高等数学 第六章 第7节 定积分的几何应用(中央财经大学)

一、微分元素法

)( 或称为积分元素法法数学建模中的微分元素 ,当把非均匀变化的问题实际中在物理、几何以及工程 , ,则通积达形式能表示为某两个量的乘看作是均匀变化时

. 分问题来处理常可将问题归结为定积 . 具有对区间的可加性要求量运用定积分处理问题时A

取极限”—求和—近似“分划—

,局利用整体上变化的量在局部问题的步骤将整体问题化成 , ,替“变”在局部上以“不变”代关系部上近似于不变的辩证

,采用按照定积分的概念

]. ,[ )( 11

1

i i i n

i i i n

i i x x x f A A −==∈∆≈∆=∑∑ξξ便有关系式

, ,个将具有代表性的第略去下标为简便和醒目起见i i

, , ]d ,[ ] ,[ 1且取称之为典型小区间表示为小区间x x x x x i i +−

, 则有为区间的左端点x i ξ

. d )(x x f A ≈∆

, )( d )( 记为或积分元素的微分元素为量通常称A x x f

. d )(d x x f A =

( 0d , 相当于取极限过程对区间的可加性由量→x A ] ,[ d , 0)||||上“无限累加”起来在区间将微分元素b a A x →∆

] ,[ )(上的值：在区间就得到量即作定积分b a A

. d )(d ∫∫==b

a

b

a

x x f A A

. ,加解为微分元素的无限累我们在这里将定积分理简言之

一、平面图形的面积1

解

解

解

解y

2

解

3

解

二、旋转体的体积

一轴旋转一周所生成的将平面图形绕平面上某 . ,该轴称为旋转轴几何体称为旋转体 . , 间的可加性旋转体的体积具有对区上在区间I

:旋转体的特点 ,截旋转体所得的的平面任何一个垂直于旋转轴

. 图形均为圆

截口

1 y

1 y

2

解

O

a

a b

解

解

2πy

三、平行截面面积为已知的几何体的体积

解

解