正交异性钢桥面板的稳定分析

0 引 言
板在某种薄膜力作用下 , 当薄膜力不太大时 , 其 弹性平衡通常是稳定的 ; 但当薄膜力超过一定数值 时 ,其弹性平衡就成为不稳定的 , 板在很小的挠动下 就会偏离平衡位置 ,引起大的位移和变形而屈曲 。由 稳定转到不稳定的临界状态时的薄膜力 ,称为临界荷 载 。传统的有限元法在求解临界荷载时 ,一般利用虚 位移原理 ,推导出单元的弯曲刚度矩阵和几何刚度矩 阵 ,从而建立平衡方程 , 求出临界荷载 。文章将有限 条法和应力杂交元法结合起来 ,推导出新的单元弯曲 刚度矩阵和几何刚度矩阵 , 并建立平衡方程 , 解出临 界荷载 。
M
1 基于有限条与杂交元的方法
将位移型的有限条法与应力杂交元法结合起来 , 在条内假设应力场 , 沿条的边界假设位移场 , 并应用 修正余能原理 、 余能泛函分别对条内应力和边界位移 进行变分计算 ,并在条一级水平消去应力 , 从而得到 单元刚度矩阵 ,其余可按有限条法步骤求解 。 薄板的基本方程为 52 M x 52 M xy 52 M y ( 1) +2 + = 0 2 5 x5 y 5x 5 y2 具体针对正交异性板 , 用应力参数{β } 来表示弯矩
[1] 邓聚龙 . 灰色系统理论教程 [ M ] . 武汉 : 华中理工大学出版社 , 1990. [2] 张雅君 ,刘全胜 . 城市需水量灰色预测的探讨 [ J ] . 中国给水排
在实际工程中 ,必须不断考虑那些随着时间推移 相继进入系统的随机因素 ,随时将每一个新得到的数 ( ) 据置入 x 0 中 , 建立新的等维新息模型进行动态预 测 。上述供水量模型的模型精度等级为 1 级 “好” ,因 此它可直接用于预测 。 近几年 , 由于经济的快速发展 , 年供水量呈现增 长趋势 , 按此趋势预计到 2010 年 , 年供水量将达到 25 283. 82 万 t 。
3 结束语
( 1) 一般来说 ,动态等维新息模型在数据模拟和 预测方面优于传统的 GM ( 1 ,1 ) 模型 , 它大大提高了
水 , 2002 , 18 (3) :79 - 81.
[3 ] 赵洪宾 ,严煦世 . 给水管网系统理论与分析 [ M ] . 北京 : 中国建筑
工业出版社 ,2003.
Leabharlann Baidu
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方阵 , 在有限条列式过程中 , 可取 M = 1 。这样做法 是可以保持足够的精确度的[ 1 ] 。 将上述应力场函数和位移函数代入修正余能表 达式 , 可得 n 1 βT { } [ H ]{β } = mc ∏ ∑ 2 e =1 T T ( 6) {β } [ G]{ a} + { a} { Q}
研 韩振峰 :正交异性钢桥面板的稳定分析
究
与
探
索
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正交异性钢桥面板的稳定分析
韩振峰
( 安徽交通职业技术学院 土木工程系 ,安徽 合肥 230051)
摘 要 : 文章将有限条法和应力杂交元法两者结合起来 ,导出一种兼有两者优点的数值计算方法 , 并用此方法对一正交异性板进 行了稳定分析 ,在计算精度和计算时间两方面与传统方法进行了比较 ,验证该法的优点 。 关键词 : 正交异性板 ; 有限条 ; 临界应力 中图分类号 : U441. 2 ; U443. 31 文献标识码 :A 文章编号 :167325781 (2006) 0320191203
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探
索 杨 斌 , 等 :城市年供水量预测的动态等维新息模型
表6 未来年限供水量的检验结果 传统 G(1 ,1) 模型 预测值/ 万 t
M
{ u} =
m =1
[L ] ∑
m
{ a} m
( 5)
其中 , 结线位移参数 { a} m = { a1 m a2 m a3 m a4 m } = θ ω θ θ θ [ω 1m 1m 2m 2 m ] ,ω 1m 、 1m 和ω 2m 、 2 m 为结线位 移 , 见图 1 所示 。结线位移函数矩阵 [ L ] m 是个对角
在用混合杂交有限条法进行稳定计算时 , ( 11) 式 中的 [ S b ]为 ( 7 ) 式中的单元弯曲刚度矩阵 [ K ] ; { Fm } 为单元的节线力 ; [ S G ]称为单元的几何刚度矩阵 。
[ S b ] = [ K] = [ G] [ H ] [ SG ] =σ yt
b l
T
( 15)
3 算 例
图2 板中面受力图
根据有限条的理论知 , 板条单元的刚度方程式为 e e ( 8) { Fm } = [ S b ]{δ m}
192 《工程与建设》 2006 年第 20 卷第 3 期
在进行数值计算时 , 利用自编的程序 , 求解初应 力刚度矩阵 [ Kb ]和集成总屈曲刚度矩阵 [ KG ] , 从而 得到λ。作为一个实例 , 文章对一正交异性薄板用三 种方法作了稳定分析 [ 1 , 5 ] , 分析结果见表 1 所列 。 ( 下转第 196 页)
沿 y 轴可假设为三角函数 , 沿 x 轴假设为多项式。在 M x , M y , M xy 满足平衡方程 ( 1) 式的条件下 , 可假设 :
M x = co s m k y b1 m + xco s m k y b2 m + x 2 co s m k y b3 m
2 2 4 M y = k co s m k y b5 m + x co s m k yb6 m ( 3) 2 co s m k y b3 m + k k
[4 ] 刘思峰 ,党耀国 ,方志耕 ,等 . 灰色系统理论及其应用 [ M ] . 北京 :
预测精度 ,这说明在对变化过程中的未知系统进行预 测时 ,只有不断增加新信息 ,新数据 ,才能对系统的变 化趋势有一个更好的拟合 。 ( 2) 若建立的灰色预测模型精度不高 , 可建立残 差模型 ,对原模型进行修正 。而对满足精度要求的模 型 ,可以通过新陈代谢进行不断更新 。 ( 3) 尽管动态等维新息模型能在一定程度上提
M xy = sin m k yb4 m + x sin m k yb5 m + x 2 sin m k yb6 m
同时面力也与假设的应力分布有关 , 它们能表示 为
[ T ] = [ R ]{β }
其中 , [ R ]为应力系数矩阵 。 取 6 个应力参数来近似表示应力场 , 就可以得到 足够的准确度 。 β β ( 4) {β } m = {β 1m 2 m … 6m} 在有限条之间的边界上 , 位移场可假设为
T e 其中 , [ H ] = ∫ V [ P] [ S ] [ P] dV ;
[ G] = ∫ 5V e [ R ] [ L ] d S ;
e [ Q] = ∫ S σ[ L ] [ T ]d S 。
T
T
( 6) 式表示的泛函分别对 {β } 和 { a} 进行变分计
算 ,得
[ H ]{β } = [ G]{ a} [ G] {β } = { Q}
191
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索 韩振峰 :正交异性钢桥面板的稳定分析
矩阵{ Fm } e 是指板条单元的节线中点的节线内 力 , 它不是整体结构刚度矩阵方程式中的节线外荷 载 , 不是零矩阵 。 在板条平衡状态改变过程中 , 板条单元的外力所 作的功包括以下两项 。 ( 1 ) 单元节线中点四个力所作的功 1 δT T1 = { } { Fm } 2 ( 2) 单元中面内的薄膜力在屈曲过程中所作的 功为 5u 2 5v 2 5w 2 1 T2 = N y ・ + + 5y 5y 5y 2 由平面状态到弯曲的临界平衡状态过程中 , 板条 的弯曲应变能根据有限条的基本原理可知 1 δT b l T ( 9) U = { } [ B b ] [ D ][ B b ] d x d y{δ } 0 0 2 由 U = T1 + T2 整理可得
电 , 1999 ,15 (1) :23 - 27.
[6] 邓聚龙 . 灰理论基础 [ M ] . 武汉 : 华中科技大学出版社 ,2002. [7 ] 张 鑫 ,韦 钢 ,周 敏 ,等 . 灰色理论在城市年用电量预测中的
19 183. 37 19 451. 41
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年份
2001 2002
实际值
/万t 20 019. 44 20 459. 00
动态等维新息模型 相对误差/ ( %)
4. 18 4. 92
残差/ 万 t
836. 07 1 007. 59
预测值/ 万 t
20 015. 61 20 533. 35
{σ } = { M x M y M xy } =
m =1
[ P] ∑
m
{β }m
( 2)
图1 有限条图示
其中 , m = 1 到 M , M 为近似式的项数 。 依照杂交元与有限条法的基本思想[ 1 , 2 ] , 应力函数
收稿日期 :2006203227 作者简介 : 韩振峰 (1976 - ) ,男 ,安徽巢湖人 ,硕士 ,安徽交通职业技术学院讲师 . 《工程与建设》 2006 年第 20 卷第 3 期
残差/ 万 t
3. 83 - 74. 35
相对误差/ ( %)
0. 02 - 0. 36
2. 3 供水量的预测
高了预测精度 ,但它本身是一个指数模型 , 其预测很 大程度上取决于原始数据的特点 ,如果原始数据在某 些时期表现很强的波动性 ,不宜用灰色预测模型 。实 践证明 : 当 - a ≤ 0. 3 时 ,灰色预测模型可用于中长期 预测 。 〔 参考文献〕
0 0
b
b
l
T
b
l
{δ } = { Fm } ( 10)
y
T
0
0
( 10 ) 式改写为 {δ } [ S b ] - [ S G ] = { Fm } ( 11)
其中 , [ K]即为推导出的新的单元刚度矩阵 。
2 正交异性板的稳定分析
在平板稳定分析中 , 板条单元端部如受有中面内 的力 , 并且此力达到临界值时 , 如对板条施加任一横 向干扰力 , 则板条将由平面平衡状态进入曲面的临界 平衡状态 , 如果此时拆除干扰力 , 也不能恢复到原来 的平面平衡状态 , 发生屈曲或失稳 , 其外力所作的功 转化为应变能 。 板中面受力 , 见图 2 所示 。
-1
[ G]
( 12) ( 13)
[ G] [ G] d x d y ∫ ∫
T 0 0
正交异性板的稳定问题的总刚度 [ 3 , 4 ] 方程式为 ( 14) [ Kb ]{δ } + [ KG ]{δ } = { Pm } 式中 [ Kb ] — — — 由 [ S b ]组集而成 [ KG ] — — — 由 [ S G ]组集而成 δ { } — — — 位移矩阵 { Pm } — — — 荷载矩阵 解方程 [ Kb ] +λ [ KG ] = 0
T
由于应力对不同的条是独立假设的 , 可以在条一 级的水平消去{β } , 得到
[ G] [ H ][ G]{ a} = { Q}
T
∫ ∫
b
令
[ K] = [ G] [ H ]
T
-1
[ G] ( 7)
得
[ K][ a] = { Q}
[ B ] [ D ] [ B ]d xd y ∫ ∫ σt [ G] [ G] d x d y ∫ ∫
( 上接第 192 页)
表1 正交异性薄板稳定分析结果 方 法 单元类型 单元数 变量数 纵横比 纵向弯曲刚度 横向弯曲刚度 屈曲系数 计算时间 ( s) 本文方法 杂交元 + 条单元
12 48 2. 5 14. 25 10. 30 11. 10 10
科学出版社 ,2004.
[5] 胡德秀 ,杨 杰 . 城市需水量的灰色非线性预测 [J ] . 陕西水力发