2020年高考数学(理)金榜冲刺卷(一)含答案

2020年高考金榜冲刺卷（一）
数学（理）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的． 1．复数
2
1i
+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+
B ．1i -
C ．1i +
D ．i 1--
2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}
2
|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）
A ．{}1,2,3
B ．{}2,3
C ．{}1,2
D ．{}2
3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
4．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11443,24a b a b ==-==，则2
2
a b =（ ） A ．-1
B ．1
C ．-4
D ．4
5．如图所示的程序框图，该算法的功能是( )
A ．计算012(12)(22)(32)++++++L (12)n
n +++的值 B ．计算1
2
3
(12)(22)(32)++++++L (2)n
n ++的值
C ．计算(123+++L )n +012(222++++L 1
2)n -+的值
D ．计算[123+++L (1)]n +-012(222++++L 2)n
+的值
6．已知ABC V 是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()
PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r
的最小值是（ ）
A ．22a -
B ．2
32
a -
C ．243
a -
D ．2a -
7．已知函数()2
2
2cos sin 2f x x x =-+，则( ) A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4
8．已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[0,)+∞上是增函数.若2(log 5.1)a g =-，0.8
(2)b g =，(3)c g =，
则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；
④截面面积最大值为
A ．①②
B ．①③
C ．①②④
D ．①③④
10．已知数列{}n a 的通项公式2
1021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若>n m ，则n m S S -的最大值是（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
11．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点A 在椭圆上，且
160AOF ∠=︒，'A 与A 关于原点O 对称，且22·'0F A F A =u u u u v u u u u v
，则椭圆离心率为（ ）
A 1
B C D ．4-
12．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(,1]e -∞- B ．2
(,2]e -∞-
C ．(,2]-∞-
D ．(,3]-∞-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若双曲线2
2
1y x k
-=的焦点到渐近线的距离为，则实数k 的值为__________.
14．若函数sin ()cos a x f x x
-=
在区间ππ
(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是．
15．据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 的A 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，则从现在起经过小时该码头将受到热带风暴影响.
16．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为1
3
-，当三棱锥
A BCD -的体积的最大值为
4
____________. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知ABC ∆内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2A B ++=， （1）求角C ；
（2）求ABC ∆面积的最大值．
18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC =2PA =，
E 是PC 上的一点，2PE EC =．
（1）证明PC ⊥平面BED ；
（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小.
19．（12分）已知抛物线2
2y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．
（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；
（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．
20．（12分）有人收集了10年中某城市的居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据：
且已知
10
1
380.0i
i x
==∑
（1）求第10年的年收入10x ；
（2）若该城市该城市居民收入与该种商品的销售额之间满足线性回归方程363
ˆˆ254
y
x a
=+， ①求第10年的销售额10y ；
②如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）
附：（1）在线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中，1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nx
y
b a
y b x x
nx ==-==--∑∑. （2）
10
2
2
1
10254.0i
i x
x =-=∑，9
1
125875.0i i i x y ==∑，9
1
340.0i i y ==∑.
21．（12分）设函数()e cos ,()x
f x x
g x =为()f x 的导函数.
（1）求()f x 的单调区间； （2）当,42x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭
…；
（3）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,24
2m m π
ππ⎛⎫
+
+
⎪⎝
⎭
内的零点，其中n N ∈， 证明:200
22sin cos n n n x x e x π
π
π-+-<-.
(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）
A 为椭圆1C ：22
1424
x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的
极坐标方程为2
10cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点. （1）写出1C 参数方程和2C 普通方程； （2）求AB 最大值和最小值. 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈. （1）解不等式()()f x g x a <+；
（2）任意x ∈R ，2
()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1． C 2． D.3． C.4． B.5． C ．6． B.7． B.8． C ．9． D.10． B.11． A.12． D ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 8. 14． [2,)+∞ 15． 15 16． 6π
提示：如图，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O
则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠,点A 在截面圆1O 上运动，点D 在截面圆2O 上运动，由图知，当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时ABC ∆与BDC ∆是等边三角形,
设BC a =，则AM DM ==
，2
BCD S ∆=.
sin()3h AM AMD a π=-∠=
,313124
A BCD DBC V S h -∆=⋅==
解得a =
32DM =
,21DO =，21
2
O M =，设2AMD θ∠=
则2
1cos 22cos 13θθ=-=-
,解得tan θ=∴22tan 2
OO O M θ==,球O 的半径
2
R ==
,所求外接球的表面积为246S R ππ==.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．
（1）()()112tanA tanB ++=Q ,1tanA tanB tanA tanB ∴+=-⋅，
()11tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +∴=-+=-
=--，()3C 0,4
C π
π∈∴=Q .
（2）ABC ∆的外接圆为单位圆，∴其半径1R =
，由正弦定理可得2c RsinC ==
2222c a b abcosC =+-
，代入数据可得222a b =+
(22ab ab ≥=，当且仅当a=b
时，“=”成立
,ab ∴≤
，ABC V ∴
的面积11222S absinC =≤=， ABC ∆
面积的最大值为
1
2
. 18．
（1）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，
设)
,0D
b ，
则()
0C ，，()002P ，，
，
233E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，)
0B b -，
，∴()
2PC =-u u u r ，
，2 ,33BE b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r
，2 33DE b ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，∴44 033
PC BE ⋅=-=u u u r u u u r ，0PC DE ⋅=u u u r u u u r ，∴PC BE ⊥，PC DE ⊥，BE DE E ⋂=，
∴PC ⊥平面BED .
（2）
() 002AP =u u u r
，，
，)
,0AB b =-u u u r ，设平面PAB 的法向量为() ,,x y z m =u r ，
则20
m AP z m AB by ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u v
v ，
取()
b m =u r ，设平面PBC 的法向量为() ,,p n q r =r
，则202
023n PC r n BE p bq r ⎧⋅=-=⎪
⎨⋅=++=⎪⎩
u u u v v u u u v v ，
取 1,b n ⎛=- ⎝r ，∵平面PAB ⊥平面PBC ，∴ 2
0m n b b =-=⋅u r r
，故b =
∴( 1,n =-r
，()
DP =u u u r ，∴1cos ,2
n DP DP n n DP ⋅==⋅r u u u r
u u u r r r u u u r ，
设PD 与平面PBC 所成角为θ，02⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，πθ，则1sin 2θ=，∴30θ=︒， ∴PD 与平面PBC 所成角的大小为30°.
19．
（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y x =①，2
222y x =②．
①－②，得 ()()()1212122y y y y x x -+=- ．
又因为()1,1P 是线段AB 的中点，所以122y y +=,所以，2112121
2
=1y y k x x y y -==-+．
又直线AB 过()1,1P ，所以直线AB 的方程为y x =.
（2）依题设(),M M M x y ，直线AB 的方程为()111y k x -=-，即111y k x k =+-， 亦即12y k x k =+，代入抛物线方程并化简得 ()22
2
1122220k x k k x k +-+=．
所以，12121222112222k k k k x x k k --+=-=,于是，12
21
1M k k x k -=，1212122
1111M M k k y k x k k k k k -=⋅+=⋅+=． 同理，1222
1N k k x k -=
，21N y k =．易知120k k ≠，所以直线MN 的斜率21211M N M N y y k k k x x k k -==--． 故直线MN 的方程为211221211111k k k k y x k k k k ⎛⎫--
=- ⎪-⎝⎭
，即21
2111k k y x k k =+-．此时直线过定点()0,1． 故直线MN 恒过定点()0,1． 20． （1）依题意
10
1
380.0i
i x
==∑，
则10323133363738394345380x +++++++++=，解得1046x =.
（2）①由居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程$y =
363
254
x a +知
363
254
b =
，即10
110
2
21
10363
254
10i i
i i i x y x y
b x x
==-==
-∑∑，即10
103401287546103836310254
254
y y ++-⋅⋅
=， 解之得：1051y =.
②易得38x =，39.1y =，代入$363254y x a =+得：363
39.138254
a =⨯+， 解得15.21a ≈-，所以$36315.21254y x =-，当40x =时，363
4015.2141.96254
y =⨯-≈
故若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是41.96万元.
21．
(1)由已知，有()()'e cos sin x
f x x x =-.
当()52,24
4x k k k Z π
πππ⎛
⎫
∈+
+
∈ ⎪⎝
⎭
时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛
⎫∈-+∈ ⎪⎝
⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增.
所以，()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛
⎫
-
+∈ ⎪⎝
⎭， ()f x 的单调递减区间为()52,24
4k k k Z π
πππ⎛⎫
+
+
∈ ⎪⎝
⎭
. (2)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫
-=
⎝+⎪⎭
.依题意及(1)有：()()cos sin x g x e x x =-， 从而'()2sin x
g x e x =-.当,42x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫
=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…
. 所以，当,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭
….
(3)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n x
n x =.记2n n y x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
. 且()e cos n y
n n f y y ==()()22e
cos 2e n x n n n x n n N π
ππ---∈=.由()()20e 1n n f y f y π-==„及(Ⅰ)得
0n y y ….由(2)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上为减函数，
因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪
⎝⎭„.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
…，故： ()()()2e 2n n n n n f y y g y g y ππ
---=-„()()022200000
sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ
---=<--„. 所以200
e 22sin cos n n n x x x ππ
π-+--<.
(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．
（1）由题意可得1C
的参数方程为：2cos ,
,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩
（α为参数），
又∵2
10cos 240ρρθ-+=，且2
2
2
x y ρ=+，cos x ρθ=，
∴2C 的普通方程为2
2
10240x y x +-+=，即()2
251x y -+=.
（2）由（1
）得，设()
2cos A αα，圆2C 的圆心()5,0M ， 则
||
AM =
==[]cos 1,1α∈-
，∴当1cos 2α=-时，max ||AM =
当cos 1α=时，min ||3AM =
.当1
cos 2
α=-
时，max max ||||11AB AM =+=； 当cos 1α=时，min min ||||12AB AM =-=. 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
（1）不等式()()f x g x a <+即24x x -<+，
两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-，所以原不等式的解集为()1,-+∞.
（2）不等式()()2f x g x a +>可化为2
24a a x x -<-++， 又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<， 所以a 的取值范围为()2,3-.。