忆阻混沌电路的分析与实现
一种忆阻器混沌电路实现
一种忆阻器混沌电路实现混沌电路是一类非线性电路，具有高度复杂的动态行为。
它可以产生看似随机的、无法预测的电信号，具有广泛的应用领域，如密码学、混沌通信等。
本文将介绍一种基于忆阻器的混沌电路实现方法。
忆阻器是一种特殊的电阻器，它的电阻值取决于过去的电流或电压历史。
与传统的电阻器不同，忆阻器可以记忆之前的状态，这使得它在电路中具有特殊的功能。
在混沌电路中，忆阻器的引入可以增加电路的非线性，从而产生复杂的动态行为。
忆阻器混沌电路的实现主要包括三个部分：忆阻器、放大器和反馈回路。
我们需要选择一个合适的忆阻器。
忆阻器的工作原理是基于磁性材料的磁滞回线特性。
当电流通过忆阻器时，会在磁性材料中产生磁场，导致磁滞回线的形成。
这种磁滞回线的形状会影响忆阻器的电阻值。
因此，通过调节电流或电压的大小和方向，可以改变忆阻器的电阻值。
接下来，我们需要将忆阻器与放大器连接起来。
放大器的作用是放大忆阻器的输出信号，以使其能够驱动其他电子元件。
选择合适的放大器对于实现稳定的混沌电路非常重要。
常用的放大器包括运算放大器和差分放大器。
通过调节放大倍数和偏置电压，我们可以获得理想的放大效果。
我们需要将放大器的输出信号通过反馈回路送回忆阻器。
反馈回路的作用是将电路的输出信号反馈到输入端，形成正反馈。
这种正反馈会增强电路的非线性特性，从而产生混沌行为。
在反馈回路中，我们可以通过调节反馈增益和相位来控制电路的动态行为。
通过以上三个步骤，我们可以成功实现一种基于忆阻器的混沌电路。
这种电路具有复杂的动态行为和随机性质，可以用于产生高质量的随机信号。
此外，该电路还可以应用于密码学领域，用于生成加密密钥或进行加密传输。
同时，它还可以应用于混沌通信领域，用于提高通信系统的抗干扰能力。
忆阻器混沌电路是一种基于忆阻器的非线性电路，具有复杂的动态行为和随机性质。
通过合理选择忆阻器、放大器和反馈回路，我们可以成功实现这种电路。
该电路在密码学和混沌通信等领域具有广泛的应用前景。
一个磁控忆阻器混沌电路及其FPGA实现
引子等 肯定存在缺陷 。 文献［— ］ ７ ９研究 了暂态混沌和稳定 的周期轨 ，并提 出这种暂态混沌 与忆 阻器对初
值 的 高度 敏 感 有 关 。文 献 ［］ 出 的忆 阻器 混 沌 电路较 为简 单 ，并提 出 了模 拟 电路 的 一种 实 现 方 法 ，但 ６提 未 对其 动 力 学特 性 和 暂 态 混沌 进 行 分 析 ，而 且 用模 拟 电路 实 现 忆 阻器 混沌 其 参 数 漂 移 、 难 以同 步等 诸
＝
１Ｌ 。 ／
当 ００ ＝ ０ ９ ｘ ０ ， ＝ ． １ｘ ０ ，Ｒ＝ ． ｋ ，Ｃ ＝ ． Ｆ，Ｃ ＝ ８Ｆ， ＝ ８ ￣［， ＝ １０ ， 一 ． ９ １一 ０ ２８ １～ ５ ０ １ ８． ９ Ｑ １ ６ｎ ８ ２ ６ｎ Ｌ １ｍＨ ６ 】
即 ７＝ ． ７ × ０ ， ／＝１ ７６ １。 ＝７ ２２ １一， ＝ ． ０ × ０ ， ＝ ５５５ ，初 始 值 为 （ ， ．， ．， ７ ７４ ２ １ ａ ． ０ × ０ ， ２ ４ ． ７ Ｘ ０ １ ７６ １ ５ ． ６ ４ ４ ５ ０． １０１ ０
问题 。
２ 忆 阻 器 混 沌 电路 的 动 力学 分 析
文 献 ［］ 出 的忆 阻器 混 沌பைடு நூலகம்电路如 图 １ 示 ， 为 一个 忆 ６提 所
ｉ
图 １ 磁 控 忆 阻 器 替 换 蔡 氏二 极管 的蔡 氏振荡 电路
一个新的基于忆阻器的超混沌系统及其电路实现资料
一个新的基于忆阻器的超混沌系统及其电路实现尹玮宏1 ,王丽丹1,*, 段书凯11西南大学物理科学与技术学院电子信息工程学院重庆中国400715摘要忆阻器被认为是第四个基本电路元件，它除了是下一代非易失性存储中有竞争力的候选器件外，由于拥有超越其它元件的超级性能，还能构建具有复杂动力学的非线性电路。
特别地，新的基于忆阻器的混沌振荡器的实现已成为非线性电路设计的范例。
本文首先推导两个基于磁控忆阻器模型的串联忆阻器的特性及磁通电荷关系。
然后通过使用这个忆阻系统获得一个新颖的四维超混沌系统，它有两个正的李雅普诺夫指数。
通过观察各种混沌吸引子、功率谱和分岔图可看到丰富的动力学现象。
最后，建立了模拟该系统的SPICE电路。
SPICE 仿真结果与数值分析一致，这进一步显示了该超混沌系统的混沌产生能力。
关键词:忆阻器,超混沌系统,混沌吸引子,电路实现1 引言忆阻器（Memristor）是一种非线性无源元件，具有非线性和非易失性。
几年来的研究工作取得了可喜的进展，各种基于忆阻器的应用成为了研究的热点。
2008 年，惠普实验室的科学家在《Nature》上发表论文宣称，成功制成了第一个物理实现的忆阻器[1]，证实了37 年前加州大学蔡少棠（Leon O. Chua）教授的推测[2]。
此后，忆阻器受到了广泛的关注和研究。
忆阻器的体积小，功耗低，因此忆阻器是混沌中非线性电路部分的理想选择[3]，各种基于忆阻器的混沌系统得到了研究人员的密切关注[4-7]。
基于忆阻器的混沌系统应当具有以本项目受到新世纪优秀人才支持计划（教技函［2013］47号）, 国家自然科学基金(61372139, 61101233, 60972155)，教育部“春晖计划”科研项目（z2011148）,留学人员科技活动项目择优资助经费（国家级, 优秀类, 渝人社办〔2012〕186号）, 重庆市高等学校优秀人才支持计划（渝教人〔2011〕65号）,重庆市高等学校青年骨干教师资助计划（渝教人〔2011〕65号）,中央高校基本科研业务费专项资金(XDJK2014A009, XDJK2013B011）的资助。
基于忆阻器的非线性电路分析及图像加密应用
摘要忆阻器作为一种具有电荷记忆特性的非线性二端口元件，在电路中极易产生混沌振荡信号，它的出现为电工电子、人工智能及非线性系统等领域的发展提供了全新的方向。
其中，基于忆阻器的混沌电路构建及应用，受到研究者的广泛关注，成为非线性领域及电工电子领域的研究热点之一。
本文设计两种忆阻混沌振荡电路，分析电路中特殊的非线性动力学行为，并结合数字电路技术与模拟电路技术实现所构电路。
后利用电路产生的混沌序列实现数字图像加密。
具体研究工作总结如下：（1）构建含单个绝对值忆阻模型的非线性电路，分析系统复杂动力学行为并完成硬件电路实验。
将绝对值型忆阻器引入改进型蔡氏电路，构建新型四维忆阻电路，在其伏安模型的基础上讨论系统动力学特性。
发现所构系统存在，不同于改进型蔡氏电路的特殊对称共存分岔现象及对称域内多稳态现象，为忆阻混沌序列的加密应用打下基础。
最后，采用电路分立元件完成所构电路的硬件实验，证实理论分析的正确性及电路的物理可实现性。
（2）建立异构双忆阻电路的常规模型与降维模型，比较两者动力学特性的异同，并基于降维模型设计数字电路实现方案，物理调控系统多稳态行为。
在单忆阻电路基础上增加一个三次非线性磁控忆阻器，设计含有两个不同忆阻器的双忆阻非线性电路。
随后，分别基于基尔霍夫定律与磁通-电荷分析法，建立系统伏安模型与韦库模型，采用常规非线性动力学分析方法讨论两种模型对应的运动行为，明确系统不同运动状态对应的参数域或初值域。
此外，证明磁通-电荷分析法应用在异构双忆阻混沌电路中的可行性与有效性，为类似的非线性系统分析提供理论参考。
最后，利用数字电路实现技术，基于韦库模型物理实现双忆阻混沌振荡电路，并完成特殊多稳态现象的精准物理控制。
（3）提出一种结合优化置乱算法与扩散算法的掩盖性加密算法，设计新型忆阻混沌数字图像密码系统。
首先，对三个忆阻模型产生的混沌序列进行随机性测试，选定伪随机特性优良的序列作为混沌加密密码。
随后，优化常规行、列置乱算法，得到二维矩阵转为一维向量后的无重复置乱算法。
基于忆阻器的混沌系统原理及应用
（3）
状态方程中
中 vC 和 iL 分别为经过电容
的电压和经过电感的电流。其中参数选择 k=1，c=0.5，L=1，
C=1，初始条件为（0，0.1，0），利亚诺普指数存在一个或多
个大于 0，且利亚诺普指数之和小于 0，维数也为分数维度，
那么说明系统进入的混沌。那么给出如下的归一化方程。
- 135 -
中国新技术新产品 2018 NO.8（下）
新技术开发
图 2 混沌图
[3] 许碧荣 . 一种最简的并行忆阻器混沌系统 [J]. 物理学报，
2013，62（19）：91-98.
（4） [4] 胡柏林，王丽丹，黄艺文，等 . 忆阻器 Simulink 建模和图 形用户界面设计 [J]. 西南大学学报（自然科学版），2011，33
新技术开发
2018 NO.8（下） 中国新技术新产品
基于忆阻器的混沌系统原理及应用
申可迪 （浙江省杭州第二中学，浙江 杭州 310000）
摘 要 ：本文在蝴蝶效应理论中引出的混沌系统的基础上，提出了一种串行忆阻器的混沌系统，通过建立混沌系
统的电路图，给出电路的关系式，再通过仿真器去模拟基于此电路的混沌系统。在密码学的发展过程中，密码变
[6] 方清 . 基于忆阻器的混沌电路设计 [D]. 湖南 ：湘潭大学， 2013. [7] 闵富红，王珠林，王恩荣，等 . 新型忆阻器混沌电路及其 在图像加密中的应用 [J]. 电子与信息学报，2016，38（10）： 2681-2688. [8]Chua L O.Memristor-The missing circuit element[J].IEEE Trans Circuit Theory，1971，18（5）：507-519. [9]Chua L O，Kang S M.Memristive devices and systems[J].Proc IEEE，1976，64（2）：209-223.
忆阻器电学特性的模拟及在混沌系统中的应用研究
结论与展望
本次演示通过对忆阻器电学特性的模拟及在混沌系统中的应用研究，取得了 一些有意义的成果。首先，我们建立了一种简单、准确的忆阻器数学模型，该模 型能够较好地模拟忆阻器的电学特性；其次，我们将忆阻器应用于混沌系统的模 拟和分析中，实现了混沌电路的稳定性和动态行为的调控；最后，我们还探讨了 忆阻器在混沌加密和安全通信领域的应用前景，为未来的研究提供了一定的思路 和方向。
接着，本次演示提出了模拟忆阻器电学特性的实验设计和实施方法，并详细 阐述了混沌系统中忆阻器的应用研究。最后，本次演示对实验结果进行了分析和 总结，并指出了未来研究中需要进一步探讨的问题。
引言
忆阻器作为一种新型的电子元件，自2008年被发现以来，已引起了广泛的和 研究。忆阻器具有独特的电学特性，如非线性、非对称性和记忆效应等，这些特 性使得忆阻器在模拟神经网络、混沌系统、基因电路等领域具有广泛的应用前景。 本次演示将重点探讨忆阻器电学特性的模拟方法及其在混沌系统中的应用。
在混沌系统中，忆阻器的应用研究还处于起步阶段。已有研究表明，忆阻器 可以用于混沌系统的建模和控制。例如，利用忆阻器构建混沌电路，可以实现对 混沌系统的复杂行为进行模拟和分析。此外，忆阻器还可以用于混沌系统的反控 制，例如利用忆阻器实现混沌加密和安全通信。
研究方法
本次演示采用实验研究和理论分析相结合的方法，首先通过实验测试忆阻器 的电学特性，建立相应的数学模型，并使用该模型对混沌系统进行分析和设计。 具体来说，本次演示的实验设计包括以下几个方面：
最简荷控型忆阻器混沌电路的设计及实现
证 电路 的 正 确 性 ， 利用 Ｐ ｓ ｐ ｉ ｃ ｅ进行 相 应 电 路 仿 真 ， 仿 真 结果 与 理 论 分 析 、 数 值 计 算 基 本 一致 ．
关键 词 ： 忆 阻 器 ；混 沌 ；串联 中图分类号 ： Ｏ ４ １ ５ ． ５ ，０ ５ ４ ５ 文献 标 志码 ： Ａ
蔡 氏电路进 行 的设计 ， 电路结 构 比较复 杂 ， 硬 件实 现 比较 困难 ； 其 次 采用 的分 段线 性 函数 和光 滑 函数 描 述 的 忆 阻器 与 惠普实 物模 型有 一定 差异 ． 因此采 用 惠普模 型忆 阻器 ， 设计 电路 结构 简单 的混 沌 电路成 为研 究 的新
方 向， ２ ０ １ ２年 Ｂ ｕ ｓ ｃ ａ ｒ ｉ ｎ ｏ等人根 据 惠普忆 阻器 实 物 模 型设 计 了 一类 新 型 忆 阻 器 混沌 电路 ， 但 是 所 设 计 的混 沌 电路只进 行 了数值 仿 真． 同年 ， Ｃ ｈ ｕ ａ ｔ ６ ］ 利 用数 学模 型化 的 惠普 磁 控 忆 阻器 设 计 并 实现 了只 有 三个 电
阻值 和全部 掺杂 时 的最小 电阻值 ， 同 时用 Ｄ表示 忆 阻器 的 总长 度 ， 伽表 示 忆 阻器 掺 杂部 分 随时 间 变化 的长 度， 从 而忆 阻器 的忆 阻值 可 以表示 为
） ＝ Ｒ 。
收 稿 日期 ：２ ０ １ ４— ０ ６—３ ０；修 回 日期 ： ２ ０ １ ４— ０ ９— ２ ８
＋ Ｒ ｏ ｒ ｒ １ 一 ） ，
（ １ ）
基 金项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 （ ６ １ ２ ３ ３ ０ １ ０， ６ １ １ ７ ６ ０ ３ ２ ） 及 湖 南 省 研 究 生 创 新 项 目（ Ｃ Ｘ ２ ０ １ ４ Ｂ ２ ６ １ ） 资 助 作 者简 介 ：谭 志 平 （ １ ９ ８ ９一） ，男 ，湖 南 郴 州 ， 研 究生 ， 从 事 混 沌 电路 及 系 统 设 计 ， Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： ｔ ｚ ｐ ２ ０ ０ ８ ｏ ｋ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
忆阻混沌电路
6期
包伯成等： 忆阻混沌振荡器的动力学分析
3787
选择电路参数使得 α = 16. 4 ，β = 15 ，γ = 0. 5 ， ξ = 1. 4 ， a = 0. 2 和 b = 0. 4 ， 对 于 初 始 条 件 （ 0， － 10 10 ， 0， 0） ， 系统（ 5 ） 生成了一个双涡卷混沌吸引 它在相空间或相平面上的投影如图 2 所示. 图 2 子， （ d） 显示的是忆阻振荡电路中忆阻器的端电压与流 i 平面上的混沌吸引子， 过的电流在 v它反映了忆阻 器元件的非线性动力学特性. 利用 Jacobi 方法计算 Lyapunov 指 数 得 L1 = 0. 3542 ，L2 = 0. 0008 ，L3 = － 0. 0007 ，L4 = － 7. 8311 ， Lyapunov 维 数 为 d L = 2. 0452. 在 y = 0 截面上三维 Poincaré 映射轨线在 xz平面上的投影如图 3 （ a） 所示， 三个状态变量的时 域波形如图 3 （ b ） 所示， 它们是非周期性的， 貌似随 Poincaré 映射、 机的. 因此， 从忆阻振荡器的相轨图、 时域波形以及相应的 Lyapunov 指数和维数可知， 该 振荡器是混沌振荡的.
3 2 2 λ［ λ + （ 1. 2 αc － 0. 2 α + 1. 5 ） λ
+ （1. 8αc2 － 1. 3α + 15. 5） λ + 18. 6αc2 － 3. 6α］ = 0. （8） （ 8 ） 式方括号中的三次多项式方程的系数均为非零 Hurwitz 稳定条件， 实常数. 根据 Routh该三次多项 式方程的根的实部为负的充分必要条件是 1. 2 αc2 － 0. 2 α + 1. 5 > 0 ， 1. 8 αc2 － 1. 3 α + 15 . 5 > 0 ， 18 . 6 αc2 － 3 . 6 α > 0 ， （ 1. 2 αc － 0. 2 α + 1. 5 ） （ 1. 8 αc － 1. 3 α + 15 . 5 ） － （ 18 . 6 αc2 － 3 . 6 α） > 0 ， 式 中 α 为 正 常 数， 即 有 α > 11. 9231 ， c 0. 4399 ， 以及 2. 16 α2 c4 + （ 2. 7 α － 1. 92 α2 ） c2 + 0. 26 α2 － 1. 45 α + 23 . 25 > 0. 若选择 α = 12 —18 ， c （ 10 ） = 0 —1 ，则满足（ 9 ） 式的参 >
基于忆阻器的四阶混沌震荡电路研究
基于忆阻器的四阶混沌震荡电路研究采用忆阻器替换蔡氏混沌电路中的蔡氏二极管，导出了一个四阶忆阻型混沌振荡电路。
利用常规的分立元件设计了一种新的分段线性有源磁控忆阻器模拟器，借助模拟器进行了忆阻型混沌振荡电路的Pspice仿真，结果表明与Matlab 数值仿真分析结果非常吻合。
标签：混沌电路；忆阻器；忆阻器模拟器1 概述1971年，Chua根据电压、电流、电荷和磁通四个电路变量间关系的对称性和完备性，从理论上预测了描述电荷和磁通关系的元件-忆阻器[1]。
憶阻器作为一种具有记忆功能的非线性元件，由其构成的混沌电路能够产生丰富的混沌动力学行为[2]，因此在保密通信[3]和图像加密[4]中潜在着应用价值。
针对忆阻器在混沌电路中的研究，Itoh和蔡少棠[5]采用一个单调上升分段线性函数描述的忆阻器替换蔡氏振荡器中的蔡氏二极管，实现了一个基于忆阻器的类正弦振荡电路；包伯成等[6]人采用一个单调递增三次光滑函数描述的忆阻器替换蔡氏振荡器中的蔡氏二极管，实现了一个基于忆阻器的光滑振荡电路，但是上述忆阻器混沌电路都未能电路实现，因此设计一类可电路实现的忆阻器混沌电路很有必要。
因此文章首先设计了一种新的分段线性有源磁控忆阻器模拟器，该模拟器电路结构简单、工作频率很高而且能很好的模拟忆阻器的功能，利用模拟器实现了忆阻器混沌电路的Pspice仿真分析，结果与数值仿真分析基本吻合。
2 忆阻混沌电路通过采用一个分段线性函数描述的有源磁控忆阻器替换蔡氏振荡电路中的蔡氏二极管，导出了一个忆阻型四阶混沌振荡电路，如图1所示。
运用基尔霍夫电压、电流定律，可得图1所示系统的状态方程组为：选择电路参数使α=108，β=107，γ=0.56*10-3，δ=58.82，a=0.8*10-3，b=0.2*10-3，对于合适的初始条件，系统（3）生成了一个双涡卷混沌吸引子，它在相平面上的投影如图2所示，通过计算，该系统的Lyapunov指数为：L1=0.2206，L2=0，L3=-0.0702，L4=-0.8520，Lyapunov维数为dL=3.1542，可知其产生了混沌特性。
忆阻Sprott-R混沌系统的复杂动态分析与电路实现
忆阻Sprott-R混沌系统的复杂动态分析与电路实现
曾繁鹏;赖强;赖聪
【期刊名称】《量子电子学报》
【年(卷),期】2024(41)1
【摘要】基于Sprott-R三维混沌系统,提出了一个具有多稳态和调幅特性的简单四维忆阻混沌系统。
首先分析了系统的稳定性,发现该系统具有无穷多个不稳定平衡点。
进而利用Lyapunov指数谱、分岔图及相平面图,研究了该忆阻混沌系统的复杂动力学行为特性。
研究结果表明,当系统参数发生变化时,系统会经反倍周期分岔由混沌态进入周期态;在不同初始条件下,系统能产生三种共存吸引子,分别为双混沌吸引子共存、周期极限环与混沌吸引子共存、双周期极限环共存;当初始条件变化时,系统输出四维混沌信号的幅度均发生变化。
最后,对该系统进行了电路设计与仿真,验证了该忆阻混沌系统的存在性。
【总页数】14页(P170-183)
【作者】曾繁鹏;赖强;赖聪
【作者单位】华东交通大学电气与自动化工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5
【相关文献】
1.基于忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统及其电路实现∗
2.一种新型双忆阻混沌系统动力学及其电路实现研究
3.基于忆阻器的Sprott-B超混沌系统的动力学分析与电
路实现4.五维洛伦兹型忆阻混沌系统及其电路实现5.基于广义忆阻器的超混沌系统的研究与电路实现
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
忆阻器及忆阻混沌电路ppt课件
1 引言
根据图1中基本变量组合完 备性原理，，美国加州大 学伯克利分校华裔科学家 蔡少棠于1971年从理论上 预测了描述电荷和磁通关 系元件的存在性，并且定 义这类元件为记忆电阻器 （简称忆阻器，英文名称 为Memristor）.
忆阻器与忆阻混沌电路
学号： 姓名：
目录
1 2 3
忆引基阻于言器三的次等模型效型忆电阻路器模的型混沌电路 4
LOGO
.
1 引言
由电路基本理论可知，电路和元件特性是有四个基本变量 来描述的，分别为四个电路变量电压（V）、电流（I）、 磁通量（φ）和电荷量（Q） a.电压和电流关系→电阻器R b.电压和电荷关系→电容器C c.电流和磁通关系→电感器L
图3 HP TiO2 忆阻的基本模型
.
➢ HP TiO2忆阻线性杂质漂移模型和非线性窗函数模型可以统一表 示为:
式中：i为输入电流； v 为输出电压； RON.ROFF和k 为系统参数； x为状态变量； M(x)代表忆阻模型的忆阻器； Fn(x)(n=1,2,3,4,5)分别代表HP线性窗函数和4种非线性窗函数
.
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义 2.2 物理器件模型 2.3 数学理论模型
2.3.1 分段线性模型 2.3.2 三次型非线性模型 2.3.3 二次型非线性模型
.
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义
➢ 忆阻器是一个基本的无源二端元件，它的磁通量φ 与累积 的电荷q 之间的关系可以用φ -q 或q- φ平面上的一条曲 线f(φ ，q) = 0 来确定，忆阻器分为荷控忆阻器和磁控 忆阻器两种，如图2所示
忆阻器及忆阻混沌电路
根据理想运算放大器的二个特点知 u+=u—=0，i1=i2
忆阻器及忆阻混沌 电路
（1）反相比例电路
➢ 上式中，u+为同相输入端的输入电压，u-为反相输入端的 输入电压。 i1=ui/R1, i2=-uo/R2
得uo=-R2/R1*ui
➢ 可知，输出电压与输入电压是比例运算关系，或者说是比 例放大关系，并且成反向，所以这种电路又称为反相比例 运算电路。 当R1=R2时，uo=-ui，这就是反相器。
忆阻器及忆阻混沌 电路
2.3.2 三次型非线性模型
上述忆阻器所消耗的即时功率为
p(t)W ((t))u(t)20
从时刻t0到t,对所有t>=t0,流入此忆阻器的能量满足
w(t0,t)
t p()d0
t0
因此，具有图所示特性曲线的磁控忆阻器是无源的。
忆阻器及忆阻混沌 电路
2.3.3 二次型非线性模型
忆阻器及忆阻混沌 电路
图3 HP TiO2 忆阻的基本模型
➢ HP TiO2忆阻线性杂质漂移模型和非线性窗函数模型可以统一表 示为:
式中：i为输入电流； v 为输出电压； RON.ROFF和k 为系统参数； x为状态变量； M(x)代表忆阻模型的忆阻器； Fn(x)(n=1,2,3,4,5)分别代表HP线性窗函数和4种非线性窗函数
W ( ) d 0 . 5 ( c d ) [ s g n ( 1 ) s g n ( 1 ) ]
或 q () d 0 .5 ( c d ) ( 1 1 )
忆阻器及忆阻混沌 电路
相应的忆阻和忆导分别为
M ( q ) b 0 . 5 ( a b ) [ s g n ( q 1 ) s g n ( q 1 ) ]
分数阶时滞忆阻混沌电路的动力学分析及电路仿真
2］区间变化，见图 4。从分岔图可以很明显地看出
和 C1 = 1.232μFC 2 = 1.835μFC 3 = 1.10μF 。 运 算
时，出现 Hopf 分叉，最后随着 a 的增加变为混沌状
供 ±15 的 电 压 和 R = 11.24kΩ ，整 体 电 路 图 如 图 6
系统（2）的轨道从周期状态开始，然后当经过阈值
数阶忆阻器 ，将其替换图 1 中的电容得到分数阶磁
控忆阻器，数学表达式为
ì dx q 2
ï
= 1 q x1
dt
R 0C 0
ï
（1）
í
æ1
g1 g 2
2ö
ï
1
ï f ( x1 x 2 ) = ç R - R + R [ x 2] ÷ x1
2
è 1
ø
î
其中 x1、x2 和 （
f x1，x2）分别是忆阻器的输入、内部状
态。各状态的相位图和时域图如图 3 所示。当
（a）a = 1.62
放 大 器 和 乘 法 器 采 用 AD711KN 和 AD633JN ，提
（c）所示。
（b）a = 1.68
（d）a = 1.62
（e）a = 1.73
图5
相位图与时域图
（c） a = 1.73
统进入混沌状态，如图 5（b）和（e）所示。当 a = 1.73
时，系统展现出双涡旋的混沌吸引子，如图 5（c）和
（f）所示。
出一个引理来讨论式（3）的根的分布。
引理 1 对于式（3），以下结果成立：
1）如 果 ψ k > 0(k = 1234) 且 A 3 + A 4 ¹ 0 ，则
方程（3）在时滞 τ ³ 0 时没有实部为零的根。
忆阻器模型电路设计与其在混沌电路中的应用分析
摘要忆阻器是继电阻、电容和电感之后的第四种基本电子元件，自2008年，惠普实验室成功实现其实物器件以来，因其独特的记忆功能和纳米级尺寸特性，在非易失性存储器、人工神经网络和电路设计等众多领域巨大的潜在应用价值，吸引了广大国内外学者对其进行研究。
采用纳米技术实现忆阻器存在技术难度大、成本高等系列问题，因此当前忆阻器实物器件还只存在于实验室中，距离其走出实验室实现商品化还需一段时间，这给研究忆阻器电学特性及其相关应用造成了相当大的困难，因此设计具有忆阻器电学特性的模拟等效电路对分析和研究忆阻器及其相关应用具有重要意义。
忆阻器其阻值会随输入激励信号的变化而产生改变，是一种典型的非线性无源器件，因此是设计混沌和超混沌电路的理想元件。
忆阻器混沌电路以其体积小、功耗低等优势将广泛应用于混沌芯片集成和混沌保密通信等众多领域。
本文的主要工作重点集中在荷控忆阻器模拟等效电路的设计和忆阻器在混沌电路中的应用研究，主要研究如下：(1)根据惠普荷控忆阻器电学特性，设计了一种荷控忆阻器模拟等效电路，经Pspice仿真验证，该等效电路能很好地模拟荷控忆阻器的电学特性，并且提出的等效电路结构简单，硬件实现容易，非常适合在实验环境中分析和研究忆阻器，同时该模拟等效电路能应用于实际忆阻器混沌电路的仿真。
(2)提出了一种设计忆阻器混沌电路的新思路，认为可以把忆阻器浮地，当作普通的二端口器件，将其任意地连接到电路中，在蔡氏电路的基础上利用浮地型忆阻器设计了一种五阶忆阻器混沌电路，为验证所设计电路的正确性，设计了一种浮地型忆阻器等效电路并将其应用于所提电路中，仿真结果验证了设计的正确性和可行性。
(3)根据惠普荷控忆阻器物理模型，提出了一种描述荷控忆阻器的新型数学模型。
利用荷控忆阻器、电感和电容串联设计了一类结构简单的三阶忆阻器混沌电路。
采用基本的动力学分析手段研究了系统的动力学特性，利用基本电子元件实现了电路仿真，Pspice仿真结果验证了电路的混沌特性并证实了所设计电路的正确性。
基于忆阻器混沌系统的动力学分析及电路设计
基于忆阻器混沌系统的动力学分析及电路设计基于忆阻器混沌系统的动力学分析及电路设计摘要：本文对基于忆阻器混沌系统的动力学特性进行了深入分析，并针对该系统设计了一个简单的电路模型。
通过数学模型的建立和电路实验的验证，我们发现基于忆阻器的混沌系统具有丰富的非线性行为，具有较强的自适应性和记忆性，可以应用于密码学、通信系统和混沌计算等领域。
1. 引言混沌系统作为一种复杂的非线性动力学系统，具有高度不确定性和随机性，具有广泛的应用前景。
忆阻器是一种新型的电学元件，其内部的电阻值可以随电流的方向和大小发生变化。
在过去的几十年中，科学家们发现了忆阻器具有混沌行为的特性，并且可以用于构建混沌系统。
本文旨在对基于忆阻器的混沌系统的动力学特性进行深入研究，并设计一个简单的电路模型来验证实验结果。
2. 基于忆阻器的混沌系统的动力学分析2.1 模型建立基于忆阻器的混沌系统可以通过建立适当的数学模型来描述。
假设忆阻器的电阻值为R，电流为I，忆阻器的状态方程可以表示为：dR/dt = -αR + βI其中α和β为常数。
该模型考虑了忆阻器的自适应性和记忆性，可以模拟忆阻器的非线性动力学行为。
2.2 动力学特性分析通过数值计算和图形展示，我们可以观察到基于忆阻器的混沌系统的动力学特性。
在特定的参数范围内，系统表现出周期运动、混沌运动和稳定运动等不同的行为。
通过调节参数α和β的大小，我们可以控制系统的动力学特性，从而实现所需的混沌行为。
3. 基于忆阻器的混沌系统的电路设计基于上述数学模型，我们设计了一个简单的电路模型来实现基于忆阻器的混沌系统。
电路的主要组成部分包括忆阻器、电源、电容和电阻等。
通过调节电压源的大小、电容和电阻的数值，我们可以控制电路的动力学特性。
4. 电路实验与结果分析通过实验验证，我们发现设计的电路模型能够很好地模拟基于忆阻器的混沌系统的动力学特性。
实验结果表明，调节电路参数，我们可以观察到不同的混沌行为，如周期运动、倍周期运动和混沌运动等。
一种忆阻器混沌电路实现
一种忆阻器混沌电路实现混沌电路是一类特殊的电路，其行为表现出无规律、复杂的非线性动力学特征。
混沌电路的研究不仅具有学术价值，还有许多实际应用，如通信系统、密码学、神经网络等。
本文将介绍一种基于忆阻器的混沌电路实现方法。
忆阻器是一种具有记忆效应的电阻器，其电阻值取决于过去的电流或电压历史。
通过在电路中引入忆阻器，可以增加电路的非线性特性，从而实现混沌行为。
该混沌电路的基本结构如下图所示：```电源 Vcc||R||-----+----> 电容 C| || |+-----|| || |GND 忆阻器 M```其中，Vcc为电源电压，R为电阻，C为电容，M为忆阻器。
忆阻器可视为一个非线性电阻，其电阻值与电流或电压的历史有关。
在这种混沌电路中，忆阻器的电阻值与电容的电压有关。
具体地，当电容的电压超过忆阻器的阈值时，忆阻器的电阻值增加；反之，当电容的电压低于阈值时，忆阻器的电阻值减小。
通过这种非线性特性，电路可以呈现出复杂的混沌行为。
具体来说，当电路初始状态为稳定时，电容的电压较低，忆阻器的电阻值较小。
随着时间的推移，电容的电压逐渐增加，忆阻器的电阻值也逐渐增大。
当电容的电压超过忆阻器的阈值时，忆阻器的电阻值急剧增加，导致电容的电压迅速下降。
这种反馈作用导致电路的电压出现不规则的周期性振荡，表现出混沌行为。
通过调整电路中的参数，如电阻、电容和忆阻器的阈值，可以改变电路的混沌行为。
例如，增大电阻值或减小电容值可以使电路的振荡周期延长，增加混沌现象的复杂性。
忆阻器混沌电路的实现不仅具有理论意义，还可以应用于通信系统中的加密传输。
由于混沌行为的不可预测性和复杂性，可以提高数据传输的安全性和抗干扰性。
此外，在神经网络中，混沌电路也被广泛应用于模拟神经元的非线性行为，以实现复杂的计算和模式识别。
忆阻器混沌电路是一种基于忆阻器的电路结构，通过引入忆阻器的非线性特性，可以实现复杂的混沌行为。
该电路不仅具有学术研究价值，还有一定的实际应用前景。
含磁控忆阻器阻尼特性电路的混沌特性分析
根据 Ｋ ｉ ｒ ｃ ｈ ｈ ｏ ｆ定 律和元 件 的伏 安 特 性 ， 可 得 系 统 非线性 动力 学方程 ， 其 状态方 程组 ：
２ 含磁控 忆阻器 的混沌 电路
提 出一 个 基 于忆 阻器 的 新 的五 阶混 沌 电路 如
＝ａ ［ Ｙ— —Ｗ（ ｕ ） ｘ ］ Ｙ ＝ｂ （ —ｙ＋ｚ ）
＝Ｃ （ Ｗ —Ｙ ）
Ｗ ＝ｄ ｗ —ｅ ０
（ ６ ）
图 ３所 示 ， 它是 在典 型 的蔡 氏 电路 的基 础 上 采 用一
忆 阻器 是一 个 基 本 的无 源 二 端 元 件 ， 其 电磁
图 ３ 五阶忆 阻器 电路
和 电荷 ｑ的关 系 可用
， ｇ ） ＝０确定 ， 分为 磁控忆
（ ） ＝ｄ ｑ （ ） ／ ｄ ＝ ＋３ ｌ ｆ ｑ ￣ （ ４ ）
阻器 和荷 控忆 阻 器 ¨ Ｊ 。图 ２ （ ａ ） 中 的磁 控忆 阻器
忆 阻器 ， 采用 特性 曲线 为 光 滑 三次 单 调 上 升 的非 线
性 特性 曲线 ：
ｑ （ ） ： ＋ 。 （ ３ ）
件［ ０ ． １ ， ０ ． １ ， ０ ． ０ ０ ０ １ ， ０ ． １ ， ０ ． １ ］ ， 显 示存 在奇 怪 吸引
子， 采用 五阶 龙格 一 库塔离散化算法， 仿 真得 到 动力
可用 一 ｇ 平 面通 过原点 的特性 曲线 ｑ＝ｑ （ ）表征 ， 其 斜 率 为 电 荷 随 电 磁 的 变 化 率 Ｗ（ ） 一 ｄ ｑ （ ） ／ ， 电流 和 电压 两 端伏 安 特 性 可 以描 述 为 ｉ （ ｔ ） ＝Ｗ［ （ ｔ ） ］ （ ｔ ）， 其 瞬 时功率 Ｐ（ ｔ ）＝Ｗ（ ）×
忆阻器混沌电路的硬件实现
式渊猿冤所示遥 蕴燥则藻灶扎 系统硬件电路和忆阻器模型如图 圆尧图 猿 所
示遥 其中 砸蚤越员园 噪赘渊蚤越员袁圆袁远袁员园袁员员袁员愿袁圆源袁圆缘袁圆远袁圆愿冤袁砸蚤越员 噪赘
渊蚤 越猿袁源袁缘袁员苑袁圆员袁圆圆冤袁砸苑 越砸圆园 越源 噪赘袁砸怨 越砸员缘 越砸员远 越远 噪赘袁砸员圆 越
砸圆猿越员园园 噪赘袁砸愿越砸员猿越圆缘 噪赘袁砸员源越糟噪赘袁砸员怨越缘员援缘 噪赘袁砸圆苑越缘 噪赘袁
员 砸悦
砸圆园 员园窑砸员愿
曾赠原
砸圆员 砸圆员 垣砸员怨
砸员愿 垣砸圆园 扎 砸员愿
图 圆 简化 蕴燥则藻灶扎 系统电路图
156
忆阻器混沌电路的硬件实现
出忆阻器混沌电路的物理可实现性袁 这有利于忆阻器在保密通 讯尧图像加密尧非易失性阻抗存储器的进一步研究遥
图 猿 忆阻器模型等效电路图 将忆阻器等效模型接入简化 蕴燥则藻灶扎 系统之中袁忆阻器模型 输入端接图 圆 中的 曾 输出端接 憎袁 并使开关 杂员粤 闭合遥 使用 酝怎造贼蚤泽蚤皂 软件进行仿真袁仿真结果如图 源 所示袁图 葬尧遭 分别对应 参数 砸员源越苑援圆 噪赘 和 砸员源越圆援愿缘 噪赘 时的仿真结果袁 仿真结果以 曾原赠 平面尧曾原扎 平面尧赠原扎 平面吸引子相图的顺序排放遥 当 砸员源越 苑援圆 噪赘 时系统从混沌状态转移到非混沌状态袁并呈现出双环面 现象袁当 砸员源越圆援愿缘 噪赘 时系统处于混沌状态遥
阻阻值为 员 噪赘袁积分电容容值为 员园 灶云遥
蓸 蔀 扇设曾觶越
设
员 砸悦
砸猿 砸员
赠原
砸源 砸圆 垣砸源
砸员 垣砸猿 曾 砸员
蓸 蓸 蔀 蔀 缮设赠觶越
设
员 砸悦
砸员远 砸愿
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
d i3 r 1 = － v2 － i3 ， dt L L dφ = v1 ． dt （ 6）
代替蔡氏混沌电
路中的蔡氏二极管来实现的 ． 图 3 电路由四个动态 元件组成， 分别是 两 个 电 容 、 一 个 电 感 和 一 个 忆 阻， 它们所对应的四个状态变量分 别 是 v 1 ，v 2 ，i 3 和 φ ， 这里 φ 是忆阻内部状态变量 ． 图 3 中 AA' 端的右边 电 路 构 成 了 一 个 有 源 忆 阻 从端口 A 流 进 的 电 流 i m 与 AA' 端 的 电 压 v 之 间 器， 的伏安关系为 im = （ W （ φ） － G） v = （ a － G + 3 bφ2 ） v ． 电路的状态方程为四个联立的一阶微分方程组 （ 5）
· · · ·
需要说明的是， 忆阻混沌电路的稳定性不能简 单地由平衡点集 E 的 三 个 非 零 特 征 根 λ i （ i = 1 ，2 ， 3 ） 的稳定性来确 定， 在一定的电路参数下零特征根 （ λ4 = 0 ） 对 忆 阻 混 沌 电 路 的 稳 定 性 也 有 很 大 的 影响 ．
－ 10 对于初始条件（ 0 ，10 ，0 ，0 ） ， 光滑忆阻混沌
电路生成 的 吸 引 子 在 相 平 面 上 的 投 影 及 其 时 域 波 形如图 4 所示 ． 图 4 （ a ） 和（ b ） 分别给出了混沌吸引 （ 7） 图 4 （ a） 是 一 个 单 涡 子在 x-y 和 x-w 平面 上 的 投 影， 卷混沌吸 引 子， 而 图 4 （ b） 是 一 个 双 涡 卷 混 沌 吸 引 子； 图 4 （ c ） 是电路中忆阻器的端电压与流过的电流 在 v-i 平面上的相轨， 它反映了忆阻器的非线性动力 （ 8） 学特性 ． 变量 x 和 w 的时域波形如图 4 （ d ） 所示， 它 们是非周期性 的， 貌 似 随 机 的． 光 滑 忆 阻 混 沌 电 路 的 Lyapunov 指数 L 1 = 0. 2567 ，L 2 = 0 ，L 3 = 0 ，L 4 = Lyapunov 维数 d L = 2. 055． 因 此， － 4. 6638 ， 从相轨 时域波形以及 Lyapunov 指数和维 数 可 知 该 电 路 图、 是混沌振荡的 ． 一般的混 沌 系 统 都 对 初 始 条 件 具 有 敏 感 依 赖 性， 在不同的初始条 件 下 系 统 轨 线 随 时 间 的 演 化 是 不可预测的， 但它的 运 动 轨 迹 始 终 局 限 于 一 个 确 定 无论混沌系统内部状态多么不稳 的混沌吸引域内， 定， 它的轨 迹 都 不 会 离 开 混 沌 吸 引 域， 即混沌是有 界的
图1
忆阻器
（ a ） 荷控忆阻器，（ b ） 磁控忆阻器
定义 一 个 磁 控 忆 阻 元 件 具 有 光 滑 的 三 次 单 调 上升的非线性特性曲线
［11 — 13］
（ 1） 式描述的是一 进一步， 当 a = 1 和 b = 1 时， 个归一化磁控忆阻器 ． 在如图 1 （ a ） 所 示 的 归 一 化 磁 控 忆 阻 器 的 两 端 施加一个单位幅度的正弦电压 sin （ 2 π ft ） 激励， 设忆 流过的电流为 i ， 于是有 阻器端电压为 v ， v = sin （ 2 π ft ） ， i = W （ φ） v = （ 1 + 3 φ2 ） v， dφ / dt = v ． 利用 ODE45 算法， 可得到归一化磁控忆阻器在 v-i 平 面上的伏安特性曲线如图 2 （ c ） 所示， 激励频率 f = 0. 5 Hz 时对应的电压和电流的时域波形如图 2 （ d ） 所示． 图 2 （ c） 给 出 了 两 个 不 同 的 频 率 激 励 时 归 一 化 磁控忆阻器的伏安 特 性 曲 线， 表明忆阻器的性能受 激励频率的影 响 很 大 ． 另 外， 磁控忆阻器的伏安特 性具有一个 斜“8 ” 字 形 的 类 紧 磁 滞 回 线 的 形 状， 除 原点外， 电 压 和 电 流 互 为 彼 此 的 双 值 函 数， 该特性 与惠普忆阻器和蔡氏忆阻器所描述的一致 ．
* 国家自然科学基金（ 批准号： 60971090 ） 、 江 苏 省 自 然 科 学 基 金 （ 批 准 号： BK2009105 ） 和 航 空 科 学 基 金 （ 批 准 号： 2009ZC52038 ） 资 助 的 课题 ． E-mail ： mervinbao@ 126． com
2011 中国物理学会 Chinese Physical Society 120502-1
120502
图2
光滑磁控忆阻器的特性
（ a ） φ -q 关系曲线，（ b ） 忆导曲线，（ c ） 伏安特性，（ d ） 时域波形
3. 忆阻混沌电路
一个 包 含 有 源 忆 阻 器 的 混 沌 电 路 如 图 3 所 示 ． 该电路是 通 过 采 用 无 源 二 端 口 光 滑 磁 控 忆 阻 和 一 个负电导构 成 的 有 源 忆 阻 器
2. 光滑忆阻器
忆阻器是一个 基 本 的 无 源 二 端 元 件， 它的磁链 φ 与累积的电荷 q 之间的关系可以用 φ -q 或 q-φ 平面 上的一条曲线 f （ φ ，q ） = 0 来 确 定 ． 忆 阻 器 分 为 荷
即电荷随磁链的变化率 W （ φ ） =
流过的电 流 和 两 端 的 电 压 之 间 的 伏 安 特 性 可 以 描 述 为 i = W （ φ ） v． 这里 M （ q ） 和 W （ φ ） 均是非线性函 且取决于忆阻器内部状态变量 q 或 φ ． 数，
［1］
连续分段线性忆导函数的含源忆阻器替 换 蔡 氏 混 沌电路或类 蔡 氏 混 沌 电 路
［12 ， 13］
中 的 蔡 氏 二 极 管，
导出了一些新 的 忆 阻 混 沌 电 路． 这 些 混 沌 电 路 在 一定的电路参数条件下可生成不同形状 的 混 沌 吸 9， 10］中 所 采 用 的 忆 阻 器 特 性 曲 线 均 引 子 ． 文 献［ 是非光滑 的 分 段 线 性 函 数， 导致它的忆阻或忆导 均是不连 续 的 非 线 性 函 数， 在物理上实现这类器 10］几 乎 没 有 对 其 文 献［9 ， 件是不现实的． 此 外， 所提出的忆阻 混 沌 电 路 进 行 动 力 学 特 性 分 析． 其 实， 由于忆阻器在电路中的介入， 使得新构建的电 路存 在 一 个 分 布 于 某 一 坐 标 轴 上 的 平 衡 点 集
213164 ） 210016 ） 610031 ） 210094 ）
2 ） （ 南京航空航天大学电子信息工程学院， 南京
（ 2010 年 10 月 5 日收到； 2011 年 4 月 18 日收到修改稿）
具有记忆功能的忆阻器是除电阻器 、 电容器和电感 器 之 外 的 第 四 种 基 本 二 端 电 路 元 件 ． 提 出 了 由 φ -q 平 面 上 的一条三次单调上升的非线性曲线来确定的光滑磁控忆阻器， 它有着斜“8 ” 字形的类紧磁滞回线的伏 安 特 性 曲 线 ． 采用此忆阻器和负电导构成的有源忆阻器替换蔡氏混沌电路中的蔡氏二极管， 导出了 一 个 基 于 忆 阻 器 的 混 沌 振 荡 电路 ． 此外， 利用常规的运算放大器和乘法器等元器件给出了有源忆阻器的等效电路实现形式 ． 理论 分 析 、 数值仿 真和电路仿真结果一致， 均表明忆阻混沌电路的动力学 行 为 依 赖 于 忆 阻 器 的 初 始 状 态 ， 在不同初始状态下存在混 周期振荡或稳定的汇等不同的运行轨道 ． 沌振荡 、
控忆阻器和磁 控 忆 阻 器 两 种
， 如 图 1 所 示． 图
1 （ a ） 中的荷控忆阻器可以用 q-φ 平面上一条通过原 其斜率即磁链随电 点的特性曲线 φ = φ （ q ） 来表征， 荷的变化率 M （ q ） = dφ（ q） 称 为 忆 阻， 流过的电流 dq
与两端 的 电 压 之 间 的 伏 安 特 性 可 以 描 述 为 v = M （ q ） i． 图 1 （ b ） 中的磁控忆阻器可以用 φ -q 平面上 其斜率 一条通过原点的特性曲线 q = q （ φ ） 来表征， dq（ φ） 称为忆导， dφ
［3］
于 2008 年 5 月首次报道了忆阻器的实现性， 其
［4］
， 有着与一般 混 沌 电 路 或 系 统 完 全 不 同 的
［14 — 16］
研究引起人们 的 极 大 兴 趣
． 忆 阻 元 件 的 存 在， 使
非线性物理现象
．
电容和电感增加到了 电路设计的基础元 件 由 电 阻 、 四个， 忆阻器为电路 设 计 及 其 忆 阻 电 路 应 用 提 供 了 全新的发展空间
x = v1 ， y = v2 ， z = i3 ， w = φ，
பைடு நூலகம்
物 理 学 报
Acta Phys． Sin．
Vol． 60 ，No． 12 （ 2011 ）
120502
α = 1 / C1 ， β = 1 / L， γ = r / L， ξ = G， C2 = 1 ， R = 1， 并定义非线性函数 W （ w ） 为 dq（ w） W（ w） = dw = a + 3 bw 2 ， （ 6 ） 式的状态方程可以重写为
关键词： 忆阻器，混沌电路，初始状态，等效电路
PACS ： 05． 45． － a
升且分段线性的忆阻器替换蔡氏混沌电 路 中 的 蔡
1. 引
言
导出了基于忆阻器的类正弦振荡或混 氏二极管， Muthuswamy 沌振荡 电 路． 类 似 地，
［10］
采用一个不
在电路基本理 论 中， 电路和元件特性是由四个 电压 、 电 荷 和 磁 通 ） 来 描 述 的， 其中 基本变量（ 电流 、 描述电压与 电 流 关 系 、 电 压 与 电 荷 关 系、 电流与磁 电 容 器 和 电 感 器， 它们 通关系的元 件 即 为 电 阻 器 、 是目前实现电路的基本组成元件 ． 根据变量组合完 备性原理， 加州大学 伯 克 利 分 校 的 华 裔 科 学 家 蔡 少 棠