第32讲 作图(网格作图)
尺规作图与网格作图
6、过直线上一点P ，做已知直线l 的垂线．（2种方法）7、做点P 关于直线l 的对称点（2种方法）二、与圆有关的基本尺规作图 1、如图中的弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规将这个圆心O 找出来，保留作图痕迹．PlPlPlPl做O的切线做O的切线强化练习1、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90 ，试用尺规作图的方法在AC 上找一点D ，是得AB ＋AD ＝BC ＋CD2、尺规作图：已知两边,a b 及第三条边的中线m 作△ABC3、如图①，若点P 是△ABC 内或边上一点，且∠BPC ＝2∠A ，则称点P 是△ABC 内∠A 的二倍角点．请用直尺和圆规对图②、图③作出符合要求的点（保留作图痕迹，不写作法．）（1）如图②，在△ABC 内求作一点Q ，使点Q 是△ABC 内∠A 的一个二倍角点； （2）如图③，在△ABC 外求作一点M ，使点A 是△MBC 内∠M 的一个二倍角点．BCAmb a，请画一个M，使得M经过点7、如图①，AB是⊙O的一条弦，点C是优弧⌒AmB上一点．（1）若∠ACB＝45°，点P是⊙O上一点（不与A、B重合），则∠APB＝；AmB）内一点．（2）如图②，若点P是弦AB与⌒AmB所围成的弓形区域（不含弦AB与⌒求证：∠APB＞∠ACB；AmB所围成的弓形区域内满足（3）请在图③中直接用阴影部分表示出在弦AB与⌒∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的点P所在的范围．8、如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）作△ABC的外心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．9、在△ABC中，D为BC边上一点．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿着AD折叠，点C落在AB边上．请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图②，将△ABC沿着过点D的直线折叠，点C落在AB边上的E处．①若DE⊥AB，垂足为E，请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；②若AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，则CD的取值范围是．10、【缘起】苏教版九下P56，“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，则△ACD与△CBD相似吗？”于是，学生甲发现CD2＝AD·BD也成立．问题1：请你证明CD2＝AD·BD；学生乙从CD2＝AD·BD中得出：可以画出两条已知线段的比例中项．问题2：已知两条线段AB、BC在x轴上，如图2：请你用直尺（无刻度）和圆规作出这两条线段的比例中项．要求保留作图痕迹，不要写作法，最后指出所要作的线段．学生丙也从CD2＝AD·BD中悟出了矩形与正方形的等积作法．问题3：如图3，已知矩形ABCD，请你用直尺（无刻度）和圆规作出一个正方形BMNP，使得S正方形BMNP ＝S矩形ABC D．要求：保留作图痕迹；简要写出作图每个步骤的要点．11、在正方形网格中以点A为圆心，AB为半径作圆A交网格于点C（如图（1）），过点C作圆的切线交网格于点D，以点A为圆心，AD为半径作圆交网格于点E（如图（2））．问题：（1）求∠ABC的度数；（2）求证：△AEB≌△ADC；（3）△AEB可以看作是由△ADC经过怎样的变换得到的？并判断△AED的形状（不用说明理由）．（4）如图（3），已知直线a，b，c，且a∥b，b∥c，在图中用直尺、三角板、圆规画等边三角形A′B′C′使三个顶点A′，B′，C′，分别在直线a，b，c上．要求写出简要的画图过程，不需要说明理由．拓展：只用直尺作图如图①，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上一点，DE ∥BC ，连接CD 、BE ，CD 、BE 交于点F ，连接AF 并延长，分别交DE 、BC 于点H 、G ．（1）求证：① =DH HE BG GC； ②G 是BC 的中点．（2）如图②，只用一把无刻度的直尺画出矩形ABCD 的一条对称轴．（不写画法，保留画图痕迹）网格作图1、网格中作已知线段或直线的平行线或垂线平行线作法说明：一看：看线的走向，如图中AB是横1竖3的矩形对角线二找：过已知点找矩形，作AB的平行线则找横1竖3的矩形三画：画出过已知点的矩形对角线，即所求平行线垂线作法说明：一看：看线的走向，如图中AB是横1竖3的矩形对角线二找：过已知点找矩形，作AB的平行线则找横3竖1的矩形三画：画出过已知点的矩形对角线，即所求垂线思考：如何作线段AB的垂直平分线强化练习1、如图，边长为1的正方形网格中，A、B、C三点都在格点上①AB＝__________②请用一把无刻度的直尺，作出线段CD＝285，简要说明做法，不要求证明。
初中数学-网格作图题
专题复习（三）网格作图题1．（2016·合肥模拟）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点四边形ABCD（顶点是网格线的交点），按要求画出四边形AB1C1D1和四边形AB2C2D2。
(1）以A为旋转中心,将四边形ABCD顺时针旋转90°，得到四边形AB1C1D1;（2）以A为位似中心，将四边形ABCD作位似变换,且放大到原来的两倍，得到四边形AB2C2D2.2．(2016·蜀山区二模）如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为(1，0)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,写出B1点的坐标;(2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，写出B2点的坐标．3．(2016·安徽二模)如图，已知A（2，3)，B（1，1），C（4，1)是平面直角坐标系中的三点．（1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△A1B1C1向下平移3个单位得到的△A2B2C2;(3）若△ABC中有一点P坐标为（x,y）,请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标．解：(1）如图所示，△A1B1C1即为所求．(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．（3）根据题意，可得P的对应点P2的坐标为（－x,y－3)．4．（2016·芜湖模拟)如图，在9×7的小正方形网格中，△ABC的顶点A,B,C在网格的格点上．将△ABC向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到△A′B′C′.再将△ABC按一定规律依次旋转：第1次,将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A1BC1;第2次，将△A1BC1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B1C2；第3次，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转90°得到△A2B2C2；第4次，将△A2B2C2绕点B2顺时针旋转90°得到△A3B2C3，依次旋转下去．(1)在网格中画出△A′B′C′和△A2B2C2;（2)请直接写出至少在第几次旋转后所得的三角形刚好为△A′B′C′。
第32讲_图形的相似与位似
15．(2010·湖州)如图，已 知图中的每个小方格都是 边长为 1 的小正方形，每个 小正方形的顶点称为格点， 若△ABC 与△A1B1C1 是位似 图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标 是________．
【解析】在平面直角坐标系中，点 B1 和点 B 的坐标分别是(3,4)和(6,2)，点 C1 和点 C 的 坐标分别是(7,4)和(8,2)，根据位似图形的对应点的连线必经过位似中心这一性质，可知位似 中心必在直线 B1B 和 C1C 上，设直线 B1B 和直线 C1C 的解析式分别为 y1＝ax＋b 和 y2＝cx ＋d，把(3,4)和(6,2)代入 y1＝ax＋b，求出 a＝－23，b＝6，即 y1＝－23x＋6；同理 y2＝－2x＋ 18，联立这两个方程得 x＝9，y1＝y2＝0，所以位似中点的坐标是(9,0)．
【答案】C
5．(2009 中考变式题)如果 a∶b＝4∶5， b∶c＝2∶1，那么 a∶b∶c 的值是( ) A．4∶5∶1 B．4∶5∶2 C．8∶10∶5 D．8∶5∶2
【解析】∵a∶b＝4∶5＝8∶10，b∶c＝2∶1＝10∶5， ∴a∶b∶c＝8∶10∶5.
【答案】C
6．(2009 中考变式题)如图所示的两个四边 形相似，则∠α的度数是( )
3．(2009 中考变式题)已知a2＝b5＝c7，且 a＋ 2a＋3b－2c
b＋c≠0，则 a＋b＋c 的值为( ) A.154 B.151 C.154 D.1167
【解析】设2a＝b5＝c7＝k(≠0)，则 a＝2k，b＝5k，c＝7k.∴2aa＋＋3bb＋－c2c＝4k2＋ k＋155kk＋－71k4k＝154kk
网格内的旋转作图
网格中的作图练习
1.如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，O 为AD 边的中点，若把四边形ABCD 绕着点O 顺时针90º，试解决下列问题： （1）画出四边形ABCD 旋转后的图形；（2）求点C 旋转过程事所经过的路径长；
2. 如图所示，在边长为1的网格中作出 △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90º．
第1题图 第2题图 3. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， △ABC 的顶点均在格点上：
（1）以直线BC 为对称轴作△ABC 的轴对称 图形，得到△A 1BC ，再将△A 1BC 绕着点B 逆时针 旋转90°得到△A 2BC 1，请依此画出△A 1BC 、△A 2BC 1； （2）求线段BC 旋转到BC 1过程中所扫过
的面积（计算结果用π表示）.
5.画△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°后得到△'
'
'C B A
6．把四边形ABCD 绕O 点逆时针方向旋转90°后得四边形''''D C B A
A
B
C
1.画出四边形ABCD 关于点O 的对称图形.
2. 在网格中作出 △ABC 关于点A 的对称图形
第1题图 第2题图.
3.画出△ABC 关于点O 的对称图形△'
'
'C B A
4．画出四边形ABCD 关于点O 的对称图形四边形''''D C B A。
2017中考网格作图
中考网格专练1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）画线段AD ∥BC 且使AD=BC ；（2）连接CD ，请直接写出四边形ABCD 的面积。
CAB2如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，有一个△个单位长度的网格中，有一个△ABC ABC ABC，三角形的三个，三角形的三个顶点均在网格的顶点上（1）在图中画线段CD CD，使，使CD=CB CD=CB，点，点D 在网格的格点上在网格的格点上; ; （2）连接AD 请求出四边形ABCD 的面积的面积. .3、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A 、B 均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）将线段AB 向右平移6个单位，得线段DC ，画出四边形ABCD. （2）求四边形ABCD 的面积. BA C4．图（a ）、图（b ）、是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a ）、图（b ）、图（c ）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．5、如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．顶点分别按下列要求画三角形．①使三角形三边长分别为3、22、5(在图1中画一个即可)． ②使三角形为轴对称的钝角三角形且面积为4 (在图2中画一个即可)．6.如图，在12×12的正方形网格中，△TAB 的顶点坐标分别为T （1，1）、A （2，3）、 B （4，2）．）． （1）把△TAB 绕点T 逆时针旋转90°得到△TA 1B 1,画出△TA 1B 1.（2）以点T （1，1）为位似中心，按比例尺（T A′∶TA ）3∶1在位似中心的同侧将△TAB 放大为△T A′B′，放大后点A 、B 的对应点分别为A′、B′．画出△T A′B′，并写出点A′、B′的坐标；的坐标；第22题图题图T OBA xy7. 7. 如图所示，在△如图所示，在△如图所示，在△OAB OAB 中，点B 的坐标是（的坐标是（00，4），点A 的坐标是（的坐标是（33，1）. （1）画出△）画出△OAB OAB 向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△个单位长度后的△O O 1A 1B 1. （2）画出△）画出△OAB OAB 绕点O 逆时针旋转9090°后的△°后的△°后的△OA OA 2B 2，并求出点A 旋转到A 2所经过的路径长（结果保留p ）8. 8. 如图，在方格纸中，△ABC 如图，在方格纸中，△ABC 的三个顶点和点P 都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．角形，使它的顶点在方格的顶点上． （1）将△ABC 平移，使点P 落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；（2）以点C 为旋转中心，将△ABC 旋转，使点P 落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．出示意图．9.9.如图，如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形；点为顶点分别按下列要求画三角形；（1）使三角形的三边长分别为3、22、5（在图（（在图（11）中画一个即可）；）中画一个即可）； （2）使三角形为钝角三角形且面积为4（在图（（在图（22）中画一个即可）．）中画一个即可）．（（1） （（2）xy BAO1010．如图，在．如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长的网格中，每个小正方形的边长均为l ，线段AB AB、、BC 的端点A 、B 、C 均在小正均在小正 方形的顶点上．方形的顶点上． (1)(1) 在图中以AB AB、、BC 为边作四边形ABCD(ABCD(点点D 在小正方形的顶点上小正方形的顶点上))，使其为中心对称图形，使其为中心对称图形(2) (2)直接写出四边形直接写出四边形ABCD 的周长和面积．的周长和面积．11. 如图，点O A B 、、的坐标分别为(00)(30)(32)-，、，、，，将O A B △绕点O 按逆时针方向旋转90°得到OA B ¢¢△． （1）画出旋转后的OA B ¢¢△； （2）求B B ¢的长. 12. 12. 如图，在边长为如图，在边长为1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD 在直线l 的左侧，其四个顶点A 、B 、C 、D 分别在网格的格点上．点上．（1）请你在所给的网格中画出四边形A ′B ′C ′D ′，使四边形A ′B ′C ′D ′和四边形ABCD 关于直线L 对称，其中点A ′、′、B B ′、′、C C ′、′、D D ′分别是点A 、B 、C 、D 的对称点；的对称点； （2）在（）在（11）的条件下，结合你所画的图形，直接写出四边形AA AA′′B ′B 的周长．的周长．ByxAO13. 13. 在平面直角坐标系中，四边形在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的位置如图所示，解答下列问题：的位置如图所示，解答下列问题：（1）将四边形ABCD 先向左平移4个单位，再向下平移6个单位，得到四边形A 1B 1C 1D 1，画出平移后的四边形A 1B 1C 1D 1；（2）将四边形A 1B 1C 1D 1绕点A 1逆时针旋转90°，得到四边形A 1B 2C 2D 2，画出旋转后的四边形A 1B 2C 2D 2，并写出点C 2的坐标．的坐标．14.14. 如图，在正方形网格中，△ABC 各顶点都在格点上，点A ，C 的坐标分别的坐标分别 为（﹣为（﹣55，1）、（﹣（﹣11，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1； （2）画出△ABC 关于原点O 对称的△A 2B 2C 2；15.如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为l ，△ABC 的三个顶点都在格点上，现将△ABC 绕着格点D 顺时针旋转900(1)画出△ABC 旋转后的△A 1B 1C 1： (2)求点C 旋转过程中所经过的路径长．旋转过程中所经过的路径长．16.如图，图l 和图2都是7×7×44正方形网格，每个小正方形的边长为l ，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上． (1)在图1中画出一个等腰直角三角形ABC ；(2)在图2中画出一个钝角三角形ABD ，使△ABD 的面为3. 17.17.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形；格点为顶点分别按下列要求画三角形；（1）使三角形的三边长分别为3、22、5（在图（（在图（11）中画一个即可）；）中画一个即可）； （2）使三角形为钝角三角形且面积为4（在图（（在图（22）中画一个即可）．）中画一个即可）．18．图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均在小正方形的顶点上．为1，点A、B在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC的面积为5．且△ABC 45°((画一个即可) ；中有一个角为45°且∠ ADB （2）在图2中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD的面积为5，且∠90°((画一个即可)．＝90°19．图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均小正方形的顶点上．为1．点A和点B在小正方形的顶点上．画一个 即（1）在图1中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形(画一个可)；（2）在图2中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上)，使△ABD为等腰三角形(画一个即可)；20．如图，在9×6的正方形网格中有一条线段AB（网格中每个小正方形的边长均为1个单位），其端点A、B均在小正方形的顶点上. （1）将点A、B分别向右平移3个单位，得到点D、C，请画出四边形ABCD；（2）过（1）中四边形ABCD的顶点A画一条直线，使其将四边形ABCD分成两个图形，要求这两个图形都是轴对称图形. 21. 图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上. (1)在图1中画出等腰三角形△ABP(点P在小正方形的顶点上)，△ABP的面积为6(画一个即可)；(2)在图2中画出等腰梯形ABCD(点C、D在小正方形的顶点上)，AB∥CD，且等腰梯形ABCD的面积为6(画一个即可). 22．如图，每个小正方形的边长为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在小正方形的顶点上. （1）以AB为腰的锐角等腰三角形为腰的锐角等腰三角形（2）以AB为一边的钝角三角形且面积等于4. 23.图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上. （1）在图a中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC是等腰三角形且△ABC为钝角三角形；为钝角三角形；（2）在图b中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD是等腰三角形且∠ABD=45°. 24.请在下列两个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画三角形的顶点与方格中的小正方形的顶点重合，在图中标出对称轴所在位置并将所画三角形涂上阴影(注：所画的三个图形不能重复) 25.如图，图1和图2都是7×4正方形网格，每个小正方形的边长为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上. (1)在图1中画出一个等腰直角三角形ABC；(2)在图2中画出一个钝角三角形ABD，使△ABD的面为3. 26.图1、图2分别是12×12的网络，网络中的每个小正方形的边长为1.请在图1、图2中各画一个图形，分别满足以下要求：中各画一个图形，分别满足以下要求：（1）在图1中画出面积为24的矩形ABCD，所画矩形各顶点必须在小正方形的顶点上; （2）在图2中画出周长为26，面积为24的平行四边形EFGH，所画平行四边形各顶点必须在小正方形的顶点上. 27.正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形. （1）在图1中画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、22、5；（2）在图2中画△DEF，使△DEF为钝角三角形且面积为2. 28.如图，网格中每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，小正方形的顶点叫格点将△OAB放置在网格中的平面直角坐标系中，三角形顶点的坐标分别为O(0,0)、A(1,3)、B(5,0). （1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转180°后得到的△OCD（其中点A与C对应，）；点B与点D）；（2）连接AD、BC得到四边形ABCD，过四边形ABCD边上的格点画一条直线，将四边形ABCD分成两个图形，并且使得所画直线两边的图形全等. 29. 图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上. (1)在图a中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为轴对称图形；为轴对称图形； (2)在图b中画出四边形ABCD(点C、D都在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD为中心对称图形且面积为5. 30.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都为1,以每个小正方形的顶点为顶点按下列要求在图1和图2中分别画三角形和平行四边形. (1)使三角形三边长为2、3、13; （2）使平行四边形有一锐角为45°，且面积为4. 31.图1、图2分别是10×8的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长都是1，线段AB的端点都在小正方形的顶点上请在图1、图2中各画一个图形，分别满足下列要求：(1)在图1中，画出一个以线段AB为一边的菱形ABCD(非正方形)，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上；点必须在小正方形的顶点上；(2)在图2中，画出一个以线段AB为腰的等腰梯形ABEF，所画等腰梯形的各顶点必须在小正方形的顶点上，且其周长为10+310. 图1 图2 32.图a、图b是8×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上. （1）在图a中画一个直角梯形ABCD（点C、D在小正方形的顶点上），使所画的直角梯形的面积为6；（2）在图b中画一个直角三角形ABE（点E在小正方形的顶点上），使所画的直角三角形ABE 的面积为2. (图a) (图b) 33．图1、图2分别是10×10×88的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：为顶点的三角形分别满足以下要求：⑴请在图中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使△ABC为钝角等腰三角形．．．．．．．；⑵通过计算，直接写出△ABC的周长．的周长．34.如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方个单位长度的方 A B （第22题图）题图）格纸中，有一个△ABC ，△ABC 的三个顶点均与小正方的三个顶点均与小正方 形的顶点重合。
word绘图教程：绘图网格的使用
word绘图教程：绘图网格的使用为了精确绘制某些图形，如地图、给定角度的圆弧、建筑平面图等，需要一个类似平面坐标的网格，word为我们提供了这么一个工具，它就是绘图网格。
点击绘图工具条中的“绘图——网格”，如下图：会弹出一个“绘图网格”设置对话框。
如下图：其中：水平间距为-网格-的列宽，宽度值以一个宋体5号字（这是一个标准字符）（10.5磅）的宽度为单位，列宽最小取值为0.01个字符（0.105磅），一个字符=0.01（字符）×100=0.105（磅）×100=10.5磅，默认列宽为0.86字符。
垂直间距为-网格-的行高，高度值以宋体5号字的单倍行距（15.5磅）为单位，最小取值为0.01倍行距（0.155磅），默认行高为0.5倍行距。
所以一个字符放在默认模式就盛满了。
垂直间隔的作用：一是在已设置好的水平间距的基础上，将水平间距成倍数比例放大（垂直间隔选1则表示按照1：1比例放大，选2则表示按照1：2的比例放大。
）取值范围是1～30的整数。
二是将设置好的网格竖线在页面显示出来。
因为Word默认不显示网格竖线，因此，垂直间隔的数值输入框为灰色。
如要激活输入框就需要勾选前面的复选框，并输入一个1～30整数数值。
如果输入0，则表示不显示网格竖线，网格列宽为0。
水平间隔的作用：一是在已设置好的垂直间距的基础上，将垂直间距成倍数比例放大，取值范围是1～30的整数。
二是将设置好的网格横线在页面显示出来。
Word一般也默认不显示网格横线，但只要一打开绘图网格设置，则默认显示网格横线，其数值输入框的值默认为2。
如果改为0，则表示不显示网格横线，网格行宽为0。
页面显示出网格横线后，也可以点击“视图”菜单，去掉菜单中“网格”前面复选框的勾，网格横线即消失。
另一项设置是网格起点，word默认使用页面设置中的默认页边距值，目的是为了两者在默认设置上的统一。
我们可以去掉前面复选框的勾，然后改变默认的值。
无刻度直尺网格作图的基本模型及应用
无刻度直尺网格作图的基本模型及应用《义务教育数学课程标准（2022年版）》对尺规作图的内容及要求有所加强，其地位又得到了一定提升。
尺规作图蕴含丰富的推理，是发展学生推理能力的良好载体，而“无刻度直尺网格作图”是尺规作图的基础。
本文将在9×9的网格下讨论三种基本模型和四种复合模型。
在网格作图中，我们把两条相交直线叫做格点的“母线”。
若两条母线都是网格线，则交点叫格点；若两条母线中只有一条网格线，则交点叫次格点；若两条母线都不是网格线，则交点叫一般点。
我们要过一个点作一条线的平行线或垂线，当点是格点时，我们很轻松的通过平移完成，当点不是格点时，我们通常通过平移“生成”点的母线来完成。
一、基本作图1、过点作平行线①如图1，过C点作CD平行且等于AB解答：C是格点，只需要找到C的对应点D，因A到B的平移方式是横左2纵下3，则A到B的平移方式也是横左2纵下3。
总结：若点是格点，直接通过平移到对应点，并且平移横纵不变（下文中平移方式不变就不再强调）。
②如图2，过E点作EF平行且等于AB解答：E是次格点，先找到母线AC的对应母线BD，再找到E的对应点F。
总结：若点是次格点，先通过平移非网格线的那条母线到对应母线，再找到对应点。
③如图3，过E点作EF平行且等于AB解答：E是一般点，先找到两条母线的对应母线，再找到E的对应点F。
总结：若点是一般点，先通过平移两条母线到对应母线，再找到对应点。
变式：如图4，过E点作AB的平行线交BC于点F解答：我们除了用平移的方法作平行线，还可以利用X、A型相似作平行。
因为E是AC的一个三等分点，可以先连接BC，再利用相似找BC对应的三等分点F。
2、过点作垂线①如图5，过C点作CD垂直且等于AB解答：C是格点，只需要找到C的对应点D，因A到B的平移方式是横左2纵下3，则C到D的平移方式是横左3纵上2。
总结：若点是格点，直接通过旋转得到对应点，并且旋转横纵交换。
②如图6，过E点作EF垂直且等于AB解答：E是次格点，先过A点作AB的垂线AC（横纵交换），再过次格点E点作AC的平行线EF。
第三章 网格作图(1)
第三章网格作图网格作图的特点：仅利用无刻度直尺，利用格点来作图，所以在网格中作图时一定要体现出过的格点．基本知识一、网格中作平行图1 图2图1中虚线线段均与线段AB平行，仔细观察，可发现线段AB长宽比为3∶1的矩形对角线，故想要作出与AB线段平行的线，必然也要使得作出的线段是长宽比为3∶1的矩形对角线，所以图1、图2均满足要求，即都与AB平行．二、网格中作垂直图1图1中虚线线段均与线段AB垂直，仔细观察，可发现线段AB长宽比为3∶1的矩形对角线，故想要作出与AB线段垂直的线，必然也要使得作出的线段是长宽比为3∶1的矩形对角线．【与平行的区别在于一个竖方向，一个横方向】三、网格中作垂直平分线在网格中垂直平分线的做法，利用垂直平分线性质逆定理，首先需要找到线段A、B两点距离相等的格点，图1中的C、D、E均满足到A、B距离相等，故连接CE（或者ED或者CD均可）．此方法也适用于在网格中作线段中点，如图2图1 图2四、网格中等分线段以作三等分为例，在下列网格中，在线段AB上找一点P，使得BP=2AP．此类作图可利用相似的性质来解决，以下示范3种作法作法一 作法二 作法三五、网格中作相似三角形请分别在图1、2中作出一个△DEF ，使得△DEF 与△ABC 相似（图1和图2中的两个三角形不全等）图1 图2 【解析】在网格图中，三角形的任意一条边均可计算出来，所以常规来说只需计算出每条边，同比放大或缩小即可！本题有个特殊角，即∠ABC =135°，所以先找到135°，该角两边同倍缩小或放大即可！（图1缩小为原来的12，即相似比为1∶2；图2似比为1例题讲解例题1、已知在下列边长为1的网格图中，用3种不同的方法作一个直角三角形，使得该直角三角形面积为8．作法一 作法二 作法三【解析】由题意可知，直角边乘积为16，若均为整数，则有1×16，2×8，4×4；若均为无理；也可以从比例去解决，下面分别以上三中思路各作一个三角形．例题2、如图，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．已知△ABC 中，AB ，AC BC =6．（1）请你在所给的网格中画出格点△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1与△ABC 相似（画出一个即可，不需证明）；（2）试直接写出在所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）．【解析】（1）先画个与△ABC 全等的三角形（如图1），再以∠B 为公共角，将∠B 的边缩小一半即可（如图1）图1 图2（2）因为ABCDNMS S ∆∆=相似比2，故只需使得相似比最大即可，我们找最长边AC格中最长边为对角线，MN=，由此ND DM AB BC =所以可计算出DNDM2中点D 即为关键点，连接DM 、DN 即可．例题3、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均在格点上．（1）AB 的长等于 ；（2）在△ABC 的内部有一点P ，满足S △P AB ∶S △PBC ∶S △PCA =1∶2∶3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）．【解析】（1）AB（2）方法一：关注到S △P AB +S △PBC =S △PCA ，可得到S △PCA =12S △ABC ．如图1，找到AB 中点D ，过点D 作AC 平行线，交BC 与点E ，所以点P 必然在线段DE 上．在网格中找到一点M ，使得点C 到MB 的距离与点A 到MB 的距离之比为1∶2．如图2，点Q 为AC 三等分点，连接BO ，与线段DE 交点即为点P ．方法二：发现AC边上本身就存在点D、E使得AD:EC:DE=1∶2∶3，先作出如下图形，接着利用平行，将△ADB和△BEC面积转化．过点B作AC平行线，与l1交于点H，与l2交于点G，连接EG、DH，易证EG∥BC，DH ∥AB，所以EG与DH交点即为点P．2、请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P 向线段AB引平行线．解：如图所示，PQ即为所求．4、如图，方格图中每个小格的边长为1，仅用直尺过点C画线段CD，使CD∥AB，D是格点，过C作AB的垂线CH，垂足为H．连结BC、AD．（1）试猜想：线段BC与线段AD的关系为；（2）请计算：四边形ABCD的面积为；（3）若线段AB的长为m，则线段CH长度为．（用含m的代数式表示）解：（1）∵AD ＝BC ==BC ∥AD 且BC ＝AD ．故答案为BC ∥AD 且BC ＝AD ；（2）S ▱ABCD ＝3×512-⨯1×212-⨯1×412-⨯1×212-⨯1×4＝15﹣1﹣2﹣1﹣2＝9．故答案为9；（3）∵AB =，S ▱ABCD ＝9m ，∴AB •CH ＝9，即CH=m 5=m ．故m ．图1 图2 图3 图47、图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图1中画出等腰直角△MON ，使点N 在格点上，且∠MON =90°；（2）在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD ，使正方形ABCD 面积等于（1）中等腰直角△MON 面积的4倍，并将正方形ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD 面积没有剩余（画出一种即可）．图1 图2 解：（1）如图1所示：∠MON ＝90°；图1 图2 图3（2）如图2、3所示．10、如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格，点A 点B 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP =217，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，所以只需连接一对角线就行）解：由勾股定理得，AB 224117=+=，所以，AP 2173=时AP ∶BP ＝2∶1．点P 如图所示．11、如图，在平面直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）． （1）在图中画出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的位置； （2）点M 的坐标为 ；（3）判断点D （5，—2）与OM 的位置关系． （3）判断点D （5，﹣2）与⊙M 的位置关系．解：（1）如图1，点M 就是要找的圆心；（2）圆心M 的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（3）圆的半径AM 2224=+=25．线段MD 22(52)213=-+=＜25，所以点D 在⊙M 内．12、如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A 、B 、C ． （1）画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD 、CD ． （2）请在（1）的基础上，以点0为原点、水平方向所在直线为x 轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题：①OD的半径为（结果保留根号）；②若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是；③若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示：（2）①在Rt△AOD中，OA＝4，OD＝2，根据勾股定理得：AD==则⊙D的半径为②AC==CD＝AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°．扇形ADC的弧长==，圆锥的底面的半径=；③直线EC与⊙D的位置关系为相切，理由为：在Rt△CEF中，CF＝2，EF＝1，根据勾股定理得：CE==在△CDE中，CD＝CE=DE＝5，∵CE2+CD2＝（）2+（2＝5+20＝25，DE2＝25，∴CE2+CD2＝DE2，∴△CDE为直角三角形，即∠DCE＝90°，则CE与圆D相一、构造直角例题1、网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sin A= ．【解析】如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB＝AC＝BC＝，AD ＝ABC 是等腰三角形，由面积相等可得，12BC •AD 12=AB •CE ， 即CE 5==，sinA 35CE AC ===，故答案为35．【总结】由于格点三角形各边都可求，所以利用解直角三角形即可求出各个内角的三角函数值．二、角度转换例题2、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ．思路一：构造直角连接BE ，由四边形EDBC 为正方形可知，CD ⊥BE ，∴tan ∠APD =tan ∠BPF =BFPF，设小正，可得BF =1，CD =2，由△ACP ∽△BDP ，且相似比为3∶1可得PCDP=3， ∴PC CD =34，∴PC =33242⨯=，∴PF =PC —CF =12， ∴tan ∠BPF 1=212=．思路二∶角度转换连接BE ，可知BE ∥CD ，∴∠APD =∠BPF =∠ABE ，连接AE ，AE 和BE 均为正方形对角线，易得AE ⊥BE ，tan ∠ABE =2AEBE=．例题3、在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于【答案】3 【解析】转化思路一：到格点三角形内，再用例题1的方法（此方法构造情况较多，解法较暴力，在此不一一列举，以下给出三种转化法）转化思路二：思路一的情况下，存在转化出的格点三角形恰好为直角三角形，这类方法最巧妙，但需要学生有较强的观察能力！直角构造思路三：通过连接某些辅助线，构造出直角后直接在直角三角形内求解．2、如图，在4x 5的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则tan ∠ABC = ；sin ∠ACB = ．【解析】找到与A 构成小正方形对角线的格点D 、E ，连接CD ，AE ，EB ，AC 与EB 交于点F ．由网格特点和正方形的性质可知，∠BAE ＝90°，根据勾股定理得，AE =AB ＝，DB ，DC BE ===，则tan ∠ABC 3DCDB==，又BE ⊥AC ，易得△AEF ∽△BAF ，故13AE EF AF AB AF BF ===，∴19EF BF =，∴BF =910⨯sin ∠ACB=BF BC ===，故答案为3．3、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则APPB的值＝ ，tan ∠APD 的值＝ ．【解析】∵四边形BCED 是正方形，∴DB ∥AC ，∴△DBP ∽△CAP ，∴AP ACPB DB==3， 连接BE ，∵四边形BCED 是正方形，∴DF ＝CF 12=CD ，BF 12=BE ，CD ＝BE ，BE ⊥CD ，∴BF ＝CF ，根据题意得：AC ∥BD ，∴△ACP ∽△BDP ，∴DP ：CP ＝BD ：AC ＝1：3，∴DP ：DF ＝1：2，∴DP ＝PF 12=CF 12=BF ，在Rt △PBF 中，tan ∠BPF BF PF ==2，∵∠APD ＝∠BPF ，∴tan ∠APD ＝2，故答案为3，2．5、如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O ）为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是 ．【解析】如图，连接EA ，EC ，设菱形的边长为a ，由题意得∠AEF ＝30°，∠BEF ＝60°，AE =，EB ＝2a ，∴∠AEC ＝90°，∵∠ACE ＝∠ACG ＝∠BCG ＝60°， ∴E 、C 、B 共线，在Rt △AEB 中，tan ∠ABC AE BE ===6、如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD ，则tan ∠DBC 的值为 ．【解析】如图，连接AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO 12=BD ，CO 12=AC ，由勾股定理得，AC ==，BD ==BO 122==，CO 12=⨯2=tan ∠DBC CO BO ===3．故案为3．7、如图1是由边长为1的小正方形组成的网格，点A 、B 、C 、D 都在网格的格点上，AC 、BD 相交于点O ．图1 图2 图3 图4 （一）探索发现（1）如图1，当AB ＝2时，连接AD ，则∠ADO ＝90°，BO ＝2DO ，AD =BO 23=tan ∠AOD ＝ ．如图2，当AB ＝3时，画AH ⊥BD 交BD 的延长线于H ，则AH 32=BO ＝ ，tan ∠AOD ＝ ．如图3，当AB ＝4时，tan ∠AOD ＝ ．（2）猜想：当AB ＝n （n ＞0）时，tan ∠AOD ＝ ．（结果用含n 的代数式表示），请证明你的猜想． （二）解决问题（3）如图，两个正方形的一边CD 、CG 在同一直线上，连接CF 、DE 相交于点O，若tan ∠COE 1713=，求正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长之比． 解∶（一）探索发现（1）如图1，当AB ＝2时，∵BO ＝2DO ，BO 23=∴OD =又∵∠ADO ＝90°，AD =tan ∠AOD 3ADOD===3，即tan ∠AOD ＝3． 如图2，设DCBE 为正方形，连接CE ，交BD 于F ．∵四边形BCDE 是正方形， ∴DF ＝CF ＝BF 12=BD 12=CE ，BD ⊥CE ．根据题意得∶AB ∥DC ，∴△AOB ∽△COD ， ∴DO ∶BO ＝CD ∶AB ．当AB ＝3时，DO ∶BO ＝1∶3，∴BO 4=．∵S △ABD 12=BD •AH 12=AB •ED ，∴BD •AH ＝AB •ED ，∴AH 2AB ED BD ⋅===，DO ∶BO ＝CD ∶AB ＝1∶3，∴DO ∶DF ＝1∶2，∴OF ∶DF ＝1∶2，即OF ∶CF ＝1∶2．在Rt △OCF 中，tan ∠COF CFOF==2，∵∠AOD ＝∠COF ，∴tan ∠AOD ＝2；如图3，当AB ＝4时，DO ∶BO ＝CD ∶AB ＝1∶4，∴DO ∶DF ＝1∶2．5＝2∶5，∴OF ∶DF ＝3∶5，即OF ∶CF ＝3∶5．在Rt △OCF 中，tan ∠COF 53CF OF ==，∵∠AOD ＝∠COF ，∴tan ∠AOD 53=；故答案是32；53；（2）猜想∶当AB ＝n （n ＞0）时，tan ∠AOD 11n n +=-（结果用含n 的代数式表示）． 证明∶过点A 作AH ⊥BH 于点H ，则AH ＝BH 2=n ．∵AB ∥OD ，∴△AOB ∽△COD ， ∴1OB AB nOD CD ==，∴OB 1n =+．∴OH ＝BH ﹣OB 2=n 1n -+．∴tan ∠AOD 11AHn HDn +===-；故答案是11n n +-； （二）解决问题（3）解：如图4，过点D作DH⊥CF于点H，则tan∠DOHDHHO=．∵∠DOH＝∠COE，∴tan∠DOH1713=，又由（一）结论得：117113nn+=-，∴n152=，∴正方形ABCD和正方形CEFG的边长之比为152．图1 图2 图3 图4。
第32讲 几何作图-2019年中考数学一轮复习精准导练(解析版)
2019年中考数学一轮复习精准导练第32讲几何作图【考题导向】主要是考查利用尺规作图解决实际问题的能力，中考试题题型主要以设计、探究形式的解答题为主．1．能用尺规完成基本作图：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作一个角的平分线；(4)作一条线段的垂直平分线；(5)过一点作已知直线的垂线．2．会利用基本作图作三角形；过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形．3．在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．4．能运用尺规的基本作图方法解决简单应用问题．【考点精练】考点1：基本作图【典例】（2018•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【同步练】（2018•河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ则正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ．故选：D．【点评】1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺．2．基本作图： (1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差；(2)作一个角等于已知角，以及角的和﹑差；(3)作角的平分线；(4)作线段的垂直平分线；(5)过一点作已知直线的垂线．3.依据基本作图的方法步骤，规范作图，注意保留作图痕迹。
学；科网考点2：作三角形【典例】（2018•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC．下列说法不正确的是（）A．∠CBD=30°B．S△BDC=AB2C．点C是△ABD的外心D．sin2A+cos2D=1【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；故选：D．【同步练】（2018•无锡）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．【分析】（1）①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；【点评】利用基本作图作三角形： (1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．具体作法：1．若已知条件为边角边、角边角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题，则可以直接画出图形．2．先画出草图，关键确定三角形的三点，常常由两条直线(或圆弧)相交来确定．考点3：与圆相关的作图【典例】（2018•湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（）A． r B．（1+）r C．（1+）r D． r【分析】如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；【解答】解：如图连接CD，AC，DG，AG．【同步练】如图，已知在△ABC中，∠A＝90°.(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切；(保留作图痕迹，不写作法和证明)(2)若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．解：(1)如图，则⊙P 为所求作的圆(2)∵∠B ＝60°，BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝30°，∵tan ∠ABP ＝APAB，∴AP ＝3，∴S ⊙P ＝3π【点评】与圆有关的尺规作图：(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；(2)作三角形的内切圆．涉及圆的作图问题，关键是寻找圆心和半径． 考点4： 基本作图的实际应用【典例】图1是某公交公司1路车从起点站A 站途经B 站和C 站，最终到达终点站D 站的格点站路线图．(8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成)(1)求1路车从A站到D站所走的路程；(精确到0.1)(2)在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．(要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复)【同步练】某市拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B 的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示，请利用尺规作出音乐喷泉M的位置．(不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹) 学科，网解：【点评】根据已知条件作几何图形时，采用逆向思维，假设已作出图形，再寻找图形的性质，然后作图或设计方案．解决实际问题要理解题意，将实际问题转化为数学问题，常见方法有：1．采用三角形奠基法，即转化为先确定三角形的三个顶点；2．采用交轨法，即转化为两条线的交点．考点5：涉及作图的综合探究题【典例】（2018•广州）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．（2）①延长DE交AB的延长线于F．∵CD∥AF，∴∠CDE=∠F，∵∠CDE=∠ADE，∴∠ADF=∠F，∴AD=AF，∵AD=AB+CD=AB+BF，∴CD=BF，∵∠DEC=∠BEF，∴△DEC≌△FEB，∴DE=EF，∵AD=AF，∴AE⊥DE．②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．∵AD=AF，DE=EF，∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB，∴AK=AB=4，∴BM+MN的最小值为．【同步练】（2018•孝感）如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC．请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是PA=PB=PC ；（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°﹣2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论．【解答】解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．【真题演练】1.（2018•嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（）A． B．C．D．【分析】根据菱形的判定和作图根据解答即可．【解答】解：A、由作图可知，AC⊥BD，且平分BD，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确；B、由作图可知AB=BC，AD=AB，即四边相等的四边形是菱形，正确；C、由作图可知AB=DC，AD=BC，只能得出ABCD是平行四边形，错误；D、由作图可知对角线AC平分对角，可以得出是菱形，正确；学、科网故选：C．2.（2018•宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．故选：B．3.（2018•郴州）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．【解答】解：过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，则∠POB=×60°=30°，∴ME=OM=3．故选：C．4.（2018•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=﹣1，可得G（﹣1，2）．∴∠AGO=∠AOG，∴AG=AO=，∴HG=﹣1，∴G（﹣1，2），故选：A．5.（2018•昆明）如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）A．2 B．C．D．【分析】如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；【解答】解：如图，设OA交CF于K．由作图可知，CF垂直平分线段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，∴A（，），∴k=．故选：B．6.（2018•成都）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为．【分析】连接AE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则EA=EC=3，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC．【解答】解：连接AE，如图，由作法得MN垂直平分AC，∴EA=EC=3，在Rt△ADE中，AD==，在Rt△ADC中，AC==．故答案为．7.（2018•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD 的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是（不包括5）．学：科网8.（2018•白银）如图，在△ABC中，∠ABC=90°．（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．【分析】（1）首先利用角平分线的作法得出CO，进而以点O为圆心，OB为半径作⊙O即可；（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．【解答】解：（1）如图所示：；9.（2018•安徽）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．【分析】（1）利用基本作图作AE平分∠BAC；（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF=3，OF=2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF=，在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．【解答】解：（1）如图，AE为所作；（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，∵AE平分∠BAC，10.（2018•自贡）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）学，科网（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得=，解决问题；【解答】解：（1）⊙O如图所示；（2）作OH⊥BC于H．∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，∴四边形ECHO是矩形，【拓展研究】（2018•深圳）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积．【分析】（1）根据折叠和已知得出AC=CD，AB=DB，∠ACB=∠DCB，求出AC=AB，根据菱形的判定得出即可；（2）根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵由已知得：AC=CD，AB=DB，由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，∴∠ACB=∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，则：，即，解得：x=4，过A点作AH⊥CD于H点，∵在Rt△ACH中，∠ACH=45°，∴，∴四边形ACDB的面积为：．。
Surfer11最新版中文教程_图文
Surfer11 最新版中文教程_图文一、Surfer11 教程.................. . (1)第一课预览及创建数据 (3)第二课创建网格文件 (9)第三课创建等值线图 (14)第四课修改数轴 (27)第五课散点图数据点和图形图层的使用 (32)第六课创建一个剖面图 (48)第七课保存图形 (50)第九课增加透明度，色阶和标题 (58)第十课从不同的坐标系中创建图形 (63)第十一课自定义工具栏和键盘命令 (68)第十二课叠加图形层 (71)第十三课白化一个网格文件 (75)第十四课在工作表中更改投影 (79)二、汉化历程 (82)三、答疑解惑 ......................................................................... 89 CUPB第八课创建一个3D 曲面图 (52)一、Surfer 11教程程贤辅翻译 2012.10.20Surfer11版的帮助里面有一套非常好的教程，我希望能将它介绍给大家。
对于某些高手，可以也应该绕开，以免浪费您的宝贵时间。
其他朋友，如果您看了以下的教程，对您有帮助，那我就很高兴，也算我为我国的气象事业间接作了一点贡献。
该套教程共有14课，1到10 是初级教程，11到14是高级教程：1、预览及创建数据；2、创建网格文件；3、创建等值线图；4、修改坐标；5、散点图数据点和图形图层的使用；6、创建剖面图；7、保存图形；8、创建3D曲面图形；9、添加透明度、比色刻度尺和标题；10、从不同的坐标系统创建各类图形；11、自定义工具栏和键盘命令；12、覆盖图形层；13、白化一个网格文件；14、更改工作表中的投影。
我不知道我能不能完成所有的教程翻译工作，因为各种不可预计的因素会影响工作的进展。
尽量做吧。
想起40年前我为了制作一张等值图，要花费3天时间，用掉多少草稿纸和橡皮擦，要画出平滑的等值线还真不容易。
中考数学《网格及分割作图》复习课件
B
C
B
C
B
C
(1)根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上 全等关系的直线有 组； (2)请在图中三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线； (3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？
3、 RtΔABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圆 规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要 求其中一个三角形的等腰三角形。（保留作图痕迹，不 要求写作法和证明）
2 、此题是要利用勾股定理计算三角形各边的 长度，画法有很多，图1、图2分别第（1）、 （2）两题的其中一种画法。
分割作图
1、 有一块梯形状的土地，现要平均分给两个农户种 植(即将梯形的面积两等分)，试设计两种方案(平分方案画 在备用图上)，并给予合理的解释。
A
D
A
D
B
备用图⑴
C
B
备用图⑵
C
2、在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形 ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；
45cm
变1：某市广场有一块长12m,宽6m的矩形花圃,现计划引两 条直线把花圃分成面积相等的三部分,分别种三种不同的花, 请根据下列条件,设计方案: (1)把矩形面积三等分,并且所分成的图形都是全等图形; (2)把矩形面积三等分,并且所分成的图形不是全等图形
A
B C
D
图1－3
练5:如图，□ ABCD.
(1)画出 □ A1B1C1D1使 □ A1B1C1D1与□ ABCD关于直线MN 对称; (2)画出 □ A2B2C2D2,使□ A2B2C2D2与□ ABCD关于点O中 心对称; (3) □ A2B2C2D2与□ A1B1C1D1是对称图形吗?若是,请在图上 画出对称轴或对称中心
第05讲 尺规作图(1个知识点+7大题型+18道强化训练)(学生版) 24-25学年八年级数学上册
第05讲 尺规作图（1个知识点+7大题型+18道强化训练）课程标准学习目标①掌握尺规作图的方法；②学会用尺规作图画角、画边；①掌握尺规作图的方法；②学会用尺规作图画角、画边；知识点01：尺规作图尺规作图：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。
1.基本作图 作等量线段、作等量角、作线段的和差倍、作角的和差倍、2.作线段的中垂线、作角的平分线、中垂线角平分线在一起作、3.作三角形知三边、知两边夹角、知两角夹边、知一边及该边上的高作法：有规定名称时需格外注意字母的标注注意务必考虑三角形的各要素（类比于三角形全等的判定条件）。
【即学即练1】1．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，已知AOB Ð，以点O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA 、OB 于点E 、F ，再以点E 为圆心，EF 的长为半径画弧，交前弧于点D ，画射线OD ．若27AOB Ð=°，则AOD Ð的度数为（ ）A ．27°B ．54°C ．63°D ．36°【即学即练2】2．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图，点C 在AOB Ð的边OB 上，用尺规作出了NCE AOD Ð=Ð，作图痕迹中，弧FG 是（ ）A ．以点C 为圆心，OD 为半径的弧B ．以点C 为圆心，DM 为半径的弧C ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧D ．以点E 为圆心，DM 为半径的弧【即学即练3】3．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列作图属于尺规作图的是（ ）A ．用量角器画出AOB Ð的平分线OCB ．已知a Ð，作AOB Ð，使2AOB a Ð=Ð．C ．用刻度尺画线段3cmAB =D ．用三角板过点P 作AB 的垂线【即学即练4】4．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知ABC V ，按如下步骤作图：①分别以点A 和B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点E 和F ；②作直线EF ，分别交AB BC ，于点M ，N ；③连接AN ，若2,AM ACN =V 的周长为12，则ABC V 的周长为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．13题型01 尺规作一个角等于已知角1．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）尺规作图：已知线段a 和a Ð．作一个ABC V ，使AB a =，AC 2a =，BAC a Ð=Ð．（要求：不写作法，保留作图痕迹）2．（23-24八年级上·陕西延安·期中）在ABC V 中，点D 是AB 上一点，请用尺规作图法，在BC 边上找一点E ，使得∥D E A C ．（保留作图痕迹，不写作法）3．（21-22八年级上·陕西铜川·期末）如图，点B 是射线AC 上一点，请用尺规作图法，求出线段BE ，使得BE AD ∥．（不写作法，保留作图痕迹）4．（22-23七年级下·陕西汉中·期中）如图，已知AOB Ð，利用尺规作NMC Ð，使2NMC AOB Ð=Ð．（保留作图痕迹，不写作法）5．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知锐角a Ð和平角AOB Ð，在AOB Ð内部求作AOC Ð，使AOC Ð与a Ð互补．（不要求尺规作图）题型02 尺规作角的和、差6．（21-22七年级下·甘肃白银·期中）作图题．已知，,a b ÐÐ，且a Ð大于Ðb ，求作AOB a b Ð=Ð-Ð（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图）7．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）已知：AOB Ð，求作：COD Ð，使2COD AOB Ð=Ð．8．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图为一副三角尺，其中60,45a b °°Ð=Ð=，作120,15ABC DEF °°Ð=Ð=．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知a b ÐÐ、，利用直尺和圆规画AOB Ð，使AOB Ð的大小为a b Ð+Ð．（不写作法，保留作图痕迹．）10．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知ABC V 的三边长分别为a b c B C Ða Ðb ==，，，，，利用直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．(1)作线段EF a c =-；(2)作POQ a b Ð=+．题型03 过直线外一点作这条直线的平行11．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，已知MON Ð，A 、B 分别是射线OM ON ，上的点．(1)尺规作图；在MON Ð的内部确定一点C ，使得BC OA ∥且BC OA =（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）中，连接OC ，仅用无刻度直尺在线段OC 上确定一点D ，使得OD CD =，并证明．12．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，在ABC V 中，D 为AB 的中点，E 是BC 上一点，DEB ACB Ð=Ð．(1)过点D 作DF BC ∥交AC 于点F （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：AF DE =．13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知Rt ABC △，90B Ð=°用尺规过点A 作直线MN ，使得MN BC ∥．（保留作图痕迹，不写作法）14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，点P 为边AD 上一点，请用尺规作图法，在边BC 上求作一点Q ，使得P 、Q 到AB 的距离相等．15．（23-24七年级下·福建宁德·期中）如图，已知三角形ABC ，点E 是AB 上一点．(1)尺规作图：在BC 上找到一点F ，使得BFE C Ð=Ð；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接CE ，若110EFC Ð=°，且CE 平分ACB Ð，求FEC Ð的度数．题型04 尺规作图——作三角形16．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图：如图，线段BC 和一副三角尺，其中60,45a b °°Ð=Ð=．求作：以线段BC 为一条边作ABC V ，使得60,75ABC BAC ÐÐ=°=°．（要求：保留作图痕迹，不写作法）17．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知：如图，线段a 、b 、c ．求作：ABC V ，使得BC a =，AC b =，AB c =．(保留作图痕迹，不写作法)18．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知Ðb 和线段a ，求作ABC V ，使得A b Ð=Ð，2B b Ð=Ð，边AB a =．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）19．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）已知：已知线段a ，b 和aÐ求作：ABC V 使BC a =，AC b =，BAC aÐ=Ð20．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第37—38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：已知：ABC V ．求作：A B C ¢¢¢V ，使得A B C ABC ¢¢¢V V ≌．作法：如图．（1）画DA E A ¢Ð=Ð；（2）在射线A D ¢上截取A B AB ¢¢=，在射线A E ¢上截取A C AC ¢=；（3）连接线段B C ¢¢，则A B C ¢¢¢V 即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：(1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：证明：由作图可知，在A B C ¢¢¢V 和ABC V 中，()()A B AB DA E A C ì=ïÐ=¢¢¢¢=¢Ðíïî∴A B C ¢¢¢≌______．△(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）①AAS ②ASA ③SAS ④SSS题型05 结合尺规作图的全等问题21．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：(1)画出所有与格点ABC V （顶点均在格点上）全等的格点三角形，使它与ABC V 有且只有一条公共边，你画出了______ 个符合要求的格点三角形，分别记作______ ；(2)在DE 上画出点P ，使得PAC △的周长最小；(3)若网格上的最小正方形的边长为1，直接写出ABC V 的面积为______ ．22．（20-21七年级下·广东佛山·期中）作一个角等于已知角的方法：已知：AOBÐ求作：A O B ¢¢¢Ð，使A O B AOB ¢¢¢Ð=Ð，作法：（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C 、D ；（2）画一条射线O A ¢¢，以点O ¢为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ¢¢于点C ¢；（3）以点C ¢为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D ¢；（4）过点D ¢画射线O B ¢¢，则A O B AOB ¢¢¢Ð=Ð．请你根据提供的材料完成下列问题．(1)请你证明A O B AOB ¢¢¢Ð=Ð．(2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________．23．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为44´的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．要求：(1)三角形的三个顶点都在格点上．(2)与ABC V 全等，且位置不同．24．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在58´的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，ABC V 的三个顶点都在小正方形的顶点上．(1)在图1中画ABD △（点D 在小正方形的顶点上），使得ABD △与ABC V 全等，且点D 在直线AB 的下方（点D 与点C 不重合）；(2)在图2中画ABE V （点E 在小正方形的顶点上），使得ABE V 与ABC V 全等，且AC BE P ；25．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，ABC V 的顶点A 、B 、C 都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可：(1)在图（1）中画出与ABC V 全等的三角形，且有条公共边：(2)在图（2）中画出与ABC V 全等的三角形，且有一个公共顶点：(3)在图（3）中画出与ABC V 全等的三角形，且有一个公共角．题型06 作角平分线26．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在ABC V 中，请用尺规作图法作出BAC Ð的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）27．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，已知点A 、O 、B 在一条直线上，2AOC COD Ð=Ð．(1)利用直尺和圆规作BOD Ð的平分线OE ；(2)如果77COE Ð=o ，求COD Ð的大小．28．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知ABC V ，请用尺规作图法，在线段BC 上方求作一点D ，使得点D 到点B 和点C 的距离相等，且到边AC ，BC 的距离也相等．29．（2024·陕西西安·一模）已知ABC V ，请在AB 边上确定一点P ，使得点P 到AC BC 、的距离相等．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）30．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在ABC V 中，902ACB BC AC Ð=°=，，将ABC V 向右平移一定距离后，得到DEF V ，且E 为BC 的中点，请你用无刻度的直尺按下列要求作图．(1)在图1中，作出ACB Ð的平分线CP ；(2)在图2中，作一个以C 为顶点的直角（已知直角除外）题型07 作垂线31．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）如图，在ABC V 中，10cm AB =，6cm AC =．(1)利用尺规作BC 边的垂直平分线，交AB 于点D ，交BC 于点E ；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接CD ，求ACD V 的周长．32．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，已知点A 、点B 以及直线l ．(1)用尺规作图的方法在直线l 上求作一点P ，使PA PB =．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）中所作的图中，若AM PN =，BN PM =，求证：MAP NPB Ð=Ð．33．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在Rt ABC △中，请用尺规作图法作AB 边上的高CD 交AB 于点D ．(不写作法，保留作图痕迹)34．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）如图，点O 在直线l 外，点A 在直线l 上，连接OA ．选择适当的工具作图．(1)在直线l 上作点B ，使得OB l ^于点B ；(2)连接OB ；(3)在直线l 上取一点C （不与A ，B 重合），连接OC ；(4)在OA ，OB ，OC 中，线段 最短，依据是 ．35．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，ABC V 中，AB AC =．(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：Ð的角平分线，交BC于点H；①作A②作AB边的垂直平分线，垂足为点D，交AH于点O；=．(2)连接BO，OC，求证：OA OCA夯实基础V的（）1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是ABCA．角平分线B．高线C．中位线D．中线2．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，作一个角等于已知角（尺规作图）的正确顺序是（）A．①⑤②④③B．①②④⑤③C．①④③⑤②D．②①③④⑤3．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）已知村政府现要在如图所示区域内，修建到AB，CD，EF三条公路距离相等的加油站P，则加油站的选址共有种选择．4．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知AOB Ð，以点O 为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交OA ，OB 于点E ，F ，再以点E 为圆心，EF 的长为半径画弧，交弧①于点D ，画射线OD ．若26AOB Ð=°，则AOD Ð的度数为 ．5．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知四边形ABCD ，利用尺规作图法作ABC Ð的平分线交CD 于点E ．（不写作法，保留作图痕迹）6．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，作出ABC V 的BC 边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）B 能力提升1．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知ABC V ，按如下步骤作图：①分别以点A 和B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点E 和F ；②作直线EF ，分别交AB BC ，于点M ，N ；③连接AN ，若2,AM ACN =V 的周长为12，则ABC V 的周长为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．132．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，在ABC V 中，90C Ð=°，以顶点A 为圆心，取适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若3CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（23-24七年级下·广东茂名·期末）如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、N 两点，作直线MN ，直线MN 分别与BC 、AB 相交于D 、E 两点，连接AD ，则图中长度一定与AD 相等的线段是 ．4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC AB 、于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画两条弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4CD =，20AB =，则ABD △的面积是 ．5．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，已知点A 、点B 以及直线l ．(1)用尺规作图的方法在直线l 上求作一点P ，使PA PB =．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）中所作的图中，若AM PN =，BN PM =，求证：MAP NPB Ð=Ð．6．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知ABC V ，点D 在BC 边上．(1)求作DEF V ，使DEF ABC V V ≌，并满足点E 在BC 的延长线上，DF AB P ．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)根据你的作图方法，说明DEF ABC V V ≌的理由．C 综合素养1．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分BAC Ð的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在长方形ABCD 中，在AD AC 、上分别截取AE AF 、，使AE AF =，分别以E 、F 为圆心、以大于12EF 长为半径作弧，两弧在DAC Ð内交于点G ，作射线AG ；又分别以A 、C 为圆心，以大于12AC 长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN ；射线AG 和直线MN 交于点P ，则a Ð的度数为（ ）A ．68°B ．56°C ．54°D ．45°3．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，3cm BC =，分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 为半径作弧，两弧分别交于点M ，N ，过点M ，N 作直线MN 交AB 于点P ，连接CP ．若ABC V 的周长比BCP V 的周长大5cm ，则BCP V 的周长为 cm ．4．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC Ð内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ^于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM = ．5．（2024·广西南宁·二模）如图，在ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，过点C 作CE AB ∥，连接AE ．(1)基本尺规作图：作ABF EAC Ð=Ð，交线段AC 于点F （保留作图痕迹，不要求写作法）；(2)求证：BF AE =．6．（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明CAD DAB Ð=Ð的依据是AFD AED △≌△，这两个三角形全等的判定条件是_________；【问题探究】（2）①构距离，造全等如图2，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90,B BAD Ð=°Ð和CDA Ð的平分线,AE DE 交于边BC 上一点E ．过点E 作EF AD ^于点F ．若12cm BC =，则EF =_________cm ；②巧翻折，造全等如图3，在ABC V 中，,AB AC AD <是ABC V 的角平分线，请说明B C Ð>Ð；小明在AC 上截取AE AB =．连接DE ，则()SAS ABD AED V V ≌．请继续完成小明的解答．【问题解决】（3）如图4，在ABC V 中，60,,A BE CF Ð=°是ABC V 的两条角平分线，且,BE CF 交于点P ．请判断PE 与PF 之间的数量关系，并说明理由．。
初三尺规作图和网格作图专题
九年级数学网格作图1、如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为l 的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上．（1）△ABC 的面积等于 ；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，过点A 画一条直线，交BC 于点D ，使△ABD 的面积等于△ADC 面积的2倍，写出画法并简要说明理由．2、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点C B A ,,均在格点上.（1）AB 的长等于 ；（2）在ABC ∆的内部有一点P ，满足3:2:1::=∆∆∆PCA PBC PAB S S S ，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）3、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，E 为格点，B ，F 为小正方形边的中点，C 为AE ，BF 的延长线的交点．（Ⅰ）AE 的长等于 ；（Ⅱ）若点P 在线段AC 上，点Q 在线段BC 上，且满足AP=PQ=QB ，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ ，并简要说明点P ，Q 的位置是如何找到的（不要求证明）．4、引例：若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC 中，设BC=a ，AC=b ，AB=c ，各边上的高分别记为a h ，b h ，c h ，各边上的内接正方形的边长分别记为a x ，b x ，c x ．（1）模拟探究：如图，正方形EFGH 为△ABC 的BC 边上的内接正方形，求证：111a a a h x +=；（2）特殊应用：若∠BAC=90°，b x =c x =2，求11b c +的值；（3）拓展延伸：若△ABC 为锐角三角形，b ＜c ，请判断b x 与c x 的大小，并说明理由．5、如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC 的面积等于（Ⅱ）若四边形DEFG 是△ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）6、如图，将三角形ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，点B ，点C ，点P 均落在格点上．（1）计算三角形ABC 的周长等于 ．（2）请在给定的网格内作三角形ABC 的内接矩形EFGH ，使得点E ，H分别在边AB ，AC 上，点F ，G 在边BC 上，且使矩形EFGH 的周长等于线段BP 长度的2倍，并简要说明你的作图方法（不要求证明）7、如图将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，点B ，点C 均落在格点上．（Ⅰ）计算AC 2+BC 2的值等于 ；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB 为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC 2+BC 2，并简要说明画图方法（不要求证明）如图所示。
专题4 格点中的作图与计算(学生版)
专题四格点中的作图与计算专题诠释：勾股定理在网格中的作图与计算，具有很强的操作性，这和新课程理念相符合，个点问题秉承了“狠抓基础，重视过程，渗透思想，突出能力，强调应用，着重创新”这一精神。
突出了“数形结合”的思想，能考查学生对图形的敏锐的观察力和对数学规律的探究能力。
第一部分典型例题例1如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：（1）画一个△ABC，使AC ．BC＝2 ，AB＝5；（2）若点D为AB的中点，则CD的长是；（3）在（2）的条件下，直接写出点D到AC的距离为．例2如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，其中格点A已在网格中标出，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）．（1）在图中画一个△ABC AB ，AC＝2 ，BC ；＝；BC边上的高为（直接写出结果）；（2）在（1）的条件下，计算：S△ABC（3）设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a，b及h，求证： ．例3在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示：（1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B；（2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出PA+PB的最小值：；（3）结合（2）的画图过程并思考，直接写出 的最小值：．例4如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝15km，CB ＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得：（1）①若C、D两村到E站的距离相等，则E站应建立在离A站多少km处？②若E站到C、D站的距离之和最短，则E站应建立在离A站多少km处？（2）受（1）小题第②问启发，你能否解决以下问题：正数a、b满足条件a+b＝5，且 ଂ ，则s的最小值＝．例5问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时．先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示．这样不需求△ABC的高．而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为 ， ， ，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的△ABC．并求出它的面积探索创新：（3）若△ABC三边的长分别为 a、2 a、 a（a＞0），请利用图（2）的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC．并求出它的面积．（4）若△ABC三边的长分别为 ଂ 、 ，2 （m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这个三角形的面积．第二部分专题提优训练1．如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（）A． B． C．3D．2．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点C到AB边的距离为（）A． B． C． D．3．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（）A．1条B．2条C．3条D．4条4．学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD的长为（）A． B． C． ଂ D．5．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（）A ．B ．C ．D ．6．在如图所示的方格纸中，点A ，B ，C 均为格点，则∠ABC 的度数是（）A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°7．如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC ，若每个小正方形的边长为1，则△ABC 的边AB 上的高为（）A ．B ．C ．D ．18．如图，在3×3的方格纸中，已知点A ，B 在方格顶点上（也称格点），若点C 也是格点，且使得△ABC 为直角三角形，则满足条件的C 点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在行距、列距都是1的的4×4方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于（）A ．B ．C ．D ．10．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（）A． B C D．11．如图①，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都在格点上，则线段AB的长度在数轴（数轴不完整）上对应的点应落在如图②标注的（）A．段①B．段②C．段③D．段④12．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）A B C D．13．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，四边形ABCD的顶点都在格点上，则下面4条线段的长度为 的是（）A．AB B．BD C．BC D．DC14．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为（）A． B． C． D．15．如图，用64个边长为1cm的小正方形拼成的网格中，点A，B，C，D，E都在格点（小正方形顶点）上，对于线段AB，AC，AD，AE，长度为无理数的有（）A．4条B．3条C．2条D．1条16．如图，网格线的交点称为格点，任取3个格点构成等腰三角形，则下列可以作为腰长的是（）A． B．ଂC． D．17．如图，在6个边长为1的正方形拼成的网格中从A点到B点距离为 3且途中经过3个格点（不包含A 点和B点）的走法共有（）A．6种B．8种C．10种D．12种18．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A． B． C．2.2D．319．如图，a，b，c是3×3正方形网格中的3条线段，它们端点都在格点上，则关于a，b，c大小关系的正确判断是（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a20．如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（）A．1处B．2处C．3处D．4处二．填空题（共9小题）21．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝．22．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有条．23．如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：（填“能”或“不能”．）24．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，AD⊥BC于D，则AD的长为．25．如图，在4×4的网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点A，B，C都在格点上，点O为AB边的中点，则线段CO的长为．26．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．27．如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是．28．如图，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝．29．如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC是格点三角形，点D为AC的中点，则线段BD的长为．三．解答题（共10小题）30．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都在格点上，试求线段AB的长度．31．如图1，在6×6网格中，正方形ABCD是格点正方形（顶点是网格线的交点）．（1）求正方形ABCD的面积；（2）求正方形ABCD的边长；（3）在数轴上，以点O为圆心，以AB的长为半径画弧，交负半轴于点P，如图2，则点P表示的实数是．32．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均为格点．判断△ABC的形状，并说明理由．33．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．（1）线段AB的长度是，线段CD的长度是．（2）若EF的长为 ，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．34．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．（1）求△ABC的面积；（2）通过计算判断△ABC的形状；．（3）求AB边上的高．35．如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，四边形ABCD的四个顶点均在格点（小正方形的顶点）上．（1）求四边形ABCD的面积和周长；（2）求∠ADC的度数．36．如图，四边形ABCD是正方形，四个顶点都在格点上，图中每个小正方形的边长均为1，现要在图中建立平面直角坐标系xOy，使得点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．（1）正方形ABCD的面积为．（2）在图中画出符合题意的坐标系，并写出点B，D的坐标；（3）以A为圆心，AB长为半径画弧，该弧与x轴的负半轴相交于点E，画出点E的位置，并求出点E的坐标．37．如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．请你完成：（1）画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；（2）将图中的数轴补充完整，并用圆规在数轴上表示实数 ．（保留作图痕迹）38．如图，在8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找出格点C，且使BC＝5，并直接写出对应三角形的面积．39．如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B'，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，请解答下列问题：（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A′B′C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．（2）连接BC'，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系；（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b）．求a和b的值．。
2018届中考数学一轮复习讲义 第32讲平移变换
2018届中考数学一轮复习讲义第32讲平移变换【知识巩固】1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.2.平移的性质：（1）平移后,对应线段平行(或在同一条直线上)且相等；（2）平移后,对应角相等；（3）平移后,对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等．（4）平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即平移后的图形与原图形全等.3.平移的两个要素：平移的方向和距离. （方向为前后对应点射线方向，距离为对应点之间的线段的长度）4．简单图形的平移作图：（1）确定图形中的关键点；（2）将关键点沿指定的方向移动指定的距离；（3）连结各点，得到原图形平移后的图形.【典例解析】典例一、平移的定义将图形平移，下列结论错误的是( )A.对应线段相等B.对应角相等C.对应点所连的线段互相平分D.对应点所连的线段相等解析：根据平移的性质，将图形平移，对应线段相等、对应角相等、对应点所连的线段相等，而对应点所连的线段不一定互相平分，故选C.答案：C【变式训练】4.如图，面积为12cm 2 的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积为（）A．24cm 2 B．36cm 2 C．48cm 2 D．无法确定答案：B解析：由题意可知根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积，依此计算即可．∵平移的距离是边BC长的两倍，∴BC=CE=EF，∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积；∴四边形ACED的面积=12×3=36cm 2 ．考点：平移的性质.典例二、平移的性质（2017毕节）把直线y=2x﹣1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（）A．y=2x﹣2 B．y=2x+1 C．y=2x D．y=2x+2【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减”的函数图象平移规律来解答．【解答】解：根据题意，将直线y=2x﹣1向左平移1个单位后得到的直线解析式为：y=2（x+1）﹣1，即y=2x+1，故选B．【变式训练】（2017广西百色）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A 的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，则点C的对应点坐标为（1，3）．【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．【分析】将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，根据平移规律即可求出点C的对应点坐标．【解答】解：∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），∴OC=OA=2，C（0，2），∵将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，∴点C的对应点坐标是（1，3）．故答案为（1，3）．典例三、简单图形的平移作图（2016·黑龙江龙东·3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC 的顶点C的坐标为．【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．【解答】解：解：∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2，∴点C到x轴的距离为1+2×=+1，横坐标为2，∴A（2，+1），第2016次变换后的三角形在x轴上方，点A的纵坐标为+1，横坐标为2-2016×1=-2014，所以，点A的对应点A′的坐标是(-2014，+1)故答案为：(-2014，+1)．【变式训练】（2016·山东省菏泽市·3分）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】坐标与图形变化-平移．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，故a+b=2．故选：A．【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．典例四、平移的综合应用（2017广西河池）直线l的解析式为y=﹣2x+2，分别交x轴、y轴于点A，B．（1）写出A，B两点的坐标，并画出直线l的图象；（2）将直线l向上平移4个单位得到l1，l1交x轴于点C．作出l1的图象，l1的解析式是y=﹣2x+6．（3）将直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2，l2交l1于点D．作出l2的图象，tan∠CAD=．【考点】F9：一次函数图象与几何变换；F3：一次函数的图象．【分析】（1）分别令x=0求得y、令y=0求得x，即可得出A、B的坐标，从而得出直线l 的解析式；（2）将直线向上平移4个单位可得直线l1，根据“上加下减”的原则求解即可得出其解析式；（3）由旋转得出其函数图象及点B的对应点坐标，待定系数法求得直线l2的解析式，继而求得其与y轴的交点，根据tan∠CAD=tan∠EAO=可得答案．【解答】解：（1）当y=0时，﹣2x+2=0，解得：x=1，即点A（1，0），当x=0时，y=2，即点B（0，2），如图，直线AB即为所求；（2）如图，直线l1即为所求，直线l1的解析式为y=﹣2x+2+4=﹣2x+6，故答案为：y=﹣2x+6；（3）如图，直线l2即为所求，∵直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2，∴由图可知，点B（0，2）的对应点坐标为（3，1），设直线l2解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、（3，1）代入，得：，解得：，∴直线l2的解析式为y=x﹣，当x=0时，y=﹣，∴直线l2与y轴的交点E（0，﹣），∴tan∠CAD=tan∠EAO===，故答案为：．【变式训练】（2017浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13 B．14 C．15 D．16【考点】RA：几何变换的类型；KQ：勾股定理．【分析】根据从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换，计算出按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后点M的位置，再根据点N的位置进行适当的变换，即可得到变换总次数．【解答】解：如图1，连接AC，CF，则AF=3，∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，又∵MN=20，∴20÷3=，（不是整数）∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3=15格，向上移动了10÷2×3=15格，此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处，∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14次，故选：B．【能力检测】1.学校对学生寝室进行了整顿，并举行了文明寝室评比，结果七年级班被评为文明寝室.你看她们的牙刷、牙杯放得多整齐，你能说说她们用了数学中的什么知识？答案：平移解析：根据平移的基本性质即可判断结果。
第23章旋转第2课时 旋转作图-人教版九年级数学上册讲义（机构专用）
人教版九年级数学上册讲义第二十三章旋转第2课时旋转作图旋转作图的一般步骤步 骤：(1)明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；(2)确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；(3)顺次连接对应点．网格中旋转90°的画法1．确定关键点与旋转中心所在的矩形．2．搞清楚是顺时针还是逆时针，旋转矩形，确定对应点．3．确定旋转后的图形．确定旋转中心的步骤1．连接两组对应点．2．作对应点连线的垂直平分线．3．交点就是旋转中心．旋转过程边所扫过区域的面积旋转过程边所扫过区域的面积为扇形面积面积公式为：lR R n S 213602==π扇（其中n 是旋转度数，R 是旋转的那条线也是扇形的半径）计算公式为180r n l π=（其中n 是旋转度数，r 是旋转中心到哪个点的距离也是扇形的半径） 对应练习1.画出将线段 AB 绕点 O 按顺时针方向旋转 90° 后的图形．2.画出将ΔABC 绕点C 按逆时针方向旋转150°后的对应三角形．3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣2，﹣1）、B （﹣1，1）、C （0，﹣2）．（1）点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标为 ；（2）将△ABC 绕着点C 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C ；（3）在（2）中，求边CA 所扫过区域的面积是多少？（结果保留π）．（4）若A 、B 、C 三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形△ABC 的位置发生怎样的变化？4．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA＝2，OB＝1．将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位，得△CDO．(1)写出点A，C的坐标；(2)求点A和点C之间的距离．5．如图，在平面直角坐标系中有△ABC，其中A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1）.把△ABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1.再把△A1B1C1向左平移2个单位，向下平移5个单位得到△A2B2C2.（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2.（2）直接写出点B1、B2坐标.（3）P（a，b）是△ABC的AC边上任意一点，△ABC经旋转平移后P对应的点分别为P1、P2，请直接写出点P1、P2的坐标.6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕原点顺时针旋转得到，求点的坐标．7．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（0，1）.（1）画出△ABC向右平移3个单位长度所得的△A1B1C1；写出C1点的坐标；（2）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2；写出C2点的坐标；（3）在（2）的条件下求点A所经过路径的长度.8．如图，Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3，2)，B(0，4)，C(0，2)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC以点C为旋转中心旋转180°后对应的△A1B1C；(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，-4)，画出平移后对应的△A2B2C2；(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．课后作业1．在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）（1）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A1B1C1；（2）求点A在（1）的图形变换过程中所经过的路径长.2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）.（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状. （无须说明理由）3．如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣1，1），C（﹣1，4）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2．（3）求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积．（结果保留π）4．如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；（3）设Rt△ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．5．如图，把直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，使得A、B、D三点在一直线上．(1)旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？(2)AC与DE的位置关系怎样？请说明理由．6．线段AB，CD在正方形网格中的位置如图所示，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转一定角度α，可以得到线段CD．（1）请在下图中画出点O；（2）若点A、B、C、D的坐标分别为A(-5,5)、B(1,1)、C(5,1)、D(1,-5)，则点O的坐标为；（3）α=．对应练习答案1.2.3．解答：解：（1）∵B（﹣1，1），∴点B关于坐标原点O对称的点的坐标为（1，﹣1）．故答案为（1，﹣1）；（2）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形；（3）∵CA＝＝，∠ACA1＝90°，∴S扇形CAA1＝＝；（4）∵A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变，∴图形△ABC的位置是向右平移了3个单位．4．解答：解：(1)点A的坐标是(-2，0)，点C的坐标是(1，2)．(2)连接AC，在Rt△ACD中，AD＝OA+OD＝3，CD＝2，∴AC2＝CD2+AD2＝22+32＝13，∴AC＝．5．解答：（1）解：如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求：（2）解：点B1坐标为（2，4）、B2坐标为（0，﹣1）（3）解：由题意知点P1坐标为（b，﹣a），点P2的坐标为（b﹣2，﹣a﹣5）6．解答：解：轴于，轴于，如图，，，绕原点顺时针旋转得到可看作是绕原点顺时针旋转得到，则，，所以点的坐标为．7．解答：解：（1）如图所示.由图可知，C1（2，3）；（2）如图所示，由图可知，C2（﹣2，0）；（3）∵AB＝＝，∴点A所经过路径的长度＝＝.8．解答：解：(1)延长AC至A1，点B1与点O重合，连接A1C、B1C、A1B1，则△A1CB1就是所求三角形；(2)取B2(3，-2)，C2(4，-3)，连成△A2B2C2；(3)连接A1A2、B1B2，交于点E，则点E就是旋转中心，E(1.5，-1)．课后作业答案1．解答：解：（1）如图所示：（2）点A在（1）的图形变换过程中所经过的路径是一段圆弧，其半径为2，圆心角为90°，所以长度为.2．解答：解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB＝OA1＝，A1B＝，即，所以三角形的形状为等腰直角三角形.3．解答：解：（1）如图，△AlB1C1为所作；（2）如图，△A2BC2为所作；（3）AB＝＝3，所以线段AB在旋转过程中扫过的图形面积＝＝π．4．解答：解：（1）旋转中心坐标是O（0，0），旋转角是90度；（2）画出的图形如图所示；（3）有旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．∵S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B+4S△ABC，∴（a+b）2＝c2+4×ab，即a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．5．解答：解：(1)直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，∴旋转中心是点B，旋转角是90°；(2)AC⊥DE，理由：延长DE交AC于F，∵把直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，∴∠C＝∠D，∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠C+∠A＝∠D+∠A＝90°，∴∠DFA＝90°，∴AC⊥DE．6．解答：解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）观察图象可知，O(-2,-2)．故答案为(-2,-2)．（3）观察图象可知α=90°．故答案为90°．。
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第32
讲 作图（网格作图）
一、【课标考点解读】
1．能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线。
2．能利用基本作图作三角形；能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。
3. 了解尽规作图的步骤，对于尽规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。
二、【课前热身---经典链接】（磨刀不误砍柴功！！！） 得分：
1．（2010•佛山）尺规的作图是指（ ）
A ．用直尺规范作图
B ．用刻度尺和圆规作图
C ．用没有刻度的直尺和圆规作图
D ．直尺和圆规是作图工具
2. （2012•广州）如图5，在标有刻度的直线l 上，
从点A 开始，
以AB =1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC =2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆.
……,按此规律，连续画半圆，则第4个
半圆的面积是第3个半圆面积的 倍。
第n 个半圆的面积为 ．（结果保留 ）
3．（2009•茂名）如图，方格中
有一个△ABC ，请你在方格内，
画出满足条件A 1B 1=AB ，B 1C 1=BC ，
∠A 1=∠A 的△A 1B 1C 1，并判断△
A 1
B 1
C 1与△ABC 是否一定全等．
4．（2010•珠海）如图，在梯形
ABCD 中，AB ∥CD ．
（1）用尺规作图方法，作∠DAB 的角平分线AF （只保留作图痕迹，
不写作法和证明）
（2）若AF 交CD 边于点E ，判断△ADE 的形状（只写结果）．
5．（2011·清远）△ABC 在方格纸中的位置如图5所示，方格
纸中的每个小正方形的边长为1个单位．
（1）△A 1B 1C 1与△ABC 关于纵轴 (y 轴) 对称，请你在图5中画出△A 1B 1C 1；
（2）将△ABC 向下平移8个单位后得到△A 2B 2C 2，请你在图5中画出△A 2B 2C 2．
三、【知识要点梳理—知识链接】
1． 五种基本作图：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作角的平分线；
（4）作线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。
2. 基本作图的应用：（1）已知三边作三角形；（2）已知两边及其夹角作三角形；（3）已知两角及其夹边作三角形；（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）作三角形的内切圆；（6）作三角形的外接圆；（7）过一点作已知圆的切线。
3. 尽规作图的步骤：（1）写已知；（2）写求作；（3）写作法（保留作图痕迹，不要求证明）
四、【中考名题---考点链接】
考点 基本作图
例1．（2012•河北）如图，点C 在∠AOB 的OB 边上，用尺规作出了CN ∥OA ，作图痕迹中，FG 是（ ）
A ．以点C 为圆心，OD 为半径的弧
B ．以点
C 为圆心，DM 为半径的弧
C ．以点E 为圆心，O
D 为半径的弧
D ．以点
E 为圆心，DM 为半径的弧
【点评】本题考查了基本作图，根据题意，判断出题目实质是作一个角
等于已知角是解题的关键．答案选D ．
考点 基本作图的应用
例2. （2012•长春）图①、图②均为4×4的正方形网络，线段AB 、BC 的端点均在格点上．按要求在图①、图②中以AB 和BC 为边各画一个四边形ABCD ．
要求：四边形ABCD 的顶点D 在格点上，且有两个角相
等（一组或两组角相等均可）；所画的两个四边形不
全等．
【点评】此题主要考查了应用设计作图．首先要理解题意，弄
清问题中对所作图形的要求，然后结合对应几何图形的性质和
基本作图的方法作图．（作图略）
五、【中考链接一湛江真题】快乐一练！ 得分___________
1.（2012•湛江）点A （－l ，4）和点B （－5，1）在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将点A 、B 分别向右平移5个单位，得到点1A 、
1B ，请画出四边形B B AA 11； （2）画一条直线，将四边形B B AA 11分成两个全等的图形，并且每个图形都是轴对称图形．
2.（2011•湛江）如图，在平面直角坐标系中，△顶点的坐标分别为(3,5),(4,3)A B --，(1,1)-.
（1）作出△ABC 向右平移5个单位的△111A B C （2）作出△ABC 关于x 轴对称的△222A B C 的坐标.
3.（2009•湛江）如图，点O A B 、、的坐标分别为
(00)(30)(32)-，、，、，，将O A B △绕点O 按逆时针方向旋转90°得到OA B ''△．
（1）画出旋转后的OA B ''△，并求点B '的坐标；
（2）求在旋转过程中，点A 所经过的路径AA '的长
度．（结果保留π）
4．（2006•湛江）如图，MN 表示海岸线，A ，B 分别表示甲、乙两间工厂，现要在海岸MN 上修建一个码头，
要求修建的码头到甲、乙两间工厂的距离相等，
求作码头的位置P ．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法、证明和讨论）
六、【中考演练二----2010-2012年中考题】 得分___________
1．（2010•凉山州）已知：∠AOB ，求作∠AOB 的平分线；如图所示，
填写作法：
①_________ ． ② _________．③__________
2．（2011•自贡）如图，点B ，C 在∠SAF 的两边上．且AB=AC ．
（1）请按下列语句用尺规画出图形（不写画法，保留作图痕迹）．
①AN ⊥BC ，垂足为N ；
②∠SBC 的平分线交AN 延长线于M ；
③连接CM ．
（2）该图中有_____ 对全等三角形．
3．（2012•广东）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=72°．
（1）用直尺和圆规作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D （保留作图痕迹，不要
求写作法）；
（2）在（1）中作出∠ABC 的平分线BD 后，求∠BDC 的度数．
4．（2011•佛山）如图，一张纸上有线段AB ；
（1）请用尺规作图，作出线段AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证
明）；
（2）若不用尺规作图，你还有其它作法吗？请说明作法（不作图）．
第3题
5．（2012•梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于12 AC的长为半径在AC两边作弧，交于
两点M、N；
②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周长为18时，
求四边形ADCE的面积．
七、【中考演练三---备考核心演练】得分___________ 1．尺规作图所用的作图工具是指（）
A．刻度尺和圆规 B．不带刻度的直尺和圆规 C．刻度尺 D．圆规
2．下列作图语言中，正确的是（）
A．过点P作直线AB的垂直平分线 B．延长射线OA到B点
C．延长线段AB到C，使AB=BC D．过∠AOB内一点P，作∠AOB的平分线
3．下列尺规作图的语句正确的是（）
A．延长射线AB到点C B．延长直线AB到点C
C．延长线段AB到点C，使BC=AB D．延长线段AB到点C，使AC=BC
4．下列作图语句正确的是（）
A．延长线段AB到C，使AB=BC B．延长射线AB
C．过点A作AB∥CD∥EF D．作∠AOB的平分线OC
5．课本107页，画∠AOB的角平分线的方法步骤是：
①以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M点，交OB于N点；
②分别以M，N为圆心，大于12 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB
的内部相交于点C；
③过点C作射线OC．射线OC就是∠AOB的角平分线．
请你说明这样作角平分线的根据是（）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．如图，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在OM、ON上确定点
B、点C，使△ABC的周长最小．写出你作图的主要步骤并标明你所确定的
点（要求画出草图，保留作图痕迹）
7．（2012•鞍山）如图，某社区有一矩形广场ABCD，在边AB上的M点和边BC上的N点分别有
一棵景观树，为了进一步美化环境，社区欲在BD上（点B除外）
选一点P再种一棵景观树，使得∠MPN=90°，请在图中利用尺
规作图画出点P的位置（要求：不写已知、求证、作法和结论，
保留作图痕迹）．
8．（2011•綦江县）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在
某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村
委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置
如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．
要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．。