ．59分解析：选B 易得甲得分的中位数是32，乙得分的中位数是25，其和为32＋25＝57. 2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )A ．9.4,0.484B ．9.4,0.016C ．9.5,0.04D ．9.5,0.016解析：选D x ＝9.4×3＋9.6＋9.75＝9.5，s 2＝15(0.12×4＋0.22)＝0.016.3．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x A ＞x B ，s A ＞s BB.x A ＜x B ，s A ＞s BC.x A ＞x B ，s A ＜s BD.x A ＜x B ，s A ＜s B解析：选B 由图易得x A ＜x B ，又A 波动性大，B 波动性小，所以s A ＞s B .4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x ，则( )A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0＜xC ．m e ＜m 0＜xD ．m 0＜m e ＜x解析：选D 由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5,6，故中位数为m e ＝5＋62＝5.5.又众数为m 0＝5，平均值x ＝130(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)＝17930，∴m 0＜m e ＜x .5．五个数1,2,3,4，a 的平均数是3，则a ＝________，这五个数的标准差是________．解析：由1＋2＋3＋4＋a5＝3，得a ＝5；由s 2＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2，得标准差s ＝ 2.答案：526．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x ＝________. 解析：x ＝120(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5.答案：9.57．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．解析：(1)x ＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7.(2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，所以s ＝2. 答案：(1)7 (2)28．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)频率分布直方图如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为：x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为：s2＝(80－100)2×0.06＋(90－100)2×0.26＋(100－100)2×0.38＋(110－100)2×0.22＋(120－100)2×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．9．(广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表.到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据．(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2.(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解：(1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)，其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.(3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数，即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.。

高中数学统计2.2用样本估计总体2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件新人教A版必修3 (2)

4.标准差 (1)定义:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,通常用以下公式来计算.
s=
1 ��
[( ��1 -�� )2 + (��2 -�� )2 + … + (�� -��)2 ].
可以用计算器或计算机计算标准差. (2)特征:标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小.标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小.
【做一做 1】一组数据 8,-1,0,4, , 4,3 的众数是__________.
答案:4
1 7
2.中位数 (1)定义:一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间位置的一个数或两个数的平均值称为这组数据的中位数. (2)特征:一组数据的中位数是唯一的,反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等. 名师点拨中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点. 【做一做2】一组数据-5,7,9,6,-1,0的中位数是 . 答案:3
3.平均数 (1)定义:一组数据的和与这组数据的个数的商.数据x1,x2,…,xn的 �� + �� + … + �� . 平均数为 �� = 1 2 �� (2)特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平.任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低. 【做一做3】 10名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,则其平均数是 . 答案:14.7

高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的

【探究总结】知识归纳:
注意事项:方差与标准差的关注点 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.
(2)标准差、方差的取值范围是:[0,+∞). (3)因为方差与原始数据的单位相同,且平方后可能夸
100)2+(100-100)2+(99-100)2]=2,所以标准差为s=
2.
3.下列判断正确的是
(
)
A.样本平均数一定小于总体平均数
B.样本平均数一定大于总体平均数
C.样本平均数一定等于总体平解析】选D.因为样本平均数只是估计总体的平均数, 它与总体平均数的关系不确定,因此只有选项D正确.
则:(1)平均命中环数为________. (2)命中环数的标准差为________.
【解析】(1) x 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 7. (2)因为s2= 1 [(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(510
10
7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,所以
距离.
3.一般意义下的平均距离是什么? 提示:S= x1 x x 2 x …… x n x .
n
通过以上探究,试着写出方差与标准差公式: 假设样本数据是x1,x2,x3,…,xn, x 是平均数,则
2 2 2 1 ［ x1 x x 2 x x n x ］方差:s2=__________________________________. n

高中数学第二章统计 2.2 用样本估计总体 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课件新人教A版必修3

2．如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的
六科成绩，已知甲同学的平均成绩为 85，乙同学的六科
成绩的众数为 84，则 x，y 的值为( )
A．2,4
B．4,4
C．5,6
D．6,4
解析：
x
甲＝75＋
82＋84＋80＋ 6
x＋90＋93＝85，解得
x＝6，由图可知
y＝4. 答案：D
3．为从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近 6 次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的平均成绩分别是 x 甲， x 乙，则下列说法正确的是( ) A. x 甲＞ x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B. x 甲＞ x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C. x 甲＜ x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D. x 甲＜ x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
①甲的极差是 29；②乙的众数是 21；③甲罚球命中率比乙高；④甲的中位数是 24.
解析：由茎叶图知，甲的最大值为 37，最小值为 8，所以甲的极差为 29，故①正确；乙的数据中出现次数最多的是 21，所以②正确；甲的命中个数集中在 20，而乙的命中个数集中在 10 和 20，所以甲罚球命中率大，故③正确；甲中间的两个数为 22,24，所以甲的中位数为22＋2 24＝23，故④不正确．故结论中错误的只有④. 答案：④
(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又 s2甲＞s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
1．计算标准差的方法： (1)算出样本数据的平均数． (2)算出每个样本数据与样本平均数的差 xi－ x (i＝1,2，…，n)． (3)算出(xi－ x )2(i＝1,2，…，n)． (4)算出(xi－ x )2(i＝1,2，…，n)这 n 个数的平均数，即为样本方差 s2. (5)算出方差的算术平方根，即为样本标准差 s.

2016-2017学年高中数学课件：第二章统计 2.2.2

第七页，编辑于星期五：十七点二分。
2.方差标准差的平方s2叫做方差.
s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]，其中，xi(i＝1,2，…，n)是样本数据，n是样本容，量是x
样本平均.数
第八页，编辑答于案星期五：十七点二分返。回
题型探究
题型一众数、中位数、平均数的简单运用
第三十八页，编辑于星期五：十七点返二分回。
(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.
解在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，
得众数126，事实上，众数的精确值为125.
图中虚线对应的数据是 125＋2×58＝126.25，事实上中位数为 125.5. 使用 “ 组中值 ” 求平均数： x ＝ 122×0.1＋ 124×0.15 ＋ 126×0.4 ＋ 128×0.2＋130×0.15＝126.3，平均数的精确值为 x ＝125.75.
C.5
D.6
解析 x2－5x＋4＝0的两根是1,4. 当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1. 所以a＝1，b＝4，则方差为s2＝5.
第三十五页，编辑于星期五：解十七析点答二案分。
12345
4.一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示.记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，则x等于( ) D
例1 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：
重点突破
职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员
人数
1
1

[配套K12]2016-2017学年高中数学 第二章 统计 2.2 用样本估计总体习题课 新人教版必