2012年中考数学复习精品课件：第19讲_等腰三角形
2012年中考数学一轮复习精品讲义 三角形
第七章三角形本章小结小结1 本章概述三角形是几何知识中的重要内容，也是几何学的基础．本章从三角形出发，先学习与三角形有关的线段和角再到多边形，其中包括三角形的内角和、外角和及多边形的内角和等知识，最后到多边形的实际应用．小结2 本章学习重难点【本章重点】了解三角形的有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)；会画出任意三角形的角平分线、中线和高．【本章难点】通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．【学习本章应注意的问题】正确理解三角形的有关概念，掌握有关性质．在学习中，要注意观察，搜集资料，多交流，注重新旧知识的联系，学会将新知识转化到已学的知识上去，再进行归纳、整理、分析，要深刻理解并掌握归纳、类比的方法．学习中，还要多注意结合图形，理解用多边形镶嵌图案的道理，欣赏丰富多彩的图案，体验数学美，提高审美情趣．小结3 中考透视本章知识在中考中所占比重较大，一方面以填空题、选择题形式出现，以考查对基本概念、基本定理的理解为主；另一方面以综合题形式出现，主要考查对知识的灵活运用及综合运用的能力，利用本章知识解决实际问题的题目也越来越多地出现在中考试题中，还有平面图形的镶嵌内容也是近年来的热点考题，备受关注．由于镶嵌问题具有较强的实用性，对知识的运用要求灵活性较高，所以要得到这类问题的分数也不是太容易的，分值占3～4分．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 三角形的三条重要线段【专题解读】三角形的中线、角平分线和高是三角形的三条重要线段，它们具有十分重要的性质，三角形的高构造了垂直的条件，三角形的中线隐含线段相等，通过三角形的中线可以把三角形的面积分成相等的两部分，三角形的角平分线提供了角相等的条件.掌握这些概念,对解与三角形有关的问题十分重要.例1 如图7-64所示,D为△ABC中AC边上一点,AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点,且△DEC的面积等于△ABC的面积的一半,求EB.分析已知△DEC的面积等于△ABC的面积的一半,在图形中, △DEC与△ABC既不同底也不等高,因此需寻找桥梁△AEC来建立二者之间的关系,因为△AEC既与△DEC等高也与△ABC等高.解:作EF⊥AC于F,则122132DECAECDC EFS DCS ACAC EF===,作CG⊥AB于点G,则12142AECABCAE CGS AE AES ABAB CG===,∴234DEC AECAEC ABCS S AES S=⨯,即6DECABCS AES=.又∵12DECABCSS=,∴162AE=,∴AE=3,∴BE=AB-AE=1,即BE的长为1.【解题策略】等高的两个三角形的面积比等于底边长的比,它是面积问题中常用的解题策略.专题2 多边形的内角和及外角和【专题解读】用三角形的内角和定理可以推出多边形的内角和定理及外角和定理,在推导的过程中体现了转化思想,在解有关多边形的问题时,如求多边形的内角、外角、边数及对角线等问题，这两个定理都很重要.例2 已知一个多边形的内角和与某个外角的度数的总和为1350°,求这个多边形的边数.分析应充分利用多边形每个外角在0°～180°间和等式的性质巧解此题.解:设这个多边形的这个外角为x,它的边数为n,则(n-2)·180°+x=1350°, ∴(n-2) ·180°=8×180°-(90°+x),由此可得90°+x是180°的倍数. ∵0°＜x＜180°,∴x=180°-90°=90°,∴(n-2) ·180°=7×180°,∴n=9.【解题策略】灵活运用多边形的内角和定理及外角和定理是解决此类问题的关键.二、规律方法专题专题3 用公式法解有关对角线的条数问题【专题解读】用n边形的对角线有(3)2n n-条来解决相关问题.例3 若一个多边形有77条对角线,求它的内角和.分析由(3)2n n-=77,求n.解:设这个多边形的边数为n,由题意,得(3)2n n-=77.解得n=14,即这个多边形是十四边形,十四边形的内角和为(14-2) ×180°=2160°,即内角和为2160°.【解题策略】根据对角线条数的公式(3)2n n -,即已知边数可求对角线的条数,反之已知对角线的条数,可求出边数.三、思想方法专题 专题4 转化思想 【专题解读】转化思想在本章中有很多的应用,主要体现在探索有关多边形的问题时经常转化为三角形的问题进行解决.例4 填表.分析 先由三角形的内角和为180°及外角和为360°逐一推广,将4,5,…,n 边形分割成若干个三角形,易得答案.解:填表如下.2011中考真题精选（2011陕西，12，3分）如图，AC ∥BD ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，若︒=∠641， 则=∠2 ．考点：平行线的性质。
中考数学一轮复习：第19课时等腰三角形课件
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4. (202X龙岩5月质检8题4分)三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，
则∠1＋∠2的度数为( B )
A. 90°
B. 120° C. 270°
D. 360°
第4题图
No
B. ∠AEF＝ 12∠ABC D. ∠AEB＝∠ACB
No
第1题图
第19课时 等腰三角形
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2. (202X莆田5月质检14题4分)如图，△ABC中，AB＝3 5 ，AC＝4 5 ，点F在
AC上，AE平分∠BAC，AE⊥BF于点E.若点D为BC中点，则DE的长为 5
____2____．
第2题图
例题图①
例题图②
No
第19课时 等腰三角形
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类型一 等腰三角形的判定及计算(202X.5)
1. (202X宁德5月质检10题4分)如图，已知等腰△ABC，AB＝BC，D是AC上一点，
线段BE与BA关于直线BD对称，射线CE交射线BD于点F，连接AE，AF.则下列关
系正确的是( B ) A. ∠AFE＋∠ABE＝180° C. ∠AEC＋∠ABC＝180°
第1题图
No
第19课时 等腰三角形
解：在△BAD和△CAD中，
AB＝AC
BD＝CD ，
AD＝AD
△BAD≌△CAD(SSS)．
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BDA＝∠CDA＝90°，AD⊥BC，
即AD是底边BC的高．
∴BC边上的中线、高以及∠BAC的平分线互相重合
No
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第19课时 等腰三角形
No
第19课时 等腰三角形
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类型二 等边三角形性质的相关计算(202X.5)
《等腰三角形》PPT课件(2024)
2024/1/26
1
目 录
2024/1/26
• 等腰三角形基本概念与性质 • 等腰三角形判定方法 • 等腰三角形面积计算 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关数学问题探讨 • 课堂小结与拓展延伸
2
01
等腰三角形基本概念与 性质
2024/1/26
3
定义及特点
等腰三角形在建筑装饰中常被用作图案、纹理和造型元素，增
加视觉层次和立体感。
16
工程测量中应用
2024/1/26
工程测量中的基准线
等腰三角形在工程测量中可作为基准线，用于确定水平和垂直方 向，以及计算角度和距离。
地形测量
等腰三角形可用于地形测量中计算高度、坡度和方向，有助于地 形分析和规划。
建筑施工中的定位
在建筑施工中，等腰三角形可用于定位和布局，确保建筑物的准 确性和稳定性。
17
其他领域应用举例
数学教育
等腰三角形在数学教育中是一个 重要概念，用于教授几何、代数
和三角函数等数学知识。
2024/1/26
物理学研究
等腰三角形在物理学研究中可用于 描述和分析力学、光学和电磁学等 领域的现象和实验数据。
计算机图形学
根据已知底和高的面积计算公式，代入底 为8cm，高为6cm，得到面积为(8cm × 6cm) / 2 = 24cm²。
例题2
解析
已知等腰三角形的两边长分别为10cm和 10cm，夹角为45°，求其面积。
2024/1/26
根据已知两边和夹角的面积计算公式，代 入两边长分别为10cm和10cm，夹角为45° ，得到面积为(10cm × 10cm × sin45°) / 2 = 35.355cm²。
中考数学名师复习(课件)：第19讲 等腰三角形
AF＝BD，
△DBC(SAS)，∴FD＝DC，∴△CDF 是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠ FDA＝∠DCB，∵∠BDC＋∠DCB＝90°，∴∠BDC＋∠FDA＝90°，∴△CDF 是等腰直角三角形
1．(2018·预测)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形 的周长是_______1_0_． 【解析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底
边长2，即可求得周长．
2．(2017·绥化)在等腰△ABC 中，AD⊥BC 交直线 BC 于点 D，若 AD＝12BC， 求△ABC 的顶角的度数．
(2)作 AF⊥AB 于 A，使 AF＝BD，连结 DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠
ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC，在△FAD 与△DBC 中，∵∠ADF＝ADB＝C，∠DBC， AF＝BD，
【解析】等腰三角形角分锐角、直角和钝角三种情况．
解：①BC 为腰，∵AD⊥BC 于点 D，AD＝12BC，∴∠ACD＝30°，如图 1， AD 在△ABC 内部时，顶角∠C＝30°，如图 2，AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB
＝180°－30°＝150°，②BC 为底，如图 3，∵AD⊥BC 于点 D，AD＝12BC， ∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∴∠BAD＋∠CAD＝12×180 °＝90°，∴顶角∠BAC＝90°，综上所述，等腰三角形 ABC 的顶角度数为 30 °或 150°或 90°
解 ： 设 BD ＝ x ， ∵△ABC 是 等 边 三 角 形 ， ∴∠A ＝ ∠B ＝ ∠C ＝ 60° ， ∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB于点G，∴∠BDF＝∠DEA＝ ∠EFC＝90°，∴BF＝2x，∴CF＝12－2x，∴CE＝2CF＝24－4x，∴AE＝ 12－CE＝4x－12，∴AD＝2AE＝8x－24，∵AD＋BD＝AB，∴x＋8x－24＝ 12，∴x＝4，∴AD＝8
中考复习第19讲：等腰三角形课件 (共26张PPT)
D )
A．44°
B．66°
C．88°
D．92°
难点突破
3、如图所示，等边三角形 OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为( D A．(1，1) B．( 3，1) C．( 3， 3) D．(1， 3) )
知识梳理 考点3
性质 判定
角平分线的性质与判定
相等 角平分线上的点到这个角两边的距离______ 平分线 上 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的________
难点突破
4、如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，且交 BC 边于点 D，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 E.若 BC＝3，则 DE 的长为( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
知识梳理 考点4 线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离________
知识梳理 考点2
定义
等边三角形
三 边都相等的三角形叫做等边三角形 ________
等边三角形是轴对称图形，有____ 3 条对称轴
性质
相等 ，且等于____ 60° 等边三角形的内角都______
三 个角都相等的三角形是等边三角形 ____
判定
等腰 三角形是等边三角形 有一个角等于 60°的______
到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线 __________ 上
难点突破
5、如图所示，已知等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， 且 AD＝AE，连结 BE，CD 交于点 F. (1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点 A，F 的直线垂直平分线段 BC.
第21讲:等腰三角形
(2024年)初中数学课件等腰三角形的性质(几何)ppt课件
2024/3/26
17
其他领域应用举例
在机械工程中，等腰三角形常被用作机械零件的截面形状，如三角形的钢板、三角 形的支架等，这些零件通常具有较好的刚度和稳定性。
在航空航天领域，等腰三角形也被广泛应用，如飞机机翼的截面形状、火箭燃烧室 的形状等，这些设计通常需要考虑空气动力学和力学性能的平衡。
2024/3/26
2024/3/26
6
02
等腰三角形判定方法
2024/3/26
7
已知两边相等
定义
有两边相等的三角形是等腰三角形。
性质
推论
等腰三角形是轴对称图形，有一条对 称轴（顶角平分线所在直线、底边上 的中线、底边上的高互相重合）。
等腰三角形的两个底角相等，即等边 对等角。
2024/3/26
8
已知两角相等
01
21
拓展延伸：黄金分割点与等腰三角形
01
黄金分割点定义
把一条线段分割为两部分，使其中一 部分与全长之比等于另一部分与这部 分之比，其比值为(√5-1)/2，取其前 三位数字的近似值是0.618，这个点 就是黄金分割点。
02
等腰三角形与黄金分 割点的关系
在等腰三角形中，可以通过黄金分割 点将底边分为两段，使得这两段长度 之比等于腰与底边之比。这个性质可 以用于美学、设计等领域。
等腰三角形底边上的任意一点 到两腰的距离之和等于一腰上 的高。（错）
等腰三角形是轴对称图形，只 有一条对称轴。（错，等腰三 角形有一条或三条对称轴）
24
选择题练习
等腰三角形的一个内角是 50°，则另外两个内角的 度数分别是（C）
2024/3/26
下列命题中，假命题是（ B）
中考数学总复习 第5章 第19讲 等腰三角形课件
第二十页，共26页。
等边三角形 等边三角形是一种特殊的等腰三角形，利用等边三角形的轴对 称性，构造(gòuzào)含有30°的直角三角形，来计算解题．
第二十一页，共26页。
线段(xiànduàn)的垂直 平分线
1．(2014·钦州)如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线
MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若AB＝m，BC＝n，则△DBC
解：设∠DCE＝x°，∠ACD＝y°，则∠ACE＝x°＋y°， ∠BCE＝90°－∠ACE＝90°－x°－y°. ∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x°＋y°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE＋∠DCE ＝90°－x°－y°＋x°＝90°－y°. 在△DCE中，∵∠DCE＋∠CDE＋∠DEC＝180°， ∴x＋(90－y)＋(x＋y)＝180，解得x＝45，∴∠DCE＝45°
第五章 基本(jīběn)图形(一) 第19讲 等腰三角形
第一页，共26页。
1．了解(liǎojiě)等腰三角形的概念、等腰三角形的性质定理；底边上 的高、中线及顶角平分线重合． 2．掌握等腰三角形的判定定理，等边三角形的性质定理，以及等边 三角形的判定定理． 3．掌握线段垂直平分线的性质及判定，角平分线的性质及判定． 4．能利用等腰三角形的特性来解决一些简单的实际问题．
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 同理：∠B＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA. 设∠B为x°，则∠C＝x°，∠BAD＝x°， ∴∠ADC＝2x°，∠CAD＝2x°. 在△ADC中，∵∠C＋∠CAD＋∠ADC＝180°， ∴x°＋2x°＋2x°＝180°，∴x°＝36°
第七页，共26页。
等腰三角形的边、角 1．等腰三角形是两边相等的特殊三角形，以顶角平分线所在的直线 (zhíxiàn)为对称轴． 2．等腰三角形两________相等简称为“等边对等角”．
中考数学第19讲 等腰三角形与等边三角形
由(1)知 BA＝BC＝BE，
∴∠EAB＝∠AEB.
∴∠BAG＝∠BEF＝∠BCF.
课堂精讲
又∵BA＝BC， ∴△GAB≌△FCB(SAS)． ∴∠GBA＝∠FBC，BG＝BF. ∴∠GBF＝∠GBA＋∠ABF＝∠FBC＋∠ABF＝∠ABC＝120°.
GF ∴BF＝ 3. ∵AE＝5，EF＝CE＝CF＝2，∴GF＝9. ∴BF＝ GF3＝ 93＝3 3.
答案图 ∵∠ADB＝∠EDC， ∴△ABD∽△ECD.∴BDDC＝AEBC. ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∴∠CAD＝∠E.∴AC＝CE.∴BDDC＝AACB.
课堂精讲
例 8 下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答： 探究 1：如图 1，在△ABC 中，点 O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线 BO 和 CO 的交点，通过分析发现：∠BOC＝90°＋12∠A.理由如下： ∵BO 和 CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线， ∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ACB. ∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)． 又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A， ∴∠1＋∠2＝12(180°－∠A)＝90°－12∠A. ∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－90°－12∠A＝90°＋12∠A.
课堂精讲
考点一 等腰三角形的性质和判定 例1 (1)(2018·成都)等腰三角形的一个底角为50°， 则它的顶角的度数为________． 【答案】80°
课堂精讲
(2)(2018·湖州)如图，AD，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若 AB＝ AC，∠CAD＝20°，则∠ACE 的度数是( )
知识回顾
二、线段的垂直平分线 1．线段垂直平分线定义： 垂直于 一条线段且 平分 这 条线段的直线叫作线段的垂直平分线． 2．性质：线段垂直平分线上的点到 线段两端点 的距离相 等． 3．判定：到一条线段两端点距离相等的点在__这__条__线__段__的___
第四单元 第十九讲 等腰三角形与直角三角形++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是 ( C )
①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;
③△ADE的周长为AB+AC;④BD=CE.
A.③④
B.①②
C.①②③
D.②③④
(2)已知△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,则△ABC的周长为________.
股定理求解.
(4)折叠问题中求解线段长度问题,常常将某些条件汇集到一个直角三角形中,再
根据勾股定理列方程求解.
山东3年真题
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1.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+ 2 − − 3+|c-3 2|=0,
(4)在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半.
37
2.勾股定理常见应用与技巧:
(1)已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.
(2)已知三角形的三边长,可运用勾股定理的逆定理确定此三角形是否为直角三角
形.
(3)立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾
交AC于点D,如果DE垂直平分BC,那么∠A的度数为
A.31° B.62° C.87° D.93°
(C)
8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识要点
3.直角三角形的性质与判定
互余
直角三角形的两个锐角__________
性
斜边
30°角所对的直角边等于______的一半
质
斜边
直角三角形斜边上的中线等于__________的一半
平方和
勾股定理:直角三角形中两直角边的____________等于斜边的平方
(备战中考)2012年中考数学深度复习讲义：等腰三角形
（备战中考）江苏省2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）等腰三角形◆考点聚焦1．等腰三角形的判定与性质． 2．等边三角形的判定与性质．3．运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题． ◆备考后法1．运用三角形不等关系，•结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论．2．要正确辨析等腰三角形的判定与性质．3．能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题． ◆识记巩固1．等腰三角形的性质定理及推论：____________________．2．等腰三角形的判定定理及推论：_______________________． 识记巩固参考答案:1．等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；•等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边（三线合一）；等边三角形的各有都相等，且每个角都等于60°.2．如果一个三角形的两角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）．•三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. ◆典例解析例1 （2011浙江衢州，23,10分）ABC ∆是一张等腰直角三角形纸板，Rt 2C AC BC ∠=∠==，. 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为1S ；按照甲种剪法，在余下的ADE BDF ∆∆和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为2S (如图2)，则2=S ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为3S (如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，10S = . 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得,1,1CFDE AE DE EC EC S ====正方形即.如图乙，设MN x =，则由题意，得,AM MQ PN NB MN x ===== 又819>∴甲种剪法所得的正方形的面积更大 说明：图甲可另解为：由题意得点D 、E 、F 分别为AB AC BC 、、的中点，112ABC CFDE S S == 正方形 解法2：如图甲，由题意得AE DE EC ==，即EC=1如图乙，设,MN x AM MQ QP PN NB MN x =======则由题意得∴甲种剪法所得的正方形的面积更大(2)212S =(3)10912S = (3)解法1：探索规律可知：112n n S -=‘ 剩余三角形的面积和为：()12109911112212422S S S ⎛⎫-+++=-++++= ⎪⎝⎭ 解法2：由题意可知， 第一次剪取后剩余三角形面积和为112=1=S S -第二次剪取后剩余三角形面积和为12211122S S S -=-== 第三次剪取后剩余三角形面积和为233111244S S S -=-==……第十次剪取后剩余三角形面积和为9101091=2S S S -= 例2 如图，△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 上的点．①AD 平分∠BAC ；②DE ⊥AB ，•DF•⊥AC ；③AD ⊥EF ．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②③；①③②；②③①． （1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．解析 （1）①②⇒③正确；①③⇒②错误；②③⇒①正确． （2）先证①②⇒③，如图1． ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE=DF ，∠AED=∠AFD=90°．在Rt △AED 和Rt △AFD 中，,,DE DF AD AD =⎧⎨=⎩ ∴△AED ≌△AFD （HL ）． ∴AE=AF ．∴△AEF 是等腰三角形，∴AD ⊥EF ．再证②③⇒①．图1 图2 图3 方法一：如图2，DE ⊥AB ，EF ⊥AD ，DF ⊥AC ． 易证△DEH ∽△DAE ，△DFH ∽△DAF ． ∴,DE DH DH DFAD DE DF AD==， ∴DE 2=AD·DH，DF 2=DH·AD．∴DE 2=DF 2，∴DE=DF，∴AD 平分∠BAC． 方法二：如图3，取AD 的中点O ，连结EO ，FO ． ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴OE ，OF 分别是Rt △ADE ，Rt △ADF 斜边上的中线． ∴OE=12AD ，OF=12AD ． 即O 点到A ，E ，D ，F 的距离相等．∴A ，E ，D ，F 四点在以O 为圆心，12AD 为半径的圆上，AD 是直径，EF 是⊙O 的弦，而EF•⊥AD ，∴AD 平分 EDF，即 ED DF =． ∴∠DAE=∠DAF ，即AD 平分∠BAC ．MED CBA2011年真题一、选择题1. （2011浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） A 32B 33C 34D 36 【答案】B2. （2011四川南充市，10，3分）如图2，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【答案】D图2 图3 图43. （2011浙江义乌，10，3分）如图3，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°,四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形；③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ；一定正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D4. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC 、AB 于D 、E 两点，并连接BD 、DE ．若∠A=30∘，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为何？A ． 45B ． 52．5C ． 67．5D ． 75 【答案】Ｃ5. （2011台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形ABC 、DEF ，且D 、A 分别为△ABC 、△DEF 的重心．固定D 点，将△DEF 逆时针旋转，使得A 落在DE 上，如图(十七)所示．求图(十六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？A ．2：1B ． 3：2C ． 4：3D ． 5：4【答案】Ｃ图76. （2011山东济宁，3，3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是 A ．15cm B ．16cm C ．17cm D ．16cm 或17cm 【答案】D7. （2011四川凉山州，8，4分）如图7，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点，DE DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（ ）A ．1013 B ．1513 C ．6013 D ．7513【答案】C （第1题）ABCD E二、填空题1. （2011山东滨州，15，4分）边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.【答案】2. （2011山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 【答案】4或63. （2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为 ． 4. （2011浙江台州，14,5分）如图4已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80º ，则∠EGC 的度数为 【答案】80º图4 图5 图75. （2011浙江省嘉兴，14，5分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，︒=∠40A ，则△ABC 的外角∠BCD ＝ °．1106. （2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。
中考数学专题复习课件(第19讲_三角形与全等三角形)
(4)(2010· 广州)在△ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，若 BC＝5，则 DE 的长是 ( ) A．2.5 B．5 C．10 D．15
(5)(2010· 济宁 )若一个三角形三个内角度数的比为 2∶3∶4，那么这个三角形是( A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
例 精 析
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
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(1)(2010· 山西 )现在四根木棒，长度分别为 4 cm、6 cm、8 cm、10 cm，从中任取三 考 ) 点 根木棒，能组成三角形的个数为( 知 A．1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 识 精 (2)(2009· 锦州)如图，∠BDC＝98° ，∠C＝38° ，∠ B＝23° ，∠A 的度数是( ) 讲 A．61° B．60° C．37° D．39°
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
3．证明三角形全等的思路 找夹角 (1)已知两边 找直角 找另一边 (2)已知一边一角
找夹角的另一边 边为角的邻边时找夹边的另一角 找边的对角
边为角的对边时，找另一角
举 一 反 三
找夹边 (3)已知两角 找任意一边 1判定三角形全等必须有一组对应边相等 ； ．．．．． 2判定三角形全等时不能错用 “SSA”“ AAA”来判定 .
举 一 反 三
考 点 训 练
中考数学复习 第四单元 三角形 第19课时 等腰三角形数学课件1
(2)选①②证明如下:
在△BOE和△COD中,
∵∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE=CD,
∴△BOE≌△COD,∴BO=CO,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
即△ABC是等腰三角形.
2
角形 ABC 的底角的度数为
.
[答案] 15°或45°或75°
[解析]分情况讨论:
(1)当∠ABC为顶角时,△ABC为等腰直角三角形,如图①,此时∠C=45°;
1
(2)当∠ABC 为底角,∠BAC 为锐角时,如图②,BD= AC,∴∠BAC=30°,则∠ABC=75°;
2
1
(3)当∠ABC 为底角,∠BAC 为钝角时,如图③,BD= AC,∴∠BAD=30°,∠BAC=150°,
又∵∠ADB=∠C+∠DAC,
∴2∠C=∠ADB,
70°
∴∠C=
2
=35°.
图19-2
| 考向精练 |
1.[2018·湖州]如图19-3,AD,CE分别是
[答案]B
△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,
[解析] ∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∠CAD=20°,则∠ACE的度数是 (
∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,
-∠ECD=180°-50°-50°=80°,故选D.
3.[2019·黔三州]如图19-5,以△ABC的顶
[答案] 34°
点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于
[解析]根据题意可得
点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则
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【解析】选B.∵∠B=60°, ∴∠BAP+∠APB=120°. ∵∠APD=60°,∴∠CPD+∠APB=120°, ∴∠BAP=∠DPC,∴△ABP∽△PCD,
∵AB=3,BP=1,PC=2,∴CD2= .
3
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3.(2010·宁波中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
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13．(12分)如图，等边三角形ABC边长为4，E是边BC上动点，
EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点
P，使PE=EB.设EC=x(0＜x≤2).
(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条
线段(不再另外添加辅助线)；
(2)Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是
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【解析】第1次折叠，即图2的一条腰长是 2，第2次折叠，
2
即图3的一条腰长是( 2)2，第3次折叠，即图4的一条腰长是
2
( )23，以此类推，第n次折叠后的等腰直角三角形的一条腰
2
长是( )2n.
2
答案：
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三、解答题(共46分) 10.(10分)(2010·聊城中考)如图，在 等边△ABC中，点D是BC边的中点，以 AD为边作等边△ADE. (1)求∠CAE的度数； (2)取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形. 【解析】(1)在等边△ABC中，∵点D是BC的中点， ∴∠DAC=30°， 又∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°， ∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=30°.
BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角
形有( )
(A)5个
(B)4个
(C)3个
(D)2个
【解析】选A.因为AB=AC，∠A=36°，所以
∠ABC=∠ACB=72°.
由BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，可得
∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE=36°,
所以△ABC、△BCD、△ABD、△BCE、△DCE都为等腰三角形.
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8.如图,在等边△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且AD=CE,则 ∠BCD+∠CBE=_____度. 【解析】∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC， ∠A=∠ABC=∠ACB=60°. 又∵AD=CE,∴△ACD≌△CBE, ∴∠ACD=∠CBE, ∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠BCA=60°. 答案：60
2
∵PQ=EF=BE=4-x,
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∴当x＝２时， 有最大值．
此时E、F、P分别为△ABC三边BC、AB、AC的中点，且点C、
点Q重合.
∴平行四边形EFPQ是菱形．
过Ｅ点作ＥD⊥ＦＰ于D，
∴ＥD＝ＥH＝ 3．
∴当⊙E与
四条边交点的总个数是２个时，
０＜r＜ 3；
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5.如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的 规律，用2 008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是
()
(A)2 008 (B)2 009 (C)2 010 (D)2 011 【解析】选C.第一个四边形由两个三角形组成，周长为4；第 二个四边形由三个三角形组成，周长为5；第三个四边形由四 个三角形组成，周长为6；…第n个四边形的周长为n+3，所 以由2 008个三角形组成的四边形的周长为2 010.
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(A)40°
(B)100°
(C)40°或100°
(D)70°或50°
【解析】选C.40°若是底角，则顶角为180°-40°×2=100°,
40°为顶角亦满足题意.
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2.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为 AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为( )
平行四边形时,求 EFPQ的面积(用含x的代数式表示)；
(3)当(2)中的 EFPQ面积最大时，以E为圆心，r为半径作圆，
根据⊙E
EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取
值范围.
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【解析】(１)BE、PE、BF三条线段中任选两条． (２)在Rt△CHE中， ∠CHE＝90°， ∠Ｃ＝60°，∴ＥH＝ x.3
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11.(12分)如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝ AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF. (1)求证：EF∥BC; (2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
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【解析】(1)∵CF平分∠ACB, ∴∠1=∠2. 又∵DC=AC, ∴CF是△ACD的中线， ∴点F是AD的中点. ∵点E是AB的中点， ∴EF∥BD,即EF∥BC.
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二、填空题(每小题6分，共24分) 6.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB=AC-BD,则 ∠B∶∠C的值是_____. 【解析】延长AB至E, 使AE=AC,连结DE, ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. ∵AD=AD,∴△AED≌△ACD,∴∠E=∠C. ∵AB=AC-BD,∴AB=AE-BD=AB+BE-BD. ∴BE=BD,∴∠E=∠BDE,∴∠ABC=∠E+ ∠BDE=2∠E=2∠C.即∠ABC∶∠C=2∶1. 答案：2∶1
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(2)由(1)知，∠EAF=90°，由F为AB的中点知∠CFA=90°, ∴CF∥EA，在等边△ABC中，CF=AD， 在等边△ADE中，AD=EA, ∴CF=EA，∴四边形AFCE是平行四边形， 又∵∠CFA=90°，所以四边形AFCE是矩形.
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(2)由(1)知，EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD,∴
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12.(12分)(2010·乌鲁木齐中考)如图，在平行四边形ABCD中， BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F.
(1)求证：△ABE≌△CDF; (2)若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明 你的结论.
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9.(2010·广安中考)小敏将一张直角边为1的等腰直角三角形 纸片(如图1)，沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三 角形(如图2)，再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠 后得到一个等腰直角三角形(如图3)，则图3中的等腰直角三 角形的一条腰长为_____；同上操作，若小敏连续将图1的等 腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形(如图n+1) 的一条腰长为_____.
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