2012年中考数学复习精品课件：第19讲_等腰三角形

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7.在直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，1)，在x轴上确定一 点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有_____个. 【解析】如图，以O为圆心，OA为半径作圆 交x轴于E、B，E、B可以为P；以A为圆心， AO为半径作圆交x轴于C,则C可以为P；作OA 的中垂线交x轴于D.则D可以为P.所以符合条件的点P共4个. 答案：4
三、解答题(共46分) 10.(10分)(2010·聊城中考)如图，在 等边△ABC中，点D是BC边的中点，以 AD为边作等边△ADE. (1)求∠CAE的度数； (2)取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形. 【解析】(1)在等边△ABC中，∵点D是BC的中点， ∴∠DAC=30°， 又∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°， ∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=30°.
(A)40°
(B)100°
(C)40°或100°
(D)70°或50°
【解析】选C.40°若是底角，则顶角为180°-40°×2=100°,
40°为顶角亦满足题意.
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2.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为 AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为( )
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13．(12分)如图，等边三角形ABC边长为4，E是边BC上动点，
EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点
P，使PE=EB.设EC=x(0＜x≤2).
(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条
线段(不再另外添加辅助线)；
(2)Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是
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【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC. ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠ABE=∠CDF, ∴△ABE≌△CDF(ASA). (2)由△ABE≌△CDF,得AE=CF, 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC, ∴DE∥BF,DE=BF, ∴四边形EBFD是平行四边形. 若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形.
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8.如图,在等边△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且AD=CE,则 ∠BCD+∠CBE=_____度. 【解析】∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC， ∠A=∠ABC=∠ACB=60°. 又∵AD=CE,∴△ACD≌△CBE, ∴∠ACD=∠CBE, ∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠BCA=60°. 答案：60
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(2)由(1)知，EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD,∴
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12.(12分)(2010·乌鲁木齐中考)如图，在平行四边形ABCD中， BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F.
(1)求证：△ABE≌△CDF; (2)若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明 你的结论.
平行四边形时,求 EFPQ的面积(用含x的代数式表示)；
(3)当(2)中的 EFPQ面积最大时，以E为圆心，r为半径作圆，
根据⊙E
EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取
值范围.
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【解析】(１)BE、PE、BF三条线段中任选两条． (２)在Rt△CHE中， ∠CHE＝90°， ∠Ｃ＝60°，∴ＥH＝ x.3
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当⊙E与 四条边交点的总个数是４个时，
r＝ 3； 当⊙E与
四条边交点的总个数是６个时，
3＜r＜２； 当⊙E与 四条边交点的总个数是３个时，
r＝２；
当⊙E与 四条边交点的总个数是０个时，
r＞２．
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BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角
形有( )
(A)5个
(B)4个
(C)3个
(D)2个
【解析】选A.因为AB=AC，∠A=36°，所以
∠ABC=∠ACB=72°.
由BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，可得
∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE=36°,
所以△ABC、△BCD、△ABD、△BCE、△DCE都为等腰三角形.
【解析】选B.∵∠B=60°, ∴∠BAP+∠APB=120°. ∵∠APD=60°,∴∠CPD+∠APB=120°, ∴∠BAP=∠DPC,∴△ABP∽△PCD,
∵AB=3,BP=1,PC=2,∴CD2= .
3
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3.(2010·宁波中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
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一、选择题(每小题6分，共30分)
1.(2010·东阳中考)已知等腰三角形的一个内角为40°，则
这个等腰三角形的顶角为( )
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【解析】第1次折叠，即图2的一条腰长是 2，第2次折叠，
2
即图3的一条腰长是( 2)2，第3次折叠，即图4的一条腰长是
2
( )23，以此类推，第n次折叠后的等腰直角三角形的一条腰
2
长是( )2n.
2
答案：
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11.(12分)如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝ AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF. (1)求证：EF∥BC; (2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
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【解析】(1)∵CF平分∠ACB, ∴∠1=∠2. 又∵DC=AC, ∴CF是△ACD的中线， ∴点F是AD的中点. ∵点E是AB的中点， ∴EF∥BD,即EF∥BC.
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9.(2010·广安中考)小敏将一张直角边为1的等腰直角三角形 纸片(如图1)，沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三 角形(如图2)，再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠 后得到一个等腰直角三角形(如图3)，则图3中的等腰直角三 角形的一条腰长为_____；同上操作，若小敏连续将图1的等 腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形(如图n+1) 的一条腰长为_____.
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二、填空题(每小题6分，共24分) 6.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB=AC-BD,则 ∠B∶∠C的值是_____. 【解析】延长AB至E, 使AE=AC,连结DE, ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. ∵AD=AD,∴△AED≌△ACD,∴∠E=∠C. ∵AB=AC-BD,∴AB=AE-BD=AB+BE-BD. ∴BE=BD,∴∠E=∠BDE,∴∠ABC=∠E+ ∠BDE=2∠E=2∠C.即∠ABC∶∠C=2∶1. 答案：2∶1
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2
∵PQ=EF=BE=4-x,
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∴当x＝２时， 有最大值．
此时E、F、P分别为△ABC三边BC、AB、AC的中点，且点C、
点Q重合.
∴平行四边形EFPQ是菱形．
过Ｅ点作ＥD⊥ＦＰ于D，
∴ＥD＝ＥH＝ 3．
∴当⊙E与
四条边交点的总个数是２个时，
０＜r＜ 3；
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5.如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的 规律，用2 008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是
()
(A)2 008 (B)2 009 (C)2 010 (D)2 011 【解析】选C.第一个四边形由两个三角形组成，周长为4；第 二个四边形由三个三角形组成，周长为5；第三个四边形由四 个三角形组成，周长为6；…第n个四边形的周长为n+3，所 以由2 008个三角形组成的四边形的周长为2 010.
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(2)由(1)知，∠EAF=90°，由F为AB的中点知∠CFA=90°, ∴CF∥EA，在等边△ABC中，CF=AD， 在等边△ADE中，AD=EA, ∴CF=EA，∴四边形AFCE是平行四边形， 又∵∠CFA=90°，所以四边形AFCE是矩形.
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4.(2010·临沂中考)如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边 三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为
()
【解析】选D.过点D作DF⊥CE于点F，在Rt△BDF中， DF=2 3 ,BF=6,所以BD=4 3 .
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