行程问题火车过桥与错车超车问题

第四讲行程问题-火车过桥与错车超车问题【例题1】★一列列车长150米,每秒钟行19米。

问全车通过420米的大桥，需要多少时间？【分析与解】如图，列车过桥所行距离为：车长＋桥长。

（420＋150）÷19=30（秒）答：列车通过这座大桥需要30秒钟。

【例题2】★一列车通过530米的隧道要40秒钟，以同样的速度通过380米的大桥要用30秒钟。

求这列车的速度及车长。

【分析与解】列车过隧道比过桥多行（530－380）米，多用（40－30）秒。

列车的速度是：（530－380）÷（40－30）=15（米/秒）列车的长度是：15×40－530=70（米）答：列车每秒行15米，列车长70米。

【例题3】★★火车通过长为102米的铁桥用了24秒，如果火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒。

求火车原来的速度和它的长度。

【考点分析】如果火车仍用原速，那么通过隧道要用36秒。

【分析与解】列车原来的速度是（222－102）÷（18×2－24）=10（米/秒）火车长为10×24-102=138（米）答：列车原来每秒行10米，车长为138米。

【例题4】★★一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒钟。

已知每辆车长5米，两车间隔10米，问这个车队共有多少辆车？火车过桥是一种特殊的行程问题。

需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长。

列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长。

火车过桥问题：（1）解题思路：先车速归一，再用公式“桥长之差÷时间之差=归一后的车速”，即=V tS⨯差差，（2）画示意图，分析求解。

列车所行路程为车头到车头或车尾到车尾的距离，而不是车头到车尾的距离。

（3）与追及问题的区另：追及问题所用公式=V tS⨯差差，要求时间归一。

关于S=Vt公式的拓展初步探讨(1)S=vt =(2) S=v t =(3) S=v t =(4) S=vt=S vt⨯⨯=⇒⨯⨯和和差差差差行程问题：路程速度时间相遇问题：路程和速度和时间（时间归一，能求路程和）追及问题：路程差速度差时间（时间归一，能求路程差）火车过桥：路程差车速度时间差（速⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩度归一，求出车速）火车过桥好题精讲火车过桥问题【分析与解】4×115－200=260（米）……队伍长（260－5）÷（10＋5）＋1=18（辆）答：这个车队共用18辆车。

【附加题】★★★（《小学生数学报》第八届竞赛试题）一列火车通过长320米的隧道，用了52秒。

当它通过长864米的大桥时，速度比通过隧道时提高41，结果用了1分36秒。

求火车通过大桥时的速度？火车车长是多少？解法一：用火车问题常用公式求解(推荐解法 火车过桥问题常用“速度=路程差÷时间差”来求解)如果后来的速度不增加，则用时为96÷(4/5)=96×(5/4)=120秒， 根据“速度=路程差÷时间差”得火车通过隧道的速度为：(864-320)÷(120-52)=8(米/秒)，所以过大桥时的速度为8×(5/4)=10(米/秒)火车车长=52×8-320=96(米)说明： 请学生思考车长如何求解。

并说明“速度=路程差÷时间差”的得来。

解法二：列方程求解,设火车长x 米，根据速度可列方程（864+96）÷96=10（米/秒）说明：请学生说明解法二与解法一的内在联系。

【附加题】★★（2005年第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛）火车以标准速度通过1000米的大桥用50秒，通过1500米的大桥用70秒。

如果火车速度降低20％，那么火车通过长1950米的隧道用 秒。

解： 标准速度 (1500—1000)÷(70—50)=25(米／秒)。

火车长 25×50—1000=250(米)。

火车通过长1950米的隧道用时 (1950+250)÷[25×(1—20％)]=110(秒)。

说明：前者根据路程差与时间差的对应关系求出速度； 后者运用了列车过桥的典型数量关系。

【例题1】★（北京市第六届“迎春杯”小学生数学竞赛试题）两列对开的火车相遇，甲车上的司机看到乙车从旁边开过去，共用了6秒钟。

已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米。

乙车长多少米？【考点分析】这是两车相遇问题。

在甲车司机看来，乙车的速度是每小时（36＋45）千米，并且乙车在6秒内所行路程就是乙车的长。

【分析与解】(方法一)因为1小时=3600秒，所以在甲车司机看来，乙车的速度是每秒[](3645)10003600+⨯÷米，6秒钟行（36＋45）×1000÷3600×6=810×6÷36=135米，即乙车的长是135米。

答：乙车的长是135米。

（方法二）画出两车错车示意图，可知甲乙两车在这6秒钟共走了一个乙车车长。

这是一个相遇问题，路程和即乙车车长为：（36＋45）×1000÷3600×6=810×6÷36=135米【例题2】（江苏省吴江市2005年小学数学联赛）快车长250米，慢车长600米,这两车相向而行,坐在慢错车问题：对方车长为路程和，是相遇问题，路程和=速度和×时间车上的王小玲看见快车开过窗口的时间是5秒,快车的速度是慢车速度的1.5倍,快车速度为每秒（）米。

A.30B.36C.48D.以上都不是解：错车问题是典型的相遇问题。

慢车速度为 250÷5÷(1+1.5)=20(米/秒) 快车速度为 20×1.5=30(米/秒)【例题3】★★（常州铁一小四年级奥数试卷）某列车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒。

这列火车与另一列长88米、速度为每秒22米的列车错车而过。

问需要几秒钟？【分析与解】比较列车通过不同的隧道，可以求出列车的速度是（342-234）÷（23-17）=18（米/秒）。

列车的长度是18×23-342=72（米）。

这列火车和另一列火车错车而过，相当于两车共同行驶，行驶的总路程是两列火车的车身总长。

所需的时间是（88＋72）÷（18＋22）=4（秒）。

【例题4】★★★（第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛第2试）“希望号”和“奥运号”两列火车相向而行，“希望号”车的车身长280米，“奥运号”车的车身长385米，坐在“希望号”车上的小明看见“奥运号”车驶过的时间是11秒。

求：(1)“希望号”和“奥运号”车的速度和；(2)坐在“奥运号”车上的小强看见“希望号”车驶过的时间；(3)两列火车会车的时间。

【分析与解】（1）385÷11=35（米/秒）（2）280÷35=8（秒）（3）（280+385）÷35=19（秒）【附加题】★★★（第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛第2试）两列相同而行的火车恰好在某站台相遇。

如果甲列车长225米，每秒行驶25米，乙列车每秒行驶20米，甲、乙两列车错车时间是9秒。

求：（1）乙列车长多少米？（2）甲列车通过这个站台用多少秒？（3）坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？【分析与解】（1）（20+25）×9-225=180（米）（2）225÷25=9（秒）（3）180÷（25+20）=4（秒）发散思维一次，唐僧给几个徒弟出了这样一个题目：“给你们每个人4棵树种，能否使得任意2棵之间的距离为1米”。

猪八戒想了想说不行，孙悟空想了一下，说：“师傅，我有办法！”请问你知道孙悟空用的是什么办法吗？【解答】正四面体的四个顶点。

超车问题：是追及问题,画图找路程差,利用“路程差=速度差×时间”求解【例题1】★★慢车车身长125米，车速17米/秒；快车车身长140米，车速22米/秒，慢车在前面行驶，快车在后面从追上到完全超过需要多少时间？【考点分析】这是追及问题，快车所走距离为125＋140（米）【分析与解】（125＋140）÷（22－17）=53（秒）答：需要53秒。

【例题2】★★快车每秒行18米，慢车每秒行10米。

两列火车同时、同方向齐头并进，行10秒钟后，快车超过慢车。

如果两车车尾相齐行进，7秒钟后，快车超过慢车。

求两列火车的车身长。

【分析与解】两列车齐头行进，快车超过慢车，总距离应是快车的车长。

两列车车尾相齐行进，总距离应是较慢列车的车长。

10×（18－10）=80（米）……快车长7×（18－10）=56（米）……慢车长答：快车的车长是80米，慢车的车长是56米。

【1】★（2006年广东省育苗杯数学竞赛）一列火车长200米，如果整列火车完全通过一条长400米的隧道，那么需要10秒，如果以同样的速度整列火车完全通过一座大桥需要15秒，那么大桥长是（ ）米。

解法一：火车的速度是 （200+400）÷10=60（米）大桥长 60×15-200=700(米)解法二：设大桥长x 米，得：2004001020015x +=+ 或者 2004002001015x ++= 解得 x=700 【2】★★夏令营的小同学们要过一座296米长的大桥。

他们共有162人，排成两路纵队，每两个人相距半米，队伍行进的速度是每分钟56米。

问整个队伍通过桥共需多少分钟？【分析与解】（162÷2－1）÷2=40（米）……队伍长（296＋40）÷56=6（分）……时间答：整个队伍通过桥共需6分钟。

【3】★★一列火车长400米，铁路沿线的电线杆间隔是40米，这列火车从车头到达第一根电线杆到车尾离开第51根电线杆用了2分钟。

这列火车每小时行多少千米？【考点分析】第1根电线杆到第51根电线杆共长40×（51－1）米。

【分析与解】[]40(511)40021200⨯-+÷=（米/分）1200×60÷1000=72（千米/小时） 答：这列火车每小时行72千米。

【4】★★（2003年江西省婺源县小学数学竞赛）有644名解放军官兵排成4路纵队去参加抗洪抢险。

队伍行进速度是每秒5米，前后两人的间隔距离是0.8米。

现在要通过一座长312米的大桥，整个队伍从开始上桥到全部离桥需要多少秒？【分析与解】队伍长（644÷4－1）×0.8=128（米），队伍通过大桥，所行的路程是桥长和队伍长度的总和，整个队伍通过大桥所需的时间是（128+312）÷5=88（秒）。