圆中的分类讨论习题

细说圆中的分类讨论题------之两解情况

钱漪 由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。先从几个方面举例说明如下:

一、根据点与圆的位置分类

例１、点P 是圆O 所在平面上一定点，点P 到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为 。

分析：根据点和圆的位置关系，这个点P 与圆有两种位置关系。分为点在圆内和点在圆外两种情况。

解：

过点P 和圆心O 作直线分别与圆O 相交于A 、B 两点。PA 、PB 分别表示圆上各点到点

P 的最长距离和最短距离。

（1）当点P 在圆内时； （2）当点P 在圆外时; 所以，圆O 的直径为2或6。 二、三角形与圆心的位置关系

例２：已知∆ABC 内接于圆O ，∠=︒OBC 35，则∠A 的度数为________。

分析：因点A 的位置不确定。所以点A 和圆心O 可能在BC 的同侧，也可能在BC 的异侧。也可分析为圆心在∆ABC 的内部和外部两种情况。

解：（1）当点A 和圆心O 在BC 的同侧时，如图3，

B P

A

（2）当点A 和圆心O 在BC 的异侧时，如图4，

∠=︒OBC 35∴∠=︒BOC 110∴∠=︒BPC 55∴∠=︒BAC 125

所以∠A 的度数是55︒或125︒。

练习：已知圆内接∆ABC 中，AB=AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，圆的半径为6cm,求腰长AB 。（两种情况如图5、图6）

A

C

图5 图6

三、角与圆心的位置关系

例3:在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数是____。

分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。 解：如图7，当圆心在∠BAC 内部时，连接AO 并延长交⊙O 于E 在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE AE ==11

2

,所以∠BAE ＝30°

同理，在Rt △CAE 中，EC ＝AC ，

所以∠EAC ＝45°，∠BAC =︒+︒=︒304575

当圆心O 在∠BAC 的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：

∠BAC '=︒-︒=︒453015 所以∠BAC 为75°或15°

C'

E

C

A

四、圆中两平行弦与圆心的位置关系

例4. 圆O 的直径为10cm ，弦AB//CD ，AB=6cm ，CD cm =8，求AB 和CD 的距离。

分析：题中的弦AB 、CD 都比圆O 中的直径小，所以AB 和CD 可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。

解：（1）当AB 、CD 在圆心的同侧时，如图8，过点O 作OM AB ⊥交AB 于点M ，交CD 于N ，连结OB 、OD ，得Rt OMB ∆，Rt OND ∆，然后由勾股定理求得：

OM cm ON cm ==43，，故AB 和CD 的距离为1cm 。

（2）当AB CD 、在圆心的异侧时，如图9，仍可求得OM cm ON cm ==43，。

故AB 和CD 的距离为7cm 。 所以AB 和CD 的距离为1cm 和7cm 。

五、圆与圆的位置关系

例5、已知圆O 1和圆O 2相内切，圆心距为1cm ，圆O 2半径为4cm ，求圆O 1的半径。 分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆O 2看成大圆，也可把圆O 2看成小圆。

解：（1）当圆O 2是大圆时，则圆O 1的半径等于大圆半径4cm 减去圆心距1cm ，求得圆O 1的半径为3cm 。

（2）当圆O 2是小圆时，则圆O 1的半径等于小圆半径4cm 加上圆心距1cm ，求得圆

O 1的半径为5cm 。

D

所以圆O

1

的半径是3cm或5cm。

例6、两圆相切，半径分别为4cm和6cm，求两圆的圆心距。

分析：此题中的两圆相切没有说明是内切还是外切，所以应该分两种情况考虑。

解：（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即642

-=cm。

（2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即6410

+=cm。

所以两圆的圆心距是2cm或10cm。

例7、相交两圆半径分别为5 cm 和4cm ，公共弦长6cm，则两圆的圆心距等于_______ 分析：注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况

补充：

1、弦所对弧的优劣情况不确定

已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度。

20cm或80cm

2、已知圆O1和圆O2相内切，圆心距为1cm，圆O2半径为4cm，求圆O1的半径。

分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中

没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆O

2看成大圆，也可把圆O

2

看成小圆。

解：（1）当圆O

2是大圆时，则圆O

1

的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求

得圆O

1

的半径为3cm。

（2）当圆O

2是小圆时，则圆O

1

的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆