初三培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
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初三培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
一、锐角三角函数
1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40o ,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60o ,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈)
【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】
作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】
解:作BF CE ⊥于F ,
在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=,
3.85CF BC cos BCF ?∠≈=,
在Rt ADE ?E 中,
3 1.73tan 3AB DE ADE ===≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣=
由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】
考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
2.如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m).备用数据:,
【答案】(1)∠BPQ=30°;
(2)该电线杆PQ的高度约为9m.
【解析】
试题分析:(1)延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可;
(2)设PE=x米,在直角△APE和直角△BPE中,根据三角函数利用x表示出AE和BE,根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值,再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长,则PQ的长度即可求解.
试题解析:延长PQ交直线AB于点E,
(1)∠BPQ=90°-60°=30°;
(2)设PE=x米.
在直角△APE中,∠A=45°,
则AE=PE=x米;
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中,33
米,
∵AB=AE-BE=6米,
则x-
3
3
x=6,
解得:x=9+33.
则BE=(33+3)米.
在直角△BEQ中,QE=3
BE=
3
(33+3)=(3+3)米.
∴PQ=PE-QE=9+33-(3+3)=6+23≈9(米).答:电线杆PQ的高度约9米.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
3.如图,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC=81
4
.动点P从A点出发,沿AB方向以每秒
5个单位长度的速度向B点匀速运动,动点Q从C点同时出发,以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动,当点P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动,以PQ为边作正△PQM (P、Q、M按逆时针排序),以QC为边在AC上方作正△QCN,设点P运动时间为t秒.(1)求cosA的值;
(2)当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=9
5
S△QCN时,求t的值;
(3)当t为何值时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
【答案】(1)coaA=4
5
;(2)当t=
3
5
时,满足S△PQM=
9
5
S△QCN;(3)当2733
-或
2733
+时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
【解析】
分析:(1)如图1中,作BE⊥AC于E.利用三角形的面积公式求出BE,利用勾股定理求出AE即可解决问题;
(2)如图2中,作PH⊥AC于H.利用S△PQM=9
5
S△QCN构建方程即可解决问题;
(3)分两种情形①如图3中,当点M落在QN上时,作PH⊥AC于H.②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.分别构建方程求解即可;
详解:(1)如图1中,作BE⊥AC于E.
∵S △ABC =12
?AC?BE=814,
∴BE=
9
2
, 在Rt △ABE 中,AE=22=6AB BE -,
∴coaA=
64
7.55
AE AB ==. (2)如图2中,作PH ⊥AC 于H .
∵PA=5t ,PH=3t ,AH=4t ,HQ=AC-AH-CQ=9-9t , ∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+(9-9t )2, ∵S △PQM =9
5
S △QCN , ∴
32=9352, ∴9t 2+(9-9t )2=9
5
×(5t )2, 整理得:5t 2-18t+9=0,
解得t=3(舍弃)或35
. ∴当t=
35时,满足S △PQM =9
5
S △QCN . (3)①如图3中,当点M 落在QN 上时,作PH ⊥AC 于H .
易知:PM∥AC,
∴∠MPQ=∠PQH=60°,
∴PH=3HQ,
∴3t=3(9-9t),
-.
∴t=2733
②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.
同法可得3,
∴39t-9),
∴27+33
-s27+33时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN 综上所述,当2733
的边上.
点睛:本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
4.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD31.7).
【答案】32.4米.
【解析】
试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.
试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E,
根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°.
∵AB⊥AC,CD⊥AC,
∴四边形ABEC为矩形,
∴CE=AB=12m,
在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE CE
,
∴BE=CE?cot30°=12×3=123,
在Rt△BDE中,由∠DBE=45°,
得DE=BE=123.
∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4.
答:楼房CD的高度约为32.4m.
考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题.
5.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别在BC、AC边上,连结BE、AD交于点P,设AC=kBD,CD=kAE,k为常数,试探究∠APE的度数:
(1)如图1,若k=1,则∠APE的度数为;
(2)如图2,若31)中的结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,求出∠APE的度数.
(3)如图3,若k=3,且D、E分别在CB、CA的延长线上,(2)中的结论是否成立,请说明理由.
【答案】(1)45°;(2)(1)中结论不成立,理由见解析;(3)(2)中结论成立,理由见解析.
【解析】
分析:(1)先判断出四边形ADBF是平行四边形,得出BD=AF,BF=AD,进而判断出
△FAE≌△ACD,得出EF=AD=BF,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;
(2)先判断出四边形ADBF是平行四边形,得出BD=AF,BF=AD,进而判断出
△FAE∽△ACD,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;
(3)先判断出四边形ADBF是平行四边形,得出BD=AF,BF=AD,进而判断出
△ACD∽△HEA,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;
详解:(1)如图1,过点A作AF∥CB,过点B作BF∥AD相交于F,连接EF,
∴∠FBE=∠APE,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF是平行四边形,
∴BD=AF,BF=AD.
∵AC=BD,CD=AE,
∴AF=AC.
∵∠FAC=∠C=90°,
∴△FAE≌△ACD,
∴EF=AD=BF,∠FEA=∠ADC.
∵∠ADC+∠CAD=90°,
∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD.
∵AD∥BF,
∴∠EFB=90°.
∵EF=BF,
∴∠FBE=45°,
∴∠APE=45°.
(2)(1)中结论不成立,理由如下:
如图2,过点A 作AF ∥CB ,过点B 作BF ∥AD 相交于F ,连接EF ,
∴∠FBE=∠APE ,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF 是平行四边形, ∴BD=AF ,BF=AD . ∵AC=3BD ,CD=3AE ,
∴
3AC CD
BD AE ==. ∵BD=AF ,
∴
3AC CD
AF AE
==. ∵∠FAC=∠C=90°, ∴△FAE ∽△ACD ,
∴
3AC AD BF
AF EF EF ===,∠FEA=∠ADC . ∵∠ADC+∠CAD=90°,
∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD . ∵AD ∥BF , ∴∠EFB=90°.
在Rt △EFB 中,tan ∠FBE=3
3
EF BF =
, ∴∠FBE=30°, ∴∠APE=30°,
(3)(2)中结论成立,如图3,作EH ∥CD ,DH ∥BE ,EH ,DH 相交于H ,连接AH ,
∴∠APE=∠ADH ,∠HEC=∠C=90°,四边形EBDH 是平行四边形,
∴BE=DH ,EH=BD . ∵AC=3BD ,CD=3AE ,
∴
3AC CD
BD AE
==. ∵∠HEA=∠C=90°, ∴△ACD ∽△HEA ,
∴
3AD AC
AH EH
==,∠ADC=∠HAE . ∵∠CAD+∠ADC=90°, ∴∠HAE+∠CAD=90°, ∴∠HAD=90°.
在Rt △DAH 中,tan ∠ADH=3AH
AD
=, ∴∠ADH=30°, ∴∠APE=30°.
点睛:此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,构造全等三角形和相似三角形的判定和性质.
6.下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN ,DM ,CB 为三根垂直于AB 的支柱,垂足分别为N ,M ,B ,∠EAB=31°,DF ⊥BC 于点F ,∠CDF=45°,求DM 和BC 的水平距离BM 的长度.(结果精确到0.1 m .参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)
【答案】2.5m. 【解析】
试题分析:设DF=x ,在Rt △DFC 中,可得CF=DF=x ,则BF=4-x ,根据线段的和差可得AN=5-x ,EN=DM=BF=4-,在Rt △ANE 中,∠EAB=,利用∠EAB 的正切值解得x 的
值.
试题解析:解:设DF=,在Rt △DFC 中,∠CDF=,
∴CF=tan ·DF=,
又∵CB=4, ∴BF=4-,
∵AB=6,DE=1,BM= DF=, ∴AN=5-,EN=DM=BF=4-, 在Rt △ANE 中,∠EAB=
,EN=4-,AN=5-,
tan ==0.60,
解得=2.5,
答:DM 和BC 的水平距离BM 为2.5米. 考点:解直角三角形.
7.在Rt △ACB 和△AEF 中,∠ACB =∠AEF =90°,若点P 是BF 的中点,连接PC ,PE. 特殊发现:
如图1,若点E 、F 分别落在边AB ,AC 上,则结论:PC =PE 成立(不要求证明). 问题探究:
把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转.
(1)如图2,若点E 落在边CA 的延长线上,则上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(2)如图3,若点F 落在边AB 上,则上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)记
AC
BC
=k ,当k 为何值时,△CPE 总是等边三角形?(请直接写出后的值,不必说)
【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ,PC PE =成立 ()3当k 为3
3
时,CPE V 总是等边三角形 【解析】 【分析】
(1)过点P 作PM ⊥CE 于点M ,由EF ⊥AE ,BC ⊥AC ,得到EF ∥MP ∥CB ,从而有
EM FP
MC PB
=,再根据点P 是BF 的中点,可得EM=MC ,据此得到PC=PE . (2)过点F 作FD ⊥AC 于点D ,过点P 作PM ⊥AC 于点M ,连接PD ,先证△DAF ≌△EAF ,即可得出AD=AE ;再证△DAP ≌△EAP ,即可得出PD=PE ;最后根据FD ⊥AC ,BC ⊥AC ,PM ⊥AC ,可得FD ∥BC ∥PM ,再根据点P 是BF 的中点,推得PC=PD ,再根据PD=PE ,即可得到结论.
(3)因为△CPE 总是等边三角形,可得∠CEP=60°,∠CAB=60°;由∠ACB=90°,求出∠CBA=30°;最后根据
AC k BC =,AC
BC
=tan30°,求出当△CPE 总是等边三角形时,k 的值是
多少即可.
【详解】
解:(1)PC=PE成立,理由如下:
如图2,过点P作PM⊥CE于点M,∵EF⊥AE,BC⊥AC,∴EF∥MP∥CB,
∴EM FP
=,∵点P是BF的中点,∴EM=MC,又∵PM⊥CE,∴PC=PE;
MC PB
(2)PC=PE成立,理由如下:
如图3,过点F作FD⊥AC于点D,过点P作PM⊥AC于点M,连接PD,∵∠DAF=∠EAF,∠FDA=∠FEA=90°,在△DAF和△EAF中
,∵∠DAF=∠EAF,∠FDA=∠FEA,AF=AF,
∴△DAF≌△EAF(AAS),
∴AD=AE,在△DAP和△EAP中,
∵AD=AE,∠DAP=∠EAP,AP=AP,
∴△DAP≌△EAP(SAS),
∴PD=PE,
∵FD⊥AC,BC⊥AC,PM⊥AC,
∴FD∥BC∥PM,
∴DM FP
=,
MC PB
∵点P是BF的中点,
∴DM=MC,又∵PM⊥AC,
∴PC=PD,又∵PD=PE,
∴PC=PE;
(3)如图4,∵△CPE总是等边三角形,
∴∠CEP=60°, ∴∠CAB=60°, ∵∠ACB=90°,
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°, ∵
AC k BC ,AC
BC
=tan30°, ∴k=tan30°=3
, ∴当k 为
3
时,△CPE 总是等边三角形.
【点睛】
考点:1.几何变换综合题;2.探究型;3.压轴题;4.三角形综合题;5.全等三角形的判定与性质;6.平行线分线段成比例.
8.如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC 与BD 交于点O ,且AC =80,BD =60.动点M 、N 分别以每秒1个单位的速度从点A 、D 同时出发,分别沿A→O→D 和D→A 运动,当点N 到达点A 时,M 、N 同时停止运动.设运动时间为t 秒. (1)求菱形ABCD 的周长;
(2)记△DMN 的面积为S ,求S 关于t 的解析式,并求S 的最大值;
(3)当t=30秒时,在线段OD 的垂直平分线上是否存在点P ,使得∠DPO=∠DON ?若存在,这样的点P 有几个?并求出点P 到线段OD 的距离;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)在菱形ABCD中,
∵AC⊥BD,AC=80,BD=60,∴。∴菱形ABCD的周长为200。
(2)过点M作MP⊥AD,垂足为点P.
①当0<t≤40时,如答图1,
∵,
∴MP=AM?sin∠OAD=t。
S=DN?MP=×t×t=t2。
②当40<t≤50时,如答图2,MD=70﹣t,
∵,
∴MP=(70﹣t)。
∴S△DMN=DN?MP=×t×(70﹣t)=t2+28t=(t﹣35)2+490。∴S关于t的解析式为。
当0<t≤40时,S随t的增大而增大,当t=40时,最大值为480;当40<t≤50时,S随t的增大而减小,最大值不超过480。
综上所述,S的最大值为480。
(3)存在2个点P,使得∠DPO=∠DON。
如答图3所示,过点N作NF⊥OD于点F,
则NF=ND?sin∠ODA=30×=24,
DF=ND?cos∠ODA=30×=18。
∴OF=12。∴。
作∠NOD的平分线交NF于点G,过点G作GH⊥ON于点H,
则FG=GH。
∴S△ONF=OF?NF=S△OGF+S△OGN=OF?FG+ON?GH=(OF+ON)?FG。
∴。
∴。
设OD中垂线与OD的交点为K,由对称性可知:∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG,
∴。
∴PK=。
根据菱形的对称性可知,在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′。
∴存在两个点P到OD的距离都是
【解析】
试题分析:本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点,涉及考点较多,有一定的难度.第(2)问中,动点M在线段AO和OD上运动时,是两种不同的情形,需要分类讨论;第(3)问中,满足条件的点有2个,注意不要漏解.
(1)根据勾股定理及菱形的性质,求出菱形的周长;
(2)在动点M、N运动过程中:①当0<t≤40时,如答图1所示,②当40<t≤50时,如答图2所示.分别求出S的关系式,然后利用二次函数的性质求出最大值;
(3)如答图4所示,作ON的垂直平分线,交EF于点I,连接OI,IN.过点N作
NG⊥OD,NH⊥EF,垂足分别为G,H.易得△DNG∽△DAO,由EF垂直平分OD,得到OE=ED=15,EG=NH=3,再设OI=R,EI=x,根据勾股定理,在Rt△OEI和Rt△NIH中,得到关于R和x的方程组,解得R和x的值,把二者相加就是点P到OD的距离,即PE=PI+IE=R+x,又根据对称性可得,在BD下方还存在一个点P′也满足条件,故存在两个点P,到OD的距离也相同,从而问题解决.
试题解析:(1)如图①)在菱形ABCD中,OA=AC=40, OD=BD=30,
∵AC⊥BD,
∴AD==50,
∴菱形ABCD的周长为200;
(2)(如图②)过点M作MH⊥AD于点H.
① (如图②甲)①当0<t≤40时,
∵sin∠OAD===,
∴MH=t,
∴S=DN·MH=t2.
②(如图②乙)当40<t≤50时,
∴MD=80-t,
∵sin∠ADO=-,
∴MH=(70-t),
∴S=DN·MH,
=-t2+28t
=-(t-35)2+490.
∴S=,
当0<t≤40时,S随t的增大而增大,当t=40时,最大值为480.当40<t≤50时,S随t的增大而增大,当t=40时,最大值为480.综上所述,S的最大值为480;
(3)存在2个点P,使得∠DPO=∠DON.
(如图④)作ON的垂直平分线,交EF于点I,连接OI,IN.过点N作NG⊥OD,NH⊥EF,垂足分别为G,H.
当t=30时,DN=OD=30,易知△DNG∽△DAO,
∴NG=24,DG=18.
∵EF垂直平分OD,
∴OE=ED=15,EG=NH=3,
设OI=R,EI=x,则
在Rt△OEI中,有R2=152+x2……①,
在Rt△NIH中,有R2=32+(24-x)2……②,
由①,②可得:,
∴PE=PI+IE=.
根据对称性可得,在BD下方还存在一个点P′也满足条件,∴存在两个点P,到OD的距离都是.
考点:相似性综合题.
9.在正方形ABCD中,AC是一条对角线,点E是边BC上的一点(不与点C重合),连接AE,将△ABE沿BC方向平移,使点B与点C重合,得到△DCF,过点E作EG⊥AC于点G,连接DG,FG.
(1)如图,①依题意补全图;②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系,并证明;
(2)已知正方形的边长为6,当∠AGD=60°时,求BE的长.
BE
【答案】(1)①见解析,②FG=DG,FG⊥DG,见解析;(2)3
【解析】
【分析】
(1)①补全图形即可,
②连接BG,由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG=GF,由正方形的对称性质得出BG=DG,得出FG=DG,在证出∠DGF=90°,得出FG⊥DG即可,(2)过点D作DH⊥AC,交AC于点H.由等腰直角三角形的性质得出DH=AH=2FG=DG=2GH=6,得出DF2DG=3Rt△DCF中,由勾股定理得出CF=3
得出结果.
【详解】
解:(1)①补全图形如图1所示,
②FG=DG,FG⊥DG,理由如下,
连接BG,如图2所示,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=45°,
∵EG⊥AC,
∴∠EGC =90°,
∴△CEG 是等腰直角三角形,EG =GC , ∴∠GEC =∠GCE =45°, ∴∠BEG =∠GCF =135°, 由平移的性质得:BE =CF ,
在△BEG 和△GCF 中,BE CF BEG GCF EG CG =??
∠=∠??=?
,
∴△BEG ≌△GCF (SAS ), ∴BG =GF ,
∵G 在正方形ABCD 对角线上, ∴BG =DG , ∴FG =DG ,
∵∠CGF =∠BGE ,∠BGE+∠AGB =90°, ∴∠CGF+∠AGB =90°, ∴∠AGD+∠CGF =90°, ∴∠DGF =90°, ∴FG ⊥DG.
(2)过点D 作DH ⊥AC ,交AC 于点H .如图3所示, 在Rt △ADG 中, ∵∠DAC =45°, ∴DH =AH =2
在Rt △DHG 中,∵∠AGD =60°, ∴GH 3
323
6,
∴DG =2GH =6, ∴DF 2DG =3 在Rt △DCF 中,CF ()
2
2436-3
∴BE =CF =3.
【点睛】
本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识;本题综合性强,证明三角形全等是解题的关键.
10.如图,公路AB为东西走向,在点A北偏东36.5?方向上,距离5千米处是村庄M,在点A北偏东53.5?方向上,距离10千米处是村庄N;要在公路AB旁修建一个土特产收购站P(取点P在AB上),使得M,N两村庄到P站的距离之和最短,请在图中作出P的位置(不写作法)并计算:
(1)M,N两村庄之间的距离;
(2)P到M、N距离之和的最小值.(参考数据:sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.75计算结果保留根号.)
【答案】(1) M,N29千米;(2) 村庄M、N到P站的最短距离和是5
【解析】
【分析】
(1)作N关于AB的对称点N'与AB交于E,连结MN’与AB交于P,则P为土特产收购站的位置.求出DN,DM,利用勾股定理即可解决问题.
(2)由题意可知,M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长.
【详解】
解:作N关于AB的对称点N'与AB交于E,连结MN’与AB交于P,则P为土特产收购站的位置.
培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
人教数学锐角三角函数的专项培优易错试卷练习题附答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(6分)某海域有A ,B 两个港口,B 港口在A 港口北偏西30°方向上,距A 港口60海里,有一艘船从A 港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处,求该船与B 港口之间的距离即CB 的长(结果保留根号). 【答案】. 【解析】 试题分析:作AD ⊥BC 于D ,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据 正切的定义求出CD 的长,得到答案. 试题解析:作AD ⊥BC 于D ,∵∠EAB=30°,AE ∥BF ,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD= ,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°, ∴∠C=60°,在Rt △ACD 中,∠C=60°,AD=,则tanC= ,∴CD= =, ∴BC= .故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里. 考点:解直角三角形的应用-方向角问题. 2.如图(9)所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架AB 和CD (均与水平面垂直),再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高,公司规定:AD 与水平面夹角为1θ,且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ,并已知1tan 1.082θ=, 2tan 0.412θ=.如果安装工人确定支架AB 高为25cm ,求支架CD 的高(结果精确到
1cm)? 【答案】 【解析】 于F,根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值,又可证过A作AF CD 四边形ABCE为平行四边形,故有EC=AB=25cm,再再根据DC=DE+EC进行解答即可. 3.如图,将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中∠BAC=45°,∠ACD=30°,点E为CD边上的中点,连接AE,将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E,D′E交AC于F 点.若AB=6cm. (1)AE的长为 cm; (2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小,并求出这个最小值; (3)求点D′到BC的距离. 【答案】(1);(2)12cm;(3)cm. 【解析】 试题分析:(1)首先利用勾股定理得出AC的长,进而求出CD的长,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案: ∵∠BAC=45°,∠B=90°,∴AB=BC=6cm,∴AC=12cm.
培优锐角三角函数之欧阳光明创编
锐角三角函数 欧阳光明(2021.03.07) 题型:锐角三角函数基本概念(1) 例:已知α为锐角,下列结论: (1)sin α+cos α=1;(2)若α>45°,则sin α>cos α;(3)若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有()A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式: 1、下列各式中,不正确的是() A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-,那么∠A 的取值范围是() A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3.α是锐角,若sin α=cos150,则α= 4。若sin53018\=0.8018,则cos36042\= 题型:锐角三角函数基本概念(2) 例:已知 sin α·cos α=81,且45°<α<90°,则COS α-sin α的值为() A.23B.2 3- C.43D.23± 变式: 1、已知△ABC 中,∠C=90°,下列各式中正确的是()
A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ,则m,n 的关系式() A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型:求三角函数值 例:如图,菱形的边长为5,AC 、BD 相交于点O , AC=6,若a ABD =∠,则下列式子正确的是() A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式:1、设0°<α<45°,sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1,0°<α<180°,则tan α的值是( )43B.43- C.34D.34- 3、如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 的中点,E 为AB 上一点,且BE=3AE ,求sin ∠ECM 。 4、如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 边上的点,AE BC =,DF AE ⊥,垂足为F ,连接DE 。 (1)求证:ABE △DFA ≌△;(2)如果10AD AB =,=6,求sin EDF ∠的值。 题型:三角函数值的计算(1) 例:计算:000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式:1、计算: 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算:0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型:三角函数值的计算(2)
培优锐角三角函数
锐角三角函数 题型:锐角三角函数基本概念(1) 例:已知α为锐角,下列结论: (1)sin α+cos α=1;(2)若α>45°,则sin α>cos α;(3)若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有( )A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式: 1、下列各式中,不正确的是( ) A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-,那么∠A 的取值范围是( ) °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3.α是锐角,若sin α=cos150,则α= 4。若sin53018\=,则cos36042\= 题型:锐角三角函数基本概念(2) 例:已知sin α·cos α= 8 1 ,且45°<α<90°,则COS α-sin α的值为( ) A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式: 1、已知△ABC 中,∠C=90°,下列各式中正确的是( ) A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ,则m,n 的关系式( ) A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型:求三角函数值 例:如图,菱形的边长为5,AC 、BD 相交于点O ,AC=6,若a ABD =∠,则 下列式子正确的是( ) A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式:1、设0°<α<45°,sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51,0°<α<180°,则tan α的值是( )43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 的中点,E 为AB 上一点,且BE=3AE ,求sin ∠ECM 。
锐角三角函数专题
如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( )