三角函数的图像与性质_完整教学 ppt课件
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三角函数的图象与性质ppt课件
(π，－1)
，32π，0，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象和性质(下表中 k∈Z)
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义域Leabharlann RRxx∈R，且x≠
kπ＋π2，k∈Z
值域 周期性
[－1,1]
[－1,1]
R
周期是 2kπ(k∈Z， 周期是 2kπ(k∈Z， 周期是 kπ(k∈Z 且
系中画出[0,2π]上 y＝sinx 和 y＝cosx 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足 sinx＝cosx 的 x
为
π 4
，
5π 4
，
再
结
合
正
弦
、
余
弦
函
数
的
周
期
是
2π ， 所 以 原 函 数 的 定 义 域 为
x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z .
解法二：sinx－cosx＝ 2sinx－4π≥0，将 x－4π视为一个整体，由正弦函数 y＝sinx 的 图象和性质可知 2kπ≤x－4π≤π＋2kπ(k∈Z)，解得 2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π(k∈Z)．所以定义 域为
角度 2：三角函数的奇偶性和对称性 【例 3】 (1)已知 f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)为奇函数，则φ的一个取值可以是( D )
A.π B．－π C.π D．－π
2
24
4
(2) 函 数 f(x) ＝ sin
2x－π 6
的 对 称 中 心 为 _____k2_π_＋__1π_2_，__0_(_k_∈__Z_)___ ， 对 称 轴 方 程 为
___x_＝__3π_＋__k2_π_(k_∈__Z_)_______．
三角函数的图象和性质ppt
2、y=sin(x+φ）的图象可以看作把正弦 曲线上的所有点向左（φ>0)或向右(φ<0)平 移| φ |个单位
10
3、函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的 图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐 1 标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 倍 （纵坐标不变）
11
f ( x) A sin( x )( A 0, 0, ) 2
的图象，则 f ( x )
1 1 解： sin(2 x ) 3 cos 2 x 3 2 2 2
2
22
例题评析
23
☆给出图象求 y A sin( x ) B
的解析式
难点：
, 的确定
基本方法
①寻找特殊点（如零值点、最值点等）代入解析 式，转化为简单的三角方程求解 , 的值； ②图象变换法：探求已知图象可由哪个基本函数 的图象变换而来，通常由特殊点的间距确定周期T， 进而确定 的值.
三角函数的图象和性质
第四章
三角函数的图象和性质
1
三角函数的图象
★作图
①描点法：⒈确定函数的定义域；⒉化简、整理函数的解 析式；⒊讨论函数的主要性质；⒋列表、描点、成图.
②变换法：由基本函数的图象变换得到，变换一般有平移、 伸缩、对称等变换.
★识图 看左右、上下的分布范围，变化趋势，对称性， 特殊点的位置等，注意图象与函数解析式中的参数的关系. ★用图 图象是函数性质的直观解释，是探求解题途径获 得问题结果的重要工具.
x ) y 2sin( 2 5。
15
4、为得到ｙ＝４sin(2x+ 所有点( C )
)，x∈ R，的图象， 3 只需将函数ｙ＝2sin(2x+ )，x∈ R的图象上 3
10
3、函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的 图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐 1 标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 倍 （纵坐标不变）
11
f ( x) A sin( x )( A 0, 0, ) 2
的图象，则 f ( x )
1 1 解： sin(2 x ) 3 cos 2 x 3 2 2 2
2
22
例题评析
23
☆给出图象求 y A sin( x ) B
的解析式
难点：
, 的确定
基本方法
①寻找特殊点（如零值点、最值点等）代入解析 式，转化为简单的三角方程求解 , 的值； ②图象变换法：探求已知图象可由哪个基本函数 的图象变换而来，通常由特殊点的间距确定周期T， 进而确定 的值.
三角函数的图象和性质
第四章
三角函数的图象和性质
1
三角函数的图象
★作图
①描点法：⒈确定函数的定义域；⒉化简、整理函数的解 析式；⒊讨论函数的主要性质；⒋列表、描点、成图.
②变换法：由基本函数的图象变换得到，变换一般有平移、 伸缩、对称等变换.
★识图 看左右、上下的分布范围，变化趋势，对称性， 特殊点的位置等，注意图象与函数解析式中的参数的关系. ★用图 图象是函数性质的直观解释，是探求解题途径获 得问题结果的重要工具.
x ) y 2sin( 2 5。
15
4、为得到ｙ＝４sin(2x+ 所有点( C )
)，x∈ R，的图象， 3 只需将函数ｙ＝2sin(2x+ )，x∈ R的图象上 3
三角函数的图像与性质PPT优秀课件
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
（1）y=2sinx , x∈[0,2π]
x y=2sinx
02 02
3
2 2 0 -2 0
解: （1）列表
(2)描点作图
Y
y=2sinx
2
y=sinx
1
0
2 X
（2）y=sin2x , x∈[0,π]
解: （1）列表 (2)描点作图
2x x yy==ssinin2xx
0 24 01
各单位长度而得到．
y
(五点作图法)
图象的最高点 ( ,1)
1-
与x轴的交点 2
(0,0) ( ,0) (2,0)
-
-1
o 6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
( ,1) 3
2
5 3
11 6
2
x
图象的最低点 3
2
-1 -
简图作法
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
y
(2) 描点
1-
代数描 点
-
0
2
3 2
2
x
(3) 连线 1 -
2、思考(1)：
如何用几何方法在直角坐标系中作出点 C(π,sinπ) ? 33
Y
几何描
P
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
第五章第四节三角函数的图象与性质课件共63张PPT
偶__函__数__
__x_x__≠_k_π_＋__π2__ _R_ _π _
奇__函__数__
___2_k_π_－__π_，__2_kπ___ (kπ－π2 ，kπ＋π2 )
递减 区间 对称 中心 对称轴 方程
_2_k_π_＋__π2_，__2_k_π_＋__3_2π___ __2_k_π_，__2_k_π_＋__π_ _
(1)y＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( )
(2)由
sin
π6＋23π
＝sin
π 6
知，23π
是正弦函数
y＝sin
x(x∈R)的一个周
期．( )
(3)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( )
(4)已知 y＝k sin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( )
答案： (1)× (2)× (3)× (4)×
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
答案： 1
3．若函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)在0，π3 上单调递增，在区间π3，π2 上单调 递减，则 ω＝________．
解析： 法一：由于函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已
π 知并结合正弦函数的图象可知， 3
为函数 f(x)的14
周期，故2ωπ
__x_x__≠_k_π_＋__π2__ _R_ _π _
奇__函__数__
___2_k_π_－__π_，__2_kπ___ (kπ－π2 ，kπ＋π2 )
递减 区间 对称 中心 对称轴 方程
_2_k_π_＋__π2_，__2_k_π_＋__3_2π___ __2_k_π_，__2_k_π_＋__π_ _
(1)y＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( )
(2)由
sin
π6＋23π
＝sin
π 6
知，23π
是正弦函数
y＝sin
x(x∈R)的一个周
期．( )
(3)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( )
(4)已知 y＝k sin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( )
答案： (1)× (2)× (3)× (4)×
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
答案： 1
3．若函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)在0，π3 上单调递增，在区间π3，π2 上单调 递减，则 ω＝________．
解析： 法一：由于函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已
π 知并结合正弦函数的图象可知， 3
为函数 f(x)的14
周期，故2ωπ
三角函数图像和性质-课件
使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有
f (x T) f (x) ， 那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数 的周期.
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0， 试判断f(x)是否为周期函数？
如果在周期函数 f (x)的所有周期中存
1
(2) y log
1
2 sin x
例3 求值域
(1) y | sin x | sin x (2) y cos x 2
cos x 1
(3)求函数y 2 cos(2x ), x ( , )
3
66
4求函数y sin2 x 3 sin x 5 取得最大和
4
最小值时的自变量x的集合
（5）sin x sin y 1 ,求M sin x sin2 y 1的最大值与 3
最小值
二、奇偶性探究
1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
正弦曲线关于原点o对称 x
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
-1
y余弦曲线关于 y轴对称
1
x
-3 5 -2 3
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1.理解函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数的最小正周期，并会求
简单函数的周期. 3.理解正弦函数、余弦函数的奇偶性
探究：根据正弦函数、余弦函数的图象，你能说出它们具 有哪些性质吗？
1 y y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π O
π
3π 5π x
2
2
f (x T) f (x) ， 那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数 的周期.
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0， 试判断f(x)是否为周期函数？
如果在周期函数 f (x)的所有周期中存
1
(2) y log
1
2 sin x
例3 求值域
(1) y | sin x | sin x (2) y cos x 2
cos x 1
(3)求函数y 2 cos(2x ), x ( , )
3
66
4求函数y sin2 x 3 sin x 5 取得最大和
4
最小值时的自变量x的集合
（5）sin x sin y 1 ,求M sin x sin2 y 1的最大值与 3
最小值
二、奇偶性探究
1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
正弦曲线关于原点o对称 x
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
-1
y余弦曲线关于 y轴对称
1
x
-3 5 -2 3
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1.理解函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数的最小正周期，并会求
简单函数的周期. 3.理解正弦函数、余弦函数的奇偶性
探究：根据正弦函数、余弦函数的图象，你能说出它们具 有哪些性质吗？
1 y y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π O
π
3π 5π x
2
2
原创三角函数的概念图像及性质.ppt
① asin□与bcos□之间是“+”连接
② a,b分别是sin□与cos□的系数 注3.辅助角φ的确定方法：
(a,b)
方法甚多凭爱好 坐标定义是基础
φ
数形结合两限制 注释说明一般角
O
X
（2） a sin □ bcos□ a2 b2 cos(□ )
（其中 tan a，Φ与点(b,a)同象限）
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
三角式运算公式总述
1.公式：
①同角关系 ②异角关系
2.作用：
一角二名三结构……
世上本无路三角走运的算人公多式了关便联有图了路
半角
作用
商数 平方 关系 关系
倒数
关系
同角
基本
1、同角基本关系式
(1)公式：
①平方关系 sin 2 cos2 1
②商数关系 sin tan cos③倒数关系 tan Fra bibliotekot 1 sinx
注：记忆图
①平方关系：阴影三角形…
tanx
②商数关系：边上左右邻居…
③倒数关系：对角线……
secx
cosx
1
cotx
cscx
1、同角基本关系式
(1).公式：……
(2).作用： 变名变结构
注：经典题型：同角两弦的和差商积可互化.即“知一有n”
桥梁： (sin x cos x)2 1 2sin x cos x 1 sin 2x
sin x n1 sin x cos x n3 sin x cos x n5 sin 2 x cos2 x n7
五点做图象 “代
三角函数的图像和性质PPT课件
三角函数的图像和性质
2021/6/7
1
一、三角函数图像的作法 二、三角函数图像的性质 三、f(x)= Asin(x+) 的性质
几何法 五点法 图像变换法
2021/6/7
2
一、三角函数图象的作法
1.几何法 y=sinx 作图步骤:
y
(1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线;
(2)平移三角函数线; (3)用光滑的曲线连结各点.
得 到 y = s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
步骤4
各点纵的坐纵标坐标变为伸原长来或的缩A倍短(横坐标不变)；
得 到 y = A s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
沿x轴
扩展
步骤5
得 到 y = A s i n ( ω x + ) 在 R 上 的 图 象
3
x
11
返回目录
二、三角函数图象的性质
函数 y sin x
ycosx
y tanx
图象
y 1
0
1
2 x
y
1
0
1
2
x
y
2
3 2
2
0
3 2
x
单调性
[2k， 32k](kz)
2
2
递减
[ 2 k， 2 2 k](k 递z)增
[2k， 2k](kz) 递增 [2 k,2 k](k z)
22
递减
纵向伸长3倍
y=3sinx
左移 π 3π
y=3横si向n(缩x+短31) y=3sin(2x+ 2π) 方法2： y=sinx 3
2021/6/7
1
一、三角函数图像的作法 二、三角函数图像的性质 三、f(x)= Asin(x+) 的性质
几何法 五点法 图像变换法
2021/6/7
2
一、三角函数图象的作法
1.几何法 y=sinx 作图步骤:
y
(1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线;
(2)平移三角函数线; (3)用光滑的曲线连结各点.
得 到 y = s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
步骤4
各点纵的坐纵标坐标变为伸原长来或的缩A倍短(横坐标不变)；
得 到 y = A s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
沿x轴
扩展
步骤5
得 到 y = A s i n ( ω x + ) 在 R 上 的 图 象
3
x
11
返回目录
二、三角函数图象的性质
函数 y sin x
ycosx
y tanx
图象
y 1
0
1
2 x
y
1
0
1
2
x
y
2
3 2
2
0
3 2
x
单调性
[2k， 32k](kz)
2
2
递减
[ 2 k， 2 2 k](k 递z)增
[2k， 2k](kz) 递增 [2 k,2 k](k z)
22
递减
纵向伸长3倍
y=3sinx
左移 π 3π
y=3横si向n(缩x+短31) y=3sin(2x+ 2π) 方法2： y=sinx 3
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
三角函数的图象和性质-PPT课件
3
2
2
x
14
y
(3
2
)
1
-1
2
-2
y=2sinx, x[0, 2
]
3
2
2 x
15
10
思考：
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？ 2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？
11
y 2
1
o
2
-1
y
1
o
2
-1
y=1+sinx x[0, 2 ]
3
2
x
2
y=sinx x[0, 2 ]
y=cosx x [0, 2 ]
3
2
x
2
y=-cosx
●
3
y
●
1
●
0
2
-1
●
3
●
2
x
2
●
练习：用“五点画图法”画出正弦函数
y=sinx x∈ [0, 2 ]的图象
4
一、余弦函数y=cosx(xR)的图象
sin(
x+
2
)= cosx
y
y=sinx的图象
1
2 0 3 2 3
2 -1 2
2
4 5
y=cosx的图象
6 x
5
余弦函数的“五点画图法”
x [0, 2
]
12
小结：
正弦函数、余弦函数图象的五点法
练习：（1）画出函数y=-sinx x∈ [0,2π]
(2)画出函数y=1+cosx x∈ [0,2π] (3)画出函数y=2sinx x∈ [0,2π]
高三数学第二轮复习三角函数的图像与性质课件ppt.ppt
则同时具有以下两个性质的函数是( A ) ①最小正周期是π ②图象关于点(π/6，0)对称.
2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则下列结论
中正确的是( D) (A)函数y=f(x)·g(x)的周期为2π (B)函数y=f(x)·g(x)的最大值为1 (C)将f(x)的图象向左平移π/2单位后得g(x)的图象 (D)将f(x)的图象向右平移π/2单位后得g(x)的图象
直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点).
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[2k5.单+ 2调, 性2k:+y=3s2in]x(k在[Z2)k上-单2调, 2递k减+2;
](kZ)上单调递增, 在
6
是 (k ,k ],k z 使 g(x) 0 且递减的区间是
12
6
(k ,k 5 ],k z ，
6
12
∴当 0 a 1时，函数 f (x) 的递增的区间是
(k ,k 5 ],k z ，
6
12
当 a 1时，函数 f (x) 的递增的区间是 (k ,k ],k z .
且f (0) 3 , f ( ) 1 .
2 42
(1)求 f (x) 的最小正周期； (2)求 f (x) 的单调递减区间； (3)函数 f (x) 的图象经过怎样的平移才能 使所得图象对应的函数成为奇函数？
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
三角函数的图像与性质课件PPT
正解：因为 x∈π6，π，所以借助函数 y＝sin x 的图象可知， 此时 0≤sin x≤1.于是由 sin x＝2m－1，得 0≤2m－1≤1，解得 m 的取值范围12≤m≤1.
纠错心得：三角函数的取值范围与定义域有关，因此，在求解 有关范围问题时，一定要先看清定义域，再由定义域推得三角函数 的取值范围，最后求出正确答案．
思路点拨：要使函数有意义，则 sin x＞0 且 25－x2≥0，即 sin x＞0 且－5＜x＜5，结合图象求出在区间(－5,5)上满足 sin x＞0 的 x 的取值范围，即原函数的定义域．
解： 使函数有意义的条件是s2i5n－x＞x2≥0，0， 记 sin x＞0 的 x 取值为 集合 A,25－x2≥0 的 x 取值为集合 B，则 A＝(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z， B＝[－5,5]．用图象表示如下：
小结 为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)＝sin x称为周 期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k∈Z且k≠0).
思考3 正弦函数y＝sin x的周期是否唯一？正弦函数y＝sin x 的周期有哪些？ 答 正弦函数y＝sin x的周期不止一个. ±2π，±4π，±6π，… 都 是 正 弦 函 数 的 周 期 ， 事 实 上 ， 任 何 一 个 常 数 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期.
探究点一 周期函数的定义
思考1 观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现 其理论依据是什么？ 答 诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整 数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻 画这种“周而复始”的变化规律.
思考2 设f(x)＝sin x，则sin(x＋2kπ)＝sin x可以怎样表示？把函数 f(x)＝sin x称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？ 答 f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ 时，函数值重复出现. 一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝ f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.
1.4《三角函数的图像和性质》课件ppt
-
x
余弦函数y=cosx =sin(x+ ) 由y=sinx 2 y=cosx
左移
2
y=cosx y=sinx
余弦曲线
回忆描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？
(1)列表 y sin x, x 0, 2 π
x
y
π π 0 6 3 1 0 2 23
y 1
π 2
1
2π 5π 3 6 3 1 2 2
知识储备
（1）三角函数定义：
y sin x ( x R) y cos x ( x R)
（2）正弦线 、余弦线
y P
T
——正弦函数 ——余弦函数
三角函数线
cos=OM
三角函数 正弦函数 sin=MP
x
正弦线MP 余弦线OM
-1
O
M
A(1,0)
余弦函数
注意：三角函数线 是有向线段！
1.描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ (1)列表 y sin x, x 0, 2π
x
y
π π 0 6 3 1 0 2 23
y 1-
π 2
1
2π 5π 3 6 3 1 2 2
π
0
7 π 4 π 3 π 5 π 11π 6 3 2 3 6 1 1 3 3 2 2 1 2 2
π
0
7 π 4 π 3 π 5 π 11π 6 3 2 3 6 1 1 3 3 2 2 1 2 2
2π
0
(2) 描点
π 2
0
π
1
-
3π 2
-
2π
-
x
数学4第一章三角函数的图像与性质课件
1 倍(ω＞ 0)，再沿 x 轴向左 ( ＞ 0)或
向右 (
|
＜ 0＝平移
|
个单位，便得
y＝ sin(ωx＋
)的图象。
5．由 y＝ Asin( ωx＋ )的图象求其函数式：
给出图象确定解析式 y=Asin（ωx+ ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－
，
0）作为突破口，要从图象的升降情况找准 ．．第一个零点的位置。
2k
2
2
2k ≤ x ≤ 2k 的解集是②的增区间 .
2
2
注:
⑴ y sin( x ) 或 y cos( x
)（
0 ）的周期 T
2 ;
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
.
精品文档
y=sinx
-5
-4 -7 -3 2
2 -2 -3 2
y
2
1
o
-1 2
3
7
2
2
25 3
4x
2
y=cosx
-3
-4 -7 2
3
3
解析： y= 1 sin （2x+倍 纵坐标不变
y 1 sin（x π）
3
3
图象向右平移 π个单位 3
纵坐标不变
y 1 sin x 3
纵坐标扩大到原来的 3倍 y sin x
横坐标不变
另法答案：
（ 1）先将 y= 1 sin（ 2x+ π ）的图象向右平移 π 个单位，得 y= 1 sin2x 的图象；
6．对称轴与对称中心：
y sin x 的对称轴为 x k
y cosx 的对称轴为 x k 对于 y A sin( x ) 和 y
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x |x 2 k,k Z
（2）使函数y=cosx+1， x∈R取得最小值 的x的集合，就是使函数y=cosx， x∈R取得 最小值的的集合
x |x ( 2 k 1 ),k Z
函数y=cosx+1， x∈R的最大值是1+1=2；最 小值是-1+1=0
（2）令z=2x，使函数y=-3sinz，z∈R取 得最大值的z的集合是
y PT
-1
O
M A(1,0) x
注意：三角 函数线是有 向线段！
y=sinx的图象：
B
y
1
描图：用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
3
3
3
3
-1
终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y=sinx x[0,2]
f(x2k)f(x)利用图象平移
y=sinx xR
例1：
下列函数有最大值、最小值吗？如果有， 请写出取最大值、最小值的自变量x的集合， 并说出最大值、最小值分别是什么。
(1)ycoxs1 xR （ 2） y3si2nx，xR
解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值。
（1）使函数y=cosx+1， x∈R取得最大 值的x的集合，就是使函数y=cosx， x∈R 取得最大值的的集合
0
10-1y1o22
-1
3
2
2
x
y= - cosx，x[0, 2]
函数都有什么性质？
周期性 奇偶性 单调性
一. 正弦、余弦函数的周期性
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
由 sinx(2k)sinx，
5 6 x
coxs(2k)coxs 得
正弦(余弦)函数值是按照 一定规律不断重复地得取的。
如何在精确度要求不太高时作出正弦函数的 图象？
y
五点画图法
1
(2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
2
(
,1)
2
,1)
( ,0)
( ,0)
3 2
(
2
(
(2
,1)
f(x2k)f(x)
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
正弦函数的图象
知识的 迁移和
转化
y=cosx=sin(x+ ), xR 2
余弦函数的图象
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
3
4
5 6 x
1.4 三角函数的图像与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
知识结构：
定义域
函数概念 对应关系
映函 射数
值域 函数表示法
列表法 图像法 解析式法
函数的性质
单调性 奇偶性 对称性
周期性
知识结构：
一次函数（正比例）
基
函 程函 本
数 的 应 用
数初
与 方
等 函
2π
注意：
利用定义确定周期时 f(x+T)=f(x)
是对 x 而言，即是 x 的改变量
例 求下列函数的周期
(1) y3coxs, xR (2) ysin2x, xR
(3) y2sin1(x), xR
26
二. 正弦、余弦函数的奇偶性
-4
-3
-2
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
y
1
- o
-1
2
3
4
2
3
数
反比例函数 二次函数 指数函数 指数运算 对数函数 对数运算 幂函数
三角函数
三角函数如何作图象？
数形结合
跟三角函数值有直接对应关系的是？
——三角函数线
三角函数
途径：用三角 函数线来画三
三角函数线 角函数图象
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
z
|
z
2
2k
,k
z
由 2 x z 2k
2
得 x k
4
因此使函数y=-3sin2x，x∈R取得最大值的x
的集合是
x|xk,kz
4
同理，使函数y=-3sin2x，x∈R取得最小 值的x的集合是
x|xk,kz
4
函数y=-3sin2x ，x∈R的最大值是3，最小 值是-3
22
+2]k],kZ
其值从-1增至1
减区间为
[[
2
+2 2k，, 332 +2]k],kZ
其值从 1减至-1
余弦函数的单调性
y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
3 2
2
5 2
3
7 2
4
-1
y=cosx (xR)
增区间为 [ +2k, 2k],kZ 其值从-1增至1
减区间为 [2k, 2k， + ], kZ 其值从 1减至-1
-2
1
- o
-1
y
1
2
3
4
5
6 x
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 xx
2π，4π，6π，…-2π，-4π，-6π
2 k (k Z ,且 k 0 )
3.最小正周期
对于周期函数f(x)，如果在它所有周 期中存在一个最小的正数，则这个最 小正数就叫做函数f(x)的最小正周期。 正弦(余弦)函数的最小正周期是：
1.周期函数的y 定义
-4
-3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个 非零常数T，使得当 x 取定义域内的每 一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数。非零常数T就叫做 这个函数的周期。
2.那么正弦、余弦函数的周期是
什么？
y
-4
-3
例1 画出函数y=1+sinx，x[0, 2]的简图：
x
0
sinx
0
1+sinx 1
y
2
1
o
2
-1
3
2
2
2
1
0
-1
0
2
1
0
1
y=1+sinx，x[0, 2]
步骤：
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2
2
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3 2
2
cosx
1
0
-1
0
1
- cosx -1
( 2 ,1)
( (
(
2
2
2,1),1) ,1)
(
(
,0),0(3)2(3
( ,0)
( ,0)
( ,0) ( ,0)
,-1) 2(32,(132,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
4
sin(-x)=-sinx 正弦函数是奇函数 cos(-x)=cosx 余弦函数是偶函数
5 6 x 5 6 xx
三. 正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性 y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
3 2
2 5
2
3 7 2
4
-1
y=sinx (xR)
增区间为 [[
2
+22k，,
（2）使函数y=cosx+1， x∈R取得最小值 的x的集合，就是使函数y=cosx， x∈R取得 最小值的的集合
x |x ( 2 k 1 ),k Z
函数y=cosx+1， x∈R的最大值是1+1=2；最 小值是-1+1=0
（2）令z=2x，使函数y=-3sinz，z∈R取 得最大值的z的集合是
y PT
-1
O
M A(1,0) x
注意：三角 函数线是有 向线段！
y=sinx的图象：
B
y
1
描图：用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
3
3
3
3
-1
终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y=sinx x[0,2]
f(x2k)f(x)利用图象平移
y=sinx xR
例1：
下列函数有最大值、最小值吗？如果有， 请写出取最大值、最小值的自变量x的集合， 并说出最大值、最小值分别是什么。
(1)ycoxs1 xR （ 2） y3si2nx，xR
解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值。
（1）使函数y=cosx+1， x∈R取得最大 值的x的集合，就是使函数y=cosx， x∈R 取得最大值的的集合
0
10-1y1o22
-1
3
2
2
x
y= - cosx，x[0, 2]
函数都有什么性质？
周期性 奇偶性 单调性
一. 正弦、余弦函数的周期性
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
由 sinx(2k)sinx，
5 6 x
coxs(2k)coxs 得
正弦(余弦)函数值是按照 一定规律不断重复地得取的。
如何在精确度要求不太高时作出正弦函数的 图象？
y
五点画图法
1
(2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
2
(
,1)
2
,1)
( ,0)
( ,0)
3 2
(
2
(
(2
,1)
f(x2k)f(x)
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
正弦函数的图象
知识的 迁移和
转化
y=cosx=sin(x+ ), xR 2
余弦函数的图象
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
3
4
5 6 x
1.4 三角函数的图像与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
知识结构：
定义域
函数概念 对应关系
映函 射数
值域 函数表示法
列表法 图像法 解析式法
函数的性质
单调性 奇偶性 对称性
周期性
知识结构：
一次函数（正比例）
基
函 程函 本
数 的 应 用
数初
与 方
等 函
2π
注意：
利用定义确定周期时 f(x+T)=f(x)
是对 x 而言，即是 x 的改变量
例 求下列函数的周期
(1) y3coxs, xR (2) ysin2x, xR
(3) y2sin1(x), xR
26
二. 正弦、余弦函数的奇偶性
-4
-3
-2
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
y
1
- o
-1
2
3
4
2
3
数
反比例函数 二次函数 指数函数 指数运算 对数函数 对数运算 幂函数
三角函数
三角函数如何作图象？
数形结合
跟三角函数值有直接对应关系的是？
——三角函数线
三角函数
途径：用三角 函数线来画三
三角函数线 角函数图象
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
z
|
z
2
2k
,k
z
由 2 x z 2k
2
得 x k
4
因此使函数y=-3sin2x，x∈R取得最大值的x
的集合是
x|xk,kz
4
同理，使函数y=-3sin2x，x∈R取得最小 值的x的集合是
x|xk,kz
4
函数y=-3sin2x ，x∈R的最大值是3，最小 值是-3
22
+2]k],kZ
其值从-1增至1
减区间为
[[
2
+2 2k，, 332 +2]k],kZ
其值从 1减至-1
余弦函数的单调性
y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
3 2
2
5 2
3
7 2
4
-1
y=cosx (xR)
增区间为 [ +2k, 2k],kZ 其值从-1增至1
减区间为 [2k, 2k， + ], kZ 其值从 1减至-1
-2
1
- o
-1
y
1
2
3
4
5
6 x
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 xx
2π，4π，6π，…-2π，-4π，-6π
2 k (k Z ,且 k 0 )
3.最小正周期
对于周期函数f(x)，如果在它所有周 期中存在一个最小的正数，则这个最 小正数就叫做函数f(x)的最小正周期。 正弦(余弦)函数的最小正周期是：
1.周期函数的y 定义
-4
-3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个 非零常数T，使得当 x 取定义域内的每 一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数。非零常数T就叫做 这个函数的周期。
2.那么正弦、余弦函数的周期是
什么？
y
-4
-3
例1 画出函数y=1+sinx，x[0, 2]的简图：
x
0
sinx
0
1+sinx 1
y
2
1
o
2
-1
3
2
2
2
1
0
-1
0
2
1
0
1
y=1+sinx，x[0, 2]
步骤：
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2
2
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3 2
2
cosx
1
0
-1
0
1
- cosx -1
( 2 ,1)
( (
(
2
2
2,1),1) ,1)
(
(
,0),0(3)2(3
( ,0)
( ,0)
( ,0) ( ,0)
,-1) 2(32,(132,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
4
sin(-x)=-sinx 正弦函数是奇函数 cos(-x)=cosx 余弦函数是偶函数
5 6 x 5 6 xx
三. 正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性 y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
3 2
2 5
2
3 7 2
4
-1
y=sinx (xR)
增区间为 [[
2
+22k，,