忆阻混沌电路的分析与实现

* 国家自然科学基金（ 批准号： 60971090 ） 、 江 苏 省 自 然 科 学 基 金 （ 批 准 号： BK2009105 ） 和 航 空 科 学 基 金 （ 批 准 号： 2009ZC52038 ） 资 助 的 课题 ． E-mail ： mervinbao@ 126． com
2011 中国物理学会 Chinese Physical Society 120502-1
图3 磁控忆阻振荡器电路
［9］
由基尔霍夫定律和 元 件 的 伏 安 特 性 可 得， 图 3 所示 设 d v1 1 = ［ v － v 1 + GRv 1 － RW （ φ ） v 1 ］ ， dt RC 1 2 d v2 1 = ［ v － v 2 + Ri 3 ］ ， dt RC 2 1
120502-3
， 即
3
q（ φ） = aφ + bφ ， 可得到它的忆导 W （ φ ） 为 dq（ φ） W （ φ） = dφ = a + 3 bφ2 ．
（ 1）
（ 2）
这里 a ＞ 0 ，b ＞ 0 ． （ 1 ） 式 描 述 的 磁 控 忆 阻 器 在 φ -q 平面上的特性曲线 如 图 2 （ a ） 所 示； （ 2 ） 式 表 述 的 忆 它是随内部状态变量 φ 变化 导曲线如图 2 （ b ） 所示， 的正值函数 ． 上述忆阻器所消耗的即时功率 p （ t） = W （ φ（ t） ） v（ t） 满足
［9 — 13］
d i3 r 1 = － v2 － i3 ， dt L L dφ = v1 ． dt （ 6）
代替蔡氏混沌电
路中的蔡氏二极管来实现的 ． 图 3 电路由四个动态 元件组成， 分别是 两 个 电 容 、 一 个 电 感 和 一 个 忆 阻， 它们所对应的四个状态变量分 别 是 v 1 ，v 2 ，i 3 和 φ ， 这里 φ 是忆阻内部状态变量 ． 图 3 中 AA' 端的右边 电 路 构 成 了 一 个 有 源 忆 阻 从端口 A 流 进 的 电 流 i m 与 AA' 端 的 电 压 v 之 间 器， 的伏安关系为 im = （ W （ φ） － G） v = （ a － G + 3 bφ2 ） v ． 电路的状态方程为四个联立的一阶微分方程组 （ 5）
2. 光滑忆阻器
忆阻器是一个 基 本 的 无 源 二 端 元 件， 它的磁链 φ 与累积的电荷 q 之间的关系可以用 φ -q 或 q-φ 平面 上的一条曲线 f （ φ ，q ） = 0 来 确 定 ． 忆 阻 器 分 为 荷
即电荷随磁链的变化率 W （ φ ） =
流过的电 流 和 两 端 的 电 压 之 间 的 伏 安 特 性 可 以 描 述 为 i = W （ φ ） v． 这里 M （ q ） 和 W （ φ ） 均是非线性函 且取决于忆阻器内部状态变量 q 或 φ ． 数，
［5 — 11］ ［9］
在实际电路中， 元件特性曲线一般是光滑连续 的， 不存在非连续点 ． 已有文献研究成果表明， 物理 意义下忆阻器的 特 性 曲 线 将 具 有 多 样 性
［3 ， 17 ， 18］
．
． 因
Itoh 和 蔡 少 棠
采用一个特性曲线为单调上
此， 随着半 导 体 纳 米 技 术 的 高 速 发 展， 完全有可能
213164 ） 210016 ） 610031 ） 210094 ）
2 ） （ 南京航空航天大学电子信息工程学院， 南京
（ 2010 年 10 月 5 日收到； 2011 年 4 月 18 日收到修改稿）
具有记忆功能的忆阻器是除电阻器 、 电容器和电感 器 之 外 的 第 四 种 基 本 二 端 电 路 元 件 ． 提 出 了 由 φ -q 平 面 上 的一条三次单调上升的非线性曲线来确定的光滑磁控忆阻器， 它有着斜“8 ” 字形的类紧磁滞回线的伏 安 特 性 曲 线 ． 采用此忆阻器和负电导构成的有源忆阻器替换蔡氏混沌电路中的蔡氏二极管， 导出了 一 个 基 于 忆 阻 器 的 混 沌 振 荡 电路 ． 此外， 利用常规的运算放大器和乘法器等元器件给出了有源忆阻器的等效电路实现形式 ． 理论 分 析 、 数值仿 真和电路仿真结果一致， 均表明忆阻混沌电路的动力学 行 为 依 赖 于 忆 阻 器 的 初 始 状 态 ， 在不同初始状态下存在混 周期振荡或稳定的汇等不同的运行轨道 ． 沌振荡 、
2
≥0．
（ 3）
从时刻 t 0 至 t ， 对 所 有 t ≥ t0 ， 流入此忆阻器的能量
∫
源的 ．
t
p（ τ） dτ ≥ 0 ．
t0
（ 4）
因此， 具有图 2 （ a ） 所示特性曲线的磁控忆阻器是无
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物 理 学 报
Acta Phys． Sin．
Vol． 60 ，No． 12 （ 2011 ）
120502
图2
光滑磁控忆阻器的特性
（ a ） φ -q 关系曲线，（ b ） 忆导曲线，（ c ） 伏安特性，（ d ） 时域波形
3. 忆阻混沌电路
一个 包 含 有 源 忆 阻 器 的 混 沌 电 路 如 图 3 所 示 ． 该电路是 通 过 采 用 无 源 二 端 口 光 滑 磁 控 忆 阻 和 一 个负电导构 成 的 有 源 忆 阻 器
电路生成 的 吸 引 子 在 相 平 面 上 的 投 影 及 其 时 域 波 形如图 4 所示 ． 图 4 （ a ） 和（ b ） 分别给出了混沌吸引 （ 7） 图 4 （ a） 是 一 个 单 涡 子在 x-y 和 x-w 平面 上 的 投 影， 卷混沌吸 引 子， 而 图 4 （ b） 是 一 个 双 涡 卷 混 沌 吸 引 子； 图 4 （ c ） 是电路中忆阻器的端电压与流过的电流 在 v-i 平面上的相轨， 它反映了忆阻器的非线性动力 （ 8） 学特性 ． 变量 x 和 w 的时域波形如图 4 （ d ） 所示， 它 们是非周期性 的， 貌 似 随 机 的． 光 滑 忆 阻 混 沌 电 路 的 Lyapunov 指数 L 1 = 0. 2567 ，L 2 = 0 ，L 3 = 0 ，L 4 = Lyapunov 维数 d L = 2. 055． 因 此， － 4. 6638 ， 从相轨 时域波形以及 Lyapunov 指数和维 数 可 知 该 电 路 图、 是混沌振荡的 ． 一般的混 沌 系 统 都 对 初 始 条 件 具 有 敏 感 依 赖 性， 在不同的初始条 件 下 系 统 轨 线 随 时 间 的 演 化 是 不可预测的， 但它的 运 动 轨 迹 始 终 局 限 于 一 个 确 定 无论混沌系统内部状态多么不稳 的混沌吸引域内， 定， 它的轨 迹 都 不 会 离 开 混 沌 吸 引 域， 即混沌是有 界的
［1］
连续分段线性忆导函数的含源忆阻器替 换 蔡 氏 混 沌电路或类 蔡 氏 混 沌 电 路
［12 ， 13］
中 的 蔡 氏 二 极 管，
导出了一些新 的 忆 阻 混 沌 电 路． 这 些 混 沌 电 路 在 一定的电路参数条件下可生成不同形状 的 混 沌 吸 9， 10］中 所 采 用 的 忆 阻 器 特 性 曲 线 均 引 子 ． 文 献［ 是非光滑 的 分 段 线 性 函 数， 导致它的忆阻或忆导 均是不连 续 的 非 线 性 函 数， 在物理上实现这类器 10］几 乎 没 有 对 其 文 献［9 ， 件是不现实的． 此 外， 所提出的忆阻 混 沌 电 路 进 行 动 力 学 特 性 分 析． 其 实， 由于忆阻器在电路中的介入， 使得新构建的电 路存 在 一 个 分 布 于 某 一 坐 标 轴 上 的 平 衡 点 集
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Acta Phys． Sin．
Vol． 60 ，No． 12 （ 2011 ）
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忆阻混沌电路的分析与实现
包伯成
1）
*
胡 文
2）
许建平
3）
刘 中
4）
邹 凌
1）
1 ） （ 常州大学信息科学与工程学院， 常州 3 ） （ 西南交通大学电气工程学院， 成都 4 ） （ 南京理工大学电子工程系， 南京
控忆阻器和磁 控 忆 阻 器 两 种
， 如 图 1 所 示． 图
1 （ a ） 中的荷控忆阻器可以用 q-φ 平面上一条通过原 其斜率即磁链随电 点的特性曲线 φ = φ （ q ） 来表征， 荷的变化率 M （ q ） = dφ（ q） 称 为 忆 阻， 流过的电流 dq
与两端 的 电 压 之 间 的 伏 安 特 性 可 以 描 述 为 v = M （ q ） i． 图 1 （ b ） 中的磁控忆阻器可以用 φ -q 平面上 其斜率 一条通过原点的特性曲线 q = q （ φ ） 来表征， dq（ φ） 称为忆导， dφ
［11 — 13］
于 1971 年从理论 上 预 测 描 述 电 荷 和 磁 通 关 系
— — 忆阻器的 存 在 性， 2］中 阐 述 了 元件 — 并 在 文 献［ 合成 原 理 和 应 用 ． 由 于 在 现 实 中 没 有 发 元件特性 、 现这类器件， 关于忆 阻 器 及 应 用 的 研 究 并 没 有 引 起 科学界和工程界的重视 ． 惠普公司实验室的 Strukov 等
http ： / / wulixb． iphy． ac． cn
物 理 学 报
Leabharlann Baidu
Acta Phys． Sin．
Vol． 60 ，No． 12 （ 2011 ）
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［1 — 3］
根据实际 应 用 需 要 制 作 出 具 有 特 定 特 性 曲 线 的 忆 阻器 ． 本文将提出一个具有光滑连续的三次单调上 升的非线性函数 f （ φ ，q ） = 0 的归一化磁控忆阻器， 基于该忆阻器设计 出 一 个 忆 阻 混 沌 电 路， 并利用常 规的元器件给出有 源 磁 控 忆 阻 器 的 等 效 电 路 实 现， 由此验证 忆 阻 器 所 对 应 的 初 始 状 态 与 忆 阻 混 沌 电 路动力学特性之间的关系 ．
· · · ·
需要说明的是， 忆阻混沌电路的稳定性不能简 单地由平衡点集 E 的 三 个 非 零 特 征 根 λ i （ i = 1 ，2 ， 3 ） 的稳定性来确 定， 在一定的电路参数下零特征根 （ λ4 = 0 ） 对 忆 阻 混 沌 电 路 的 稳 定 性 也 有 很 大 的 影响 ．
－ 10 对于初始条件（ 0 ，10 ，0 ，0 ） ， 光滑忆阻混沌
［3］
于 2008 年 5 月首次报道了忆阻器的实现性， 其
［4］
， 有着与一般 混 沌 电 路 或 系 统 完 全 不 同 的
［14 — 16］
研究引起人们 的 极 大 兴 趣
． 忆 阻 元 件 的 存 在， 使
非线性物理现象
．
电容和电感增加到了 电路设计的基础元 件 由 电 阻 、 四个， 忆阻器为电路 设 计 及 其 忆 阻 电 路 应 用 提 供 了 全新的发展空间
x = v1 ， y = v2 ， z = i3 ， w = φ，
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Acta Phys． Sin．
Vol． 60 ，No． 12 （ 2011 ）
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α = 1 / C1 ， β = 1 / L， γ = r / L， ξ = G， C2 = 1 ， R = 1， 并定义非线性函数 W （ w ） 为 dq（ w） W（ w） = dw = a + 3 bw 2 ， （ 6 ） 式的状态方程可以重写为
关键词： 忆阻器，混沌电路，初始状态，等效电路
PACS ： 05． 45． － a
升且分段线性的忆阻器替换蔡氏混沌电 路 中 的 蔡
1. 引
言
导出了基于忆阻器的类正弦振荡或混 氏二极管， Muthuswamy 沌振荡 电 路． 类 似 地，
［10］
采用一个不
在电路基本理 论 中， 电路和元件特性是由四个 电压 、 电 荷 和 磁 通 ） 来 描 述 的， 其中 基本变量（ 电流 、 描述电压与 电 流 关 系 、 电 压 与 电 荷 关 系、 电流与磁 电 容 器 和 电 感 器， 它们 通关系的元 件 即 为 电 阻 器 、 是目前实现电路的基本组成元件 ． 根据变量组合完 备性原理， 加州大学 伯 克 利 分 校 的 华 裔 科 学 家 蔡 少 棠
图1
忆阻器
（ a ） 荷控忆阻器，（ b ） 磁控忆阻器
定义 一 个 磁 控 忆 阻 元 件 具 有 光 滑 的 三 次 单 调 上升的非线性特性曲线
［11 — 13］
（ 1） 式描述的是一 进一步， 当 a = 1 和 b = 1 时， 个归一化磁控忆阻器 ． 在如图 1 （ a ） 所 示 的 归 一 化 磁 控 忆 阻 器 的 两 端 施加一个单位幅度的正弦电压 sin （ 2 π ft ） 激励， 设忆 流过的电流为 i ， 于是有 阻器端电压为 v ， v = sin （ 2 π ft ） ， i = W （ φ） v = （ 1 + 3 φ2 ） v， dφ / dt = v ． 利用 ODE45 算法， 可得到归一化磁控忆阻器在 v-i 平 面上的伏安特性曲线如图 2 （ c ） 所示， 激励频率 f = 0. 5 Hz 时对应的电压和电流的时域波形如图 2 （ d ） 所示． 图 2 （ c） 给 出 了 两 个 不 同 的 频 率 激 励 时 归 一 化 磁控忆阻器的伏安 特 性 曲 线， 表明忆阻器的性能受 激励频率的影 响 很 大 ． 另 外， 磁控忆阻器的伏安特 性具有一个 斜“8 ” 字 形 的 类 紧 磁 滞 回 线 的 形 状， 除 原点外， 电 压 和 电 流 互 为 彼 此 的 双 值 函 数， 该特性 与惠普忆阻器和蔡氏忆阻器所描述的一致 ．