高等数学 第六章 第7节 定积分的几何应用(中央财经大学)
高等数学上册第六章课件.ppt
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
高等数学ppt课件：定积分的几何应用
到的旋转体体积为
证 对于任意 x [a, b] ， 用过点 x 且与 x 轴 垂直的平面截该旋转体， 则截面是一个半 径为 f ( x) 的圆盘（见图） ，
因此， A( x) πf 2 ( x) ，故旋转体的体积
V π f 2 ( x)dx
a
b
39-13
推论 6.2.3
将由 y 轴，直线 y c, y d (c d ) 及连续曲线 x ( y )
x [a, a] 且垂直于 x 轴的平面截楔形体的
截面为一直角三角形，其面积为 1 2 1 2 2 2 2 A( x) a x a x tan (a x 2 ) tan 2 2
故由定理 6.2.3，所求体积为
a x 3 a 2a 3 1 2 2 2 tan V A( x)dx tan (a x )dx tan (a x ) 0 a a 3 3 2 a
A
1 2 dA r ( )d ． 2
39-7
例 6.2.4 求双纽线 r 2 a 2 cos 2 所围平 面图形的面积，其中常数 a 0 ．
y o
4
a x
4
解 由对称性，求出第 I 象限内的面积，然后乘以 4 即可．
而双纽线 r 2 a 2 cos 2 在原点处有两条切线，其中位于 π 第 I 象限内部分的切线方程为 (如图)．因此，在第 I 4 π [0, ] ，由定理 6.2.2 可得 象限内， 4
1 2 A r ( )d ． 成曲边扇形的面积为 2 证 运用微元法来证明 .选取θ为积分变量，则
[ , ] ，在 [ , ] 上任取小区间 [ , d ] ，
第六章定积分的几何应用0119345页PPT
b c
1
无界函数的反常积分
f(x) C (a,b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函数 f (x) 在
[a , b] 上的反常积分, 记作
无界点常称 为瑕点 类似地 , 若 f(x) C [a,b),而在 b 的左邻域内无界,
则定义
2
而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
d x
1
2
3
d x
( )
0 x (x 2 ) 0 1 2 3 x (x 2 )
1
( 0
2
1
3
2
3 ) 1 2 x 1 2 x 1 d x
1 2 ln x x 21 0 ln x x 21 2 ln x x 23 2 ln x x 2 3
c
b
f ( x ) d x f ( x)dx
a
c
c1
b
lim f(x)dx lim f(x)dx
10 a
20 c2
3
说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互相转化 .
例如 ,
1
1
1 x2
0
x2
1 x2
dt
1dΒιβλιοθήκη x于 是 , 所 求 面 积 为
b
A |f(x)g (x)| dx a
17
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x为积分变量 x[0,1]
定积分的几何应用课件
电场中的电势
总结词
定积分可计算电场中的电势
详细描述
在静电场中，电势差与电场强度成正比。通过定积分可以计算出 某一点处的电势，即对电场强度进行积分。
公式表示
电势 = ∫E·dl
05
定积分的近似计算
方法
矩形法
总结词
矩形法是一种简单直观的定积分近似计算方法，通过将积分 区间划分为若干个小的矩形，然后求和来逼近定积分。
详细描述
辛普森法则是梯形法的一种改进，它考虑了函数在积分区间的整体变化趋势，将 积分区间分成若干个小的子区间，然后在每个子区间上应用梯形法来逼近定积分 。辛普森法则的精度比矩形法和梯形法更高，但计算量也相对较大。
THANKS
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3
曲边三角形面积的近似计算
在无法直接计算定积分的情况下，可以使用近似 方法计算曲边三角形的面积，如矩形法、梯形法 等。
任意图形的面积
任意图形面积的计算
01
通过定积分计算任意图形的面积，首先需要找到图形的边界曲
线表达式，然后确定上下限，最后计算定积分。
任意图形面积的几何意义
02
任意图形面积表示的是边界曲线围成的平面区域面积。
详细描述
矩形法的基本思想是将积分区间分成若干个小的矩形，每个 矩形的宽度为小区间的宽度，高度为函数在相应小区间的平 均值。然后，将这些矩形的面积加起来，得到的就是定积分 的近似值。
梯形法
总结词
梯形法是一种基于几何直观的定积分近似计算方法，通过将积分区间划分为若干个小的梯形，然后求 和来逼近定积分。
围绕旋转轴旋转的平面图形被称为 旋转面。
旋转体的体积公式
圆柱的体积公式
V = πr²h，其中r是底面半径，h是高。
定积分在几何上的应用
定积分在几何上的应用
定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。
即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。
绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，
V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。
或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。
绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。
若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。
它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。
几何学发展历史悠长，内容丰富。
它和代数、分析、数论等等关系极其密切。
高等数学(第二版)上册课件：定积分的几何应用
预备知识：定积分定义的四个步骤，即分割、近似、
求和、取极限；直角坐标与极坐标下常见曲线的图形，
例如椭圆 x2
a2
y2 b2
1，阿基米德螺线
a a 0 等.
5.6.1 定积分的微元法 5.6.2 平面图形的面积 5.6.3 旋转体的体积
5.6.4 平面截面面积已知的立体体积
本节课我们来研究定积分在几何上的应用.首先 来介绍一种分析方法.
围成，其中 f (x) g(x) (a x b) ，我们来求它的面积 A
取 x 为积分变量，它的 .
变化区间为 a,b ，我们 在 a,b 上任取一小区间
.
x, x dx
与这个小区间对应窄边形的面积 A 近似地等于高为
f (x) g(x) ，底为 dx 的窄矩形的面积，从而得到面积微元：
dA f (x) g(x)dx
0
2
(cos
x
sin
x)dx
4
(sin x cos x) 4 (sin x cos x) 2
0
4
.
2( 2 1).
.
2. 极坐标情形
有些平面图形，尤其是旋转曲线所包围的图形，
用极坐标来计算比较简单.
设曲边扇形是由曲线
及射线
所围成的图形. 该图形的面积同样也可以用微元法分析，
其面积元素为
dA 1 2 d
2 以此作定积分，得所求曲边扇形的面积公式为：
A
1 2
2
d
例5.6.4 计算阿基米德螺线 a a 0 上相应于
从 变到 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
分析：先求任取一小区间 , d 的窄曲边扇形的面积.
解 由上面分析，易得面积元素
高等数学-第六章-定积分的应用
两段积分, 故以 y 为积分变量.
y
A 3 (2y 3) y2 dy 32
1
3
3 y
s
弧线段局部
3
1 1 4 y2 dy
直线段局部
3 1
1 22 dy
O 1
3 37 5 5 1 ln(6 37) ln(2
4
x2y3 0 x
x y2
5)
作业
P284 3; 12; 18
第三节
第六章
定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到
x b , 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在[a ,b]上任取子区间[x, x d x]，在其上所作的功元
y
a
(1
cos
t)
(a 0)
y 2a
x x2 ( y)
绕 y 轴旋转而成的体积为
O
πa 2πa x
Vy
2a 0
π
x22 ( y) d
y
2 0
a
π
x12
(
y)
d
y
x x1( y)
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
y y f (x)
x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 那么
Oa x bx x dx
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
高等数学 第六章 第1、2节 定积分的概念(中央财经大学)
，杂平面图形面积的方法该过程告诉了我们求复. 形面积的定义同时，也告知了平面图想方法是：解决曲边梯形面积的思. 取极限—求和—代替—分划 处理的问题的结果，即通常人们把这类方法所. ],[ )( 上的定积分在区间这种极限值，称为函数b a x f定积分符号：. )(lim d )(10∑∫=→∆=n i i i b a x f x x f ξλ 定积分号；—∫b a 积分下限；—a积分上限；—b d )(被积表达式；—x x f )(被积函数；—x f d 积分变量；—中的x x. ],[积分区间—b a ) ( 积分变量的取值范围关于定积分定义的几点说明. ] ,[ )( , T ),( d )( )1(有关区间及只与的选择无关及点它与分法具体的数是一个极限值定积分b a x f x x f i ba ξ∫ . d )(d )(d )()2(⋯===∫∫∫ba b a b a t t f y y f x x f 号无关：定积分与积分变量的记喂!下面是几个关于函数可积性的定理.运用定积分的概念及定积分的几何意义, 由函数的极限运算性质容易证明它们, 所以我们在这里不进行证明.定理 1. ]),([)( ]),,([)( b a R x f b a C x f ∈∈则若, ],[ )( 上单调、有界在若b a x f. ]),([)( b a R x f ∈则)( , ],[ )(第一类且仅有有限个上有界在b a x f. ]),([)( ,b a R x f ∈则间断点定理 2O xya b c �. ]),([|)(| ]),,([)( b a R x f b a R x f ∈∈则若. 3 的逆不真定理⎩⎨⎧−= . 1, , 1 )( ,为无理数，为有理数例如x x x f 定理 3, ],[ ],[ ]),,([)( b a d c b a R x f ⊂∀∈则若. ]),([)(d c R x f ∈O xya b c d 定理 4]),,([)(),( 则若b a R x g x f ∈ . ]),([)()( ),()( ),(b a R x g x f x g x f x kf ∈⋅±定理 5为常数）k (三. 定积分的性质由于定积分是一种和式的极限, 所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.在以下的叙述中, 假设所出现的函数均可积, 所出现的定积分均存在.: ,定积分反号交换积分上、下限. d )(d )(∫∫−=abbax x f x x f 1 性质)( 2 线性性质性质, d )(d )(d )]()([∫∫∫±=±ba b a b a x x g x x f x x g x f βαβα. ,为常数、式中βα)( 3 保号性性质. 0d )( ],,[ ,0)( ≥∈≥∫ba x x fb a x x f 则若(小于零的情形类似. )1 3 的推论性质. d )(d )( ,],[ )()( ∫∫≥∈≥babax x g x x f b a x x g x f 则若2 3 的推论性质∫∫≤babaxx f x x f d |)(| |d )(|证(f)( 4 对区间的可加性性质∫∫∫+=bcc abaxx f x x f x x f d )(d )(d )(. ,b c a <<其中注意：不论a, b, c 大小关系如何，上式仍然成立！)( 5 估值定理性质,, ],[ )( , 则最小值上的最大在分别为设b a x f m M. )(d )()(a b M x x f a b m ba −≤≤−∫. 0d )(=∫bax x f 时当补充规定：b a =证)( 6 积分中值定理性质使得则上保持符号不变在 , ],[ , ],[ b a b a ∈∃ξ. d )()(d )()(∫∫=babax x g f x x g x f ξ )( ]),,([)( ]),,([)( x g b a R x g b a C x f 且若∈∈解f t3。
定积分在几何中的应用 课件
↗
4
t
1
0,
1
由表知,当 t= 2 时,S(t)取极小值 4 , 也就是在区间(0,1)上的最小值.
∴当 t=
1
时,使
2
S=S1+S2 最小.
反思涉及不规则平面图形的面积问题,都可考虑采用定积分来处理,
在解决此类问题时,要注意两点:(1)利用定积分正确地表示各相关
量间的关系;(2)定积分的正确计算.
1
S= 0
1
x- - 3 x
3
dx + 1
1
(2-x)- - 3 x
dx
3
1
1
=
x + x dx +
2-x + x dx
3
3
0
1
2 3 1 2 1
1 2 1 2 3
2
=
x + x |0 + 2x- x + x |1
3
6
2
6
2 1
1
= + + 2x- x 2 |13
3 6
3
5
1
1 13
= +6− × 9−2+ =
平行线 l.曲线 C 与直线 x=0,x=1 及直线 l 围成的图形包括两部分,
面积分别记为 S1,S2.
(1)求 t 的值,使 S1=S2;
(2)求 t 的值,使 S=S1+S2 最小.
分析:应先根据题意及用定积分求曲边多边形面积的方法得出
用 t 表示的两图形的面积 S1,S2 的表达式,再根据各小题的条件求解.
c
解析:由定积分的几何意义知 S= ( x)dx − a
微积分课件第七节定积分的几何应用.
2. 截面面积已知的几何体的体积设有立体如图 A( x 表示过点x的截面面
积， , 求此立体的体积 . (1 任取区间 x, x dx]， [ 落在该区间几何体的体积为V，Δ 可近似扁圆视为以A(x为底面积、dx 为高的柱体的体积, 则体积微元为利用定积分的微元法 A(x a x x+dx b x A( x dx，就是所求几何体的体积 V 在区间 a, b]作定积分， [ (2 以A( x dx为被积表达式， b a A( x dx.
例设有底圆半径为R的圆柱，被一与圆柱底面交成α且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体的体积。
解取该平面与圆柱体底面的交线为 x轴, 底面上过圆中心且垂直于 x轴的直线为轴, y R 则底圆方程为 x 2 y 2 R 2 , x 在
x( R x R处垂直于x轴作立体的截面 , 截面为直角三角形, 两条直角边分别为 y y 及y tan α , 即 R 2 x 2 及 R 2 x 2 tan α , R x 1 2 A( x ( R x 2 tan α , 截面面积 2 R 则立体体积 V 1 (R 2 x 2 tan αdx 2 R3 tan α . 2 R 3
小结一、定积分应用的微元法二、用定积分求平面图形的面积三、用定积分求体积 (1旋转体的体积 Vx V a b a π[ f ( x ] dx Vy 2 d c π[ ( y ] dy 2 (2截面面积已知的几何体的体积 b A( xdx
作业： P266 1（2），2（2）。
定积分在几何中的应用_ppt课件
S 0 ( y 4)dy 0
dy 2
40
3
10
思考：计算由曲线 y2 2x 直线y=x-4以及x轴围成图形的面 积.
解法1：
采用分割的方法
y2 2x
S2 S1 S1
B
A y=x-4
2
8
S 2S1 S2 2 0
2xdx ( 2x x 4)dx 2280 源自 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
成的图形的面积。
y
解：如图：由x2-1=0得到抛物线
与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所
求面积如图阴影所示：
所以：
S
2 ( x2 1)dx 1 ( x2 1)dx
1
1
x
( x3 x) 2 ( x3 x) 1 8
3
13
1 3
14
练习2. 求抛物线y=x2+2与直线y=3x和x=0所
得
x＝－3 y＝5
或
x＝2 y＝0
，
（-3,5）
（2,0）
所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4
的交点为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S，根据图形可得
S＝ʃ 2－3(－x＋2)dx－ʃ －2 3(x2－4)dx ＝＝(2225x－－(12－x2)23|52－3)－＝(11326x53.－4x)|2－3
S s1 s2
a
f (x)dx
g( x)dx
a
b
a [ f (x) g(x)]dx
b
b
(3) S a f ( y)dy a g( y)dy
b
a [ f ( y) g( y)]dy
4
例题讲解
舍6-7定积分的几何应用
第一步：取其中任 一小区间并记为
[ x, x dx]，求出
相应于这小区间的 部分量 A 的近似
值，记作dA；
x
A f xx
定积分在几何学上的应用
二、平面图形的面积
y y f (x)
a b o
x x x
如何用元素法分析？
第一步：取其中任 一小区间并记为
[ x, x dx]，求出
y dy
A
的面积元素dA为
y
c
dA f ( y) g( y)dy
O
x f ( y)
x
A d[ f ( y) g( y)]dy c
定积分在几何学上的应用
例 4 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x y x4
a x x dx b
x
小曲边梯形绕 x 轴旋转而
成的薄片的 体积元素 dV [ f ( x)]2dx
旋转体的体积 V b [ f ( x)]2dx a
定积分在几何学上的应用
dV [ f ( x)]2dx
例6 求y x2在[0,1]上绕x轴旋转形成的体积.
解 取积分变量为x, x [0,1]
定积分在几何学上的应用
于是所求面积 A A1 A2
A 0 ( x3 6x x2 )dx 3(x2 x3 6 x)dx
2
0积分区间上被积函数的形式．
练习
问题：积分变量只能选x吗？
定积分在几何学上的应用
情形二
观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：
1
Vx
(
A-5(6-7)定积分应用
A
x.
a
b
f
x
(x)d x
A
c
b
|
f f
(x) (x)
dx
| d x.
a
y = f (x)
12
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（二） 图形由两条连续曲线
y f ( x), y g( x) 与 x a, x b 围成。 (1) f ( x) g( x) 取[x, x dx] [a, b]
y x2 1 所围成的平面图形的面积 A 。
y
1
o12
y 1 x2
解：
A
2
0
|1
x2 |dx
x
A
1
0
(1 x2)
dx
2 (1 x2) d x = 2 . 1
公式
18
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例2： 求由 y x, y x2 所围图形的面积。
y = f (x) ≥0 ，在[ a , b ]上连续。
(1) 分割：得小曲边梯形的面积 Ai
(2) 近似：Ai f (i )xi (i =1 , 2 ,…, n)
( Ai 与 f (i ) xi 仅差高阶无穷小）
n
(3) 求和： A f (i )xi
i1 n
b
(4)
c
15
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（三）图形由连续曲线 x ( y) , xy 轴 与( y) 与
y c, y d 围成。
取[ y, y dy] [c, d]，小矩形的底长 d y，
y
d x y
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一、微分元素法
)( 或称为积分元素法法数学建模中的微分元素 ,当把非均匀变化的问题实际中在物理、几何以及工程 , ,则通积达形式能表示为某两个量的乘看作是均匀变化时
. 分问题来处理常可将问题归结为定积 . 具有对区间的可加性要求量运用定积分处理问题时A
取极限”—求和—近似“分划—
,局利用整体上变化的量在局部问题的步骤将整体问题化成 , ,替“变”在局部上以“不变”代关系部上近似于不变的辩证
,采用按照定积分的概念
]. ,[ )( 11
1
i i i n
i i i n
i i x x x f A A −==∈∆≈∆=∑∑ξξ便有关系式
, ,个将具有代表性的第略去下标为简便和醒目起见i i
, , ]d ,[ ] ,[ 1且取称之为典型小区间表示为小区间x x x x x i i +−
, 则有为区间的左端点x i ξ
. d )(x x f A ≈∆
, )( d )( 记为或积分元素的微分元素为量通常称A x x f
. d )(d x x f A =
( 0d , 相当于取极限过程对区间的可加性由量→x A ] ,[ d , 0)||||上“无限累加”起来在区间将微分元素b a A x →∆
] ,[ )(上的值：在区间就得到量即作定积分b a A
. d )(d ∫∫==b
a
b
a
x x f A A
. ,加解为微分元素的无限累我们在这里将定积分理简言之
一、平面图形的面积1
解
解
解
解y
2
解
3
解
二、旋转体的体积
一轴旋转一周所生成的将平面图形绕平面上某 . ,该轴称为旋转轴几何体称为旋转体 . , 间的可加性旋转体的体积具有对区上在区间I
:旋转体的特点 ,截旋转体所得的的平面任何一个垂直于旋转轴
. 图形均为圆
截口
1 y
1 y
2
解
O
a
a b
解
解
2πy
三、平行截面面积为已知的几何体的体积
解
解。