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江苏省邗江中学2020学年高二数学下学期期中试题 文

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2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班18级高二(下)期中数学试卷

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班18级高二(下)期中数学试卷

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班18级高二（下）期中数学试卷1.如果直线ax‐2y﹢2=0与直线3x−y−2=0平行，那么系数a等于()A. 6B. −3C. −32D. 232.在等差数列{a n}中，a3=7，a7=3，则通项为()A. a n=n+4B. a n=10−nC. a n=2n+1D. a n=3n−23.在等比数列{a n}中，a1=1，a5=3，则a2a3a4的值为()A. ±3√3B. 3√3C. −3√3D. 34.设m、n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，下列四个命题中不正确的是()A. 若m⊥α，n//α，则m⊥nB. 若α//β，β//γ，m⊥α，则m⊥γC. 若m//α，n//α，则m//nD. 若α⊥γ，β⊥γ，则平面α，β平行或相交5.如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是()A. PD⊥BDB. PD⊥CDC. PB⊥BCD. PA⊥BD6.抛物线的焦点为椭圆x29+y24=1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()A. y2=4√5xB. y2=−4√5xC. x2=4√5yD. x2=−4√5y7.已知点A(4,0)和B(2,2)，M是椭圆x225+y29=1上的动点，则|MA|+|MB|最大值是()A. 10+2√10B. 10−2√10C. 8+√10D. 8−√108.直线x−2y−3=0与圆(x−2)2+(y+3)2=9交于E，F两点，则△EOF(O是原点)的面积为()A. 32B. 34C. 2√5D. 6√559.下列命题中，正确的是()A. 平行于同一条直线的两个平面平行B. 平行于同一个平面的两个平面平行C. 一个平面与两个平行平面相交，交线平行D. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交10.已知α，β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列命题中正确命题是()A. 若α⊥β，l⊥β，则l//αB. 若l⊥α，l//β，则α⊥βC. 若l上有两个点到α的距离相等，则l//αD. 若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β11.设S n是公差为d(d≠0)的等差数列{a n}的前n项和，则下列命题正确的是()A. 若d<0，则数列{S n}有最大项B. 若数列{S n}有最大项，则d<0C. 若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N+，均有S n>0D. 若对任意n∈N+，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列12.在△ABC中，点B(−2,0)，C(2,0)，A(x,y)，给出△ABC满足的条件得到动点A的轨迹方程，下列正确的是()A. 若△ABC周长为10，则点A的轨迹方程为x29+y25=1(y≠0)B. 若△ABC面积为10，则点A的轨迹方程为y2=25C. 若A=90°，则点A的轨迹方程为x2+y2=4(y≠0)D. 以上都不对13.经过点A(1,−4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为______ ．14.已知等比数列{a n}的各项都为正数，它的前三项依次为1，a+1，2a+5，则数列{a n}的通项公式a n=______ ．15.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，焦点到对应准线的距离为8，则椭圆的标准方程为______ ．16.PA垂直于△ABC所在的平面，若AB=AC=13，BC=10，PA=12，则P到BC的距离为______ ．17.已知椭圆的中心在坐标原点，椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆经过点P(1,32).(Ⅰ)求该椭圆的标准方程；(Ⅱ)求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1//平面CDB1．}的前n项和，求T n．19.设{a n}为等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S7=7，S15=75，T n为数列{S nn20.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA1，AC，BB1的中点，且CG⊥C1G.(Ⅰ)求证：CG//平面BEF；(Ⅱ)求证：CG⊥平面A1C1G.21.数列{a n}中，a1=8，a4=2且满足a n+2=2a n+1−a n，n∈N∗(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n=|a1|+|a2|+⋯+|a n|，求S n；(n∈N∗),T n=b1+b2+⋯+b n(n∈N∗)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈(3)设b n=1n(12−a n)N∗，均有T n>m成立？若存在，求出m的值：若不存在，请说明理由．3222.已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点为F(0,−2√2)，对应的准线方程为y=−9√2．4 (Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)是否存在直线l，使l与椭圆C交于不同的两点M，N，且使线段MN恰好被直线x=−1平分？若2存在，求l的倾斜角θ的取值范围，若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵ax‐2y﹢2=0与直线3x−y−2=0平行，∴3a =−1−2≠−22，解之得a=6故答案为：6．根据直线平行的条件，列出关于a的方程并解之，即可得到实数a的值．本题给出两条直线互相平行，求参数a之值．着重考查了直线的方程与直线的位置关系等知识，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则a3=a1+2d=7，...①a7=a1+6d=3，...②由①②，解得a1=9，d=−1，所以通项公式为a n=9−(n−1)=10−n．故选：B．设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意列方程组求出a1和d，即可得到通项公式．本题考查了等差数列的通项公式应用问题，考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：等比数列{a n}中，a1=1，a5=3，由等比数列的性质得，a1a5=a32=3，∵a3与a1同号，∴a3>0，∴a2a3a4=a33=(√3)3=3√3．故选：B．由已知结合等比数列的性质，即可直接求解．本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：对于A，若m⊥α，则m垂直于α内的所有直线，m垂直于平行α的所有直线，又n//α，∴m⊥n，故A正确；对于B，若α//β，m⊥α，则m⊥β，又β//γ，∴m⊥γ，故B正确；对于C，若m//α，n//α，则m//n或m与n相交或m与n异面，故C错误；对于D，若α⊥γ，β⊥γ，则平面α，β平行或相交，故D正确．故选：C．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与直线垂直的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意三垂线定理和直线与平面垂直的性质的合理运用．由PA⊥矩形ABCD，得PA⊥BD，若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故PD⊥BD不正确．【解答】解：∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥BD，若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故PD⊥BD不正确，故A不正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴由三垂线定理得PB⊥BC，故C正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD，故D正确．故选A．6.【答案】B【解析】解：由椭圆x29+y24=1，得a=3，b=2，则c=√a2−b2=√5，则椭圆左焦点为F(−√5,0)，由题意可设抛物线方程为y2=−2px(p>0)，则p2=√5，p=2√5，抛物线方程为y2=−4√5x，故选：B．由椭圆方程求得左焦点坐标，可得抛物线的焦点坐标，设出抛物线方程y2=−2px(p>0)，再由焦点坐标求得p，则抛物线方程可求．本题考查椭圆与抛物线的几何性质，是基础题．7.【答案】A【解析】解：椭圆x225+y29=1，所以A为椭圆右焦点，设左焦点为F(−4,0)，则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=10，于是|MA|+|MB|=10+|MB|−|MF|．当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是|MB|−|MF|<|BF|，而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有|MB|−|MF|=−|BF|，在第三象限交点时有|MB|−|MF|=|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值，其最大值为|MA|+|MB|=10+|MB|−|MF|=10+|BF|=10+√(2+4)2+(2−0)2=10+2√10．故选：A．由题设条件可知，MA+MB=10+|MB|−|MF|.当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时有|MB|−|MF|=−|BF|，在第三象限交点时有|MB|−|MF|=|BF|.显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值，其最大值为|MA|+|MB|=10+|MB|−|MF|=10+|BF|.由此能够求出MA+ MB的最大值．本题考查椭圆的基本性质，解题时要熟练掌握基本公式，中档题．8.【答案】D【解析】解：圆(x−2)2+(y+3)2=9的圆心为(2,−3)∴(2,−3)到直线x−2y−3=0的距离d=√12+22=√5弦长|EF|=2×√9−5=2×2=4原点到直线的距离d=√12+22=√5∴△EOF的面积为S=12×4√5=6√55故选D．先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长|EF|，再由原点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案．本题主要考查点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系．考查基础知识的综合运用和灵活运用能力．9.【答案】BD【解析】解：对于A，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故A错误；对于B，由平面与平面平行的判定可得，平行于同一个平面的两个平面平行，故B正确；对于C，一个平面与两个平行平面相交，交线平行或相交于一点，故C错误；对于D，由平面与平面平行的性质可知，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，故D正确．故选：BD．由直线与直线、直线与平面的位置关系判定AC；由平面与平面平行的判定判断B；由平面与平面平行的性质判断D．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．10.【答案】B【解析】解：选项A，若α⊥β，l⊥β，则l//α，不正确，l也可能在平面α内；选项B，若l⊥α，l//β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理可知正确；选项C，若l上有两个点到α的距离相等，则l//α，不正确，当两点在平面两侧时不正确；选项D，若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β，不正确，如正方体共顶点的三个平面；故选B选择A结论中l也可能在平面α内，选项B根据面面垂直的判定定理进行判定，选项C当两点在平面两侧时不正确，选项D举反例，如正方体共顶点的三个平面．本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定等有关知识，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．11.【答案】ABD【解析】解：因为S n=dn22+(a1−d2)n，若d<0，根据二次函数的性质可知，数列{S n}有最大项，A正确，B正确；若数列{S n}是递增数列，则d>0，若a1<0，则S1<0，但不一定对任意n∈N+，均有S n>0，C错误；若数列{S n}是递减数列，则d<0，一定存在实数k，当n>k时，之后所有项都为负数，不能保证对任意n∈N+，均有S n>0，因此数列{S n}是递增数列，所以d>0，D正确．故选：ABD．由已知结合等差数列的求和公式及数列单调性的性质，判断各选项即可判断．本题主要考查了等差数列的性质及求和公式，考查了逻辑推理的能力，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：如图，在平面直角坐标系中∵B(−2,0)，C(2,0)．若△ABC周长为10，则|AB|+|AC|=6>4=|BC|，∴A的轨迹为以B、C为焦点，长轴长为6的椭圆，方程为：x29+y25=1(y≠0)，故A正确；若△ABC面积为10，设A到BC所在直线距离为d，则12×|BC|×d=10，即12×4d=10，d=5．∴|y|=5，y2=25.∴A的轨迹方程为：y2=25，故B正确；若∠A=90°，则|OA|=2，即√x2+y2=2，x2+y2=4(y≠0)，故C正确．故选：ABC．题目中给出了△ABC的两个顶点B、C的坐标，当给出周长时，可得到A到B、C两点的距离和为定值，且定值大于BC的距离，可知A的轨迹为椭圆除去x轴上的两点；当△ABC的面积为定值10时，可得A到x轴的距离为定值5，从而可得A的轨迹是两条直线；当△ABC中，∠A=90°时，可知A到原点的距离为定值2，从而得到A的轨迹是圆除去与x轴的两个交点．本题考查了圆锥曲线的共同特征，考查了椭圆、圆的定义，解答的关键是对圆锥曲线定义的理解，属中档题．13.【答案】2x+3y+10=0【解析】解：设与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为2x+3y+c=0，然后将点A代入可得到c=10故过点A(1,−4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为2x+3y+10=0故答案为：2x+3y+10=0先根据所求直线与直线2x+3y+5=0平行可设为2x+3y+c=0，然后将点A代入可求出c的值，最后将c的值代入即可得到答案．本题主要考查直线的平行问题，当直线的斜率存在时两直线互相平行可斜率相等、当两直线的斜率都不存在时也平行．14.【答案】3n−1【解析】解：由1，a+1，2a+5为等比数列的前3项，得到(a+1)2=2a+5，化简得：a2=4，由a+1>0得到a>−1，所以解得a=2，所以等比数列的前3项依次为：1，3，9，则a1=1，q=3，则数列{a n}的通项公式a n=3n−1．故答案为：3n−1因为此等比数列的前三项依次为1，a+1，2a+5，根据等比数列的性质可得，第2项的平方等于第1第3项之积，列出关于a的方程，由各项都大于0，求出满足题意的方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入得到前3项的值，根据前3项的值分别求出等比数列的首项和公比，根据首项和公比即可写出等比数列的通项公式．此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．15.【答案】x29+y28=1【解析】解：e=ca =13∴a=3c.焦点到对应准线的距离a2c−c=b2c=8，∴b2=8c，a2−b2=c2=c∴c=1，a2=9，b2=8故答案为：x29+y28=1．e=ca =13，焦点到对应准线的距离a2c−c=b2c=8，联立方程组解出a，b．求椭圆的标准方程，关键根据题目条件，列出关于a，b的方程组去解．本题用到了椭圆的基本几何性质．16.【答案】12√2【解析】解：如图，过A作BC的垂线交于D，∵AB=AC=13，∴D为BC的中点，BC=10，可得BD=12BC=5，∴AD =√AB 2−BD 2=12∵PA 垂直于△ABC 所在的平面，BC ⊂ABC 平面， 可得PA ⊥BC ，PA ⊥AD ， ∴PA ⊥BC ，AD ⊥BC ， ∴△PAD 是直角三角形，AD ∩PA =A ，AD ，PA ⊂平面ADP ， ∴BC ⊥平面ADP ， ∴BC ⊥DP ，那么PD 即是P 到BC 的距离，由AP =12，AD =12，△PAD 是直角三角形， ∴PD =12√2． 故答案为：12√2．过A 作BC 的垂线交于D ，连接PD ，证明PD 垂直BC ，可得PD 即是P 到BC 的距离． 本题考查了点线面的位置关系和证明，点线距离的求法，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)抛物线y 2=4x 的焦点右焦点F 2(1,0)，左焦点F 1(−1,0)∴c =1∵P(1,32)2a =PF 1+PF 2=√22+(32)2+√(32)2=52+32=4∴a =2∴b 2=3所求椭圆方程为x 24+y 23=1(Ⅱ)a =1，c =2则b 2=3所求双曲线的方程为x 2−y 23=1【解析】(Ⅰ)抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0)即c =1，再利用椭圆定义，求出2a ，得出a ，可求得方程 (Ⅱ)双曲线中由(Ⅰ)a =1，c =2，可求得方程本题考查圆锥曲线定义、标准方程、简单的几何性质．属于基础题．18.【答案】解：(1)∵ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱，∴CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AC …(2分)∵AC =3，BC =4，AB =5，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴AC ⊥CB …(4分)又C 1C ∩CB =C ，∴AC ⊥平面C 1CB 1B ，又BC 1⊂平面C 1CB 1B ， ∴AC ⊥BC 1…(7分)(2)设CB 1∩BC 1=E ，∵C 1CBB 1为平行四边形， ∴E 为C 1B 的中点…(10分)又D 为AB 中点，∴AC 1//DE …(12分) DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1//平面CDB 1…(14分)【解析】(1)利用ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱，证明CC 1⊥AC ，利用AB 2=AC 2+BC 2，说明AC ⊥CB ，证明AC ⊥平面C 1CB 1B ，推出AC ⊥BC 1．(2)设CB 1∩BC 1=E ，说明E 为C 1B 的中点，说明AC 1//DE ，然后证明AC 1//平面CDB 1． 本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．19.【答案】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n =na 1+12n(n −1)d ． ∵S 7=7，S 15=75，∴{7a 1+21d =715a 1+105d =75.即{a 1+3d =1a 1+7d =5. 解得a 1=−2，d =1． ∴S n n=a 1+12(n −1)d =−2+12(n −1)， ∵S n+1n+1−S n n=12，∴数列{S nn}是等差数列，其首项为−2，公差为12， ∴T n =14n 2−94n ．【解析】由已知条件列出a 1与d 的方程组求出a 1与d ，从而求出s n ，进而推出s nn ，由等差数列的定义可得数列{Snn}为等差数列，故利用等差数列的求和公式进行求解．本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，是高考考查的重点．20.【答案】证明：(Ⅰ)连接AG交BE于D，连接DF，EG．∵E，G分别是AA1，BB1的中点，∴AE//BG且AE=BG，∴四边形AEGB是矩形．∴D是AG的中点(3分)又∵F是AC的中点，∴DF//CG(5分)则由DF⊂平面BEF，CG⊄平面BEF，∴CG//平面BEF，(Ⅱ)∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，C1C⊥底面A1B1C1，∴C1C⊥A1C1．又∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，即C1B1⊥A1C1，∴A1C1⊥面B1C1CB(9分)而CG⊂面B1C1CB，∴A1C1⊥CG(12分)又CG⊥C1G，∴CG⊥平面A1C1G(14分)【解析】(I)要证明CG//平面BEF，即证明平面BEF中存在一条直线与CG平行，连接AG交BE于D，则DF符合要求，证明DF//CG后，利用线面平行的判定定理，即可得到答案．(II)若要证明CG⊥平面A1C1G，我们可以证明平面A1C1G中有两条相交直线与CG垂直，根据已知中直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA1，AC，BB1的中点，且CG⊥C1G，结合线面垂直的判定定理，即可得到答案．本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握判定定理的使用方法和步骤是解答本题的关键．21.【答案】解：(1)由题意，a n+2−a n⋅+1=a n+1−a n，∴{a n}为等差数列，设公差为d，由题意得2=8+3d ⇒d =−2，∴a n =8−2(n −1)=10−2n(2)若10−2n ≥0则n ≤5，n ≤5时，S n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a n =8+10−2n2×n =9n −n 2n ≥6时，S n =a 1+a 2+⋯+a 5−a 6−a 7…−a n =S 5−(S n −S 5)=2S 5−S n =n 2−9n +40故S n ={9n −n 2n ≤5n 2−9n +40n ≥6(3)∵b n =1n(12−a n )=12n(n +1)=12(1n −1n +1)∴T n=12[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1−1n )+(1n −1n +1)]=n 2(n +1)若T n >m 32对任意n ∈N ∗成立，即n n+1>m 16对任意n ∈N ∗成立，∵n n+1(n ∈N ∗)的最小值是12，∴m 16<12，∴m 的最大整数值是7．即存在最大整数m =7，使对任意n ∈N ∗，均有T n >m32【解析】(1)由条件a n+2=2a n+1−a n ，可得a n+2−a n ⋅+1=a n+1−a n ，从而{a n }为等差数列，利用a 1=8，a 4=2可求公差，从而可求数列{a n }的通项公式；(2)利用10−2n ≥0则n ≤5，确定数列中的正数项，再进行分类讨论；(3先裂项求和，再根据T n >m 32对任意n ∈N ∗成立，得n n+1>m 16对任意n ∈N ∗成立，利用nn+1(n ∈N ∗)的最小值是12，可知m 16<12，从而存在最大整数m =7．本题主要考查等差数列轭通项公式，考查数列的求和及恒成立问题，有一定的综合性．22.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为y 2a 2+x2b 2=1； 由题意c =2√2,22√2=9√24⇒a 2=9,b 2=1．∴椭圆方程为x 2+y 29=1(Ⅱ)设存在直线l ：y =kx +b.故椭圆交于M ，N ，线段MN 中点为P(x 0,y 0). 由{y =kx +b9x 2+y 2=1⇒(9+k 2)x 2+2kbx +b 2−9=0 则判别式△=4k 2b 2−4(9+k 2)(b 2−9)=−36(b 2−k 2−9)>0 得 b 2−k 2−9<0① 又x 1+x 22=−kb 9+k 2=−12⇒b =9+k 22k.代入①解得k>√3或k<−√3，∴θ∈(π3,π2)∪(π2,2π3)．【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为y2a2+x2b2=1，从而求出a，b，c，从而求椭圆的方程；(Ⅱ)设存在直线l：y=kx+b.故椭圆交于M，N，线段MN中点为P(x0,y0)；从而求l的倾斜角θ的取值范围．本题考查了圆锥曲线与直线的关系应用，属于基础题．。

江苏省扬州市邗江中学(集团)高二数学下学期期中试题理(普通班)苏教版

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江苏省扬州市邗江中学（集团）高二数学下学期期中试题理（普通班）苏教版高二数学期中试卷（理科普通班卷）一、填空题：1．已知i 是虚数单位，则21i i=+ ▲ .2．空间两点(1,2,1)A -，(4,3,1)B 之间的距离是 ▲ ．3．用反证法证明命题“如果a>b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应为__▲___． 4. 已知i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ，i i =5，由此可猜想2015i =__▲__．5．二项式10(x 1)+展开式中，8x 的系数为 ▲ ．6．已知矩阵A－1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1201，B －1 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则 (AB)－1= ▲． 7．随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝15k (k ＝1，2，3，4，5)，则P 1522x ⎛⎫<<⎪⎝⎭＝_▲_. 8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__▲____．9．复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数是____▲_____.10．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，则直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦值等于 ▲ ．11．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的概率是___▲___．12．设f(n)＝1＋111123431n +++⋯++(n ∈N *)，则f(k ＋1)－f(k)＝__▲___. 13．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 ▲ . (请用数字作答！)14．若9290129(2)(1)(1)(1)x m a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++且229028139()()3a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，则实数m 的值是___▲__．二、解答题：15．已知z 是复数，若i z 2+为实数（i 为虚数单位），且4-z 为纯虚数． （1）求复数z ；（2）若复数()2mi z +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．16．二阶矩阵M 对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）．（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y=4，求l 的方程．17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=．请建立合适的空间直角坐标系，解决以下问题： （1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； （2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值．18．已知在331()2n x x-的展开式中，第6项为常数项.（1）求n ；（2）问展开式中的有理项分别为第几项？说明理由．19.某四星高中推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀， 授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等级相互独立． (1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．20. 已知2111,3n n n a a na a +=-+=.（1）求2345,,,a a a a 的值；（2）判断n a 与2n +的关系，并用数学归纳法证明.高二数学期中试卷（理科普通班） 参考答案及评分标准1． 1i + 2．14．3a 3b 3a 3b ． i - 5． 45 6． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3211 7． 15 8． 1∶8 9． 33i - 10． 510 11．284285（或未化简，11361140） 12． 111.323334k k k +++++13． 60 14． -3或115．已知z 是复数，若i z 2+为实数（i 为虚数单位），且4-z 为纯虚数．（1）求复数z ；（第17题图）ABC A 1B 1C 1（2）若复数()2mi z +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围解：（1）设(),z x yi x y R =+∈． 1分由2z i +i y x )2(++=为实数，得02=+y ，即2y =-． 3分 由4z -yi x +-=)4(为纯虚数，得4x =． 5分 ∴i z 24-=． 6分（2）∵i m m m mi z )2(8)124()(22-+++-=+， 8分根据条件，可知⎪⎩⎪⎨⎧<->-+,0)2(8,04122m m m 12分解得22<<-m ，∴实数m 的取值范围是()2,2-． 14分16．二阶矩阵M 对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）．（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y=4，求l 的方程 解：（Ⅰ）设b d a c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有b d ac ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，bd ac ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以120,,122a b a b c d c d -=--+=⎧⎧⎨⎨-=--+=-⎩⎩且， 4分 解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 所以M=12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 6分 （Ⅱ）因为122 3434x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦且m ：24x y ''-=， 10分 所以2（x+2y ）－（3x+4y ）=4，即x+4 =0，这就是直线l 的方程 14分 17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=．请建立合适的空间直角坐标系，解决以下问题： （1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； （2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值．（第17题图）ABCA 1B 1C 117．如图，以{}1,,CA CB CC 为正交基底，建立空间直角坐标系C xyz -．则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，1(1,0,2)A ，1(0,1,2)B ，所以1(0,1,2)CB =，(1,1,0)AB =-，1(1,1,2)AB =-，1(1,1,2)BA =-． （1）因为111111330cos ,1065CB BA CB BA CB BA ⋅===⨯，所以异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值为3010． …………………………7分（2）设平面1CAB 的法向量为(,,)x y z =m ，则110,0,AB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,20,x y z y z -++=⎧⎨+=⎩取平面1CAB 的一个法向量为(0,2,1)=-m ；设平面1BAB 的法向量为(,,)r s t =n ，则10,0,AB AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,0,r s t r s -++=⎧⎨-+=⎩取平面1BAB 的一个法向量为(1,1,0)=n ； 则210cos ,552⋅===⨯m n m n m n ， 所以二面角1B AB C --平面角的余弦值为105． …………………………15分 18．已知在331()2n x x-的展开式中，第6项为常数项.（1）求n ；（2）问展开式中的有理项分别为第几项？说明理由。

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班18级高二(下)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班18级高二(下)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班18级高二（下）期中数学试卷1.(2014·浙江省温州市·单元测试)如果直线ax‐2y﹢2=0与直线3x−y−2=0平行，那么系数a等于()A. 6B. −3C. −32D. 232.(2021·江苏省扬州市·期中考试)在等差数列{a n}中，a3=7，a7=3，则通项为()A. a n=n+4B. a n=10−nC. a n=2n+1D. a n=3n−23.(2021·江苏省扬州市·期中考试)在等比数列{a n}中，a1=1，a5=3，则a2a3a4的值为()A. ±3√3B. 3√3C. −3√3D. 34.(2021·江苏省扬州市·期中考试)设m、n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，下列四个命题中不正确的是()A. 若m⊥α，n//α，则m⊥nB. 若α//β，β//γ，m⊥α，则m⊥γC. 若m//α，n//α，则m//nD. 若α⊥γ，β⊥γ，则平面α，β平行或相交5.(2020·安徽省淮北市·单元测试)如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是()A. PD⊥BDB. PD⊥CDC. PB⊥BCD. PA⊥BD6.(2021·江苏省扬州市·期中考试)抛物线的焦点为椭圆x29+y24=1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()A. y2=4√5xB. y2=−4√5xC. x2=4√5yD. x2=−4√5y7.(2021·江苏省扬州市·期中考试)已知点A(4,0)和B(2,2)，M是椭圆x225+y29=1上的动点，则|MA|+|MB|最大值是()A. 10+2√10B. 10−2√10C. 8+√10D. 8−√108.(2021·全国·同步练习)直线x−2y−3=0与圆(x−2)2+(y+3)2=9交于E，F两点，则△EOF(O是原点)的面积为()A. 32B. 34C. 2√5D. 6√559.(2021·江苏省扬州市·期中考试)下列命题中，正确的是()A. 平行于同一条直线的两个平面平行B. 平行于同一个平面的两个平面平行C. 一个平面与两个平行平面相交，交线平行D. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交10.(2014·贵州省铜仁市·期末考试)已知α，β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列命题中正确命题是()A. 若α⊥β，l⊥β，则l//αB. 若l⊥α，l//β，则α⊥βC. 若l上有两个点到α的距离相等，则l//αD. 若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β11.(2021·江苏省扬州市·期中考试)设S n是公差为d(d≠0)的等差数列{a n}的前n项和，则下列命题正确的是()A. 若d<0，则数列{S n}有最大项B. 若数列{S n}有最大项，则d<0C. 若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N+，均有S n>0D. 若对任意n∈N+，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列12.(2021·江苏省扬州市·期中考试)在△ABC中，点B(−2,0)，C(2,0)，A(x,y)，给出△ABC满足的条件得到动点A的轨迹方程，下列正确的是()A. 若△ABC周长为10，则点A的轨迹方程为x29+y25=1(y≠0)B. 若△ABC面积为10，则点A的轨迹方程为y2=25C. 若A=90°，则点A的轨迹方程为x2+y2=4(y≠0)D. 以上都不对13.(2021·江苏省扬州市·期中考试)经过点A(1,−4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为______ ．14.(2015·江苏省盐城市·月考试卷)已知等比数列{a n}的各项都为正数，它的前三项依次为1，a+1，2a+5，则数列{a n}的通项公式a n=______ ．15.(2021·江苏省扬州市·期中考试)若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，焦点到对应准线的距离为8，则椭圆的标准方程为______ ．16.(2021·江苏省扬州市·期中考试)PA垂直于△ABC所在的平面，若AB=AC=13，BC=10，PA=12，则P到BC的距离为______ ．17.(2021·江苏省扬州市·期中考试)已知椭圆的中心在坐标原点，椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆经过点P(1,32).(Ⅰ)求该椭圆的标准方程；(Ⅱ)求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程．18.(2021·全国·单元测试)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1//平面CDB1．19.(2019·全国·单元测试)设{a n}为等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S7=7，}的前n项和，求T n．S15=75，T n为数列{S nn20.(2021·江苏省扬州市·期中考试)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA1，AC，BB1的中点，且CG⊥C1G.(Ⅰ)求证：CG//平面BEF；(Ⅱ)求证：CG⊥平面A1C1G.21.(2021·江西省南昌市·期中考试)数列{a n}中，a1=8，a4=2且满足a n+2=2a n+1−a n，n∈N∗(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n=|a1|+|a2|+⋯+|a n|，求S n；(n∈N∗),T n=b1+b2+⋯+b n(n∈N∗)，是否存在最大的整数(3)设b n=1n(12−a n)m，使得对任意n∈N∗，均有T n>m成立？若存在，求出m的值：若不存在，请说32明理由．22.(2021·江苏省扬州市·期中考试)已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点为F(0,−2√2)，对应的准线方程为y=−9√2．4(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)是否存在直线l，使l与椭圆C交于不同的两点M，N，且使线段MN恰好被直平分？若存在，求l的倾斜角θ的取值范围，若不存在，说明理由．线x=−12答案和解析1.【答案】A【知识点】直线的一般式方程【解析】解：∵ax‐2y﹢2=0与直线3x−y−2=0平行，∴3a =−1−2≠−22，解之得a=6故答案为：6．根据直线平行的条件，列出关于a的方程并解之，即可得到实数a的值．本题给出两条直线互相平行，求参数a之值．着重考查了直线的方程与直线的位置关系等知识，属于基础题．2.【答案】B【知识点】等差数列的通项公式【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则a3=a1+2d=7，...①a7=a1+6d=3，...②由①②，解得a1=9，d=−1，所以通项公式为a n=9−(n−1)=10−n．故选：B．设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意列方程组求出a1和d，即可得到通项公式．本题考查了等差数列的通项公式应用问题，考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【知识点】等比数列的性质【解析】解：等比数列{a n}中，a1=1，a5=3，由等比数列的性质得，a1a5=a32=3，∵a3与a1同号，∴a3>0，∴a2a3a4=a33=(√3)3=3√3．故选：B．由已知结合等比数列的性质，即可直接求解．本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．4.【答案】C【知识点】平面与平面的位置关系、空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系【解析】解：对于A，若m⊥α，则m垂直于α内的所有直线，m垂直于平行α的所有直线，又n//α，∴m⊥n，故A正确；对于B，若α//β，m⊥α，则m⊥β，又β//γ，∴m⊥γ，故B正确；对于C，若m//α，n//α，则m//n或m与n相交或m与n异面，故C错误；对于D，若α⊥γ，β⊥γ，则平面α，β平行或相交，故D正确．故选：C．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．5.【答案】A【知识点】线面垂直的性质【解析】【分析】本题考查直线与直线垂直的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意三垂线定理和直线与平面垂直的性质的合理运用．由PA⊥矩形ABCD，得PA⊥BD，若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故PD⊥BD不正确．【解答】解：∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥BD，若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故PD⊥BD不正确，故A不正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴由三垂线定理得PB⊥BC，故C正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD，故D正确．故选A．6.【答案】B【知识点】抛物线的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义【解析】解：由椭圆x29+y24=1，得a=3，b=2，则c=√a2−b2=√5，则椭圆左焦点为F(−√5,0)，由题意可设抛物线方程为y2=−2px(p>0)，则p2=√5，p=2√5，抛物线方程为y2=−4√5x，故选：B．由椭圆方程求得左焦点坐标，可得抛物线的焦点坐标，设出抛物线方程y2=−2px(p> 0)，再由焦点坐标求得p，则抛物线方程可求．本题考查椭圆与抛物线的几何性质，是基础题．7.【答案】A【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：椭圆x225+y29=1，所以A为椭圆右焦点，设左焦点为F(−4,0)，则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=10，于是|MA|+|MB|=10+|MB|−|MF|．当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是|MB|−|MF|<|BF|，而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有|MB|−|MF|=−|BF|，在第三象限交点时有|MB|−|MF|=|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值，其最大值为|MA|+|MB|=10+|MB|−|MF|=10+|BF|=10+√(2+4)2+(2−0)2=10+2√10．故选：A．由题设条件可知，MA+MB=10+|MB|−|MF|.当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时有|MB|−|MF|=−|BF|，在第三象限交点时有|MB|−|MF|=|BF|.显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值，其最大值为|MA|+ |MB|=10+|MB|−|MF|=10+|BF|.由此能够求出MA+MB的最大值．本题考查椭圆的基本性质，解题时要熟练掌握基本公式，中档题．8.【答案】D【知识点】直线与圆的位置关系及判定【解析】解：圆(x−2)2+(y+3)2=9的圆心为(2,−3)∴(2,−3)到直线x−2y−3=0的距离d=√12+22=√5弦长|EF|=2×√9−5=2×2=4原点到直线的距离d=√12+22=√5∴△EOF的面积为S=12×4×√5=6√55故选D．先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长|EF|，再由原点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案．本题主要考查点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系．考查基础知识的综合运用和灵活运用能力．9.【答案】BD【知识点】空间中直线与平面的位置关系【解析】解：对于A，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故A错误；对于B，由平面与平面平行的判定可得，平行于同一个平面的两个平面平行，故B正确；对于C，一个平面与两个平行平面相交，交线平行或相交于一点，故C错误；对于D，由平面与平面平行的性质可知，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，故D正确．故选：BD．由直线与直线、直线与平面的位置关系判定AC；由平面与平面平行的判定判断B；由平面与平面平行的性质判断D．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．10.【答案】B【知识点】空间中直线与平面的位置关系【解析】解：选项A，若α⊥β，l⊥β，则l//α，不正确，l也可能在平面α内；选项B，若l⊥α，l//β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理可知正确；选项C，若l上有两个点到α的距离相等，则l//α，不正确，当两点在平面两侧时不正确；选项D，若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β，不正确，如正方体共顶点的三个平面；故选B选择A结论中l也可能在平面α内，选项B根据面面垂直的判定定理进行判定，选项C 当两点在平面两侧时不正确，选项D举反例，如正方体共顶点的三个平面．本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定等有关知识，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．11.【答案】ABD【知识点】等差数列的求和【解析】解：因为S n=dn22+(a1−d2)n，若d<0，根据二次函数的性质可知，数列{S n}有最大项，A正确，B正确；若数列{S n}是递增数列，则d>0，若a1<0，则S1<0，但不一定对任意n∈N+，均有S n>0，C错误；若数列{S n}是递减数列，则d<0，一定存在实数k，当n>k时，之后所有项都为负数，不能保证对任意n∈N+，均有S n>0，因此数列{S n}是递增数列，所以d>0，D正确．故选：ABD．由已知结合等差数列的求和公式及数列单调性的性质，判断各选项即可判断．本题主要考查了等差数列的性质及求和公式，考查了逻辑推理的能力，属于中档题．12.【答案】ABC【知识点】圆有关的轨迹问题【解析】解：如图，在平面直角坐标系中∵B(−2,0)，C(2,0)．若△ABC周长为10，则|AB|+|AC|=6>4=|BC|，∴A的轨迹为以B、C为焦点，长轴长为6的椭圆，方程为：x29+y25=1(y≠0)，故A正确；若△ABC面积为10，设A到BC所在直线距离为d，则12×|BC|×d=10，即12×4d=10，d=5．∴|y|=5，y2=25.∴A的轨迹方程为：y2=25，故B正确；若∠A=90°，则|OA|=2，即√x2+y2=2，x2+y2=4(y≠0)，故C正确．故选：ABC．题目中给出了△ABC的两个顶点B、C的坐标，当给出周长时，可得到A到B、C两点的距离和为定值，且定值大于BC的距离，可知A的轨迹为椭圆除去x轴上的两点；当△ABC的面积为定值10时，可得A到x轴的距离为定值5，从而可得A的轨迹是两条直线；当△ABC中，∠A=90°时，可知A到原点的距离为定值2，从而得到A的轨迹是圆除去与x轴的两个交点．本题考查了圆锥曲线的共同特征，考查了椭圆、圆的定义，解答的关键是对圆锥曲线定义的理解，属中档题．13.【答案】2x+3y+10=0【知识点】直线的一般式方程、直线系方程及其应用、两条直线垂直的判定【解析】解：设与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为2x+3y+c=0，然后将点A代入可得到c=10故过点A(1,−4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为2x+3y+10=0故答案为：2x+3y+10=0先根据所求直线与直线2x+3y+5=0平行可设为2x+3y+c=0，然后将点A代入可求出c的值，最后将c的值代入即可得到答案．本题主要考查直线的平行问题，当直线的斜率存在时两直线互相平行可斜率相等、当两直线的斜率都不存在时也平行．14.【答案】3n−1【知识点】等比数列的性质、等比数列的通项公式【解析】解：由1，a+1，2a+5为等比数列的前3项，得到(a+1)2=2a+5，化简得：a2=4，由a+1>0得到a>−1，所以解得a=2，所以等比数列的前3项依次为：1，3，9，则a1=1，q=3，则数列{a n}的通项公式a n=3n−1．故答案为：3n−1因为此等比数列的前三项依次为1，a+1，2a+5，根据等比数列的性质可得，第2项的平方等于第1第3项之积，列出关于a的方程，由各项都大于0，求出满足题意的方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入得到前3项的值，根据前3项的值分别求出等比数列的首项和公比，根据首项和公比即可写出等比数列的通项公式．此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．15.【答案】x29+y28=1【知识点】椭圆的概念及标准方程【解析】解：e=ca =13∴a=3c.焦点到对应准线的距离a2c−c=b2c=8，∴b2=8c，a2−b2=c2=c∴c=1，a2=9，b2=8故答案为：x29+y28=1．e=ca =13，焦点到对应准线的距离a2c−c=b2c=8，联立方程组解出a，b．求椭圆的标准方程，关键根据题目条件，列出关于a，b的方程组去解．本题用到了椭圆的基本几何性质．16.【答案】12√2【知识点】利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】解：如图，过A作BC的垂线交于D，∵AB=AC=13，∴D 为BC 的中点，BC =10， 可得BD =12BC =5，∴AD =√AB 2−BD 2=12∵PA 垂直于△ABC 所在的平面，BC ⊂ABC 平面， 可得PA ⊥BC ，PA ⊥AD ， ∴PA ⊥BC ，AD ⊥BC ， ∴△PAD 是直角三角形，AD ∩PA =A ，AD ，PA ⊂平面ADP ， ∴BC ⊥平面ADP ， ∴BC ⊥DP ，那么PD 即是P 到BC 的距离，由AP =12，AD =12，△PAD 是直角三角形， ∴PD =12√2． 故答案为：12√2．过A 作BC 的垂线交于D ，连接PD ，证明PD 垂直BC ，可得PD 即是P 到BC 的距离． 本题考查了点线面的位置关系和证明，点线距离的求法，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)抛物线y 2=4x 的焦点右焦点F 2(1,0)，左焦点F 1(−1,0)∴c =1∵P(1,32)2a =PF 1+PF 2=√22+(32)2+√(32)2=52+32=4∴a =2∴b 2=3 所求椭圆方程为x 24+y 23=1(Ⅱ)a =1，c =2则b 2=3所求双曲线的方程为x 2−y 23=1【知识点】双曲线的概念及标准方程、椭圆的概念及标准方程【解析】(Ⅰ)抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0)即c =1，再利用椭圆定义，求出2a ，得出a ，可求得方程(Ⅱ)双曲线中由(Ⅰ)a =1，c =2，可求得方程本题考查圆锥曲线定义、标准方程、简单的几何性质．属于基础题．18.【答案】解：(1)∵ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱，∴CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AC …(2分)∵AC =3，BC =4，AB =5，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴AC ⊥CB …(4分) 又C 1C ∩CB =C ，∴AC ⊥平面C 1CB 1B ，又BC 1⊂平面C 1CB 1B ， ∴AC ⊥BC 1…(7分)(2)设CB 1∩BC 1=E ，∵C 1CBB 1为平行四边形， ∴E 为C 1B 的中点…(10分)又D 为AB 中点，∴AC 1//DE …(12分) DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1//平面CDB 1…(14分)【知识点】线面平行的判定、空间中直线与直线的位置关系【解析】(1)利用ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱，证明CC 1⊥AC ，利用AB 2=AC 2+BC 2，说明AC ⊥CB ，证明AC ⊥平面C 1CB 1B ，推出AC ⊥BC 1．(2)设CB 1∩BC 1=E ，说明E 为C 1B 的中点，说明AC 1//DE ，然后证明AC 1//平面CDB 1． 本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．19.【答案】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n =na 1+12n(n −1)d ． ∵S 7=7，S 15=75，∴{7a 1+21d =715a 1+105d =75.即{a 1+3d =1a 1+7d =5. 解得a 1=−2，d =1． ∴S n n=a 1+12(n −1)d =−2+12(n −1)，∵S n+1n+1−S n n=12，∴数列{Snn}是等差数列，其首项为−2，公差为12， ∴T n =14n 2−94n ．【知识点】等差数列的性质、等差数列的概念、数列求和方法、等差数列的求和【解析】由已知条件列出a1与d的方程组求出a1与d，从而求出s n，进而推出s n，由等n}为等差数列，故利用等差数列的求和公式进行求解．差数列的定义可得数列{S nn本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，是高考考查的重点．20.【答案】证明：(Ⅰ)连接AG交BE于D，连接DF，EG．∵E，G分别是AA1，BB1的中点，∴AE//BG且AE=BG，∴四边形AEGB是矩形．∴D是AG的中点(3分)又∵F是AC的中点，∴DF//CG(5分)则由DF⊂平面BEF，CG⊄平面BEF，∴CG//平面BEF，(Ⅱ)∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，C1C⊥底面A1B1C1，∴C1C⊥A1C1．又∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，即C1B1⊥A1C1，∴A1C1⊥面B1C1CB(9分)而CG⊂面B1C1CB，∴A1C1⊥CG(12分)又CG⊥C1G，∴CG⊥平面A1C1G(14分)【知识点】线面垂直的判定、线面平行的判定【解析】(I)要证明CG//平面BEF，即证明平面BEF中存在一条直线与CG平行，连接AG交BE于D，则DF符合要求，证明DF//CG后，利用线面平行的判定定理，即可得到答案．(II)若要证明CG⊥平面A1C1G，我们可以证明平面A1C1G中有两条相交直线与CG垂直，根据已知中直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA1，AC，BB1的中点，且CG⊥C1G，结合线面垂直的判定定理，即可得到答案．本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握判定定理的使用方法和步骤是解答本题的关键．21.【答案】解：(1)由题意，a n+2−a n ⋅+1=a n+1−a n ，∴{a n }为等差数列，设公差为d ， 由题意得2=8+3d ⇒d =−2，∴a n =8−2(n −1)=10−2n(2)若10−2n ≥0则n ≤5，n ≤5时，S n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a n =8+10−2n2×n =9n −n 2n ≥6时，S n =a 1+a 2+⋯+a 5−a 6−a 7…−a n =S 5−(S n −S 5)=2S 5−S n =n 2−9n +40故S n ={9n −n 2n ≤5n 2−9n +40n ≥6(3)∵b n =1n(12−a n )=12n(n +1)=12(1n −1n +1)∴T n=12[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1−1n )+(1n −1n +1)]=n 2(n +1)若T n >m 32对任意n ∈N ∗成立，即n n+1>m 16对任意n ∈N ∗成立，∵nn+1(n ∈N ∗)的最小值是12，∴m 16<12，∴m 的最大整数值是7．即存在最大整数m =7，使对任意n ∈N ∗，均有T n >m32【知识点】数列的递推关系、数列求和方法、数列的综合应用【解析】(1)由条件a n+2=2a n+1−a n ，可得a n+2−a n ⋅+1=a n+1−a n ，从而{a n }为等差数列，利用a 1=8，a 4=2可求公差，从而可求数列{a n }的通项公式； (2)利用10−2n ≥0则n ≤5，确定数列中的正数项，再进行分类讨论；(3先裂项求和，再根据T n >m 32对任意n ∈N ∗成立，得n n+1>m16对任意n ∈N ∗成立，利用n n+1(n ∈N ∗)的最小值是12，可知m 16<12，从而存在最大整数m =7．本题主要考查等差数列轭通项公式，考查数列的求和及恒成立问题，有一定的综合性．22.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为y 2a 2+x 2b 2=1； 由题意c =2√2,22√2=9√24⇒a 2=9,b 2=1．∴椭圆方程为x 2+y 29=1(Ⅱ)设存在直线l ：y =kx +b.故椭圆交于M ，N ，线段MN 中点为P(x 0,y 0).由{y =kx +b9x 2+y 2=1⇒(9+k 2)x 2+2kbx +b 2−9=0 则判别式△=4k 2b 2−4(9+k 2)(b 2−9)=−36(b 2−k 2−9)>0 得 b 2−k 2−9<0① 又x 1+x 22=−kb 9+k 2=−12⇒b =9+k 22k.代入①解得 k >√3或k <−√3， ∴θ∈(π3,π2)∪(π2,2π3)．【知识点】椭圆的性质及几何意义 【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为y 2a 2+x 2b 2=1，从而求出a ，b ，c ，从而求椭圆的方程；(Ⅱ)设存在直线l ：y =kx +b.故椭圆交于M ，N ，线段MN 中点为P(x 0,y 0)；从而求l 的倾斜角θ的取值范围．本题考查了圆锥曲线与直线的关系应用，属于基础题．。

江苏省扬州市邗江区2020至2021学年高二下学期期中考试数学试题

江苏省扬州市邗江区2020至2021学年高二下学期期中考试数学试题

江苏省扬州市邗江区2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1、答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卡规定的地方.2、试题答案均写在答题卡相应位置，答在其它地方无效.一．填空（本大题共14小题，每题5分，共计70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知全集{}12345U =，，，，，且{}234A =，，，{}12B =，，则=)(B C A U ▲ 2．复数512i-的虚部为 ▲ 3．求值：(.)()lg lg ln 203273142518▲4．已知复数z 满足i i z +=-1)2(，则=||z ▲ 5．已知[)()1,2,,A B a ==-∞，若A B A =，则实数a 的取值范围是 ▲．已知141)(-+=x a x f 是奇函数，则实数=a ▲ 7．已知函数1(),4()2(1),4xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则2(log 3)f = ▲ 。

8．已知集合{|5}A x x =>，集合{|}B x x a =>，若命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ 。

9．下列命题中，①x R ∀∈，2x x ≥； ②x R ∀∈，2x x <； ③x R ∀∈，y R ∃∈，2y x <；④x R ∀∈，y R ∃∈，x y x =，其中真命题的序号．．是 ▲ 10．已知函数()log a f x x =在(0,)+∞上单调递增，则(2)f - ▲ (1)f a +（填写“<”，“=”，“>”之一）11．如图，直角梯形 ✌位于直线)50(≤≤=t t x 右侧的图形面积为)(t f ，则函数)(t f = ▲ ．12．已知()x f 是定义在[]2,2-上的函数，且对任意实数)(,2121x x x x ≠，恒有，1212()()0f x f x x x -<-，且()x f 的最大值为1，则满足()1log 2<x f 的解集为 ▲13．试通过圆和球的类比，由“半径为R 的圆内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22R ”，猜测关于球的相应命题由▲ 。

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二(下)期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二(下)期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．﹣的值为（）A．3B．9C．12D．152．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种3．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．244．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为（）A．B．C．D．5．函数y＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名7．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜48．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i＝1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i＝1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i＝1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

扬州市邗江中学2020年春高二数学下学期期中试卷附答案解析

扬州市邗江中学2020年春高二数学下学期期中试卷附答案解析

扬州市邗江中学2020年春高二数学下学期期中试卷一、单选题1．函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为( ) A ．1B ．2C ．πD ．2π2．复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i3．已知随机变量X 服从正态分布14N （，），若(2)=0.2P X ≥，则(01)P X ≤≤为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.64．若7781n n n C C C +-=，则n 等于（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15 5．已知()sin 2f x x x =⋅，则'2f π⎛⎫⎪⎝⎭为（ ）A ．π-B ．2π-C ．2π D ．π6．二项式(√x +2x 2)10展开式中的常数项是( )A ．180B ．90C ．45D ．3607．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ）A ．38B ．1340C ．1345D ．348．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A ．48种B ．72种C ．96种D ．144种9．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，则函数y ＝x ()f x '的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++，则8a =（ ） A ．45-B ．27C ．27-D ．4511．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C C C C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A + 12．已知函数()ln f x ax x =-，[]1,x e ∈的最小值为3，若存在[]12,1,n x x x e ∈L，使得()()()()121n n f x f x f x f x -+++=L ，则正整数n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．（2010•上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 ．14．若102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，则12310a a a a +++⋯+＝_____．15．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上的概率是_________16．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为________. 三、解答题17．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数． （1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须站在一起； （5）全体排成一排，男生互不相邻.19．已知n+的展开式中前三项的系数为等差数列. （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中系数最大的项.20．有一块半圆形的空地，直径200AB =米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃ABCD ，如图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上，其余为绿化部分，设BOC θ∠=.（1）记花圃的面积为()f θ，求()f θ的最大值；（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边AB 、CD 处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰AD 、BC 不铺设，求θ满足什么条件时，会使总造价最大.21．已知甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X 的数学期望()EX ；（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与.假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？22．已知函数()x f x e ax a =--（其中e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意2(]0,x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设*n N ∈，证明：123()()()()1nnnnn e nnnne ++++<-L . 解析扬州市邗江中学2020年春高二数学下学期期中试卷一、单选题1．函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为( ) A ．1 B ．2C ．πD ．2π【答案】C【解析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.平均变化率为()()2π0πππ0πf f -==-.故选：C【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题. 2．复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1 B ．1C ．iD ．﹣i【答案】B【解析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果. 【详解】 解：∵()()()()2121211112i i i i i zi i i i ++====-+--+， 则复数z 的虚部为1．故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．3．已知随机变量X 服从正态分布14N （，），若(2)=0.2P X ≥，则(01)P X ≤≤为（ ） A ．0.2 B ．0.3C ．0.4D ．0.6【解析】X 服从正态分布(14)N ，，对称轴1μ＝，利用正态曲线的对称性可解 【详解】解：∵随机变量X 服从正态分布(14)N ， ∴12μσ＝，＝， 又(2)=0.2P X ≥，∴(01)=(12)=0.50.2=0.3P X P X ≤≤≤≤-； 故选：B ． 【点睛】利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴=x μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．对于正态分布2()N μσ，，由=x μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有()()P X a P X a μμ<->+＝； (2)()00()1P X x P X x <-≥=；(3)()()=()P a X b P X b P X a <<<≤-．4．若7781n n n C C C +-=，则n 等于（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15 【答案】C【解析】试题分析：由7781n n n C C C +-=和组合数公式得()()()()1!!!7!6!7!7!8!8!n n n n n n +-=---,化简得()()1116778n n n n +-=-⋅--,解之得14n =.【考点】组合数计算. 5．已知()sin 2f x x x =⋅，则'2f π⎛⎫⎪⎝⎭为（ ）A ．π-B ．2π-C ．2π D ．π【答案】A【解析】根据导数运算,求得()'f x ,代入即可求解.【详解】 因为()sin 2f x x x =⋅所以sin 22'2cos 2222f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⨯⨯⨯⎭+0cos πππ=+=-故选:A 【点睛】本题考查了导数的乘法运算公式,复合函数求导的简单应用,求导数的值,属于基础题. 6．二项式(√x +2x 2)10展开式中的常数项是( )A ．180B ．90C ．45D ．360【答案】A【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 【详解】 解：二项式(√x +2x )10展开式的通项公式为T r+1=C 10r ⋅2r⋅x5−5r2，令5−5r 2=0，求得 r =2，可得展开式中的常数项是C 102⋅22=180，故选：A ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．7．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ）A ．38B ．1340C ．1345D ．34【答案】B【解析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =I ，分别计算(),()P A B P A I 即得解.【详解】 由题意5()9P A = 事件A B I为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件 1313()9872P A B ==⨯I 由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==I故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A ．48种B ．72种C ．96种D ．144种【答案】B【解析】A 区域与其他区域都相邻，从A 开始分步进行其它区域填涂可解【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法， ③，对于C 区域，与A B 、 相邻，有2种涂法，④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B ．【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．9．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，则函数y ＝x ()f x '的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由极值与导数的关系确定，确定当0>x >﹣1以及x >0时，()xf x '的符号；当x ＝﹣1时，()xf x '＝0；当x <﹣1时，()xf x '符号．由此观察四个选项能够得到正确结果． 【详解】'且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值， ∴当x >﹣1时，()f x '<0；当x ＝﹣1时，()f x '＝0； 当x <﹣1时，()f x '>0．∴当0>x >﹣1时，()xf x '>0；x >0时，()xf x '<0；当x ＝﹣1时，()xf x '＝0； 当x <﹣1时，()xf x '＜0． 故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．10．已知()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++，则8a =（ ） A ．45- B ．27 C ．27- D ．45【答案】A【解析】分两类求解，当()1x -，取 1时， ()91-x 取8个x ，当 ()1x - 取x -时， ()91-x 取7个x ，分别求值，再相加. 【详解】 当()1x -取 1时， ()91-x 取8个x ，则1891a C =-⨯， 当()1x - 取x -时， ()91-x 取7个x ，则()278911a C =-⨯⨯-，所以()27189911145a C C =-⨯⨯--⨯=- .故选：A 【点睛】本题主要考查二项展开式的系数，还考查了分类讨论的方法，属于基础题.11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C C C C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A + 【答案】D【解析】对于选项A ，每人有4种安排法，故有54种；对于选项B ，5名同学中有两人类标准进行讨论即可. 【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A 错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A ，即选项B 错误，③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C C C C A A +）33A ，即选项C 错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C A A ， 故有231231111324334322=C C C A C C A A C ；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C ,从余下三人中安排三个岗位33A ，故有2333C A ；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +， 即选项D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法:1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.间接法:正难则反、等价转化的方法.12．已知函数()ln f x ax x =-，[]1,x e ∈的最小值为3，若存在[]12,1,n x x x e ∈L，使得()()()()121n n f x f x f x f x -+++=L ，则正整数n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】对函数求导,研究函数单调性,利用最值与函数单调性的关系,即可求得a 的值,从而求得()f x 的最大值与最小值,再根据题意推出min max (1)()()n f x f x -…,即可求得n 的最大值.11()ax f x a x x'-=-=, ①当0a ≤或10a e <≤时,()0f x '<在[]1,x e ∈恒成立,从而()f x 在[]1,e 单调递减,所以min ()()13f x f e ae ==-=,解得41,a e e ⎛⎤=∉-∞ ⎥⎝⎦,不合题意; ②当11a e <<时,易得()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增, 所以min 11()1ln 3f x f a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,解得21,1a e e ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭,不合题意;③当1a >时,()f x 在[]1,e 单调递增,所以min ()(1)31f x f a ===>,满足题意; 综上知3a =. 所以()3ln f x x x =-,[]1,x e ∈,所以min ()(1)3f x f ==,max ()()31f x f e e ==-依题意有min max (1)()()n f x f x -≤,即(1)331n e -≤-,得23n e ≤+, 又*n N ∈,所以3n ≤. 从而n 的最大值为3. 故选:B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值,考查求参数的取值范围,需要学生结合分类讨论思想答题.二、填空题13．（2010•上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 ． 【答案】【解析】试题分析：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H （3，2，10），利用公式Eξ=，即可求得抽到次品个数的数学期望的值．解：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H （3，2，10） ∴Eξ=故答案为：点评：本题考查离散型随机变量的数学期望，解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布，从而利用相应的期望公式求解．14．若102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，则12310a a a a +++⋯+＝_____．【答案】1023【解析】赋值法 令0x =得：01a =；令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++(),再两式相减可得. 【详解】解：∵102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()， 令0x ＝得：01a = ；①令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++()； ② 由①②可得：12310102411023a a a a +++⋯+-==； 故答案为：1023． 【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如()n ax b +，2()m ax bx c ++ (a b c R ∈，，)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x ＝即可．(2)对形如()()n ax by a b R +∈，的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可． (3)若()2012n n f x a a x a x a x +++⋯+=，则()f x 展开式中各项系数之和为()1f ．15．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上的概率是_________【答案】827【解析】先分别求出顺时针、逆时针方向跳的概率，分析跳四次之后停在A 叶上，有两种情况：有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，再分别计算对应的概率即可. 【详解】解：设按照顺时针跳的概率为p ，则逆时针方向跳的概率为2p ， 则2=3=1p p p +，解得p 13=，即按照顺时针跳的概率为13，则逆时针方向跳的概率为23， 若青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上，则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，①若先按逆时针开始从A →B ，则剩余3次中有1次是按照逆时针，其余2次按顺时针跳，则对应的概率为123221124()3338127C ⨯⨯⨯==， ②若先按顺时针开始从A →C ，则剩余3次中有1次是按照顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为123112124()3338127C ⨯⨯⨯==， 则概率为448272727+=， 故答案为:827【点睛】求复杂互斥事件概率的步骤：第一步，分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和； 第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率； 第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．16．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为________. 【答案】213e 【解析】分别求出函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的导函数，设公共点为()00,g x y ，则00()()f x g x ''=解得03x a =，又()()00f x g x =，则2236ln 3(0)b a a a a =-->，令22()36ln 3(0)h a b a a a a ==-->，求出函数的导数，研究函数的最值. 【详解】解：设曲线()y f x =与()y g x =的公共点为()00,gx y ，因为26(),a f x x'=()24g x x a '=-，所以200624a x a x -=，化简得2200230x ax a --=，解得0x a =-或3a ，又00x >，且0a >，则03x a =. 因为()()00f x g x =.所以2200046ln ,x ax b a x --=2236ln 3(0)b a a a a =-->.设()h a b =，所以()12(1ln3)h a a a '=-+，令()0h a '=，得13a e=， 所以当103a e <<时，()0'>h a ；当13a e>时，()0h a '<. 即()h a 在10,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,3e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以b 的最大值为21133h e e⎛⎫=⎪⎝⎭. 故答案为：213e【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.三、解答题17．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数． （1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） z=4-2i ．（Ⅱ）2＜a ＜6 【解析】【详解】（1）设(,)z x yi x y R =+∈ 所以，2(2)z i x y i +=++；(2)(2)225z x yi x y x y i i i +-++==-- 由条件得，20y +=且20x y +=，所以4,2x y ==-(2)222()(42)(124)8(2)z ai i ai a a a i +=-+=+-+-由条件得：21240{8(2)0a a a +->->，解得26a <<所以，所求实数a 的取值范围是(2,6)-18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须站在一起； （5）全体排成一排，男生互不相邻.【答案】（1）2520种（2）5040种（3）3600种（4）576种（5）1440种 【解析】（1）按照排列的定义求解..（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解..（3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解.（5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解. 【详解】（1）从7人中选5人排列，有57765432520A =⨯⨯⨯⨯=（种）. （2）分两步完成，先选4人站前排，有47A 种方法，余下3人站后排，有33A 种方法，共有4373A A 5040=g （种）.（3）（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有66A 种排列方法，共有6653600A ⨯=（种）.（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有44A 种方法，再将女生全排列，有44A 种方法，共有4444A A 576=g（种）. （5）（插空法）先排女生，有44A 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有35A 种方法，共有4345A A 1440=g（种）. 【点睛】本题主要考查了对排列的理解和排列数的计算，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.19．已知n+的展开式中前三项的系数为等差数列. （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）358x ；（2）747x 和527x . 【解析】（1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解n 的取值，再根据展开式求解二项式系数最大项；（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项. 【详解】（1）由题意，n的展开式是1rn rrr nT C -+=， 化简得23244122n r r n r r rr rr nnTC xxC x-----+=⋅=⋅⋅则02211n n nT C x x =⋅=⋅，23231144222n n nn T C x x---=⋅⋅=⋅，()3322223128n n nn n T C xx----=⋅⋅=⋅因为，前三项的系数为等差数列，则有()12128n n n-⋅=+，解得8n =或1n =（舍去）则8n =，则8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 二项式系数是8r C ，当4r =时，二项式系数最大，则1612444583528T C xx --=⋅⋅=（2）由（1）得，8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 根据组合数性质，48C 最大，而2r -随着r 的增大而减小，且21r -<，则计算0441821T C x x =⋅⋅=⋅，131311442824T C x x -=⋅⋅=⋅，5522223827T C x x -=⋅⋅=⋅，7733444827T C x x -=⋅⋅=⋅，44583528T C x x -=⋅⋅=⋅ 则当2r =或3r =时，系数最大，则系数最大项是747x 和527x【点睛】本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨析，属于中等题型.20．有一块半圆形的空地，直径200AB =米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃ABCD ，如图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上，其余为绿化部分，设BOC θ∠=.（1）记花圃的面积为()f θ，求()f θ的最大值；（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边AB 、CD 处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰AD 、BC 不铺设，求θ满足什么条件时，会使总造价最大.【答案】（1）2）4πθ=时，总造价最大.【解析】（1）根据梯形的面积公式可得()()sin cos sin ,0,2fπθθθθθ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，解得三角函数的性质和导数求得()f θ的最大值. （2）求得花圃的总造价，然后利用导数求得4πθ=时，总造价最大.【详解】（1）设半径为r ，则100r =米，作CE AB ⊥，垂足为E ，因为BOC θ∠=，所以sin sin ,cos CE OC R OE r θθθ=⋅==， 所以22cos CD OD r θ==， 所以()()()2122cos sin sin cos sin 2fr r r r θθθθθθ=⨯+⨯=+ ()410sin cos sin ,0,2πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.()()()()'42410cos 2cos 110cos 12cos 1f θθθθθ=+-=+-，所以当π0θ3<<时，()'0f θ>，()f θ递增；当32ππθ<<时，()'0f θ<，()f θ递减.所以当3πθ=时()f θ最大，最大值为41034f π⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭（2）设花圃总造价为()()()()()51050022cos 10sin 11cos Wf r r θθθθθ=++=++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()()'52210cos cos sin sin W θθθθθ=+--()()510cos sin cos sin 1θθθθ=-++.令()'0Wθ=，则cos sin 0θθ-=，由于0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4πθ=.当04πθ<<时，()'0Wθ>，函数()W θ单调递增，当42ππθ<<时，()'0W θ<，函数()W θ单调递减， 所以当4πθ=时，函数()Wθ有最大值，即总造价最大.【点睛】本小题主要考查函数导数在实际生活中的应用，考查利用导数求最值，属于中档题. 21．已知甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X 的数学期望()EX ；（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与.假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？ 【答案】（1）625；（2）219100；（3）详见解答. 【解析】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，求出()P B ，每个人获奖的概率相等，获奖人数X 服从二项分布(3,())X P B :，求出X 可能值0,1,2,3的概率，由此求出X 的分布列，应用二项分布期望公式即可求出结论；（3）求出中奖的期望，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，求出相应的概率，列出分布列，进而求出期望，与打9折的优惠金额对比，即可得出结论. 【详解】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，则21111232323222556()25C C C C C C P A C C +==，所以在1次摸奖中，获得二等奖的概率625； （2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，则获得一等奖的概率为2232122553100C C P C C ==， 获得三等奖的概率为2211112233322322222552350C C C C C C C C P C C ++==， 所以362373()1002550100P B =++=， 每个人摸奖是相互独立，且获奖概率相等， 获奖人数X 服从二项分布73(3,)100X :， 3373270,1,2,3,()()(),0,1,2,3100100i i iX P X i C i -====，分布列为：73219()3100100E X =⨯=； （3）如果选择抽奖，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，36(300),(200)10025P P ηη====， 23(100)50P η==，1122112223232323225527(0)100C C C C C C C C P C C η++===，η的分布列为：3244627()3002001000103100100100100E η=⨯+⨯+⨯+⨯=， 如果购买1200选择打九折，优惠金额为120103>， ∴选择打九折更有利. 【点睛】本题考查互斥事件概率、离散型随机变量分布列期望、二项分布期望，考查计算求解能力，属于中档题.22．已知函数()x f x e ax a =--（其中e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意2(]0,x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设*n N ∈，证明：123()()()()1nnnnn e nnnne ++++<-L . 【答案】（1）见解析；（2）(,e 1)-∞-（3）见证明【解析】（1）对函数求导，分类讨论0a ≤和0a >两种情况，即可得出结果；（2）分类参数的方法，将()f x x a >-化为1x e a x <-，再由导数的方法求1xe x-在(]0,2的最小值即可；（3）先由（1）令1a =可知对任意实数x 都有10x e x --≥，即1x x e +≤，再令()11,2,3,,kx k n n+==L ，即可证明结论成立.【详解】 解：（1）因为()x f x e ax a =--，所以()x f x e a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增； ②当0a >时，()0ln x f x e a x a >⇒>⇒>'，()0ln x f x e a x a <⇒<⇒<'所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.（2）因为对任意的(]0,2x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，即不等式()1x a x e +<恒成立.即当(]0,2x ∈时，1xe a x<-恒成立.令()(]()10,2x e g x x x =-∈，则()()21xx e g x x -'=.显然当()0,1x ∈时，()0g x '<，(]1,2x ∈时，()0g x '>，所以()gx 在()0,1上单调递减，在(]1,2上单调递增.∴1x =时()gx 取最小值1e -.所以实数a 的取值范围是(),1e -∞-（3）在（1）中，令1a =可知对任意实数x 都有10x e x --≥， 即1x x e +≤（等号当且仅当0x =时成立）令()11,2,3,,k x k n n +==L ，则1k n k e n -<，即nkk nn k e e n e -⎛⎫<= ⎪⎝⎭故123n n n nn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()1231nn e e e e e <++++L()()()111n ne e ee e e -=<--【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法求出函数的单调区间，以及函数的最值等，属于常考题型.。

江苏省扬州市邗江区、宝应县、仪征市2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题

江苏省扬州市邗江区、宝应县、仪征市2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题
是函数 的极小值，但不一定是最小值，即D错误.
故选：BC.
【点睛】
本题考查由导数图象解决函数性质问题，属于基础题.
11．ACD
【分析】
由二项式定理知 的所有项的二项式系数和为 ，赋值法令 、 求题设二项式各项系数的和，再将所得作和差处理，求奇偶项的系数和，根据通项 ，即可求 ，进而判断各选项的正误.
9．AC
【分析】
由组合数的性质，直接计算结果.
【详解】
由组合数的性质可知 或 ，解得： 或 .
故选：AC
10．BC
【分析】
根据导数的图象可判断出函数的单调性，即可判断出每个选项的正误.
【详解】
由 的图象可知， 在 和 上单调递增，在 和 上单调递减，且2为 的极小值点，所以选项B和C均正确；
是 的零点，但不一定是 的零点，即A错误；
【详解】
由题知，当甲站在正中间，其左右各有3个位置，
若乙、丙两位同学站在一起且都在甲的左手边，则其余4个位置的人站法可按全排列计算，
有 种，
若乙、丙两位同学站在一起且都在甲的右手边，则其余4个位置的人站法可按全排列计算，
有 种，
由分类加法计数原理知，共有 种排法.
故选：B.
8．D
【分析】
函数在某区间有极值点，即是导数在那个区间上有解.求出 ，令 ，然后分离出参数 ，构造新函数 ，再由导函数分析其单调性，求函数 在区间 的值域 ，但当 时， 在 仅有一根 ，且在其左右两边 同号，此时无极值点，故应舍去.
【详解】
（1）由题设得， ，
所以 ，
∴ ，所以
（2）由于 ，根据复数加法及向量加法的几何意义知，四边形 是平行四边形．又因为 ，所以四边形 是矩形
则四边形 的面积

2020年江苏省扬州市邗江区高二(下)期中数学试卷(理科)

2020年江苏省扬州市邗江区高二(下)期中数学试卷(理科)

期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.复数的共轭复数是______．2.由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是______ ．3.已知，且，则x的值是______．4.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有______种．5.若直线l的方向向量为（4，2，m），平面α的法向量为（2，1，-1），且l⊥α，则m=______．6.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是_______.7.已知=（3，-2，-3），=（-1，x-1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是______．8.六个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种(用数字作答)9.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k时成立推导n=k+1时成立时，增加的项数是______10.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，则=______11.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是______．12.已知结论:“在三边长都相等的△ABC中,若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则＝2．”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则＝____________”.13.小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为______．14.观察下列等式：①cos2α=2cos2α-1；②cos4α=8cos4α-8cos2α+1；③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1；④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1；⑤cos10α=m cos10α-1280cos8α+1120cos6α+n cos4α+p cos2α-1；可以推测，m-n+p=______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.设为复数z的共轭复数，满足|z-|=2．（1）若z为纯虚数，求z；（2）若z-2为实数，求|z|．16.有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男女相间．17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2AB=2，F为BC的中点，．（1）若λ=2，求异面直线PD与EF所成角的余弦值；（2）若，求二面角E-AF-C的余弦值．18.（1）已知正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：不可能是等差数列．（2）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．证明：当x＞-1且x≠0时，（1+x）p＞1+px．19.如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABE⊥底面ABCD，侧面AEB为等腰直角三角形，∠AEB=，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC（1）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．20.在数列{a n}中，．（1）求a2，a3的值；（2）证明：①0≤a n≤1；②．答案和解析1.【答案】-i【解析】解：复数===i的共轭复数是-i．故答案为：-i．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2.【答案】正方形的对角线相等.【解析】解：由演绎推理三段论可得本例中的“平行四边形的对角线相等”为大前提；本例中的“正方形是平行四边形”为小前提；则结论为“正方形的对角线相等”故答案为：正方形的对角线相等三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”．另外一个是结论．三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．3.【答案】5【解析】解：∵，且，∴=-3+2x-5=2，解得x=5．故答案为：5．利用空间向量数量积公式直接求解．本题考查实数值的求法，考查空间向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】81【解析】解：每封信都有3种不同的投法由分步计数原理可得，4封信共有3×3×3×3=34=81故答案为81每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理可得，4封信共有34种投法本题主要考查了分步计数原理的应用，要注意结论：m个物品放到n个不同的位置的方法有n m，属于基础试题5.【答案】-2【解析】解：∵l⊥α，又∵直线l的方向向量为（4，2，m），平面α的法向量为（2，1，-1），∴向量（4，2，m）与向量（2，1，-1）平行，则存在实数λ使（4，2，m）=λ（2，1，-1）即故m=-2故答案为：-2由已知中直线l的方向向量为（4，2，m），平面α的法向量为（2，1，-1），且l⊥α，我们可得向量（4，2，m）与向量（2，1，-1）平行，根据空间向量平行的充要条件可得到一个关于λ和m的方程组，解方程组，即可得到答案．本题考查的知识点是向量语言表述线面垂直，其中正确理解线面垂直时，直线的方向向量和平面的法向量平行是解答本题的关键．6.【答案】18【解析】解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共A52=20有种排法，因为=，=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a-lg b的不同值的个数是：20-2=18，故答案为：18．因为lg a-lg b=lg，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a-lg b的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从1，3，5，7，9这五个数中任取2个数排列后（两数在分子和分母不同），减去相同的数字即可得到答案．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是想到把相等的数字去掉，属基础题．7.【答案】x＞-2且x≠-【解析】解：=（3，-2，-3），=（-1，x-1，1），则•=-3-2（x-1）-3=-4-2x，若∥，则=λ，即有-1=3λ，x-1=-2λ，1=-3λ，x=，由于与的夹角为钝角，则＜0，即为-4-2x＜0，解得，x＞-2．则有x＞-2且x≠-．故答案为：x＞-2且x≠-．运用数量积公式求出与的数量积，再求向量与的共线的情况，由于与的夹角为钝角，则•＜0，解不等式即可得到范围．本题考查平面向量的数量积的运用，考查向量的夹角为钝角的条件，考查运算能力，属于基础题和易错题．8.【答案】480【解析】【分析】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题，属于简单题．排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有种方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，所以共有：=480．故答案为：480．9.【答案】2k【解析】解：假设n=k时成立，即f（k）=1+++…+，则n=k+1成立时，有f（k+1）=1+++…+++…+，∴左边增加的项数是（2k+2k-1）-（2k-1）=2k．故答案为：2k．当n=k成立，写出f（k）的表达式，当n=k+1时，f（k+1）的表达式，观察计算即可．本题考查数学归纳法，考查n=k到n=k+1成立时左边项数的变化情况，考查理解与应用的能力，属于中档题．10.【答案】++【解析】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，∴==（）=（）+[++]=+（-+）++（）+=++．故答案为：++．==（）=（）+[++]，由此能求出结果．本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】96【解析】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．12.【答案】3【解析】解：设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，∵O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，∴O到四面体各面的距离都相等，O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有四面体的体积V=4r=，∴r=，即OM=，所以AO=AM-OM=，所以=3，故答案为：3设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又因为O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，可得O到四面体各面的距离都相等，所以O也是四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM，从而结果可求．本题考查类比推理知识，属于基础题.13.【答案】84【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22=2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32=12种安排方法，此时有2×2×12=48种不同坐法；②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时有2×2×6=24种不同坐法；③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时，共有2×6=12种不同坐法；则一共有48+24+12=84种不同坐法；故答案为：84．根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意“小明的父母至少有一人与小明相邻”的条件，由此分析其可能的情况．14.【答案】962【解析】解：因为2=21，8=23，32=25，…，128=27所以m=29=512；每一行倒数第二项正负交替出现，1×2，-2×4，3×6，-4×8，5×10，可推算出p=50，然后根据每行的系数和都为1，可得n=-400．所以m-n+p=962．故答案为：962．本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等．观察等式左边的α的系数，等式右边m，n，p的变化趋势，我们不难归纳出三个数的变化规律，进而得到结论．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．15.【答案】解：（1）设z=bi，b∈R，则=-bi，因为|z-|=2，则|2bi|=2，即|b|=，所以b=，所以z=.（2）设z=a+bi，（a，b∈R），则=a-bi，因为|z-|=2，则|2bi|=2，即|b|=．z-2=a+bi-（a-bi）2=a-a2+b2+（b+2ab）i．因为z-2为实数，所以b+2ab=0.因为|b|=，所以a=，所以|z|==【解析】（1）设z=bi，b∈R，则=-bi，利用|z-|=2，求出b，然后求解复数z．（2）设z=a+bi，（a，b∈R），则=a-bi，利用|z-|=2，求出|b|=，化简z-2，通过z-2为实数，求出a，然后求解|z|．本题考查复数代数形式的混合运算，复数的模的求法，共轭复数的应用，考查计算能力．16.【答案】解：（1）先排甲有6种，其余有A88种，∴共有6•A88=241920种排法．（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有A22•A77=10080种排法．（3）先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有A55种方法，故共有A44•A55=2880种排法．【解析】（1）这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，先排甲有6种，剩下的8个元素全排列有A88种，根据分步计数原理得到结果．（2）先排甲、乙，再排其余7人，再根据分步计数原理得到结果．（3）先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有A55种方法，根据分步计数原理得到结果．本题主要考查考查排列组合问题，排列问题常见的解题思路：元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路．17.【答案】解：（1）四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2AB=2，F为BC的中点，．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，当λ=2时，P（0，0，2），D（0，2，0），C（1，2，0），E（，，），F（1，1，0），=（0，2，-2），=（，-，-），设异面直线PD与EF所成角为θ，则异面直线PD与EF所成角的余弦值为：cosθ===．（2）当，E（，），A（0，0，0），F（1，1，0），C（1，2，0），=（），=（1，1，0），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，），平面AFC的法向量=（0，0，1），设二面角E-AF-C的平面角为θ，则二面角E-AF-C的余弦值为：cosθ===．【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PD与EF所成角的余弦值．（2）当时，求出平面AEF的法向量和平面AFC的法向量，利用向量法能求出二面角E-AF-C的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】证明：（1）假设是等差数列，则，即，∴，∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0，∴a-b=b-c≠0，∴，∴a=c，此时公差d=0，这与题设矛盾，∴假设不成立，即不可能是等差数列．（2）①当p=2时，（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x，原不等式成立；②假设p=k（k≥2，k∈N*）时，不等式（1+x）k＞1+kx成立，当p=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，∴当p=k+1时，原不等式也成立，综合①②可得，当x＞-1且x≠0时，（1+x）p＞1+px．【解析】（1）利用反证法求证即可；（2）利用数学归纳法求证即可．本题考查反证法及数学归纳法的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）因为平面ABE⊥底面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE，则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=，所以CE=，则直角三角形CBE中，sin∠CEB=，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为；（2）存在点F，且时，有EC∥平面FBD，证明如下：解：连接AC、BD交于点M，面ACE∩面FBD=FM．因为EC∥平面FBD，所以EC∥FM．在梯形ABCD中，有△DMC∽△BMA，可得MA=2MC，∴AF=2FE，即点F满足时，有EC∥平面FBD．【解析】（1）可知∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=，得CE=，则直角三角形CBE中，sin∠CEB=；（2）连接AC、BD交于点，推出EC∥FM．通过△DMC与△BMA相似，然后求解EF即可．本题考查了直线与平面平行的判定定理的应用、线面角的求解，考查空间想象能力以及逻辑推理能力、转化思想的应用．20.【答案】解：（1）a2=0，a3=-1，（2）设f（x）=-1，则a n+1=f（a n），①（i）当n=1时，命题成立，（ii）假设n=k时，命题成立，即0≤a k≤1，则当n=k+1时，易知f（x）在（-∞，1]上为减函数，从而0=f（1）≤f（a k）≤f（0）=-1＜1，即0≤a k≤1，所以当n=k+1时结论成立，由（i），（ii）可知命题成立，②先证a2n＜a2n+1，（n∈N*），（i）当n=1时，0=a2＜a3=-1，即n=1时命题成立，（ii）假设n=k时，命题成立，即a2k＜a2k+1，（k∈N*），则当n=k+1时，由①f（x）在（-∞，1]上为减函数，得a2k+1=f（a2k）＞f（a2k+1）=a2k+2，故a2k+2=f（a2k+1）＞f（a2k+2）=a2k+3，所以当n=k+1时结论成立，由（i），（ii）a2n＜a2n+1，（n∈N*），再证a2n＜＜a2n+1，由上可知，a2n＜-1，即（a2n+1）2＜a2n2-2a2n+2，因此a2n＜，由f（x）在（-∞，1]上为减函数，得f（a2n）＞f（a2n+1），即a2n+1＞a2n+2，所以a2n+1＞-1，即a2n+1＞，所以a2n＜＜a2n+1．【解析】（1）代值计算即可，（2）①由数学归纳法和数列与函数的性质，即可证明，②先证a2n＜a2n+1，（n∈N*），由数学归纳法即可证明，再证a2n＜＜a2n+1，利用函数的性质即可证明．本题考查了数列和函数关系，以及数学归纳法，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。

江苏省扬州市邗江区2020学年高二数学下学期期中试题 理(无答案)

江苏省扬州市邗江区2020学年高二数学下学期期中试题 理(无答案)

江苏省扬州市邗江区2020学年高二数学下学期期中试题 理（无答案）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡指定区域内．．．．．．．．．) 1、2017i = ▲ . 2、复平面内，12z +=表示的图形的面积是 ▲ . 3、关于正整数n 的命题(1)(2)2342n n n -+++++=L 是真命题，则用数学归纳法证明时，第一步取n = ▲ .4、=+⋅⋅⋅+++211242322C C C C ▲ .（用数字作答）5、给出下列演绎推理：“自然数是整数， ，所以，2是整数”，如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写 ▲ ．6、观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，根据以上式子可以猜想2221111232017++++<L ▲ . 7、如图，从A 处沿街道走到B 处，则路程最短的不同的走法共有 ▲ 种．(用数字作答)8、有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内，没有一个盒子空着，且球的编号与盒子编号不全．．相同，有 ▲ 种投放方法. (用数字作答)9、已知在*331()2n x x -∈（n N ） 的展开式中，第6项为常数项，那么其展开式中共有▲ 项是有理项.10、8))(2(y x y x +-的展开式中，72y x 的系数为 ▲ .（用数字作答）11、（1）已知,a b R ∈，且0ab =，那么0a =或0b =；（2）已知,a b R ∈，且220a b +=，那么0a =且0b =. 试在复数集范围内，类比上述两个命题，给出一个正确的命题： ▲ .12、2434343434C C C +++L 被9除的余数是 ▲ ．13、用数学归纳法证明：1+*111(1)2321n n n n N ++⋅⋅⋅+<>∈-，，在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数．．是 ▲ .14、设随机变量),,4(~),,2(~p B Y p B X 若,95)1(=≥X P 则)2(≥Y P = ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15、(本题满分14分)现有4名男生、3名女生站成一排照相．(用数字作答)（1）两端是女生，有多少种不同的站法？（2）任意两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（3）女生甲要在女生乙的右方(可以不相邻)，有多少种不同的站法？16、(本题满分14分)已知实数x,y 满足(310)(2)19i y i x i -+-+=-.求：(1)实数x y ，的值；（2）若复数i y x Z )2(-+=；求z i及z 17、(本题满分14分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上．（1）AF 为何值时，CF 与平面B 1DF 所成的角为直角？（2）设AF ＝1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角．．．．的余弦值.18、(本题满分16分)已知),0,1()1(1)(2>-≠++=a a x ax bx x f 且1(1)4f =，(2)1f -=． （1）求函数)(x f 的表达式；（2）已知数列}{n x 的项满足))(1())2(1))(1(1(n f f f x n ---=Λ，猜想}{n x 的通项公式，并用数学归纳法证明．19、(本题满分16分)全美职业篮球联赛（NBA ）某年度总决赛在克利夫兰骑士队与金州勇士队之间角逐，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束.因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等.据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入2000万美元，F D 111C C B B A A以后每场比赛门票收入比上一场增加100万美元.当两队决出胜负后，问：（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万美元的概率为多少？（2）某队在比赛过程中曾一度比分（胜一场得1分）落后2分以上（含2分），最后取得全场胜利称为“逆袭”，求骑士队“逆袭”获胜的概率；（3）求此次决赛所需比赛场数的概率分布列及数学期望.20、(本题满分16分)已知数列{}n a 通项公式为11n n a At Bn -=++，其中,,A B t 为常数，且1t >，n N *∈.等式()()()()1022020122022111x x b b x b x b x ++=+++++⋅⋅⋅++，其中()0,1,2,,20i b i =⋅⋅⋅为实常数． （1）若0,1A B ==，求1021n n n a b =∑的值；（2）若1,0A B ==，是否存在常数t 使得()1021222046n n n n a b =-=∑？若存在，求常数t 的值，若不存在，说明理由.。

2020年江苏省扬州市邗江区高二(下)期中数学试卷(文科)

2020年江苏省扬州市邗江区高二(下)期中数学试卷(文科)

期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合M={2，0，x}，集合N={0，1}，若N⊆M，则x=______．2.命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是______．3.已知i是虚数单位，复数z的共轭复数为，若，则|z|=______．4.三段论：由①正方形的对角线相等．②平行四边形的对角线相等．③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是______．（填序号）5.命题“若实数a满足a≤3，则a2＜9”的否命题是______．命题（填“真”、“假”之一）．6.根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为______．7.函数f（x）=的定义域是______．8.已知函数f（x）=ax3+bx+1，f（2）=3，则f（-2）=______．9.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为______．10.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-x+1，则x＜0时，f（x）=______．11.在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第n件首饰所用珠宝总数为颗______．（结果用n表示）12.已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[-1，1]恒成立，则实数a的取值范围是______ ．13.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=8，则f（2019）=______．14.已知函数设g（x）=kx+1，且函数y=f（x）-g（x）的图象经过三个象限，则实数k的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知p：x2-5ax+4a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足2＜x≤9．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16.已知z是复数，z+2i与均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应点在第一象限．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）求实数a的取值范围．17.已知x∈R且f（x+1）=-f（x），则f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），得f（x）的一个周期为2，类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期．（1）已知a为正的常数，x∈R且f（x+a）=-f（x），求f（x）的一个周期；（2）已知a为正的常数，x∈R且，求f（x）的一个周期．18.已知函数，其中a＞0．（1）若a=1，证明函数y=f（x）在（0，+∞）为增函数；（2）若f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．若函数f（x）只有一个不动点，求实数a的值；（3）若存在x∈[，3]使f（x）＞x成立，求实数a的取值范围．19.（1）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，试用分析法证明：；（2）等差数列{b n}，，用反证法证明：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．20.已知函数f（x）=|x|（x-a）（a∈R）．（1）若函数f（x）为R上的奇函数，求实数a的值；（2）当a＞0时，函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（x）在闭区间[-2，1]上的最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】1【解析】解：∵集合M={2，0，x}，N={0，1}，∴若N⊆M，则集合N中元素均在集合M中，∴x=1．故答案为：1．根据条件N⊆M，确定元素关系，进行求解即可，从而得到x的值．本题主要考查集合的包含关系的应用，利用N⊆M，确定元素关系．一般集合中问题，如果含有参数，求解之后要注意对集合进行验证．属于基础题．2.【答案】∃x∈R，x2＜0【解析】解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是∃x∈R，x2＜0根据一个命题的否定定义解决．本题考查一个命题的否定的定义．3.【答案】【解析】解：∵，∴z=1+i，则|z|==，故答案为：根据共轭复数的定义，先求出z，结合复数的模长公式进行计算即可．本题主要考查复数模长的计算，结合共轭复数的性质求出复数z是解决本题的关键，比较基础．4.【答案】①【解析】解：由演绎推理三段论可得大前提：“平行四边形的对角线相等”；小前提：“正方形是平行四边形”；结论：“正方形的对角线相等”，故答案为：①．三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”．另外一个是结论．本题考查了三段论，考查逻辑思维能力和推理能力，属于基础题．5.【答案】真【解析】解：命题“若实数a满足a≤3，则a2＜9”的否命题是“若实数a满足a＞3，则a2≥9”，它是真命题，因为a＞3时，a2＞9，∴a2≥9成立．故答案为：真．写出该命题的否命题并判断真假．本题考查了四种命题之间的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题目．6.【答案】6【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3值．可得S=1+2+3=6，故输出的S值为6．故答案为：6．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3时S的值，即可计算得解．本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7.【答案】（-4，1）【解析】解：函数f（x）=中，由-x2-3x+4＞0，整理得x2+3x-4＜0，解得-4＜x＜1；所以函数f（x）的定义域是（-4，1）．故答案为：（-4，1）．根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题．8.【答案】-1【解析】解：∵f（x）=ax3+bx+1，f（2）=3，∴f（x）-1=ax3+bx是奇函数，若f（2）=3，则f（-2）-1=-[f（2）-1]=-（3-1）=-2，即f（-2）=-2+1=-1，故答案为：-1根据条件，构造函数，结合函数的奇偶性，进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合条件构造函数，判断函数的奇偶性，利用函数的奇偶性是解决本题的关键．比较基础．9.【答案】【解析】解：模拟程序的运行，可得x=1，y=1z=2满足条件z＜30，执行循环体，x=1，y=2，z=3满足条件z＜30，执行循环体，x=2，y=3，z=5满足条件z＜30，执行循环体，x=3，y=5，z=8满足条件z＜30，执行循环体，x=5，y=8，z=13满足条件z＜30，执行循环体，x=8，y=13，z=21满足条件z＜30，执行循环体，x=13，y=21，z=34此时，不满足条件z＜30，输出的值为．故答案为：．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算x，y，z的值并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】-x2-x-1【解析】解：若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=x2+x+1，∵函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=x2+x+1=-f（x），即f（x）=-x2-x-1，x＜0，故答案为：-x2-x-1根据函数奇偶性的定义进行转化求解即可．本题主要考查函数解析式的求解，结合函数奇偶性的定义进行转化是解决本题的关键．比较基础．11.【答案】2n2-n【解析】解：依题意，知a1=1，a2=6，a3=15，a4=28，a5=45，a6=66，…；∴a2-a1=5，a3-a2=9，a4-a3=13，a5-a4=17，a6-a5=21，…，a n-a n-1=4n-3；∴（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+（a5-a4）+（a6-a5）+…+（a n-a n-1）=a n-a1=5+9+13+17+21+…+（4n-3）==2n2-n-1；∴a n=2n2-n，故答案为：2n2-n．设第n件首饰所用珠宝总数为颗为a n，根据前5项的递推关系，推测a n-a n-1=4n-3，进而根据累加法求出a n即可．本题考查了数列的递推关系以及求和公式的综合应用，解题时要探究数列的递推关系，得出通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．12.【答案】[-1，1]【解析】解：∵f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，∴f（2）=f（-2）=1；∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[-1，1]恒成立，∴-2≤x+a≤2，即-2-x≤a≤2-x在x∈[-1，1]上恒成立，∴-1≤a≤1，故答案为：[-1，1]．先利用f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，得到f（2）=f（-2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[-1，1]恒成立，导出-2-x≤a≤2-x在x∈[-1，1]上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．13.【答案】8【解析】解：令x=-2，则f（2）=f（-2）+f（2），故f（-2）=0，∵函数f（x）为偶函数，∴f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为4，∴f（2019）=f（504×4+3）=f（3）=f（3-4）=f（-1）=f（1）=8．故答案为：8．先求得f（-2）=f（2）=0，进而得到函数的周期为4，由此即可得解．本题考查函数性质的运用，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】（-12+2，-3]∪{}【解析】解：作出函数的图象如图，g（x）=kx+1，要使函数y=f（x）-g（x）的图象经过三个象限，则y=g（x）与y=f（x）的图象在（-∞，0）与（0，+∞）上有三个交点．联立，得x2-（k+12）x+2=0．由△=（k+12）2-8=0，解得k=-12+2，或k=-12-（舍）．又直线g（x）=kx+1过点（0，1），∴k的取值范围为（-12+2，-3]∪{}．故答案为：（-12+2，-3]∪{}．由题意画出函数y=f（x）的图象，把函数y=f（x）-g（x）的图象经过三个象限转化为y=g（x）与y=f（x）的图象在（-∞，0）与（0，+∞）上有三个交点，利用判别式法求出直线y=kx+1与二次函数y=x2-12x+3相切时的k值，数形结合可得实数k的取值范围．本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．15.【答案】解：（1）当a=1时，p：1＜x＜4，q：实数x满足2＜x≤9，又因为p∧q为真，所以2＜x＜4；所以实数x的取值范围（2，4）；（2）p：x2-5ax+4a2＜0，解得a＜x＜4a，q：实数x满足2＜x≤9，若p是q的充分不必要条件，则（a，4a）⫋（2，9]，，解得，所以实数a的取值范围为[2，]．【解析】（1）当a=1时，解出x的值，由p∧q为真即可解得x的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件，可得（a，4a）⫋（2，9]，从而解得a的取值范围．本题主要考查复合命题的真假，充分条件必要条件和不等式的解法，属于基础题．16.【答案】解：（Ⅰ）设z=x+yi（x，y∈R），又z+2i=x+（y+2）i，且为实数，∴y+2=0，解得y=-2．∴===，∵为实数，∴=0，解得x=4．∴z=4-2i（Ⅱ）∵复数（z+ai）2=[4+（a-2）i]2=16-（a-2）2+8（a-2）i=（12+4a-a2）+（8a-16）i，∴，解得2＜a＜6．即实数a的取值范围是（2，6）．【解析】（I）利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出．（II）利用复数的运算法则和几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则和复数为实数的充要条件、复数的几何意义、不等式组的解法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵f（x+a）=-f（x），∴f（x）=-f（x+a），∴f（x+a）=-f（x+2a），∴f（x）=f（x+2a），即函数f（x）的一个周期为2a；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∴，即函数f（x）的一个周期为4a．【解析】（1）反复运用已知条件可求得f（x）=f（x+2a），即可求得周期；（2）先求得f（x），再反复运用，即可求得周期．本题考查函数周期性的求解，事实上是两个结论，解题时要紧抓函数周期性的定义，属于基础题．18.【答案】解：（1）f（x）==-，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2f（x1）-f（x2）=--（-）=∵x1＞x2＞0∴x1-x2＞0，x1x2＞0∴f（x1）-f（x2）＞0，函数y=f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．（2）解：令⇒ax2-x+a=0，令△=1-4a2=0解得a=（负值舍去）将a=代入ax2-x+a=0得x2-x+=0解得x0=1（3）存在x∈[，3]使f（x）＞x成立即存在x∈[，3]使f（x）=＞x，即存在x∈[，3]使得ax2-x+a＜0即a＜∴a＜【解析】（1）先对函数的表达式进行化简，然后根据函数单调性的定义进行判断；（2）令转化为二次函数，根据该函数有且仅有一个不动点，令判别式等于0即可求出a的值；（3）要存在x∈[，3]使f（x）＞x成立，只需f（x）-x的最大值大于0即可，然后利用参变量分离，从而求出实数a的取值范围．本题主要考查函数单调性的定义和基本不等式的应用．考查计算能力和综合运用能力，属于中档题．19.【答案】证明：（1）∵a＞b＞c且a+b+c=0，∴a＞0，c＜0，要证，只需证，只需证b2-ac＜3a2，又b=-（a+c），只需证（a+c）2-ac＜3a2，即证（a-c）（2a+c）＞0，∵a-c＞0，2a+c=a+c+a=a-b＞0，∴（a-c）（2a+c）＞0成立，故原不等式成立；（2）假设数列{b n}中存在三项b p，b q，b r（p，q，r互不相等）成等比数列，则，即，∴，∵p，q，r∈N*，∴，∴，∴（p-r）2=0，∴p=r，这与p≠r矛盾，∴数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）利用分析法由可知，只需证明（a-c）（2a+c）＞0即可；（2）假设数列{b n}中存在三项b p，b q，b r（p，q，r互不相等）成等比数列，得到p=r 与p≠r矛盾，从而证明结论．本题考查了利用分析法和反证法证明不等式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．20.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）为R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），即|-x|（-x-a）=-|x|（x-a），变形可得：a=0；（2）根据题意，若x∈[2，+∞）；则f（x）=x（x-a），为二次函数，其对称轴为x=≤2，故a≤4；（3）根据题意，当x≥0，f（x）=x（x-a），x＜0，f（x）=-x（x-a），当x=-2时，f（-2）=-2（a+2）≤1，得a，当x=1时，f（1）=1-a≤1，即a≥0，故a≥0，当a≥0时，若x＞0，f（x）=x（x-a）f（x）max=f（1）=1-a=1，得a=0，若x≤0，f（x）=-x（x-a），f（x）max=f（0）=0，故a=0时，f（x）在闭区间[-2，1]上的最大值为1．【解析】（1）利用奇函数的性质，判断即可；（2）根据对称轴求出即可；（3）在闭区间[-2，1]上的最大值为1，分段讨论，求出每个段上的最大值，让最大值为1，求出a．题考查函数的最值，涉及函数奇偶性与单调性的应用，中档题．。

江苏省邗江中学20XX学年高二数学下学期期中试题文.doc

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江苏省邗江中学2020 学年度第二学期高二数学期中试卷（文）一、填空题(本大题共14 小题，每小题5分，共70 分．请把答案填写在答．题．卡．指．定．区．域．内．．) 1．设集合 A = {0 ，1，2} ，B = {﹣1，0，2，3} ，则A∩B= ▲．z为虚数单位），则z的共轭复数z ＝2 ．已知复数z满足 4 3i (ii▲．13．函数y lg x 12 x的定义域为▲．2 34．“a 1”是“ a 1”的▲条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）5 ．若0.3 3a 0.3 ,b 0.3 ,c log 3 ，则a, b,c 的值从小到大的顺序是0.3▲．6．若钝角 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 P( m ，3 2) ，则tan ＝▲ ．x7．函数lnf xe x 在点 1,f 1处的切线方程为▲．8．将函数 y sin 2x 的图象向右平移(0) 62个单位后，得到函数f (x) 的图像，若函数 f (x) 是偶函数，则的值为▲．9 ． 已 知 下 列 等 式 ：22 2 2 33，33 33 88，4444 15155 5 552424aa ，⋯ ， 1010bb，则推测a b▲ ．10．已知 tan() 14 7， (0, )则s in( ) 2 ，6▲ 11．定义在 R 上的奇函数f (x)满足 f (x 4) f ( x) ，且在 [0,2] 上满足x(1 x),(0 x 129 41f (x) ,则f ( ) f ( ) ▲．sin x,(1 x 2 4 612．已知函数1x 2f ( x) (x m)e x (m 1)x 在R上单调递增，则实数m的取值集合为2▲．13．已知函数1xxe ,x0,f (x) e ,2x 2x, x 0若函数y f ( f ( x) a) 有四个零点，则实数a的取值范围是▲．22 2 114．已知函数( )f x = x - ax+ a-. 若对任意的 a (0,3) ，存在x0 [0, 4] ，使得t f x 成立，则实数t 的取值范围是▲．| ( ) |二、解答题（请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程. ）15、( 本题满分14 分)已知集合 2A ={ x | x - 2x - 3 Ｎ0,x R} ，集合B ={ x |m- 2 ＃x m +2, x挝R, m R} .（1）若A∩B=[0，3] ，求实数m 的值；（2）若A íC R B，求实数m 的取值范围．16. ( 本题满分14 分)已知px 5: 0x 2，q : x2 4mx 3m2 0 ，其中m 0．（1）已知m 4 ，若p q为真，求x的取值范围；（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．17．( 本题满分15 分)f x sin x 0,已知函数2的部分图象如图所示.（1）求函数 f x 的解析式，并求出 f x 的单调递增区间；（2）若3f x ,x[ , ] ，求cos 2x0 的值0 05 4 218．( 本题满分15 分)mx2 已知函数xf (x) e 是定义在R上的奇函数（其中e是自然对数的底数）.xe（1）求实数m 的值；（2）如果对任意x R，不等式 2f (2a cos x) f (4sin x 2a 1 7) 0 恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分16 分）某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I ）设计成半径为1km的扇形EAF ，中心角EAF （）.为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规4 2划观赏区（区域II ）和休闲区（区域III ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD ，其中点 E ，F 分别在边B C 和CD 上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10 万元、20 万元、20 万元.（1）要使观赏区的年收入不低于 5 万元，求的最大值；（2）试问：当为多少时，年总收入最大？20．（本小题满分16 分）已知函数 3 2f ( x) ax bx 4a (a,b R) ．（1）当a 1，b 3时，求 f (x) 的极值；（2）当a 0时，若函数 f ( x) 恰有两个不同的零点，求ba的值；（3）当a 0时，若 f (x) ln x 的解集为(m, n) ，且(m,n) 中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围．江苏省邗江中学2020学年度第二学期高二数学期中试卷（文科）参考答案与评分标准一．填空题1．{0 ，2} 2 ． 3 4i ． 3 ．( 1,2) (2, ) ． 4 ．必要不充分条件．5．c<b<a ． 6 ． 3 ．7 ．ex y e 0．8 ．3 ．9 ．109．10 ．3 34111．516．12 ． 1 ．13 ．1(1,1 )e．14．t ￡3．二．解答题15、( 本题满分14 分)解：由已知得：集合A={x|﹣1≤x≤3} ，集合B={x|m﹣2≤x≤m+2}（1）因为A∩B=[0 ，3] ，所以所以，所以m=2；⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2）C R B={x|x ＜m﹣2或x＞m+2}因为A C BR ，所以m﹣2＞3 或m+2＜﹣1，所以m＞5 或m＜﹣3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分16. ( 本题满分14 分)解：（1）由px 5: 0x 2，解得2 x 5，所以p : 2 x 52mxm2又43x ，因为m0，解得m x 3m，所以q : m x 3m ．当m 4时，q : 4 x 12 ，又p q为真，所以 2 x 12．⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2）由q 是p 的充分不必要条件，即q p ，p q ，其逆否命题为p q,q p，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分由（1）p : 2 x 5 ，q : m x 3m ，⋯⋯⋯10 分所以m所以m3mm2，即： 5 2.≤m≤⋯⋯⋯14 分5317．解：（1）设函数f x 的周期为T，由图可知T 22 3 6 22，∴T ，即∵0，∴2，∴f x sin 2x ，上式中代入,16 ，有sin 13，得 2k ，k Z ，3 2即2k ，k Z ，6又∵，∴2 6 ，∴ f x sin 2x ，6令2k 2x 2k k Z ，解得2 6 2k x k k Z 3 6即f x 的递增区间为,k k kZ ；-------8分3 6（2）f （x0）=sin （2x0+ ）= ，又x0∈[ ，] ，∴2x0+ ∈[ ，] ，∴cos （2x0+ ）=﹣；∴cos2x 0=cos[ （2x0+ ）﹣]=cos（2x0+ ）cos +sin （2x0+ ）sin=﹣×+ ×= ．-------15 分18．( 本题满分15 分)x 2m解（1）因为(x 是定义在[ 1,1] 的奇函数，所以 f (0) 0 ，所以m=1f x) exe1 1x 2x 当m=1时，xf (x) e ，所以 f ( x) e 2x f (x)x⋯⋯⋯⋯⋯ 4 xe e分1x（2） 2f (x) exe1xe 2 ，所以f ( x) 0 ，当且仅当x=0时f(x) 0，所以 f (x) 在[ 1 ,1]单调递增⋯8xe分2因为f (2a cos x) f (4sin x 2a 1 7) 0 ，且 f x 是奇函数所以 2f (2a cos x) f (4sin x 2a 1 7) f ( 2a 1 4sin x 7) ，因为f x 在 R 上单调递增，所以22a cos x 2a 1 4sin x 7 ，即22a 2a 1cos x 4sin x 7对任意 x R都成立，由于cos 2 x 4sin x 7 =2(sin x 2) 2 ，其中 1 sin x 1，所 以 2(sin x 2)2 3 ， 即 最 小值为 3所 以2a2a 1 3 ，------12分即 2a 1 2a 1 2 0 ，解得 12a 1 2 ，故 02a 1 2 ，即15 a.-------15分2 219．20．（本小题满分16 分）解：（1）当a 1，b 3时， 3 2f ( x) x 3x 4 ，f x x x ' ( ) 3 2 6 ' ( ) 3 2 6f x x x x x ，x 2,0 ，列表略，极大值f ( 2) 0，' ( ) 3 26 3 ( 2) 0极小值f (0) 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分⋯⋯⋯⋯⋯16 分。

江苏省扬州市邗江中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析

江苏省扬州市邗江中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析

江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1.函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为( ) A. 1 B. 2C. πD. 2π【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.【详解】平均变化率为()()2π0πππ0πf f -==-.故选：C【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题. 2.复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（ ） A. ﹣1 B. 1C. iD. ﹣i【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果. 【详解】解：∵()()()()2121211112i i i i i z i i i i ++====-+--+， 则复数z 的虚部为1． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．3.已知随机变量X 服从正态分布14N （，），若(2)=0.2P X ≥，则(01)P X ≤≤为（ ） A. 0.2 B. 0.3C. 0.4D. 0.6【答案】B 【解析】 【分析】X 服从正态分布(14)N ，，对称轴1μ＝，利用正态曲线的对称性可解 【详解】解：∵随机变量X 服从正态分布(14)N ， ∴12μσ＝，＝， 又(2)=0.2P X ≥，∴(01)=(12)=0.50.2=0.3P X P X ≤≤≤≤-； 故选：B ．【点睛】利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴=x μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．对于正态分布2()N μσ，，由=x μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有()()P X a P X a μμ<->+＝； (2)()00()1P X x P X x <-≥=；(3)()()=()P a X b P X b P X a <<<≤-．4.若7781n n n C C C +-=，则n 等于（ ）A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】C 【解析】试题分析：由7781n n n C C C +-=和组合数公式得()()()()1!!!7!6!7!7!8!8!n n n n n n +-=---,化简得()()1116778n n n n +-=-⋅--,解之得14n =.考点：组合数计算.5.已知()sin 2f x x x =⋅，则'2f π⎛⎫⎪⎝⎭为（ ） A. π- B. 2π-C.2π D. π【答案】A 【解析】 【分析】根据导数运算,求得()'f x ,代入即可求解. 【详解】因为()sin 2f x x x =⋅所以由导数运算公式可得()'sin 22cos2f x x x x =+ 所以sin 22'2cos 2222f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⨯⨯⨯⎭+0cos πππ=+=-故选:A【点睛】本题考查了导数的乘法运算公式,复合函数求导的简单应用,求导数的值,属于基础题.6.二项式1022)x展开式中的常数项是( ) A. 180 B. 90C. 45D. 360【答案】A 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．【详解】解：二项式1022)x展开式的通项公式为5521102r r r r T C x -+=⋅⋅，令5502r -=，求得 2r =，可得展开式中常数项是22102180C ⋅=， 故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．7.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ） A. 38B.1340C.1345D.34【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =，分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯ 由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.8.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A. 48种B. 72种C. 96种D. 144种【答案】B 【解析】 【分析】A 区域与其他区域都相邻，从A 开始分步进行其它区域填涂可解【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法， ③，对于C 区域，与A B 、 相邻，有2种涂法，④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B ．【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．9.设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，则函数y ＝x ()f x '的图象可能是（ ）AB.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由极值与导数的关系确定，确定当0>x >﹣1以及x >0时，()xf x '的符号；当x ＝﹣1时，()xf x '＝0；当x <﹣1时，()xf x '符号．由此观察四个选项能够得到正确结果． 【详解】∵函数f （x ）在R 上可导，其导函数()f x '， 且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，∴当x >﹣1时，()f x '<0；当x ＝﹣1时，()f x '＝0；当x <﹣1时，()f x '>0．∴当0>x >﹣1时，()xf x '>0；x >0时，()xf x '<0； 当x ＝﹣1时，()xf x '＝0； 当x <﹣1时，()xf x '＜0． 故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．10.已知()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++，则8a =（ ） A. 45- B. 27 C. 27- D. 45【答案】A 【解析】 【分析】分两类求解，当()1x -，取 1时， ()91-x 取8个x ，当 ()1x - 取x -时， ()91-x 取7个x ，分别求值，再相加.【详解】当()1x -取 1时， ()91-x 取8个x ，则1891a C =-⨯，当 ()1x - 取x -时， ()91-x 取7个x ，则()278911a C =-⨯⨯-，所以()27189911145a C C =-⨯⨯--⨯=- .故选：A【点睛】本题主要考查二项展开式的系数，还考查了分类讨论的方法，属于基础题. 11.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A. 每人都安排一项工作的不同方法数为54B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C C C C A +D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A ，每人有4种安排法，故有54种；对于选项B ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项C ，先分组再安排；对于选项D ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可.【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A 错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A ，即选项B 错误，③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C C C C A A +）33A ，即选项C 错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C A A ，故有231231111324334322=C C C A C C A A C ；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C ,从余下三人中安排三个岗位33A ，故有2333C A ；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +，即选项D 正确， 故选：D ．【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法:1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.间接法:正难则反、等价转化的方法.12.已知函数()ln f x ax x =-，[]1,x e ∈的最小值为3，若存在[]12,1,n x x x e ∈，使得()()()()121n n f x f x f x f x -+++=，则正整数n 的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导,研究函数单调性,利用最值与函数单调性的关系,即可求得a 的值,从而求得()f x 的最大值与最小值,再根据题意推出min max (1)()()n f x f x -,即可求得n 的最大值.【详解】11()ax f x a x x '-=-=, ①当0a ≤或10a e<≤时,()0f x '<在[]1,x e ∈恒成立,从而()f x 在[]1,e 单调递减,所以min ()()13f x f e ae ==-=,解得41,a e e ⎛⎤=∉-∞ ⎥⎝⎦,不合题意; ②当11a e <<时,易得()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增, 所以min 11()1ln 3f x f a a ⎛⎫==-=⎪⎝⎭,解得21,1a e e ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭,不合题意; ③当1a >时,()f x 在[]1,e 单调递增, 所以min ()(1)31f x f a ===>,满足题意; 综上知3a =.所以()3ln f x x x =-,[]1,x e ∈,所以min ()(1)3f x f ==,max ()()31f x f e e ==-依题意有min max (1)()()n f x f x -≤,即(1)331n e -≤-,得23n e ≤+, 又*n N ∈,所以3n ≤. 从而n 的最大值为3. 故选:B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值,考查求参数的取值范围,需要学生结合分类讨论思想答题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 ． 【答案】 【解析】试题分析：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H （3，2，10），利用公式Eξ=，即可求得抽到次品个数的数学期望的值．解：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H （3，2，10） ∴Eξ=故答案为点评：本题考查离散型随机变量的数学期望，解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布，从而利用相应的期望公式求解．14.若102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，则12310a a a a +++⋯+＝_____．【答案】1023 【解析】 【分析】赋值法 令0x =得：01a =；令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++(),再两式相减可得. 【详解】解：∵102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，令0x ＝得：01a = ；①令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++()； ②由①②可得：12310102411023a a a a +++⋯+-==； 故答案为：1023．【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如()n ax b +，2()max bx c ++ (a b c R ∈，，)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x ＝即可．(2)对形如()()nax by a b R +∈，的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可．(3)若()2012nn f x a a x a x a x +++⋯+=，则()f x 展开式中各项系数之和为()1f ．15.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上的概率是_________【答案】827【解析】 【分析】先分别求出顺时针、逆时针方向跳的概率，分析跳四次之后停在A 叶上，有两种情况：有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，再分别计算对应的概率即可. 【详解】解：设按照顺时针跳的概率为p ，则逆时针方向跳的概率为2p ， 则2=3=1p p p +，解得p 13=，即按照顺时针跳的概率为13，则逆时针方向跳的概率为23， 若青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上，则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，①若先按逆时针开始从A →B ，则剩余3次中有1次是按照逆时针，其余2次按顺时针跳，则对应的概率为123221124()3338127C ⨯⨯⨯==， ②若先按顺时针开始从A →C ，则剩余3次中有1次是按照顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为123112124()3338127C ⨯⨯⨯==， 则概率为448272727+=， 故答案为:827【点睛】求复杂互斥事件概率的步骤：第一步，分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和； 第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率； 第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．16.若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为________. 【答案】213e 【解析】【分析】分别求出函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的导函数，设公共点为()00,g x y ，则00()()f x g x ''=解得03x a =，又()()00f x g x =，则2236ln 3(0)b a a a a =-->，令22()36ln 3(0)h a b a a a a ==-->，求出函数的导数，研究函数的最值.【详解】解：设曲线()y f x =与()y g x =的公共点为()00,g x y ，因为26(),a f x x'=()24g x x a '=-，所以200624a x a x -=，化简得2200230x ax a --=，解得0x a =-或3a ，又00x >，且0a >，则03x a =. 因为()()00f x g x =. 所以2200046ln ,x ax b a x --=2236ln 3(0)b a a a a =-->.设()h a b =，所以()12(1ln3)h a a a '=-+，令()0h a '=，得13a e=， 所以当103a e <<时，()0'>h a ；当13a e>时，()0h a '<. 即()h a 在10,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,3e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以b 的最大值为21133h e e⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故答案为：213e 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数．（1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） z=4-2i ．（Ⅱ）2＜a ＜6 【解析】【详解】（1）设(,)z x yi x y R =+∈ 所以，2(2)z i x y i +=++；(2)(2)225z x yi x y x y ii i +-++==-- 由条件得，20y +=且20x y +=， 所以4,2x y ==-(2)222()(42)(124)8(2)z ai i ai a a a i +=-+=+-+-由条件得：21240{8(2)0a a a +->->，解得26a <<所以，所求实数a 的取值范围是(2,6)-18.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须站在一起； （5）全体排成一排，男生互不相邻.【答案】（1）2520种（2）5040种（3）3600种（4）576种（5）1440种 【解析】 【分析】（1）按照排列的定义求解..（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解..（3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解.（5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解.【详解】（1）从7人中选5人排列，有57765432520A =⨯⨯⨯⨯=（种）. （2）分两步完成，先选4人站前排，有47A 种方法，余下3人站后排，有33A 种方法，共有4373A A 5040=（种）.（3）（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有66A 种排列方法，共有6653600A ⨯=（种）.（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有44A 种方法，再将女生全排列，有44A 种方法，共有4444A A 576=（种）.（5）（插空法）先排女生，有44A 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有35A 种方法，共有4345A A 1440=（种）.【点睛】本题主要考查了对排列的理解和排列数的计算，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.19.已知n的展开式中前三项的系数为等差数列. （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）358x ；（2）747x 和527x . 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解n 的取值，再根据展开式求解二项式系数最大项；（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项.【详解】（1）由题意，n+的展开式是1rn rrr nT C -+=， 化简得23244122n r r n r r rr rr nnTC xxC x-----+=⋅=⋅⋅则02211n n nT C x x =⋅=⋅，23231144222n n nn T C x x ---=⋅⋅=⋅，()3322223128n n n n n T C x x ----=⋅⋅=⋅因为，前三项的系数为等差数列，则有()12128n n n-⋅=+，解得8n =或1n =（舍去）则8n =，则8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 二项式系数是8rC ，当4r =时，二项式系数最大，则1612444583528T C xx --=⋅⋅=（2）由（1）得，8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 根据组合数性质，48C 最大，而2r -随着r 的增大而减小，且21r -<， 则计算0441821T C x x =⋅⋅=⋅，131311442824T C x x-=⋅⋅=⋅， 5522223827T C x x -=⋅⋅=⋅， 7733444827T C x x -=⋅⋅=⋅，44583528T C x x -=⋅⋅=⋅ 则当2r或3r =时，系数最大，则系数最大项是747x 和527x【点睛】本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨析，属于中等题型.20.有一块半圆形的空地，直径200AB =米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃ABCD ，如图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上，其余为绿化部分，设BOC θ∠=.（1）记花圃的面积为()f θ，求()f θ的最大值；（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边AB 、CD 处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰AD 、BC 不铺设，求θ满足什么条件时，会使总造价最大. 【答案】（1）75003；（2）4πθ=时，总造价最大.【解析】 【分析】（1）根据梯形的面积公式可得()()sin cos sin ,0,2f πθθθθθ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，解得三角函数的性质和导数求得()f θ的最大值.（2）求得花圃的总造价，然后利用导数求得4πθ=时，总造价最大.【详解】（1）设半径r ，则100r =米，作CE AB ⊥，垂足为E ，因为BOC θ∠=，所以sin sin ,cos CE OC R OE r θθθ=⋅==， 所以22cos CD OD r θ==， 所以()()()2122cos sin sin cos sin 2f r r r r θθθθθθ=⨯+⨯=+ ()410sin cos sin ,0,2πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.()()()()'42410cos 2cos 110cos 12cos 1f θθθθθ=+-=+-，所以当π0θ3时，()'0f θ>，()f θ递增；当32ππθ<<时，()'0f θ<，()f θ递减.所以当3πθ=时()fθ最大，最大值为43310750033f π⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）设花圃总造价为()()()()()51050022cos 10sin 11cos W f r r θθθθθ=++=++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()()'52210cos cos sin sin W θθθθθ=+--()()510cos sin cos sin 1θθθθ=-++.令()'0Wθ=，则cos sin 0θθ-=，由于0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4πθ=. 当04πθ<<时，()'0Wθ>，函数()W θ单调递增，当42ππθ<<时，()'0Wθ<，函数()W θ单调递减，所以当4πθ=时，函数()W θ有最大值，即总造价最大.【点睛】本小题主要考查函数导数在实际生活中的应用，考查利用导数求最值，属于中档题. 21.已知甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X 的数学期望()E X ；（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与.假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？ 【答案】（1）625；（2）219100；（3）详见解答. 【解析】 【分析】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，求出()P B ，每个人获奖的概率相等，获奖人数X服从二项分布(3,())XP B ，求出X 可能值0,1,2,3的概率，由此求出X 的分布列，应用二项分布期望公式即可求出结论；（3）求出中奖的期望，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，求出相应的概率，列出分布列，进而求出期望，与打9折的优惠金额对比，即可得出结论. 【详解】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，则21111232323222556()25C C C C C C P A C C +==， 所以在1次摸奖中，获得二等奖的概率625； （2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，则获得一等奖的概率为2232122553100C C P C C ==， 获得三等奖的概率为2211112233322322222552350C C C C C C C C P C C ++==， 所以362373()1002550100P B =++=， 每个人摸奖是相互独立，且获奖概率相等， 获奖人数X 服从二项分布73(3,)100X， 3373270,1,2,3,()()(),0,1,2,3100100i i iX P X i C i -====，X 分布列为：73219()3100100E X =⨯=； （3）如果选择抽奖，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，36(300),(200)10025P P ηη====，23(100)50P η==， 1122112223232323225527(0)100C C C C C C C C P C C η++===， η的分布列为：3244627()3002001000103100100100100E η=⨯+⨯+⨯+⨯=， 如果购买1200选择打九折，优惠金额为120103>，∴选择打九折更有利.【点睛】本题考查互斥事件概率、离散型随机变量分布列期望、二项分布期望，考查计算求解能力，属于中档题.22.已知函数()xf x e ax a =--（其中e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若对任意2(]0,x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设*n N ∈，证明：123()()()()1nnnn n e nn nn e ++++<-. 【答案】（1）见解析；（2）(,1)e -∞-（3）见证明 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分类讨论0a ≤和0a >两种情况，即可得出结果；（2）分类参数的方法，将()f x x a >-化为1xe a x<-，再由导数的方法求1x e x -在(]0,2的最小值即可；（3）先由（1）令1a =可知对任意实数x 都有10x e x --≥，即1x x e +≤，再令()11,2,3,,kx k n n+==，即可证明结论成立.【详解】解：（1）因为()x f x e ax a =--，所以()xf x e a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增； ②当0a >时，()0ln xf x e a x a >⇒>⇒>'，()0ln x f x e a x a <⇒<⇒<'所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.（2）因为对任意的(]0,2x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，即不等式()1xa x e +<恒成立.即当(]0,2x ∈时，1x e a x<-恒成立.令()(]()10,2x e g x x x =-∈，则()()21xx e g x x -'=.显然当()0,1x ∈时，()0g x '<，(]1,2x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在(]1,2上单调递增. ∴1x =时()g x 取最小值1e -. 所以实数a 的取值范围是(),1e -∞-（3）在（1）中，令1a =可知对任意实数x 都有10x e x --≥， 即1x x e +≤（等号当且仅当0x =时成立）令()11,2,3,,kx k n n+==，则1k n k e n -<，即nk k n n k e e n e -⎛⎫<= ⎪⎝⎭故123nnnnn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1231n n e e e e e <++++ ()()()111n ne e ee e e -=<-- 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法求出函数的单调区间，以及函数的最值等，属于常考题型.。

江苏省扬州市邗江区公道中学2020学年高二数学下学期期中试题 理(无答案)

江苏省扬州市邗江区公道中学2020学年高二数学下学期期中试题 理(无答案)

江苏省扬州市邗江区公道中学2020学年高二数学下学期期中试题理（无答案）（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1、=36C ___▲ _2、已知复数iz 315-=（i 是虚数单位），则|z |= ▲ _ 3、已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形．由（1）、（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 ▲ _4、观察式子232112<+，353121122<++，474131211222<+++，……，则可以归纳出 <++⋅⋅⋅++++2222)1(14131211n ▲ 5、若向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===r r r ，满足条件()(2)2c a b -⋅=-r r r ，则x = ▲6、对于命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，正确的反设是 _ ▲ _7、用数学归纳法证明：“221*11(1,)1n n a a a a a n N a++-++++=≠∈-L ”，在验证1n =成立时，左边计算所得的结果是 ▲8、复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA u u u r 对应的复数为23i +，向量BC uuu r 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数是 ▲9、设平面α的法向量为(1,2,2)-，平面β的法向量为(2,,4)λ，若α∥β，则λ的值为 ▲10、从4个男生3个女生中挑选3人参加智力竞赛，要求既有男生又有女生的选法共有___▲___种．（用数字作答）11、用数学归纳法证明“3*5()n n n N +∈能被6整除”的过程中，当1n k =+时，3(1)5(1)k k +++式子应变形为 ▲12、某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有___ ▲____13、我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式 11111+++L 中，“……”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x+=，求得x == ▲ 14、如图所示，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，,E F 分别为,AB BC 的中点．设异面直线EM 和AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 ▲二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知复数(1)(1)z m m m i =-+-（1）当实数m 为何值时，复数z 为纯虚数 （2）当2m =时，计算1z z i--.16. （本小题满分14分）（1）求证：3725+<；（2）已知0,0,a b >>且2a b +>，求证：11,b a a b ++中至少有一个小于2．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥,,2AB EF FB AB EF ⊥=，90,,BFC BF FC H ∠=︒=为BC 的中点.（1）求证：FH ∥平面EDB ；（2）求证：AC ⊥平面EDB .18．（本小题满分16分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2,2,AB AD A A ===点F 是棱BC 的中点，点E 在棱11C D 上，且11D E EC λ=（λ为实数）．（1）求二面角1D AC D --的余弦值；（2）当13λ=时，求直线EF 与平面1D AC 所成角的正弦值的大小； （3）求证：直线EF 与直线EA 不可能垂直．19. （本小题满分16分）某班级共派出1+n 个男生和n 个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有n E 种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有n F 种选法.（1）试求n E 和n F ； （2）判断n E ln 和n F 的大小（n N +∈），并用数学归纳法证明.20.（本小题满分16分）观察如图：1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15……问：（1）此表第n 行的最后一个数是多少？ （2）此表第n 行的各个数之和是多少？（3）2020是第几行的第几个数？（4）是否存在*n N ∈，使得第n 行起的连续10行的所有数之和为271322120?--若存在， 求出n 的值；若不存在，请说明理由．。

2018-2019学年江苏省扬州市邗江中学高2020届高二下学期期中考试数学(理)试卷及解析

2018-2019学年江苏省扬州市邗江中学高2020届高二下学期期中考试数学(理)试卷及解析

2018-2019学年邗江中学高2020届高二下学期期中考试
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.已知复数（为虚数单位），则=______．
【答案】5
【解析】
【分析】
直接利用复数的模的公式求解.
【详解】因为复数，所以.
故答案为：5
【点睛】（1）本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 复数的模.
2.已知集合，则___________
【答案】
【解析】
【分析】
求解出集合，根据交集定义求得结果.
【详解】
本题正确结果：
3.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为_____
【答案】＋＋＋＋<
【解析】
试题分析：不等式的规律是：，则第⑤个不等式
为
4.已知，用数学归纳法证明时，
__________．
【答案】
【解析】
试题分析：因为假设时，，当时，
，
所以
．
【方法点晴】本题主要考查了数学归纳法，由归纳法的性质，我们由对成立，则它对也成立，由此类推，对于的任意整数均成立，其中熟记数学归纳法的步骤和推理结构是解答此类问题的关键，本题的解答中根据数学归纳法的思想，得出当和时，分别写出和的表达式，即可作差求解的表示形式，属于基础题．
5.已知，是矩阵的属于特征值的一个特征向量，则矩阵的另一个特征值为___________
【答案】-3
【解析】
【分析】
由求得，则可得矩阵的特征多项式为，令
求得结果.
【详解】由题意得：，即
可得：，解得：
特征多项式为。

江苏省扬州市邗江区2020学年高二数学下学期期中试卷 理(无答案)

江苏省扬州市邗江区2020学年高二数学下学期期中试卷 理(无答案)

扬州市邗江区2020高二数学（理）期中试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．1.已知复数2)2(i z -=，则复数z 的实部等于 ▲ . 2、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设为 ▲ . 3、用数学归纳法证明不等式11119(*1)123310n N n n n n n ++++>∈>+++L 且时， 第一步:不等式的左边是 ▲ .4、设平面α的法向量为()1,2,2-，平面β的法向量为(2,4,)k --，若//αβ，则k = ▲ .5、将演绎推理：“x y 21log =在),0(+∞上是减函数”恢复成完全的三段论，其中大前提是▲ ．6、设i 为虚数单位，则=+++++10321i i i i Λ ▲ .7、在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1DD 中点，点O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11A B 上任一点，则异面直线OP 与AM 所成角的大小为 ▲8、已知长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB BC CC ===,则直线1BC 和平面11BB D D 所成角的正弦值为 ▲ .9、用数学归纳法证明(1)(2)(3)()2135(21)(*)nn n n n n n n N ++++=⋅⋅⋅-∈L L 时，从n k =到1n k =+时左边需增乘的代数式是 ▲ .10、复数z 满足|||22|z z i =++，则|1|z i -+的最小值为 ▲ .11、观察下列式子：211=，23432=++，2576543=++++，Λ，2710987654=++++++，可以得出的一般结论是 ▲ .12、观察下列各式：221,3,a b a b +=+= 3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L则1010a b += ▲ .13、阅读第13题的程序框图，设[x ]表示取x 的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，经过程序框图运行后输出结果为,S T 设1212,1,,z S Ti z i z z z =-=+=•则z = ▲ .14、对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：()f x '是函数()f x 的导函数，()f x ''是()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”。

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江苏省邗江中学2020学年度第二学期高二数学期中试卷（文）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡指定区域内．．．．．．．．．) 1．设集合A = {0，1，2}，B = {﹣1，0，2，3}，则A ∩B = ▲ ． 2．已知复数z 满足43(zi i i+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝ ▲ ． 3．函数()1lg 12y x x=++-的定义域为 ▲ ． 4．“12>a ”是“13>a ”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）5．若0.330.30.3,0.3,log 3a b c ===，则,,a b c 的值从小到大的顺序是 ▲ ．6．若钝角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(m )， 则tan α＝ ▲ ．7．函数()ln x f x e x =⋅在点()()1,1f 处的切线方程为 ▲ ．8．将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，得到函数()f x 的图像，若函数()f x 是偶函数，则ϕ的值为 ▲ ．9．已知下列等式：=，=，=，==，则推测a b += ▲ ．10． 11．定义在R 上的奇函数 ()f x 满足(4)()f x f x +=，且在 [0,2]上满足(1),(01(),sin ,(12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩则2941()()46f f += ▲ ．12．已知函数21()()(1)2xf x x m e x m x =+--+在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ▲ ．13．已知函数21,0,(),2,0x xe x f x ex x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数()2221f x x ax a =-+-.若对任意的(0,3)a ∈，存在0[0,4]x ∈，使得0|()|t f x ≤成立，则实数t 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程.） 15、(本题满分14分)已知集合2{|230,}A x x x x R =--Ｎ，集合{|22,,}B x m xm x R m R =-＃+挝.（1）若A ∩B=[0，3]，求实数m 的值； （2）若R A C B Í，求实数m 的取值范围．16. (本题满分14分) 已知5:02x p x -<-，034:22<+-m mx x q ，其中0>m ． （1）已知4=m ，若p q ∨为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．17．(本题满分15分)已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式，并求出()f x 的单调递增区间； （2）若()003,[,]542f x x ππ=∈ ，求0cos 2x 的值18．(本题满分15分) 已知函数x e me xf xx 2)(--=是定义在R 上的奇函数（其中e 是自然对数的底数）. （1）求实数m 的值；（2）如果对任意x R ∈，不等式2(2cos )(4sin 217)0f a x f x a ++-<恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分16分）某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I ）设计成半径为1km 的扇形EAF ，中心角EAF θ∠=（42θππ<<）.为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域II ）和休闲区（区域III ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD ，其中点E ，F 分别在边BC 和CD 上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元. （1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值； （2）试问：当θ为多少时，年总收入最大？20．（本小题满分16分）已知函数32()4f x ax bx a =+-(,)a b R ∈． （1）当13a b ==，时，求()f x 的极值；（2）当0a ≠时，若函数()f x 恰有两个不同的零点，求ba的值； （3）当0a =时，若()ln f x x <的解集为(,)m n ，且(,)m n 中有且仅有一个 整数，求实数b 的取值范围．江苏省邗江中学2020学年度第二学期高二数学期中试卷（文科） 参考答案与评分标准一．填空题1． {0，2} 2．34i -+． 3．(1,2)(2,)-⋃+∞． 4．必要不充分条件．5．c <b <a ． 6．3- ． 7．0ex y e --=． 8．3π． 9．109． 10．33410+11．516． 12．{}1-． 13．1(1,1)e+．14．3t £． 二．解答题15、(本题满分14分)解：由已知得：集合A={x|﹣1≤x ≤3}，集合B={x|m ﹣2≤x ≤m+2} （1）因为A ∩B=[0，3]，所以所以，所以m=2；……………6分（2）C R B={x|x ＜m ﹣2或x ＞m+2}因为B C A R ⊆，所以m ﹣2＞3或m+2＜﹣1， 所以m ＞5或m ＜﹣3．……………………14分 16. (本题满分14分)解：（1）由5:02x p x -<-，解得52<<x ，所以52:<<x p 又03422<+-m mx x ，因为0>m ，解得m x m 3<<， 所以m x m q 3:<<．当4=m 时，124:<<x q ， 又p q ∨为真，所以212x <<． ……………6分 （2）由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即q ⌝⇒p ⌝，p⌝≠>q ⌝，其逆否命题为p q q p ≠>⇒,， …………………8分 由（1）52:<<x p ，m x m q 3:<<， ………10分所以⎪⎩⎪⎨⎧>≥≤0532m m m，即：52.3m ≤≤ ………14分 17．解：（1）设函数()f x 的周期为T ，由图可知22362T πππ=-=，∴T π=，即2ππω=， ∵0ω>，∴2ω=，∴()()sin 2f x x ϕ=+，上式中代入,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭，有sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得232k ππϕπ+=+，k ∈Z ，即26k πϕπ=-+，k ∈Z ，又∵2πϕ<，∴6πϕ=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 令()222262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，解得()36k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，即()f x 的递增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ； -------8分（2）f （x 0）=sin （2x 0+）=， 又x 0∈[，]，∴2x 0+∈[，]，∴cos （2x 0+）=﹣；∴cos2x 0=cos[（2x 0+）﹣]=cos （2x 0+）cos +sin （2x 0+）sin=﹣×+×=． -------15分18．(本题满分15分)解（1）因为x e me xf xx 2)(--=是定义在]1,1[-的奇函数，所以0)0(=f ，所以m=1 当m=1时，x e e x f x x 21)(--=，所以)(21)(x f x e ex f x x -=+-=- (4)分（2）21)(-+='xx e e x f 21≥+xx ee ，所以0)(≥'xf ，当且仅当x=0时0)(='x f ，所以)(x f 在]1,1[-单调递增…8分因为2(2cos )(4sin 217)0f a x f x a ++---<，且()f x 是奇函数 所以2(2cos )(4sin 217)(214sin 7)f a x f x a f a x +<----=--+，因为()f x 在R 上单调递增，所以22cos 214sin 7a x a x +<--+，即2221cos 4sin 7a a x x --<--+对任意x R ∈都成立， 由于2cos 4sin 7x x --+=2(sin 2)2x -+，其中1sin 1x -≤≤， 所以2(sin 2)23x -+≥，即最小值为3所以2213a a --<，------12分即212120a a ----<，解得1212a -<-<，故0212a ≤-<，即1522a ≤<. -------15分 19．20．（本小题满分16分）解：（1）当13a b ==，时，32()34f x x x =+-，'2()36f x x x =+'2()363(2)0f x x x x x =+=+=，2,0x =-，列表略，极大值(2)0f -=，极小值(0)4f =- ………………4分………………9分……………16分。

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