人教A版高中数学必修五课件《正弦定理》.ppt
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高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.1.1正弦定理3
所以 cos B＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝
2－ 4
6，
b＝cssiinnCB＝ 2ssinin4150°5°＝2sin 105°＝2sin(45°＋60°)
＝
6＋ 2
2 .
解析：选 C.由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C，又coas A＝cobs B
＝cocs C，得csions AA＝csions BB＝csions CC，即 tan A＝tan B＝tan C，
所以 A＝B＝C，即△ABC 为等边三角形．
2．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 c
C．2<x<2 2
D．2<x<2 3
解析：选 C.由 asin B<b<a，得 22x<2<x，所以 2<x<2 2.
判断三角形的形状
已知在△ABC 中，角 A，B 所对的边分别是 a 和 b，若
acos B＝bcos A，则△ABC 一定是( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【解析】 由正弦定理得：acos B＝bcos A⇒sin Acos B＝sin Bcos A⇒sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有 A－B ＝0，A＝B，即△ABC 为等腰三角形． 【答案】 A
1．若把本例条件变为“bsin B＝csin C”，试判断△ABC 的形 状． 解：由 bsin B＝csin C 可得 sin2B＝sin2C，因为三角形内角和 为 180°， 所以 sin B＝sin C．所以 B＝C.故△ABC 为等腰三角形．
3．正弦定理的变形
若 R 为△ABC 外接圆的半径，则
高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53
45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
人教A版必修5第1章《正弦定理和余弦定理》ppt导学课件
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 4、 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c ＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b， c. 【解析】本题考查正弦定理.（1）利用正 弦定理边化角结合两角和差公式化简求 解； （2）利用三角形面积公式及余弦定理 求解. 【答案】 (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝ 0 及正弦定理得
．
【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理， 需要考虑大边对大角，三个内角的和不能得 sin B＝ 2， 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B，根据大 ∵a>b，∴∠A>∠B. 边对大角，故∠B ＝30°，勾股定理求得 ∴∠B 只有一解．∴∠B＝45°. c. 【答案】45°.
人教（A）数学 · 必修5 对点助学PPT
【知识目标】
1、理解正弦定理和余弦定理公 式的推导过程；
正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1、会根据正弦定理和余弦定理 解三角形（知三求一） ； 2、会利用正弦定理和余弦定理 进行边角的相互转化2 3， b＝6，
B＝60°或 120°.
a
sin A
＝
＝ ＝2R sin B sin C
b
c
(R 为△ABC 的外接圆半径)．
统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a ＝ b sin A sin B 之间的关系式． 3 1 1 可得 ＝ ，∴sin B＝ ， sin 60° sin B 2
【对点巩固】
故∠B＝30°或 150°.由 a>b，
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 4、 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c ＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b， c. 【解析】本题考查正弦定理.（1）利用正 弦定理边化角结合两角和差公式化简求 解； （2）利用三角形面积公式及余弦定理 求解. 【答案】 (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝ 0 及正弦定理得
．
【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理， 需要考虑大边对大角，三个内角的和不能得 sin B＝ 2， 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B，根据大 ∵a>b，∴∠A>∠B. 边对大角，故∠B ＝30°，勾股定理求得 ∴∠B 只有一解．∴∠B＝45°. c. 【答案】45°.
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【知识目标】
1、理解正弦定理和余弦定理公 式的推导过程；
正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1、会根据正弦定理和余弦定理 解三角形（知三求一） ； 2、会利用正弦定理和余弦定理 进行边角的相互转化2 3， b＝6，
B＝60°或 120°.
a
sin A
＝
＝ ＝2R sin B sin C
b
c
(R 为△ABC 的外接圆半径)．
统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a ＝ b sin A sin B 之间的关系式． 3 1 1 可得 ＝ ，∴sin B＝ ， sin 60° sin B 2
【对点巩固】
故∠B＝30°或 150°.由 a>b，
正弦定理(53张PPT)
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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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第一章 1.1 1.1.1
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典例导悟
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变式训练1
(1)一个三角形的两内角分别为45° 与60° ，
如果45° 角所对的边长是6，那么60° 角所对的边的边长为 ( ) A．3 6 C．3 3 B．3 2 D．2 6
1 (2)在△ABC中，若tanA＝ 3 ，C＝150° ，BC＝1，则AB ＝________.
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第一章 1.1 1.1.1
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(3)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30° <90° 又∵bsinA＝6sin30° ＝3，a>bsinA ∴本题有两解． 由正弦定理得： bsinA 6sin30° 3 sinB＝ a ＝ ＝ 2 ，B＝60° 或120° ， 2 3 asinC 2 3sin90° 当B＝60° 时，C＝90° ，c＝ sinA ＝ sin30° ＝4 3； 当B＝120° 时，C＝30° ，
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第一章 1.1 1.1.1
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[点评]
依据条件中的边角关系判断三角形的形状
时，主要有以下两种途径： (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因 式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形 状；
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高中数学人教A版_正弦定理(15张PPT)
结论
LsinA=s nB= sin C
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦的比相 等
正弦定理
以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事 实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方 法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方 法吗?
利用三角形的高证明正弦定理(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角 函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
6.4平面向量的应用 6.4.3第二讲正弦定理
(1)在△ABC 中，若A=30°,B=45° ,AC=4, 你还能直接运用余弦定理求出边BC吗?[提示] 不能。(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么?
因此我们由那视频可以得出：
B
C
定理推导
又因为sin C=sin 90°=1
同理，过点C 作与CB垂直的单位向量m, 可
【提示】 成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝 角。过点A作与AC 垂直的单位向量j,则j与AB 的夹角为A; 与CB 的 夹角为 C.仿照上述方法，同样可得：
在钝角三角形中的这个边角关系成立吗?
条件
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角 ,j 与CB的 夹 角
也即asin C=csin A,即因
因为AC+CB=AB, 所以 j·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB,
利用向量法证明正弦定理
4, 请你用正弦定理来求出
练一练
B
在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。
LsinA=s nB= sin C
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦的比相 等
正弦定理
以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事 实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方 法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方 法吗?
利用三角形的高证明正弦定理(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角 函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
6.4平面向量的应用 6.4.3第二讲正弦定理
(1)在△ABC 中，若A=30°,B=45° ,AC=4, 你还能直接运用余弦定理求出边BC吗?[提示] 不能。(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么?
因此我们由那视频可以得出：
B
C
定理推导
又因为sin C=sin 90°=1
同理，过点C 作与CB垂直的单位向量m, 可
【提示】 成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝 角。过点A作与AC 垂直的单位向量j,则j与AB 的夹角为A; 与CB 的 夹角为 C.仿照上述方法，同样可得：
在钝角三角形中的这个边角关系成立吗?
条件
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角 ,j 与CB的 夹 角
也即asin C=csin A,即因
因为AC+CB=AB, 所以 j·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB,
利用向量法证明正弦定理
4, 请你用正弦定理来求出
练一练
B
在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。
高中数学人教A版必修正弦定理PPT精品课件
由c sin C
=
a sin A
得
c 16
=
5 12
，解得c=
4 3
65 13
证明：作外接圆O，过B作直径BC’，
连接AC’
∵ BAC 90, C C '
sin C sin C ' c
c
2R
c 2R
A
sin C
B
a
O
C
b
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
C’
a b c 2R sin A sin B sin C
解析: asinA=bsinB(边角混合式）
方法1：都化为边
把sinA= a , sin B b 代入上式，得
2R
2R
a a =b b 2R 2R
[例 3] 在△ABC 中，acosπ2－A＝bcosπ2－B，判断△ABC 的形状．
解析: asinA=bsinB(边角混合式）
方法2：都化为角 把a=2R sin A，b=2R sin B代入上式，得 2R sin2 A=2R sin2 B
a sin A sin A
sin A
=2 cos A=2 3 = 3 42
例4.三角形ABC中 （3）b=2asinB，则A=______.
2R sin B=2 2RsinAsinB 1=2sinA sin A= 1 A=300 或1500
2
下课了!
Байду номын сангаас
正 弦定 理
第二课时
正弦定理: a b c
sin A sin B sin C 已知两角及一边解三角形
例1.在ABC中，a=8，B=600，C=750，求c边。
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例(新教材)PPT课件(人教版)
有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版
答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
人教A版必修五 1.1.1 正弦定理ppt课件
栏 目 链 接
题型1
已知两角及一边解三角形
例1 在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，a＝2，解 三角形．
a b 解析：由正弦定理可知： ＝ ，即 sin A sin B 2 b ＝ ，∴b＝2 2. sin 30° sin 45° 又C＝180° －30° －45° ＝105° ，由正弦定理有： 2 c ＝ ， sin 30° sin 105° 即c＝4sin (60° ＋45° )＝ 6＋ 2.
解析：由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180° 知，B＝60° ，由 栏 目 链 1 3 1 正弦定理知， ＝ ，即sin A＝ ，由a＜b知，A＜ 接 sin A sin 60° 2 B＝60° ，则A＝30° ，C＝180° －A－B＝180° －30° －60° ＝ 90° ，sin C＝sin 90° ＝1. 答案：1
a b c 解析：设正弦定理 ＝ ＝ ＝k，又因 sin A sin B sin C a c sin A＝sin C，故 ＝ ，∴a＝c. k k 答案：B
)
栏 目 链 接
自测 自评
2．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c＝ 2，b＝ 6，B＝120° ，则 a 等于( ) A. 6 B．2 C. 3 D. 2
解析：设a＝2k，因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以a＝ 2k，b＝3k，c＝4k，所以(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝ 5k∶7k∶6k＝5∶7∶6. 答案：5∶7∶6
6．(1)三角形中任意两边和______第三边． (2)三角形ABC中，三边长度分别为3、4、x，则x的范围是 __________． 答案：(1)大于 (2)解析：由3＋4＞x,4＋x＞3，x＋3＞4，可知1＜x＜7. 答案：1<x<7
人教A版高中数学必修5《第六节 正弦定理和余弦定理》示范课课件_23
(2013·新课标全国Ⅱ，17)在△ABC中，角A，B，C的对边 分别为a，b，c,已知 bcosC＋csinB＝a
(1)求B； (2)若b=2,求△ABC面积的最大值。
(2014·新课标全国Ⅱ，4)钝角三角形ABC的面积是1/2， AB＝1，BC＝ √2，则AC＝( )
A．5 B. C．2 D．1
(2015·新课标全国Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的点，AD 平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求sinB/sinC； (2)若AD＝1，DC＝√2/2，求BD和AC的长．
(2016.新课标全国Ⅱ.13)△ABC的内角A、B、C的对边分别 为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1, 则b=________
(2)在△ABC中，若(a＋b＋c)(a－b＋c) ＝ac，则角B＝________．
跟踪练习:
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c，已知b cosC＋c cosB＝2b，则a / b ＝
________．
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c，已知a2+b2=2c2,则cosC的最小值为
常见求解问题
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形；
考点二：利用正弦、余弦定理判断三角形 的形状；
考点三：与三角形面积有关的问题.
Part 3 典例剖析 考点突破
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形
例1.(1)(2016.新课标.13)△ABC的内角A、 B、C的对边分别为a,b,c,若 cosA=4/5,cosC=5/13, a=1, 则b=________
平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求sinB/sinC； (2)若AD＝1，DC＝√2/2，求BD和AC的长．
(1)求B； (2)若b=2,求△ABC面积的最大值。
(2014·新课标全国Ⅱ，4)钝角三角形ABC的面积是1/2， AB＝1，BC＝ √2，则AC＝( )
A．5 B. C．2 D．1
(2015·新课标全国Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的点，AD 平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求sinB/sinC； (2)若AD＝1，DC＝√2/2，求BD和AC的长．
(2016.新课标全国Ⅱ.13)△ABC的内角A、B、C的对边分别 为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1, 则b=________
(2)在△ABC中，若(a＋b＋c)(a－b＋c) ＝ac，则角B＝________．
跟踪练习:
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c，已知b cosC＋c cosB＝2b，则a / b ＝
________．
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c，已知a2+b2=2c2,则cosC的最小值为
常见求解问题
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形；
考点二：利用正弦、余弦定理判断三角形 的形状；
考点三：与三角形面积有关的问题.
Part 3 典例剖析 考点突破
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形
例1.(1)(2016.新课标.13)△ABC的内角A、 B、C的对边分别为a,b,c,若 cosA=4/5,cosC=5/13, a=1, 则b=________
平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求sinB/sinC； (2)若AD＝1，DC＝√2/2，求BD和AC的长．
人教版数学必修五：11正弦定理和余弦定理PPT
C．60°
D．60°或 120°
[答案] D [解析] 由正弦定理，得sianA＝sibnB， ∴sinB＝bsainA＝4 3×4sin30°＝ 23， 又∵b>a，∴B>A，∴B＝60°或 120°.
三角形形状的判断
的形状．
在△ABC 中，已知ac2osisnBB＝bc2osisnAA，试判断△ABC
第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理
1.任意三角形的内角和为________；三条边满足：两边之 和________第三边，两边之差________第三边，并且大边对 ________，小边对________．
2．直角三角形的三边长a，b，c(斜边)满足________定 理，即________．
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理第三角可求，已 知一边可由正弦定理求其它两边．
[方法总结] (1)已知任意两角和一边，解三角形的步骤： ①由三角形内角和定理求出第三个角； ②由正弦定理公式的变形，求另外的两边． (2)注意事项： 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以 上步骤求解．
[分析] 由正弦定理，得 a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入已 知等式，利用三角恒等变换，得出角之间的关系，进而判断△ ABC 的形状．
[方法总结] 利用正弦定理判断三角形形状的方法： (1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为 角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确 定三角形的形状． (2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角 为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝ c2)，进而确定三角形的形状．
外接圆的半径 R.
[解析] 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1.
人教版A版高中数学必修5：正弦定理_课件25
2R 形 sinC＝ c ；
2R
cosB＝ 2bc
；
2R
a2＋c2－b2
形 (其中R是△ABC外接圆半径) cosC 2ac
式 ③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC ＝
④asinB＝bsinA，bsinC＝
a2＋b2－c2 2ab .
csinB，asinC＝csinA.
定理
正弦定理
余弦定理
①已知两角和任一边，求 ①已知三边，求各
b，c，若ccooss AB＝ab，则△ABC 一定是
()
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析：法一：由正弦定理得ccooss AB＝ab＝ssiinn BA， ∴sin Acos B＝cos Asin B， 即sin(A－B)＝0，可得A－B＝0，∴A＝B. 法二：由余弦定理将角化为边，可得a＝b.
注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约 去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
[精析考题]
[例3] (2011·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别
为a，b，c.已知cos
A－2cos cos B
C＝2c－b a.
(1)求ssiinn CA的值；
(2)若cos B＝14，b＝2，求△ABC的面积S.
解决 另一角和其他两条边； 角；
的问 ②已知两边和其中一边的 ②已知两边和它们
题 对角，求另一边和其他两 的夹角，求第三边
角.
和其他两个角.
二、三角形常用面积公式 1.S＝12a·ha(ha表示边a上的高)； 2.S＝12absin C＝12acsin B ＝ 12bcsin A ； 3.S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
人教A版数学必修五1.1.1 正弦定理 课件 (共24张PPT)
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角
② 已知两角和一边，求其他角和边
剖析定理、加深理解
正弦定理：sinaAsinbBsincC
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形
剖析定理、加深理解
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边
和另一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三
角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、
无解）
课后探究（: 1）你还可以用其它方法证明 正弦定理吗？
（2）
a b c k sinA sinB sinC
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有
关的量来表示吗?
在钝角三角形中
B
j
设A 900 过点A作与AC垂直的单位向量 j, 则j与AB的夹角为 A90
j与CB的夹角为 90C
A
C
剖析定理、加深理解
正弦定理：sinaAsinbBsincC
1、A+B+C=π 2、大角对大边，大边对大角
剖析定理、加深理解
正弦定理：sinaAsinbBsincC
3、正弦定理可以解决三角形中的问题：
C
b a
D
Bc
A
正弦定理:
abc sinA sinB sinC
（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
在锐角三角形中 B
jc
a
② 已知两角和一边，求其他角和边
剖析定理、加深理解
正弦定理：sinaAsinbBsincC
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形
剖析定理、加深理解
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边
和另一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三
角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、
无解）
课后探究（: 1）你还可以用其它方法证明 正弦定理吗？
（2）
a b c k sinA sinB sinC
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有
关的量来表示吗?
在钝角三角形中
B
j
设A 900 过点A作与AC垂直的单位向量 j, 则j与AB的夹角为 A90
j与CB的夹角为 90C
A
C
剖析定理、加深理解
正弦定理：sinaAsinbBsincC
1、A+B+C=π 2、大角对大边，大边对大角
剖析定理、加深理解
正弦定理：sinaAsinbBsincC
3、正弦定理可以解决三角形中的问题：
C
b a
D
Bc
A
正弦定理:
abc sinA sinB sinC
（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
在锐角三角形中 B
jc
a
高中数学人教A版必修五.1正弦定理PPT课件
2
2 2
3
a
43 2
3
B 600 或1200
C
750 或150 c
a sinC
4 3 3
6 4
sin A
2
2 88 3 3
2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
在直角三角形中
A
c
b
B
a DC
高中数学人教A版必修五.1正弦定理PP T课件
在锐角三角形中
B
jc
a
A
b
C
证 明 ： 过 点A作 单 位 向 量j垂 直
于AC，
j与AC的
夹
角
为 90
，
j与CB的
夹
角
为 90
Байду номын сангаас
C
，
j与AB的 夹 角 为90A .
由向量加法的三角形法则
AC CB AB
两边同取与j的数量积, 得
2
2 2 32
2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
解 : a b
sin A sin B
sin B bsin A 2
B
a<bsinA a=bsinA
≥ bsinA<a<b a b
人教A版数学必修五.1正弦定理讲课PPT课件
人教A版数学必修五.1正弦定理讲课PP T课件
练习
在 ABC 中，已知 a 4 ,b 42 ,B 4，5
求 A。
探究课题引入时问题(2)的解决方法
B
c
A
b
C
AB= bsinβ sin(α+β)
变式拓展：
根据下列已知条件，分别判断有几组解？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ;
C
（2） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
D
A
得 到 a b
c
sinA sinB
同 理 , 作 A E B C .有 bc sin Bsin C
a b c sinA sinB sinC
人教A版数学必修五.1正弦定理讲课PP T课件
人教A版数学必修五.1正弦定理讲课PP T课件
当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
过点A作AD⊥BC，
1.问题的引入:
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高. 悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角 设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗 ?
B
A
我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.
sinA sinB
， A=30° . 已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
C
得
b sA in 13 6 s3 i n 03
sB i n
a
16 2
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ时 C=90° c32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
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小结
• 正弦定理 a b c sin A sin B sin C
• 主要应用
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边和 另一角；
(2) 已知两边和其中一边的对角，可以求出三角 形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解）
a b c sin A sin B
sinC 1
Ba C
abc sin A sin B sin C
思考:
对一般的三角形,这个结论还能成立吗?
(1)当ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
如图:作AB上的高是CD,根椐
C
三角形的定义,得到
aE
b
CD a sin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A
定理结构特征: 含三角形的三边及三内角,由己知二角一
边或二边一角可表示其它的边和角。
解三角形: 已知三角形的几个元素求其他元素的过程
定理的应用举例
例1 在ABC 已知A 32.0o , B 81.8o , a 42.9cm , 解三角形.
变式：若将a=42.9cm改为c=42.9cm，结果如何？ 通过例题你发现了什么一般性结论吗?
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1.1.1 正弦定理
知识回顾：
（1）最基本的边角关系：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
大边对大角，小边对小角。
（2）三角形内角和：A+B+C=180
（3）Rt△ABC中最基本三角函数：
a sin A c
b sin B c
B
c a
C
b
A
A
由直角三角形的边角关系可得：
c
b
a csin A b csin B 两等式间有联系吗？
得到 a b sin A sin B
B
D
A
c
同理,作AE BC.有 b c sin B sin C
a b c sin A sin B sin C
(2)当ABC是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C
b a
D
Bc
A
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sinC
小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。
例2 在 ABC 中，已知 a 20, b 28, A 40o， 解三角形。(角度精确到 1o ,边长精确到1cm)
C
ba a
A
B
B
小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出 三角形的其他的边和角。
基础练习题
书上第四页练习题 1、 2、