初三培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案

初三培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案

一、锐角三角函数

1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈）

【答案】AB 的长约为0.6m ．

【解析】

【分析】

作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可．

【详解】

解：作BF CE ⊥于F ，

在Rt BFC ∆中， 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈＝，

3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈＝，

在Rt ADE ∆E 中，33 1.73tan 3

AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝

由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈，

答：AB 的长约为0.6m ．

【点睛】

考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

2．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．

（1）求∠BPQ的度数；

（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，

【答案】（1）∠BPQ=30°；

（2）该电线杆PQ的高度约为9m．

【解析】

试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；

（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．

试题解析：延长PQ交直线AB于点E，

（1）∠BPQ=90°-60°=30°；

（2）设PE=x米．

在直角△APE中，∠A=45°，

则AE=PE=x米；

∵∠PBE=60°

∴∠BPE=30°

在直角△BPE中，33

米，

∵AB=AE-BE=6米，

则x-

3

3

x=6，

解得：x=9+33．

则BE=（33+3）米．

在直角△BEQ中，QE=

3

3

BE=

3

3

（33+3）=（3+3）米．

∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

3．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=81

4

．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒

5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM （P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；

（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=9

5

S△QCN时，求t的值；

（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【答案】（1）coaA=4

5

；（2）当t=

3

5

时，满足S△PQM=

9

5

S△QCN；（3）当2733

-或

2733

+时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【解析】

分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；

（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=9

5

S△QCN构建方程即可解决问题；

（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；

详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．

∵S △ABC =12•AC•BE=814， ∴BE=92

， 在Rt △ABE 中，AE=

22=6AB BE -， ∴coaA=647.55

AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．

∵PA=5t ，PH=3t ，AH=4t ，HQ=AC-AH-CQ=9-9t ，

∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+（9-9t ）2，

∵S △PQM =

95S △QCN ， ∴32=9352， ∴9t 2+（9-9t ）2=

95

×（5t ）2， 整理得：5t 2-18t+9=0， 解得t=3（舍弃）或

35． ∴当t=35时，满足S △PQM =95

S △QCN ． （3）①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．