材料力学扭转第3节 切应力互等定理
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学：第三章扭转强度
解：
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa32max来自T Wt1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上 的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
mA
7024
NA n
7024 50 300
1170 N m
mB
mC
7024
NB n
7024 15 300
351 N m
mD
7024 NC n
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
max
T Wt
T
d3
16
Tl Tl
GIp
d4
G
32
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿45＿ 螺＿旋＿ 面上 发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。 在图上画出破坏的截面。
例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截 面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A 点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。
7024 20 468 N m 300
N A 50 PS N B N C 15 PS N D 20 PS n = 300 rpm
mA 1170 N m mB mC 351 N m mD 468 N m
材料力学第四版课件 第三章 扭转
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
材料力学(第五版)扭转切应力
p
q
a’ b’
φ 圆轴两端面的
相对扭转角
M
d’
e
M
φ q R
e
c’
qq平面相对于pp的相对扭转 角为： d 圆轴表面的切应变γ 为：
p p
q
d c
p
a a
Rd a a d R ad dx dx
ρ
b
q
d R (a ) dx
b
现研究圆轴内部的切应变
圆轴内部的切应变
作 业
3-1
3-2
3-7
3-8
d G (c ) dx
0
0
d maxGR dx
R
三、静力关系
M
e
T dA ) (
A
T
代入: 得:
d G ( c ) dx
d 2 T G dA dx A
dA
令: 得:
IP dA
D
1
max
D2
扭转时切应力沿半径线性分布，圆心部分的 材料未能充分发挥作用。
例题
已知： P1=14kW,
P2= P3= P1/2=7 kW
n1= n2= 120r/min, z1=36, z3=12; d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm
求:各轴横截面上的最大切应力。
P1=14kW， P2= P3=7 kW n1= n2= 120r/min
p
q
a’ b’
M
d’
e
M
e
c’
p
q
因为各圆周线大小、形状、间距都不变
2、沿同一圆周线上的切应力 大小相等
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一： 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二：
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切：单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体：是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体，以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前，在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算：
=TL/GIP
T：扭矩；
L：两横截面间的距离； G：切变模量； IP：极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大，则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`：单位长度扭转角（rad/m）。
思路：
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同，则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
材料力学笔记(第三章)
材料力学（土）笔记第三章 扭 转1．概 述等直杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内的力偶时，杆将发生扭转变形 若构件的变形时以扭转为主，其他变形为次而可忽略不计的，则可按扭转变形对其进行强度和刚度计算等直杆发生扭转变形的受力特征是杆受其作用面垂直于杆件轴线的外力偶系作用其变形特征是杆的相邻横截面将绕杆轴线发生相对转动，杆表面的纵向线将变成螺旋线 当发生扭转的杆是等直圆杆时，由于杆的物性和横截面几何形状的极对称性，就可用材料力学的方法求解对于非圆截面杆，由于横截面不存在极对称性，其变形和横截面上的应力都比较复杂，就不能用材料力学的方法来求解2．薄壁圆筒的扭转设一薄壁圆筒的壁厚δ远小于其平均半径0r （10r ≤δ），其两端承受产生扭转变形的外力偶矩e M ，由截面法可知，圆筒任一横截面n-n 上的内力将是作用在该截面上的力偶 该内力偶矩称为扭矩，并用T 表示由横截面上的应力与微面积dA 之乘积的合成等于截面上的扭矩可知，横截面上的应力只能是切应力考察沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律，预先在圆筒表面上画上等间距的圆周线和纵向线，从而形成一系列的正方格子在圆筒两端施加外力偶矩e M 后，发现圆周线保持不变，纵向线发生倾斜，在小变形时仍保持直线薄壁圆筒扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，知识相互间绕圆筒轴线发生相对转动，因此横截面上各点处切应力的方向必与圆周相切。
相对扭转角：圆筒两端截面之间相对转动的角位移，用ϕ来表示圆筒表面上每个格子的指教都改变了相同的角度γ，这种直角的该变量γ称为切应变 这个切应变和横截面上沿沿圆周切线方向的切应力是相对应的 由于圆筒的极对称性，因此沿圆周各点处切应力的数值相等由于壁厚δ远小于其平均半径0r ，故可近似地认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化 薄壁圆筒扭转时，横截面上任意一点处的切应力τ值均相等，其方向与圆周相切 由横截面上内力与应力间的静力学关系，从而得⎰=⨯AT r dA τ由于τ为常量，且对于薄壁圆筒，r 可以用其平均半径0r 代替，积分⎰==Ar A dA δπ02为圆筒横截面面积，引进π200r A =，从而得到δτ02A T=由几何关系，可得薄壁圆筒表面上的切应变γ和相距为l 的两端面间相对扭转角ϕ之间的关系式，式子中r 为薄壁圆筒的外半径γϕγsin /==l r 当外力偶矩在某一范围内时，相对扭转角ϕ与外力偶矩e M （在数值上等于T ）之间成正比可得τ和r 间的线性关系为γτG =上式称为材料的剪切胡克定律，式子中的比例常数G 称为材料的切变模量，其量纲和单位与弹性模量相同，钢材的切边模量的约值为GPa G 80=剪切胡克定律只有在切应力不超过某材料的某极限值时才适用该极限称为材料的剪切比例极限p τ，适用于切应力不超过材料剪切比例极限的线弹性范围3．传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图 3.1 传动轴的外力偶矩设一传动轴，其转速为n （r/min ），轴传递的功率由主动轮输入，然后通过从动轮分配出去 设通过某一轮所传递的功率为P ，常用单位为kW 1 kW=1000 W ；1 W=1 J/s ; 1 J=1 N ·m当轴在稳定转动时，外力偶在t 秒内所做的功等于其矩e M 与轮在t 秒内的转角α之乘积 因此，外力偶每秒钟所作的功即功率P 为310}{}{}{}{-⋅⨯=sradmN e kW t M P α 3/10}{}{-⋅⨯=s rad m N e M ω3min/1060}{2}{-⋅⨯⨯⨯=r m N e n M π 即得到作用在该轮上的外力偶矩为min/3min /3}{}{1055.9}{26010}{}{r kWr kW mN e n P n P M ⨯=⨯⨯=⋅π 外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同，从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反3.2 扭矩及扭矩图可用截面法计算轴横截面上的扭矩为使从两段杆所求得的同一横截面上扭矩的正负号一致按杆的变化情况，规定杆因扭转而使其纵向线在某段内有变成右手螺旋线的趋势时 则该段杆横截面上的扭矩为正，反之为负 若将扭矩按右手螺旋法则用力偶矢表示，则当力偶矢的指向离开截面时扭矩为正，反之为负 为了表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在横截面的位置 可仿照轴力图的作法绘制扭矩图4．等直圆杆扭转时的应力·强度条件 4.1 横截面上的应力与薄壁圆筒相仿，在小变形下，等直圆杆在扭转时横截面上也只有切应力 ①几何方面为研究横截面上任意一点处切应变随点的位置而变化的规律 在等直圆杆的表面上作出任意两个相邻的圆周线和纵向线 当杆的两端施加一对其矩为e M 的外力偶后，可以发现：两圆周线绕杆轴线相对旋转了一个角度，圆周线的大小和形状均为改变在变形微小的情况下，圆周线的间距也未变化 纵向线则倾斜了一个角度γ假设横截面如同刚性平面般绕杆的轴线转动，即平面假设 上述假设只适用于圆杆为确定横截面上任一点处的切应变随点的位置而变化的规律 假想地截取长为dx 的杆段进行分析由平面假设可知，截面b-b 相对于截面a-a 绕杆轴转动了一个微小的角度ϕd 因此其上的任意半径也转动了同一角度ϕd由于截面转动，杆表面上的纵向线倾斜了一个角度γ纵向线的倾斜角γ就是横截面周边上任一点A 处的切应变同时经过半径上任意一点的纵向线在杆变形后也倾斜了一个角度ργρ为圆心到半径上点的距离即为横截面半径上任意一点处的且应变 由几何关系可得dxd ϕργγρρ=≈tan即dxd ϕργρ=上式表示等直接圆杆横截面上任一点处的切应变随该点在横截面上的位置而变化的规律②物理方面由剪切胡可定律可知，在线弹性范围内，切应力与切应变成正比 令相应点处的切应力为ρτ，即得横截面上切应力变化规律表达式dxd G G ϕργτρρ== 由上式可知，在同一半径ρ的圆周上各点处的切应力ρτ 值均相等，其值与ρ成正比因ργ为垂直于半径平面内的切应变，故ρτ的方向垂直于半径③静力学方面由于在横截面任一直径上距圆心等远的两点处的内力元素dA ρτ等值且反向则整个截面上的内力元素dA ρτ的合力必等于零，并组成一个力偶，即为横截面上的扭矩T 因为ρτ的方向垂直于半径，故内力元素dA ρτ对圆心的力矩为dA ρρτ 由静力学中的合力矩原理可得⎰=AT dA ρρτ经整理后得⎰=A T dA dxd G2ρϕ上式中的积分⎰AdA 2ρ仅与横截面的几何量有关，称为极惯性矩，用p I 表示⎰=Ap dA I 2ρ其单位为4m ，整理得pGI Tdx d =ϕ 可得pI T ρτρ=上式即等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式当ρ等于横截面的半径r 时，即在横截面周边上的各点处，切应力将达到其最大值p I Tr =max τ 在上式中若用p W 代表r I p /，则有pW T =m ax τ 式中，p W 称为扭转截面系数，单位为3m推导切应力计算公式的主要依据为平面假设，且材料符合胡克定律 因此公式仅适用于在线弹性范围内的等直圆杆 为计算极惯性矩和扭转截面系数在圆截面上距圆心为ρ处取厚度为ρd 的环形面积作为面积因素 可得圆截面的极惯性矩为⎰⎰===Ad p d d dA I 32242032πρπρρ圆截面的扭转截面系数为162/3d d I rI W p p p π===由于平面假设同样适用于空心截面杆件，上述切应力公式也适用于空心圆截面杆 设空心圆截面杆的内、外直径分别为d 和D ，其比值Dd =α 则可得空心圆截面的极惯性矩为⎰⎰-===AD d p d D d dA I )(322442232πρπρρ所以)1(3244απ-=D I p扭转截面系数为)1(1616)(2/4344αππ-=-==D Dd D D I W p p4.2 斜截面上的应力在圆杆的表面处用横截面、径向截面及与表面相切的面截取一单元体在其左右两侧（即杆的横截面）上只有切应力τ，其方向与y 轴平行 在其前后两平面（即与杆表面相切的面）上无任何应力 由于单元体处于平衡状态，故由平衡方程0=∑yF可知单元体在左右两侧面上的内力元素dydz τ应是大小相等，指向相反的一对力并组成一个力偶，其矩为dx dydz )(τ 为满足令两个平衡方程，0=∑xF和0=∑z M在单元体上、下两个平面上将有大小相等、指向相反的一对内力元素dxdz 'τ 并组成其矩为dy dxdz )('τ的力偶该力偶与前一力偶矩数值相等而转向相反，从而可得ττ='上式表明，两相互垂直平面上的切应力τ和'τ数值相等，且均指向（或背离）该两平面的交线，称为切应力互等定理 该定理具有普遍意义纯剪切应力状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态 等直圆杆和薄壁圆筒在发生扭转时，其中的单元体均处于纯剪切应力状态现分析在单元体内垂直于前、后量平面的任意斜截面上的应力 斜截面外法线n 与x 轴的夹角为α规定从x 轴至截面外法向逆时针转动时α为正，反之为负 应用截面法，研究其左边部分的平衡设斜截面ef 的面积为dA ，则eb 面和bf 面的面积分别为αcos dA 和αsin dA 选择参考轴ξ和η分别于斜截面ef 平行和垂直 由平衡方程∑=0ηF 和∑=0ξF即0cos )sin (sin )cos ('=++ααταατσαdA dA dA0sin )sin (cos )cos ('=+-ααταατταdA dA dA利用切应力互等定理公式，整理后即得任意一斜截面ef 上的正应力和切应力的计算公式ατσα2sin -= αττα2cos =单元体的四个侧面（ο0=α和ο90=α）上的切应力绝对值最大，均等于το45-=α和ο45=α两截面上正应力分别为τσσ+==max 45οτσσ-==min 45ο即该两截面上的正应力分别为ασ中的最大值和最小值，即一为拉应力，另一为压应力 其绝对值均等于τ，且最大、最小正应力的作用面与最大切应力的作用面之间互成45° 这些结论是纯剪切应力状态的特点，不限于等直圆杆在圆杆的扭转试验中，对于剪切强度低于拉伸强度的材料（如低碳钢），破坏是由横截面上的最大切应力引起，并从杆的最外层沿与杆轴线约成45°倾角的螺旋形曲面发生拉断而产生的在最大切应力相等的情况下，空心圆轴的自重较实心圆轴为轻，比较节省材料4.3 强度条件强度条件是最大工作切应力不超过材料的许用切应力，即][max ττ≤等直圆杆的最大工作应力存在于最大扭矩所在横截面即危险截面的周边上任一点，即危险点 上述强度条件可写为][maxτ≤pW T5．等直圆杆扭转时的变形·刚度条件 5.1 扭转时的变形 等直杆的扭转变形是用两横截面绕杆轴相对转动的相对角位移，即相对扭转角ϕ来度量的ϕd 为相距dx 的两横截面间的相对扭转角 因此，长为l 的一段杆两端面间的相对扭转角 长为l 的一段杆两端间的相对扭转角ϕ为⎰⎰==lpldx GI Td 0ϕϕ 当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时，则所有横截面上的扭矩T 均相同 且等于杆端的外力偶矩e M对于由同一材料制成的等直圆杆，G 及p I 亦为常量，则可得pe GI l M =ϕ或p GI Tl =ϕϕ的单位为rad ，其正负号随扭矩T 而定由上式可见，相对扭转角ϕ与p GI 成反比，p GI 称为等直圆杆的扭转刚度由于杆在扭转时各横截面上的扭矩可能并不相同，且杆的长度也各不相同因此在工程中，对于扭转杆的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率dx d /ϕ来度量，称为单位长度扭转角，并用'ϕ表示pGI T dx d ==ϕϕ' 公式只适用于材料在线弹性范围内的等直圆杆例题3-5截面C 相对于截面B 的扭转角，应等于截面A 相对于B 的扭转角与截面C 相对于A 的扭转角之和AC BA BC ϕϕϕ+=5.2 刚度条件等直杆扭转时，除需满足强度条件外，有时还需满足刚度条件刚度要求通常是限制器单位长度扭转角'ϕ中最大值不超过某一规定的允许值]['ϕ，即][''max ϕϕ≤上式即为等直圆杆在扭转时的刚度条件式中，]['ϕ称为许可单位长度扭转角，其常用单位是m /)(ο需要将单位换算，于是可得][180'max ϕπ≤⨯p GI T 许可单位长度扭转角是根据作用在轴上的荷载性质以及轴的工作条件等因素决定的6．等直圆杆扭转时的应变能当圆杆扭转变形时，杆内将积蓄应变能计算杆内应变能，需先计算杆内任一点处的应变能密度，再计算全杆内所积蓄的应变能 受扭圆杆的任一点处于纯剪切应力状态设其左侧面固定，则单元体在变形后右侧面将向下移动dx ⋅γ当材料处于线弹性范围内，切应力与切应变成正比，且切应变值很小 因此在变形过程中，上、下两面上的外力将不作功只有右侧面上的外力dydz ⋅τ对相应的位移dx ⋅γ做功，其值为)(21))((21dxdydz dx dydz dW τγγτ=⋅⋅=单元体内所积蓄的应变能εdV 数值上等于dW 于是可得单位体积内的应变能即应变能密度εv 为τγεε21===dxdydz dW dV dV v 根据剪切胡克定律，上式可改写为Gv 22τε=或22γεG v =求得受扭圆杆任一点处的应变能密度εv 后，全杆的应变能εV 可由积分计算dAdx v dV v V Vl A⎰⎰⎰==εεεV 为杆的体积，A 为杆的横截面积，l 为杆长若等直杆仅在两端受外力偶矩e M 作用，则任一横截面的扭矩T 和极惯性矩p I 均相同可得杆内得应变能为222222222)(22ϕρτεlGI GI l M GI l T dA I T G l dAdx G V p p e A p p l A =====⎰⎰⎰以上应变能表达式也可利用外力功与应变能数值上相等的关系，直接从作用在杆端的外力偶矩e M 在杆发生扭转过程中所做的功W 算得7．等直非圆杆自由扭转时的应力和变形对于非等直圆杆，在杆扭转后横截面不在保持为平面取一矩形截面杆，事先在其表面绘出横截面的周线，则在杆扭转后，这些周线变成了曲线 从而可以推知，其横截面在杆变形后将发生翘曲而不再保持平面 对于此类问题，只能用弹性的理论方法求解 等直非圆杆在扭转时横截面发生翘曲，但当等直杆在两端受外力偶作用，且端面可以自由翘曲时，称为纯扭转或自由扭转这时，杆相邻两横截面的翘曲程度完全相同，横截面上仍然是只有切应力没有正应力若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，称为约束扭转，则其相邻两横截面的翘曲程度不同，将在横截面上引起附加的正应力8．开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力和变形 8.1 开口薄壁截面杆薄壁截面的壁厚中线是一条不封闭的折线或曲线，责成开口薄壁截面如各种轧制型钢（工字钢、槽钢、角钢等）或工字形、槽形、T 字型截面等8.2 闭口薄壁截面杆薄壁截面的壁厚中线是一条封闭的折线或曲线，这类截面称为闭口薄壁截面 讨论这类杆件在自由扭转时的应力和变形计算设一横截面为任意形状、变厚度的闭口薄壁截面等直杆 在两自由端承受一对扭转外力偶作用杆横截面上的内力为扭矩，因此其横街满上将只有切应力 假设切应力沿壁厚无变化，且其方向与壁厚的中线相切在杆的壁厚远小于其横截面尺寸时，又假设引起的误差在工程计算中是允许的 取dx 的杆段，用两个与壁厚中线正交的纵截面从杆壁中取出小块ABCD 设横截面上C 和D 两点处的切应力分别为1τ和2τ，而壁厚分别为1δ和2δ 根据切应力互等定理，在上、下两纵截面上应分别有切应力2τ和1τ 由平衡方程0=∑xF，dx dx 2211δτδτ=可得2211δτδτ=由于所取的两纵截面是任意的，上式表明横截面沿其周边任一点处的切应力τ与该点处的壁厚δ乘积为一常数常数=τδ沿壁厚中线取出长为ds 的一段，在该段上的内力元素为ds ⋅τδ 其方向与壁厚中线相切，其对横截面内任意一点O 的矩为r ds dT )(⋅=τδr 是从矩心O 到内力元素ds ⋅τδ作用线的垂直距离由力矩合成原理可知，截面上扭矩应为dT 沿壁厚中线全长s 的积分，即得⎰⎰⎰===sssrds rds dT T τδτδrds 为图中阴影三角形面积2倍故其沿壁厚中线全长s 的积分应是该中线所围面积0A 的2倍，于是可得02A T ⨯=τδ或者δτ02A T=上式即为闭口薄壁截面等直杆在自由扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式 可得杆截面上最大切应力为min0max 2δτA T =式子中，min δ为薄壁截面的最小壁厚闭口薄壁截面等直杆的单位长度扭转角可按功能原理来求得22022028)2(212δδτεGA T A T G G v === 根据应变能密度计算扭转时杆内应变能的表达式，得单位长度杆内得应变能为⎰⎰==V V dVGA T dV v V 22028δεε 式子中，V 为单位长度杆壁的体积，ds ds dV ⨯=⨯⨯=δδ1，代入上式⎰=s dsGA T V δε2028 计算单位长度杆两端截面上的扭矩对杆段的相对扭转角'ϕ所做的功，杆在线弹性范围内2'ϕT W =因为W V =ε，则可解得⎰=sdsGA T δϕ20'4即所要求得单位长度扭转角式子中的积分取决于杆的壁厚δ沿壁厚中线s 的变化规律，当壁厚δ为常数时，得到δϕ20'4GA Ts=式子中，s 为壁厚中线的全长如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
切应力互等定理的推导
切应力互等定理的推导【最新版】目录1.切应力互等定理的定义与意义2.切应力互等定理的推导过程3.切应力互等定理在实际应用中的意义正文切应力互等定理是固体力学中一个非常重要的定理，它描述了在任意六面体单元体中，四个切应力之间总是满足一定的关系。
具体来说，任意一个面上的切应力都可以分解为另外两个面上的切应力之和。
这个定理在解决力学问题时具有非常重要的意义，可以帮助我们更好地理解和分析问题。
下面我们将详细介绍切应力互等定理的推导过程。
首先，我们需要了解什么是切应力。
切应力是指作用在物体截面上的力，它与截面垂直，因此又称为垂直应力。
在三维空间中，任意一个力都可以分解为三个互相垂直的力，所以每个面上才有一个正应力和两个切应力。
接下来，我们考虑一个六面体单元体。
由于六面体有六个面，每个面都有两个切应力，所以一共有 12 个切应力。
根据切应力的定义，我们知道切应力是与截面垂直的力，因此在六面体单元体中，每个面上的切应力都可以分解为另外两个面上的切应力之和。
换句话说，如果我们将六面体单元体划分为四个面，那么每个面上的切应力都可以表示为另外两个面上的切应力之和。
现在我们来考虑如何证明这个结论。
假设我们有一个六面体单元体，我们将其划分为四个面，分别记作 A、B、C、D。
设面 A 上的切应力为σxA、σyA 和σzA，面 B 上的切应力为σxB、σyB 和σzB，以此类推。
根据切应力的定义，我们知道：σxA = Fx / A，σyA = Fy / A，σzA = Fz / AσxB = Fx / B，σyB = Fy / B，σzB = Fz / B其中，Fx、Fy 和 Fz 分别表示作用在六面体单元体上的三个力，A 和B 分别表示面 A 和面 B 的面积。
由于六面体单元体是一个刚体，所以力之间满足平衡条件。
根据平衡条件，我们有：Fx = 0，Fy = 0，Fz = 0将上述平衡条件代入切应力的定义式中，我们得到：σxA = σxB = σxC = σxD = 0σyA = σyB = σyC = σyD = 0σzA = σzB = σzC = σzD = 0也就是说，在六面体单元体中，四个面上的切应力都为零。
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
材料力学——第三章 扭转
33
材 料 力 学
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
34
材 料 力 学
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
35
材 料 力 学
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T
rm
2 rm t T
m1
m4
15.9(kN m)
A
P2 m2 m3 9.549 4.78 (kN m) n P4 m4 9.549 6.37 (kN m) n
17
B
C
D
材 料 力 学
2、求扭矩
m2
T1 m2 0
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
材 料 力 学
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动， a
´
c
´
b
d
t
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
圆筒两端的相对扭转角为υ，圆筒 的长度为L，则切应变为
L r
r L
39
材 料 力 学
四、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例
齿轮轴
9
材 料 力 学
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
10
材 料 力 学
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
电机每秒输入功： 外力偶作功：
W P 1000(N.m)
河海大学 , 材料力学 , 课件 , 第3章 , 扭转
Mx 2 2r0
(a)
l r0
r0 l
b
τ b τs a τp O
τp——剪切比例极限 τs——剪切屈服极限
γ
α
低碳钢τ-γ曲线
切变模量 G = τ/ γ= tanα
α——直线的倾角
各向同性材料：
E G 21
铸铁扭转破坏试验：
τ
τb——剪切强度极限
∴ 横截面上最大切应力发生在厚度δi 最大的狭 长矩形的长边中点处。
max
MX 1 3 max 3 hi i
例3-5：两薄壁钢管。（a）为闭口薄同，且δ / D0= 1 / 10，试求在相同的外力偶
矩作用下，哪种截面形式较好。
P(kW) T 9.55 (kN m) n(rpm)
§3-2 圆杆扭转时的应力
一、横截面上的应力
Mx
分析步骤？
变形分析→应变分布
应力应变关系→应力分布 静力学关系→应力值
周线 T
纵线 T υ 轴线
1、几何方面
a
b
c
γ
d
（1）变形现象
A、周线大小、形状和周线间距不变，只是绕
轴线作相对转动。
d dx
—单位长度相对扭转角
γρ——切应变
dυ
2、物理方面
γρ
e e`
弹性变形时: τ= Gγ
——剪切胡克定律。 G—材料的切变模量。
d G G －－－（a） dx
τmax τ
O
3、静力学方面
A
dA M x
2
τ
r
ρ
dA
d （b ）式代入， A G dA M x dx
材料力学第三章知识点总结
直升机的旋转轴
电机每秒输入功：外力偶作功完成：
×
=P W
M W
e
⋅
=
形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
τdα
τ
l
ϕ
做薄壁圆筒的扭转试验可得
l
是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，G的量纲各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：
ρργγtg ≈x
d d d ′=x d d ϕρ⋅=O 1O 2ABCD 为研究对象
D’
微段扭转变形d dx Rd dx DD tg ϕγγ==≈'d ϕ/ d x －扭转角沿x 轴的变化率
扭转变形计算式
O d A ρTρ⋅
（实心截面）
1、横截面上角点处，切应力为零；
2、横截面边缘各点处，切应力
3、切应力沿横截面周边形成与
4、横截面周边长边中点处，切应力最大。
有关，见教材P93 之表3.2。
材料力学第三章扭转
材料力学
中南大学土木工程学院
三、扭 矩
x 扭矩的矢量表示
Me
Me
Me
T
定义：扭转内力偶矩， 1、定义：扭转内力偶矩，用T表示 大小： 2、大小：可用截面法取局部平衡求出 扭矩大小= 截面一侧所有外扭转力偶矩之代数和 T =ΣMe 正负号： 3、正负号：扭矩矢与截面外法线一致为正 （图中T为正，必须按“设正法”画扭矩） 为正，必须按“设正法”画扭矩） 单位： 4、单位：N·m 或 kN·m
τ =τ′
切应力互等定理
在单元体相互垂直的两个平面上， 在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出 且数值相等，两者都垂直于两平面的交线， 现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方 向则共同指向或共同背离该交线。 向则共同指向或共同背离该交线。
材料力学
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单元体的四个侧面上只有切应力而无正应 纯剪切应力状态。 力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态 力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
O
定义内径与 外径的比值
d α= D
D d
πD πD 4 Ip = (1 − α 4 ) 32
I p π(D 4 − d 4 ) πD 3 Wp = = = (1 − α 4 ) D 16 D 16 2
特别注意：抗扭截面系数不满足叠加法的计算，括号里的仍是四次方。 特别注意：抗扭截面系数不满足叠加法的计算，括号里的仍是四次方。
材料力学 中南大学土木工程学院
分布如图所示。 横截面上各点处的切应力τ 分布如图所示 取微面积dA，则横截面上的分布 的合成其主矢为零， 力系τ dA的合成其主矢为零，主矩就 是扭矩T。
δ
r0
O
τ
∫
材料力学第3章-扭转
第3章 扭转1、扭转的概念：杆件的两端个作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，即为扭转变形。
2、外力偶矩的计算{}{}{}min /95491000602r KW m N e e n P M P M n=⇒⨯=⨯⨯⋅π 式中，e M 为外力偶矩。
又由截面法：e e M T M T =⇒=-0 T 称为n n -截面上的扭矩。
规定：若按右手螺旋法则把T 表示为矢量，当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时，T 为正；反之为负。
3、纯剪切（1）薄壁圆筒扭转时的切应力 δπττδπ222r M r r M ee =⇒••=（2）切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于平面的交线，方向则共同指向或背离这一交线。
（3）切应变 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。
γτG = G 为比例常数，称为材料的切变模量。
弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 存在关系：)1(2μ+=EG 4、圆轴扭转时的应力（1）变形几何关系：距圆心为ρ处的切应变为dxd ϕργρ=（2）物理关系：ρτ为横截面上距圆心为ρ处的切应力。
dxd G G ϕρτγτρρρ=⇒= （3）静力关系：内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩：dA d d GdA T AxA⎰⎰==2ρρτϕρ 以p I 表示上式右端的积分式：dA I Ap ⎰=2ρ p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩（截面二次极矩）横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力：pI T ρτρ=ρ最大时为R ，得最大切应力：pI TR =max τ引用记号RI W p t =t W 称为抗扭截面系数。
则tW T =max τp I 和t W 的计算（1）实心轴：3224420032D R d d dA I RAp ππθρρρπ====⎰⎰⎰16233D R RI W p t ππ===（2）空心轴：)1(32)(324444202/2/32αππθρρρπ-=-===⎰⎰⎰D d D d d dA I D d Ap)1(16)(164344αππ-=-==D d D DRI W p t5、圆轴扭转时的变形pGI Tl =ϕ ϕ为扭转角，l 为两横截面间的距离。
材料力学(第五版)扭转切应力 PPT课件
pq
da
Me
cb
pq
pq
d’ a’
Me
c’
b’
pq
切应力互等定理
切应力互等定理
d
a
d
a
c
b
c
b
在相互垂直的两个截面上，切应力 必然成对出现，且大小相等，方向为共 同指向或共同背离两个截面的交线。
二、剪切胡克定律
d
a
Me
c
b
d’
γ
a’
pq
da
Me
cb
pq pq
T3 158.7 N m
Wp1
d13 16
703 109 16
67.34 106 m3
Wp 2
d32 16
503 109 16
24.54 106 m3
Wp3
d33 16
353 109 16
8.418106 m3
(max )E
D4 d 4 32
D
I p
πD4
1 α4 32
d
O
式中: d
D
D
圆轴扭转最大切应力
max
|R
TR IP
令:
Wp
IP R
抗扭截面系数
圆轴扭转最大切应力为:
max
T Wp
实心圆轴的抗扭截面系数为:
D3 Wp 16
空心圆轴的抗扭截面系数为:
Wp
A1
4
d12
A2
4
简述切应力互等定理
切应力互等定理的那些事儿在咱们日常生活中啊，说到力学，可能很多人第一时间想到的是搬砖、扛大米这些实实在在的力气活儿。
但其实，力学里头的学问深着呢，尤其是那个“切应力互等定理”，听起来挺高大上的，其实啊，它跟咱们的生活也息息相关，咱们今天就来聊聊这个。
首先啊，咱们得明白啥是切应力。
你看咱们平时拧瓶盖，或者拿一把钳子夹东西，这时候瓶子或者钳子的两部分之间，就有一个想要相对滑动的力，这个力啊，就是切应力。
简单来说，就是两个物体接触面之间，想要相互错开、滑动的那股劲儿。
好了，那切应力互等定理又是咋回事呢？咱们想象一下，你手里拿着一根筷子，两端都固定住了，然后你在中间稍微扭一下，这时候筷子中间这一段，是不是就受到了切应力？而且啊，你扭左边，右边也会有反应；扭右边，左边也会有反应。
这就是切应力互等定理的通俗理解：两个物体在接触面上，如果有一个方向上的切应力，那么反方向上，也会有同样大小的切应力存在，它们就像是镜子里的双胞胎，大小相等，方向相反。
这个定理啊，其实是在告诉我们，物体在受到外力作用时，它的反应是均衡的，不会偏袒哪一边。
就像咱们平时和人握手，你使多大的劲儿，对方也会回馈你多大的劲儿，只不过方向是相反的。
这个定理在力学里头啊，可是个宝贝，它让咱们在计算和分析物体的受力情况时，能够更简便、更准确。
那么，这个定理在实际生活中有啥应用呢？嘿，那可多了去了。
比如说咱们造桥吧，桥梁的每一根柱子、每一块钢板，在受到风压、车重等外力作用时，都会产生切应力。
这时候啊，工程师们就得用到切应力互等定理，来计算这些力的大小和方向，从而确保桥梁的结构安全。
要是哪个地方的切应力太大了，那就得加固或者重新设计，不然桥梁就有可能出问题。
再比如咱们开车吧，汽车的车轮在转动时，轮胎和地面之间也会产生切应力。
这个切应力的大小啊，直接影响到轮胎的磨损程度和抓地力。
所以啊，汽车设计师们在设计轮胎的时候，也得用到这个定理，来确保轮胎的耐用性和安全性。
切应力互等定理的推导
切应力互等定理的推导
切应力互等定理是指在一个连续介质中，在某一点处任意方向的切应力大小是相等的。
为了推导切应力互等定理，我们可以考虑一个小立方体元素，如下图所示：
_____________
/ ←←←←←←←←←←
/ ←←←←←←←←←←←←
/
/
/___________
↑
力方向
我们假设在这个小立方体元素上有一个平行于立方体边的外力作用，为了简化问题，我们只研究单一方向的力作用，设立方体的一边长为Δl。
根据牛顿第三定律，立方体受到的反作用力也等于这个力，同时，根据定义，切应力τ为单位面积上的切力，因此可以表示为：
τ = F'/S
其中F'为立方体受到的反作用力，S为立方体的侧面积。
又因为立方体的侧面积为Δl * Δl = ΔA，所以切应力可以进一步表示为：
τ = F'/ΔA
对立方体而言，力F作用在ΔA上，所以力F/ΔA为单位面积上的切力，即切应力τ。
因此，我们可以得到：
τ = F/ΔA
这个结果说明，在一个连续介质中，单位面积上的切应力大小是与力的大小F和侧面积ΔA成正比的。
由于力和侧面积的取值是任意的，因此可以推广到任意大小的面积和力。
综上所述，切应力互等定理得到了证明。
切应力互等定理的适用条件是( )
切应力互等定理是固体力学中的重要概念，用于描述材料在受到切应力时的行为。
在适当的条件下，切应力互等定理可以帮助我们更好地理解材料的力学性质，并为工程设计和实际应用提供指导。
本文将就切应力互等定理的适用条件进行详细阐述，以便读者更好地理解这一概念。
1. 切应力互等定理的基本概念切应力互等定理是指在材料受到切应力时，材料内部不同方向上的切应力大小相等。
也就是说，如果材料在某一方向上受到一定大小的切应力，那么在与该方向垂直的另一方向上也会受到相同大小的切应力。
这一定理的提出，得益于对于材料内部微观结构的研究，通过将微观层面的知识与宏观力学行为进行通联，得出了这一定理。
2. 切应力互等定理的适用条件切应力互等定理在一定的条件下才能成立，主要的适用条件包括以下几点：2.1 材料是各向同性的各向同性是指材料的性质在各个方向上都是均匀的，不存在各向异性。
在各向同性的材料中，切应力在不同方向上的传播规律是一致的，所以切应力互等定理才能成立。
而在各向异性材料中，不同方向上的切应力传播规律会有所不同，因此切应力互等定理就不适用。
2.2 材料呈线弹性线弹性是指在应力未超出一定范围内，应变与应力成正比。
对于线弹性材料，切应力互等定理成立，因为各个方向上的切应变与切应力成正比。
而对于非线弹性材料，由于应力与应变的关系不再是简单的线性关系，在切应力传播过程中会出现一些非线性效应，因此切应力互等定理也不再适用。
3. 切应力互等定理的意义和应用切应力互等定理不仅在理论研究中有着重要的意义，也在工程设计和实际应用中具有指导作用。
通过切应力互等定理，我们可以更好地理解材料在受到切应力时的行为特点，从而为材料的设计和选择提供依据。
在工程实践中，切应力互等定理也可以用于分析材料的疲劳性能和断裂行为，为工程结构的可靠性评估提供支持。
4. 结语切应力互等定理在固体力学中具有着重要的地位，但要想正确理解和应用这一定理，就需要充分了解其适用条件。
切应力互等定理ShearingStressTheorem
y
Fy 0
可知，两侧面的内力元素 dy dz 大小相等，方向相反，将组成 一个力偶。 其矩为( dy dz) dx
τ
dx
τ
x
dy
z
(Torsion)
2、 要满足平衡方程
y
M z 0 Fx 0
在单元体的上、下两平面上必有大小
dy
相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为
杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
三、变形特点（ Character of deformation )
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.受 扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆 形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。
Me
Me
(Torsion)
§3-2 外力偶矩的计算
l
薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶 Me 在某一范围内时，扭 转角与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
(torsion) (Torsion)
T 2 2 πr t
的线性关系.
r l
T
从 T 与 之间的线性关系，可推出 与 间
G
该式称为材料的剪切胡克定律. (Hooke’s law for shear) G –剪切弹性模量 弹性模量E，剪切弹性模量G与泊松比μ的 关系 O
Tmax [ ] Wt （Check the intensity) Tmax 设计截面 Wt （Determine the required [ ]
强度校核 dimensions)
Tmax 确定许可核载荷 (Determine the allowable load)
切应力互等定理的推导
切应力互等定理的推导摘要：1.切应力互等定理的背景和意义2.切应力互等定理的推导过程3.切应力互等定理的应用和意义正文：切应力互等定理是固体力学中的一个重要定理，它描述了在六面体单元体中，三个正应力和三个切应力之间的关系。
这个定理在工程界和学术界都有广泛的应用，例如在土力学、材料力学和结构力学等领域。
在本文中，我们将详细介绍切应力互等定理的推导过程，以及它的应用和意义。
首先，我们来介绍一下切应力互等定理的背景和意义。
在固体力学中，应力是描述物体内部力的作用效果的重要物理量。
应力可以分为正应力和切应力两种。
正应力是指作用在物体表面上的力，切应力是指作用在物体内部的力。
在六面体单元体中，由于三维空间的特性，任意一个力可以分解为三个互相垂直的力，因此每个面上只有一个正应力和两个切应力。
切应力互等定理就是描述这三个切应力之间的关系的定理。
接下来，我们来推导切应力互等定理。
我们假设有一个六面体单元体，它六个面上都有应力。
根据三维空间的特性，每个面上的力可以分解为三个互相垂直的力，因此每个面上有一个正应力和两个切应力。
我们可以将这三个切应力分别记为τ1、τ2 和τ3。
根据平衡条件，六个面上的力必须平衡，因此有以下方程组：σ1 = τ1 + τ2 + τ3 (1)σ2 = τ2 + τ3 + τ1 (2)σ3 = τ3 + τ1 + τ2 (3)其中，σ1、σ2 和σ3 分别表示六个面上的正应力。
我们将方程(1) 和方程(2) 相加，可以得到：σ1 + σ2 = 2τ1 + 2τ2 + 2τ3 (4)同理，将方程(2) 和方程(3) 相加，可以得到：σ2 + σ3 = 2τ2 + 2τ3 + 2τ1 (5)将方程(4) 和方程(5) 相加，可以得到：σ1 + σ2 + σ3 = 2(τ1 + τ2 + τ3) (6)由于六个面上的力必须平衡，因此有σ1 + σ2 + σ3 = 0。
将这个等式代入方程(6) 中，可以得到：0 = 2(τ1 + τ2 + τ3)因此，我们可以得出结论：τ1 + τ2 + τ3 = 0。
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面和两个纵向截面，从 薄壁圆筒中截出边长分
别 dx、dy、 的单元体
如图所示：
由平衡方程
M z (Fi ) 0
( dy )dx ( Fra bibliotekdx )dy
结 论 在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对
存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线， 方向则共同指向或共同背离这一交线。这就是切应力 互等定理。
• 在图示单元体的上、 下、左、右四个侧面 上，只有切应力而无 正应力，这种应力状 态称为纯剪切。
• 纯剪切单元体的相对两个侧面将发生微小的相对错 动，从而使原来互相垂直的单元体直角改变了一个
微量 ，称为切应变。
• 切应力互等定理不仅对纯剪切应力状态适用，对于 一般情形，即使微体截面上还存在正应力，切应力 互等定理仍然成立。