直角三角形全等的条件
1.3直角三角形全等的判定
B′
C′
推进新课
对于Rt△ABC中，∠B=∠B´=90°，还要满足什 么条件，△ABC≌△A´B´C´？
A A´
B
┓
C B´ ┓
C´
1.添加AB=A´B´，BC=B´C´，利用“SAS”可证明 △ABC≌△A´B´C´ 2.添加AB=A´B´，∠A=∠A´，利用“ASA”可证明 △ABC≌△A´B´C´ 3.添加∠A=∠A´，AC=A´C´ ，利用“AAS”可证明 △ABC≌△A´B´C´。
A
B
AB=BA AC=BD ∴Rt△ABC≌ Rt △BAD （HL）
∴BC=AD （全等三角形对应边相等）
（2）如图，C是路段AB的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行 走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB， EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为 什么？ D 实际问题 数学问题 求证：ＤＡ＝ＥＢ。
D ）
A.一个锐角对应相等
C.一条边对应相等
B.两个锐角对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等
2.如图，AD⊥BE,垂足C是BE的中点，AB=DE,若要证
△ABC≌ △DEC,可以根据（
A.边边边公理 B.斜边、直角边公理 C.角边角公理 D.边角边公理
B
）
E
A C B
D
3.如图，∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌△BAD， 还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相 应的括号内填写出判定它们全等的理由。
CD 与CE 相等吗？
①ＡＣ＝ＢＣ
A C E B
②ＣＤ＝ＣＥ
证明： ∵DA⊥AB，EB⊥AB， ∴∠A和∠B都是直角。
又∵是AB的中点， ∴AC=BC
直角三角形的全等判定
直角三角形的全等判定作为初中数学中基础而重要的一章，几何中的三角形也是学习数学的过程中必不可少的一部分。
在学习三角形时，我们经常会遇到判定两个三角形是否全等的问题，这在数学中被称为全等判定。
在本篇文章中，我们将主要探讨直角三角形的全等判定。
一、直角三角形的定义先来回顾一下直角三角形的定义，一个三角形如果其中一个角度为90度，那么这个三角形就称为直角三角形，而另外两个角度则被称为锐角和钝角。
二、全等三角形的定义全等是数学中的一个重要概念，指两个对象在形状和大小上完全相同。
在三角形中，如果两个三角形的每个边对应相等，每个角度对应相等，那么这两个三角形就是全等的。
三、直角三角形的全等判定针对直角三角形的全等判定，有以下几种情况：情况一：两个直角边和一条锐角边相等这种情况下，两个三角形必定全等。
因为直角边和锐角边可以唯一确定一个直角三角形，而题目中已经给定两个三角形有共同的锐角和两个直角边相等，因此这两个三角形就是全等的。
情况二：一条直角边和两条锐角边相等如果两个三角形都只有一个直角边，则必须保证这个直角边和两条锐角边对应相等，而两个三角形的另外两个角度必须相等。
如果这些条件都成立，那么这两个三角形就是全等的。
情况三：斜边和一条锐角边相等如果两个三角形的斜边和一条锐角边对应相等，那么它们不一定全等。
因为直角三角形的斜边是唯一的，但是锐角边和对应的角度可能不唯一，因此在这种情况下，还需要另外一个条件来保证两个三角形的全等，比如另外一个锐角边和对应的角度相等。
情况四：斜边和对应锐角边相等如果两个三角形的斜边和对应的锐角边对应相等且另外一个锐角边和对应的角度也相等，那么这两个三角形就是全等的。
因此，在判断两个直角三角形是否全等时，要注意每个条件的要求，并且查漏补缺。
四、总结全等判定是数学中的一个基本概念，也是初中数学中的重要知识点。
对于直角三角形的全等判定，要根据具体条件进行判断，不能漏掉任何一个条件。
同时，在学习数学的过程中要多多练习，才能更好地掌握知识和技能。
三角形全等的判定方法6种
三角形全等的判定方法6种
1、SSS（Side-Side-Side）（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。
2、SAS（Side-Angle-Side）（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
3、ASA（Angle-Side-Angle）（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。
4、AAS（Angle-Angle-Side）（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
5、RHS（Rightangle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）（又称HL定理（斜边、直角边））：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。
（它的证明是用SSS原理）
下列两种方法不能验证为全等三角形：
1、AAA（Angle-Angle-Angle）（角角角）：三角相等，不能证全等，但能证相似三角形。
2、SSA（Side-Side-Angle）（边边角）：其中一角相等，且非夹角的两边相等。
直角三角形判定全等的方法
直角三角形判定全等的方法一种判断直角三角形全等的方法是基于两个三角形的边长和角度的关系。
具体来说，我们可以使用以下三种方法：SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）和AAS（角-角-边）定理。
1.SSS定理（边-边-边）：SSS定理指出，如果两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。
例如，如果两个直角三角形的三边长度分别为a、b、c和a’、b’、c’，如果a=a’、b=b’、c=c’，则可以判定这两个三角形全等。
这是最直观和直接的方法，但是在实践中，测量和比较三角形的边长可能不够准确。
因此，我们可以使用其他方法来判断直角三角形的全等。
2.SAS定理（边-角-边）：SAS定理指出，如果两个三角形的两边长和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
对于直角三角形，我们可以注意到其中一个角度是90度。
因此，如果两个直角三角形的一条直角边和两个相邻边的长度分别相等，则可以判定这两个三角形全等。
3.AAS定理（角-角-边）：AAS定理指出，如果两个三角形的两个角度和一条边长分别相等，则这两个三角形全等。
对于直角三角形，其中一个角度是90度。
因此，如果两个直角三角形的两个非直角角度和一条边的长度分别相等，则可以判定这两个三角形全等。
需要注意的是，在使用SAS和AAS定理时，我们需要确保给定的两个三角形中的直角对应于另一个直角。
如果直角不对应，则不能判定两个三角形全等。
除了使用这些方法，我们还可以使用勾股定理来判定直角三角形的全等。
勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
假设我们有两个直角三角形，分别具有直角边a和b以及斜边c，以及直角边a’和b’以及斜边c’。
如果a²+b²=c²且a’²+b’²=c’²，则我们可以判定这两个直角三角形全等。
总结起来，我们可以使用SSS、SAS、AAS这些几何性质和勾股定理来判定直角三角形的全等。
判断两个三角形全等的条件
判断两个三角形全等的条件
判断两个三角形全等的条件有以下几种：
1.边边边（SSS）：三边都相等的两个三角形全等。
2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
3.角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
4.角角边（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
5.斜边和直角边（HL）：一个三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边相等，则这两个三角形全等。
需要注意的是，以上这些条件并不是唯一的，有些情况下，三角形的形状和大小也可能对全等性产生影响。
三角形全等与相似判定
三角形全等与相似判定
三角形全等：完全重合
判定
1、三组对应边分别相等(SSS或“边边边”) 这一条也是三角形具有稳定性的原因 2．有两边及其夹角对应相等(SAS或“边角边”)
3．有两角及其夹边对应相等(ASA或“角边角”) 4．有两角及一边对应相等(AAS或“角角边”)
பைடு நூலகம்
5．直角三角形全等条件：斜边及一直角边对应相等 (HL或“斜边，直角边”)
3.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB， BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC． （1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．
4.四边形ABCD是平行四边形，点E 在BA 的延长线上， 且BE=AD ，点F 在AD上，AF=AB, 求证：△AEF≌△DFC
1.如图，△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD， 连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC.
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB 至点D，使DB=AB，连结CD，以CD为直角边作等腰直 角三角形CDE，其中∠DCE=90°，连结BE （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）若AC=3cm，则BE=__________cm
三角形相似：对应角相等，对应边成比例。
(1)平行于三角形一边的直线，截三角形其他两边 或延长线所得的三角形与原三角形相似。(简叙为 两角对应相等两个三角形相似). (2)两边夹角相等 （SAS） (3)三条边对应成比例 （ SSS） (4)两个角分别对应相等（AA）
直角三角形相似的判定定理: 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和 原三角形相似.
三角形全等的几个条件
三角形全等的几个条件
1. 全等条件一，SSS（边-边-边）条件。
当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形是全等的。
2. 全等条件二，SAS（边-角-边）条件。
当两个三角形的一对对应边相等，夹角相等，另一对对应边相等时，这两个三角形是全等的。
3. 全等条件三，ASA（角-边-角）条件。
当两个三角形的一对对应角相等，夹边相等，另一对对应角相等时，这两个三角形是全等的。
4. 全等条件四，AAS（角-角-边）条件。
当两个三角形的两对对应角相等，另一对对应边相等时，这两个三角形是全等的。
这些条件是用来判断两个三角形是否全等的基本依据。
在几何学中，通过这些条件可以快速判断两个三角形是否全等，从而推导出它们的性质和关系。
这些条件在解决各种相关问题时都具有重要的作用。
rt△全等判定定理 HL
rt△全等判定定理 HL
HL全等判定定理是三角形全等的一个重要条件。
如果两个三
角形的直角边（即与直角相对的边）和另一个相对的边（即不与直角相邻的那一边）全部相等，则这两个三角形全等。
具体来说，设∆ABC和∆DEF都是直角三角形，其中∠A=90°，∠D=90°，且有以下对应边相等：
AB=DE（直角边）
AC=DF（直角边）
BC=EF（相对边）
则有∆ABC≌∆DEF，即两个三角形全等。
HL全等判定定理比较容易理解和应用，但需要注意以下几点：
该定理只对直角三角形成立，不能用于一般三角形的全等判定。
直角边必须对应，否则该定理不成立。
该定理只是全等的一个判定条件，而不是全等的定义。
全等的定义包括SSS、SAS、ASA和AAS四种情形。
判定三角形全等定理
判定三角形全等定理三角形全等定理是指，如果两个三角形的三边和三角度分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理是几何学中最基本的定理之一，也是解决三角形相关问题的重要工具。
三角形全等定理的主要内容可以分为以下几个方面：1. 三边相等定理如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为SSS定理，其中SSS代表Side-Side-Side，即三边相等。
2. 两边一角相等定理如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为SAS定理，其中SAS代表Side-Angle-Side，即两边一角相等。
3. 两角一边相等定理如果两个三角形的两角和夹边分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为ASA定理，其中ASA代表Angle-Side-Angle，即两角一边相等。
4. 直角三角形全等定理如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为SRT定理，其中SRT代表Side-Right-Angle，即斜边和一个锐角相等。
5. 等腰三角形全等定理如果两个等腰三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为SAS定理，其中SAS代表Side-Angle-Side，即两边一角相等。
三角形全等定理的应用非常广泛，可以用于解决各种三角形相关问题，例如求解三角形的面积、周长、角度等。
在实际应用中，我们可以根据题目所给出的条件，选择合适的全等定理进行运用，从而得到正确的答案。
总之，三角形全等定理是几何学中最基本的定理之一，它为我们解决各种三角形相关问题提供了重要的工具和方法。
我们需要熟练掌握这些定理，并能够灵活运用它们，从而在解决实际问题时取得良好的成果。
直角三角形全等的条件
直角三角形全等的条件直角三角形是指一个角为90度的三角形。
当两个直角三角形的对应边长相等时，我们称这两个直角三角形是全等的。
在几何学中，全等意味着两个形状完全相同，只有位置和方向可以不同。
如果我们能够确定两个直角三角形的某些条件，那么我们就可以判断它们是否全等。
全等的定义两个三角形是否全等，可以根据以下的几何条件来判断：1.三边对应相等（SSS）：如果两个三角形的各边长度相等，那么这两个三角形全等。
2.两边及夹角对应相等（SAS）：如果两个三角形的一个夹角和两边的长度相等，那么这两个三角形全等。
3.两角及夹边对应相等（ASA）：如果两个三角形的两个角和夹边的长度相等，那么这两个三角形全等。
4.直角及两边对应相等（RHS）：如果两个直角三角形的一条直角边和另一条边的长度相等，同时这两个直角三角形的斜边也相等，那么这两个直角三角形全等。
直角三角形全等的条件对于直角三角形，可以通过以下条件判断两个直角三角形是否全等：1.斜边和一条直角边相等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边的长度相等，那么这两个直角三角形全等。
这是根据全等条件RHS推导出来的。
当两个直角三角形的斜边和一条直角边相等时，由于直角三角形的其他两条边也会相等，所以这两个直角三角形全等。
2.两条直角边分别相等：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。
这是根据全等条件SSS推导出来的。
因为直角三角形的斜边是确定的，当两条直角边相等时，剩余的两个直角三角形的边也会相等，所以这两个直角三角形全等。
3.一个锐角和两条边相等：如果两个直角三角形的一个锐角和两条边的长度分别相等，那么这两个直角三角形全等。
这是根据全等条件SAS推导出来的。
因为直角三角形的一个锐角和两边的长度是确定的，当一个锐角和两边相等时，剩余的两个直角三角形的边也会相等，所以这两个直角三角形全等。
应用直角三角形全等的条件判断直角三角形全等的条件在几何学中具有重要的应用。
全等三角形判定的三种类型
全等三角形判定的三种类型1.SSS判定（边边边）SSS判定是指当两个三角形的三条边分别相等时，它们是全等三角形。
例如，对于两个三角形ABC和DEF，如果AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以通过SSS判定断定三角形ABC和DEF是全等的。
SSS判定的原理是，边长相等可以确保两个三角形的相应边之间的角度也是相等的，根据三角形角度之和为180°的性质，可以推导出它们的角度也是相等的，进而判断三角形全等。
2.SAS判定（边角边）SAS判定是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时，它们是全等三角形。
例如，对于两个三角形ABC和DEF，如果AB=DE，∠BAC=∠EDF，BC=EF，则可以通过SAS判定判断三角形ABC和DEF是全等的。
SAS判定的原理是，两个三角形的一边和与这边相邻的两个角相等时，可以确保这两个三角形的三个边都相等，从而判断它们全等。
3.ASA判定（角边角）ASA判定是指当两个三角形的两角和边分别相等时，它们是全等三角形。
例如，对于两个三角形ABC和DEF，如果∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，AC=DF，则可以通过ASA判定判断三角形ABC和DEF是全等的。
ASA判定的原理是，两个三角形的两个角和这两个角所夹的边相等时，可以确保这两个三角形的第三个角也相等，从而判断它们全等。
此外，还有两种特殊情况的判定方法：4.直角全等判定如果两个直角三角形的三个边分别相等，那么它们一定是全等的。
这是因为直角三角形的两个直角以及第三个角也是相等的。
5.等腰全等判定如果两个三角形都为等腰三角形，并且有一个角相等，那么它们一定是全等的。
这是因为等腰三角形的两个底角和底边相等，所以只需要一个额外的角相等即可推断两个等腰三角形全等。
综上所述，全等三角形的判定可以通过SSS、SAS、ASA以及两种特殊情况的判定方法来进行。
这些判定方法不仅可以帮助我们判断三角形的全等性质，而且在数学推导和证明过程中也有重要的应用。
直角三角形全等的判定(HL)
(1)AC=A′ C′,∠A= ∠A′;(
(2)AC=A′ C′, BC= B′C′; ( (3)AB=A′B′, ∠B=∠B′;( (4)AC= A′C′,AB= A′B′.( (5)∠A=∠A′, ∠B=∠B′;(
A B A'
) ASA SAS ) AAS ) )HL
) ×
B' C'
C
用一用
例1：如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足 分别为E,F,DE=BF. 求证:(1)AE=CF; (2)AB∥CD. C D
复习回顾
１．三角形全等的判定定理有哪些?
SSS,SAS,AAS,ASA
2．直角三角形全等的判定定理有哪些? SSS,SAS,AAS,ASA
？
讨论
对于两个直角三角形，除了直角相等 的条件，还要满足几个条件，这两个直 角三角形就全等了？ A D
B
C
E
F
直角三角形全等的判定方法：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等. 简写：“斜边、直角边”或 “HL” A' A
F E A B
变式：如图，AB⊥BC，AD⊥DC， AB＝AD。 求证∠1=∠2 。 A
12 B C D
例2：如图，∠ABD=∠ACD=90°， ∠1=∠2，则AD平分∠BAC，请说明理由。
B
1
A
D
2
C
小结
拓展
三角形全等的判定定理: SAS,AAS,ASA,SSS 直角三角形全等的判定条件: SAS,A#39;
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中 A B=A´B´ ∵ A C= A´C´（ 或BC= B´C´） ∴Rt△ABC≌Rt△ A´B´C´(H L)
直角三角形全等判定
A
B
C B′
AB=AB BC=B C
A′ C′
∴Rt△ABC≌Rt△ABC (HL)
试一试
1.使两个直角三角形全等的条件是（
D ）
A.一个锐角对应相等
C.一条边对应相等
B.两个锐角对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等
2.如图，AD⊥BE,垂足C是BE的中点，AB=DE,若要证
△ABC≌ △DEC,可以根据（
在△BED和△CFD中 ∠DEB=∠DFC ∠ B =∠ C BD=CD △ BED ≌ △CFD (AAS) ∴BE=CF
中考 试题
已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线 上， EAAD，FDAD，AE=DF，AB=DC . 求证：ACE=DBF. 证明 ∵ AB=DC, E F ∴ AB+BC=DC+BC, 即 AC=BD. 又∵ AE=DF, EAC=FDB =90°. A B C D ∴ △AEC≌△DFB ∴ ACE=DBF.
B
F E G
C
D
巩固练习
1、 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述 条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C 解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则
AB=AB,
A B AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴BC=BD D (全等三角形对应边相等).
2
90°
4、已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC， BC⊥BD． 求证： AD＝ BC. 证明：连接 DC . ∵ AD⊥AC，BC⊥BD， ∴∠A=∠B= 90°. 在Rt△ADC和Rt△BCD中， DC=CD， AC=BD， ∴Rt△ADC≌Rt△BCD (HL). ∴AD=BC.
三角形全等的判定
考点名称：三角形全等的判定•三角形全等判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
•三角形全等的判定公理及推论：(1)“边角边”简称“SAS”(2)“角边角”简称“ASA”(3)“边边边”简称“SSS”(4)“角角边”简称“AAS”注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。
以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：①S.S.S. (边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
②S.A.S. (边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
③A.S.A. (角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
④A.A.S. (角、角、边)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。
以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：⑥A.A.A. (角、角、角)：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。
北师大七年级下-第15讲-直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离
直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离知识点一：直角三角形的判定 1、直角三角形全等的判定条件——HL 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等. 2、直角三角形全等的判定方法的综合运用. 判定两个直角三角形全等的方法有五种，即 SSS、SAS，ASA、AAS，HL. 3、判定条件的选择技巧 （1）上述五种方法是判定两直角三角形全等的方法，但有些方法不可能运用.如 SSS，因为有两边对应相 等就能够判定两个直角三角形全等. （2）判定两个直角三角形全等，必须有一组对应边相等. （3）证明两个直角三角形全等，可以从两个方面思考： ①是有两边相等的，可以先考虑用 HL，再考虑用 SAS； ②是有一锐角和一边的，可考虑用 ASA 或 AAS. 例1、如图所示，有两个长度相等的滑梯（即 BC=EF） ，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯的水平方向的长度 DF 相 等，则∠ABC＋∠DFE=________.分析： 本题解决问题的关键是证明 Rt△ABC≌Rt△DEF，由此，我们也知道三角形全等是解决问题的有力工具. 解： 由现实意义及图形提示可知 CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因为 BC=EF，AC=DF，可知 Rt△ABC ≌Rt△DEF.得∠DFE=∠ACB.因为∠ACB＋∠ABC=90°，故∠ABC＋∠DFE=90°. 例2、如图所示，△ABC 中，AD 是它的角平分线，BD=CD，DE、DF 分别垂直于 AB、AC，垂足为 E、F.求证 BE=CF.解： （垂直的定义） 在△AED 和△AFD 中， （角平分线的定义） （公共边） 所以△AED≌△AFD（AAS）. 所以 DE=DF（全等三角形的对应边相等）. （已知） 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， （已证） 所以 Rt△BDE≌△Rt△CDF（HL）. 所以 BE= CF（全等三角形的对应边相等）.例3、如图所示，已知 AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F 为垂足，求证：CF=DF.分析：要证 CF=DF，可连接 AC、AD 后，证△ACF≌△ADF 即可. 证明： 连结 AC、AD.在△ABC 和△AED 中，所以 AC＝AD（全等三角形的对应边相等）. 因为 AF⊥CD（已知） ，所以∠AFC=∠AFD=90°（垂直定义）. （已证） 在 Rt△ACF 和 Rt△ADF 中， （公共边） 所以 Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）. 所以 CF=DF（全等三角形的对应边相等）. 例4、已知在△ABC 与△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，且 AC=A′C′，AB=A′B′，CD=C′D′，试判断 △ABC 与△A′B′C′是否全等，说说你的理由. 分析： 分析已知条件，涉及到三角形的高线，而三角形的高线有在三角形内、外或形上三种情形，故需分类讨论. 解： 情形一，如果△ABC 与△A′B′C′都为锐角三角形，如图所示.因为 CD、C′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高. 所以∠ADC=∠A′D′C′=90°. 在△ADC 和△A′D′C′中∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，则∠A=∠A′. 在△ABC 与△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）. 情形二，当△ABC 为锐角三角形，△A′B′C′为钝角三角形，如图.显然△ABC 与△A′B′C′不全等. 情形三，当△ABC 与△A′B′C′都为钝角三角形时，如图.由 CD、C′D′分别为△ABC 和△A′B′C′的高，所以∠ADC=∠A′D′C′=90°， 在 Rt△ADC 和 Rt△A′D′C′中，CD=C′D′，AC=A′C′ ∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠CAD=∠C′A′D′. ∴∠CAB=∠C′A′B′，在△ABC 与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′. 例5、阅读下题及证明过程： 如图，已知 D 是△ABC 中 BC 边上的一点，E 是 AD 上一点，EB=EC，∠BAE=∠CAE，求证：∠ABE=∠ACE. 证明：在△ABE 和△ACE 中∴△ABE≌△ACE ∴∠ABE=∠ACE第一步 第二步上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据，若不正确，请指出错在哪一步，并写出你 认为正确的证明过程. 分析： 用三角形全等的判定条件去判断，易发现错在第一步，它不符合全等三角形的条件，因此需另辟途径.由 题设知，当结论成立时，必有△ABE≌△ACE，而由已知条件不能求证这两个三角形全等，故需将这两个三角形中重 新构造出全等三角形. 解： 上面的证明过程不正确，错在第一步，正确的证明过程如下： 过 E 作 EG⊥AB 于 G，EH⊥AC 于 H.如图所示 则∠BGE=∠CHE=90° 在△AGE 与△AHE 中∴△AGE≌△AHE ∴EG=EH 在 Rt△BGE 与 Rt△CHE 中，EG=EH， BE=CE. ∴Rt△BGE≌Rt△CHE，∴∠ABE=∠ACE.例6、已知：如图所示，AD 为△ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且有 BF=AC，FD=CD.（1）求证：BE ⊥AC； （2）若把条件 BF=AC 和结论 BE⊥AC 互换，那么这个命题成立吗？（1）证明：因为 AD⊥BC（已知） ，所以∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义） ，∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互 余）. （已知） 在 Rt△BDF 和 Rt△ADC 中， （已知） 所以 Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）. 所以∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）. 因为∠1＋∠2=90°（已证） ，所以∠1＋∠C=90°. 因为∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°） ，所以∠BEC=90°. 所以 BE⊥AC（垂直定义） ； （2）证明：命题成立，因为 BE⊥AC，AD⊥BC， 所以∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）. 所以∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°. 所以∠1=∠DAC（同角的余角相等）. （已证） 在△BFD 与△ACD 中， （已证） （已知） 所以△BFD≌△ACD（AAS）.所以 BF=AC（全等三角形的对应边相等）. 知识二：利用三角形全等测距离 通过探索三角形全等，得到了“边边边” ， “边角边” ， “角边角” ， “角角边”定理，用这些定理能够判断两个三 角形是否全等，掌握了这些知识，就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础．体会数学与生活的密切联系， 能够利用三角形全等解决生活中的实际问题． 在解决实际问题时确定方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离（即把距离的测量转化 为三角形全等的问题） ．例1、如图，有一湖的湖岸在 A、B 之间呈一段圆弧状，A、B 间的距离不能直接测得．•你能用已学过的知识或 方法设计测量方案，求出 A、B 间的距离吗？答案： 要测量 A、B 间的距离，可用如下方法： （1）过点 B 作 AB 的垂线 BF，在 BF 上取两点 C、D，使 CD＝BC，再定出 BF 的垂线 DE，使 A、C、E 在一条 直线上，根据“角边角公理”可知△EDC≌△ABC．因此：DE＝BA．•即测出 DE 的长就是 A、B 之间的距离． （如图甲）（2）从点 B 出发沿湖岸画一条射线 BF，在 BF 上截取 BC＝CD，过点 D 作 DE∥AB，使 A、•C、E 在同一直线 上，这时△EDC≌△ABC，则 DE＝BA．即 DE 的长就是 A、B 间的距离． （•如图乙） 例2、如图、小红和小亮两家分别位于 A、B 两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．分析： 本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通 过测量这个三角形中与 AB 相等的线段的长，就可求出两家的距离． 方案： 如图，在点 B 所在的河岸上取点 C，连接 BC 并延长到 D，使 CD＝CB，利用测角仪器使得∠B＝∠D，A、C、 E 三点在同一直线上．测量出 DE 的长，就是 AB 的长．因为∠B＝∠D，CD＝CB，∠ACB＝∠ECD，所以△ACB≌△ECD， 所以 AB＝DE．知识点三：尺规作图 1、用尺规作三角形的根据是三角形全等的条件. 2、尺规作图的几何语言 ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连接两点××；或连接××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； ④在××上截取××＝××； ⑤以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧） ； ⑥以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ⑦分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×． 3、用尺规作图具有以下三个步骤 ①已知：当题目是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； ②求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； ③作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹. 对于较复 杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法. 例1、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形． 已知： ∠α ，∠β ，线段 c(如图)．求作：△ABC，使∠A＝∠α ，∠B＝∠β ，AB＝c． 请按照给出的作法作出相应的图形．例2、如图，已知线段 a，b，c，满足 a＋b>c，用尺规作图法作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，AB＝c. 错误作法：(1)作线段 AB＝c； （2）作线段 BC＝a； （3）连接 AC，则△ABC 就是所求作的三角形(如图).分析： 本题第2步作线段 BC＝a，在哪个方向作，∠CBA 的度数是多少是不确定，所以这步的作法不正确，不能保 证 AC 的长一定等于 b．错误的原因在于没有真正理解用尺规作三角形的方法． 正确作法：（1）作射线 CE； （2）在射线 CE 上截取 CB＝a； （3）分别以 C，B 为圆心，b，c 长为半径画弧，两弧交于点 A．连接 AC、AB，则△ABC 为所求作的三角形 (如图)．例3、已知两边和其中一边上的中线，求作三角形． 已知线段 a、b 和 m． 求作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，BC 边上的中线等于 m.分析： 如果 BC 已作出，则只要确定顶点 A．由于 AD 是中线，则 D 为 BC 的中点，A 在以 D 为圆心，m 为半径的圆 上，又 AC＝b，点 A 也在以 C 为圆心 b 为半径的圆上，因此点 A 是这两个轨迹的交点． 作法： 1、作线段 BC＝a． 2、分别以 B、C 为圆心，大于 长为半径画弧，在 BC 两侧各交于一点 M、N，连接 M、N 交 BC 于点 D． 3、分别以 D 为圆心，m 长为半径作弧，以 C 为圆心，b 长为半径作弧，两弧交于点 A． 4、分别连接 AB、AC． 则△ABC 就是所求作的三角形． 思考： 假定△ABC 已经作出，其中 BC＝a，AC＝b，中线 AD＝m．显然，在△ADC 中，AD＝m，DC＝ ，AC＝b，所 以△ADC 若先作出．然后由 BD＝ 的关系，可求得顶点 B 的位置，同样可以作出△ABC．作法请同学们自己写出．达标测试： 1、如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为 B、C，且 BD=CD，求证：AD 平分∠BAC.证明： ∵DB⊥AB，DC⊥AC ∴∠B=∠C=90° 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL） ∴∠1=∠2 ∴AD 平分∠BAC. 2、如图，已知 AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD 和 BC 相交于点 E，求证： （1）CE=BE； （2）CB⊥AD.证明：（1）∵AB⊥BD，AC⊥CD ∴∠ABD=∠ACD=90° 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL) ∴∠1=∠2 在△ABE 和△ACE 中∴△ABE≌△ACE（SAS） ∴BE=CE 即 CE=BE （2）∵△ABE≌△ACE ∴∠3=∠4 又∵∠3＋∠4=180° ∴∠3=90° ∴CB⊥AD 3、如图，已知一个角∠AOB，你能否只用一块三角板作出它的平分线吗？说明方法与理由.解： 能. 作法： （1）在 OA，OB 上分别截取 OM=ON （2）过 M 作 MC⊥OA，过 N 作 ND⊥OB，MC 交 ND 于 P （3）作射线 OP 则 OP 为∠AOB 的平分线 证明：∵MC⊥OA、ND⊥OB ∴∠1=∠2=90° 在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中 ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL） ∴∠3=∠4 ∴OP 平分∠AOB. 4、如图，AB=AD，BC=DE，且 BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明 AM=AN 吗？解：能. 理由如下： ∵BA⊥AC，DA⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90° 在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）∴∠C=∠E，AC=AE 在△AMC 和△ANE 中∴△AMC≌△ANE（ASA） ，∴AM=AN. 5、如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为 E、F，且 AE=BF，AD=BC，则 （1）△ADF 和△BEC 全等吗？为什么？ （2）CM 与 DN 相等吗？为什么？解： （1）△ADF≌△BCE，理由如下： ∵CE⊥AB，DF⊥AB ∴∠1=∠2=∠3=∠4=90° 又∵AE=BF，∴AF=BE 在 Rt△ADF 和 Rt△BCE 中∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL） （2）CM=DN，理由如下： ∵△ADF≌△BCE ∴DF=CE，∠A=∠B 在△AME 和△BNF 中∴△AME≌△BNF（ASA） ∴ME=NF，又∵CE=DF ∴MC=ND. 6、如图所示，已知线段 a，b，∠α ，求作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，∠ACB＝∠α ，•根据作图在下面空格中 填上适当的文字或字母． （1）如图甲所示，作∠MCN＝________； （2）如图乙所示，在射线 CM 上截取 BC＝________，在射线 CN 上截取 AC＝________． （3）如图丙所示，连接 AB，△ABC 就是_________．答案：∠α ，a，b，所求作的三角形. 7、已知线段 a 及锐角α ，求作：三角形 ABC，使∠C＝90°，∠B＝∠α ，BC＝A．作法： （1）作∠MCN＝90°； （2）以 C 为圆心，a 为半径，在 CM 上截取 CB＝a； （3）以 B 为顶点，BC 为一边作∠ABC＝∠α ，交 CN 于点 A．连接 AB，则△ABC 即为所求作的三角形． 8、你一定玩过跷跷板吧！如图是贝贝和晶晶玩跷跷板的示意图，支柱 OC 与地面垂直，点 O 是横板 AB 的中点， AB 可以绕着点 O 上下转动，当 A 端落地时，∠OAC＝20°． （1）横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是多少？ （2）在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度 AA′，BB′有何数量关系？为什么？解： （1）∵OC⊥AB′，∠OAC＝20°， ∴∠AOC＝90°－20°＝70°， 同理可求∠B′OC＝70°， ∴∠AOA′＝180°－2×70°＝40°； （2）AA′＝BB′， 如图所示，连接 AA′、BB′， ∵AB＝A′B′，∠BAB′＝∠A′B′A，AB′＝B′A， ∴△A′AB′≌△BB′A，∴AA′＝BB′． 9、有一池塘，要测池塘两端 A、B 间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长 到 D，使 CD＝CA，连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB，连接 DE，量出 DE 的长，这个长就是 A、B 之间的距离。
数学全等三角形的判定顺序
数学全等三角形的判定顺序数学中的全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。
判定两个三角形是否全等，需要根据不同的条件进行判断。
下面将按照判定的顺序，依次介绍这些条件。
1. SAS判定法（边角边判定法）：如果两个三角形的两条边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
具体而言，如果两个三角形的一条边和夹角分别相等，并且另一条边也相等，则这两个三角形全等。
2. SSS判定法（边边边判定法）：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
这是最常用的判定方法之一。
3. ASA判定法（角边角判定法）：如果两个三角形的一条角和两条边分别相等，则这两个三角形全等。
具体而言，如果两个三角形的一条角和两条边分别相等，并且另一条角也相等，则这两个三角形全等。
4. AAS判定法（角角边判定法）：如果两个三角形的两个角和一条边分别相等，则这两个三角形全等。
具体而言，如果两个三角形的两个角和一条边分别相等，并且另一条边也相等，则这两个三角形全等。
5. RHS判定法（直角边斜边判定法）：如果两个三角形的一条直角边和斜边分别相等，则这两个三角形全等。
具体而言，如果两个三角形的一条直角边和斜边分别相等，并且另一条直角边也相等，则这两个三角形全等。
通过以上五种判定法，我们可以判断两个三角形是否全等。
这些判定法都是基于数学中的一些定理和性质，通过观察和推理，我们可以得出结论。
全等三角形在几何学中具有重要的意义，它们不仅可以帮助我们计算三角形的各个属性，还可以应用到实际问题中。
例如，在建筑设计中，如果需要复制一个三角形的形状，我们可以利用全等三角形的性质进行设计。
总结起来，判定两个三角形是否全等，需要依次考虑它们的边和角的关系，根据不同的条件进行判断。
通过这些判定法，我们可以在几何学问题中准确地确定两个三角形是否全等，从而进一步解决问题。
如何判定两个直角三角形全等
Question:如何判定两个直角三角形全等?判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。
判定3：若a的平方+b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定4：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定5：两个锐角互余的三角形是直角三角形。
判定6：在直角三角形中，60度内角所对的直角边等于斜边长的二分之根号三。
判定7：在证明直角三角形全等的时候可以利用HL 两个三角形的斜边长对应相等以及一个直角边对应相等可判断两直角三角形全等.数学教案－直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定重点与难点分析：本节课教学方法主要是“自学辅导与发现探究法”。
力求体现知识结构完整、知识理解完整；注重学生的参与度，在师生共同参与下，探索问题、动手试验、发现规律、做出归纳。
让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。
具体说明如下：（1）由“先教后学”转向“先学后教本节课开始，让同学们自己思考问题：判定三角形全等的方法有四种，如果这两个三角形是直角三角形，那么判定它们全等的方法有哪些呢？学生展开讨论，初步形成意见，然后由教师答疑。
这样促进了学生学习，体现了以“学生为主体”的教育思想。
（2）在层次教学中培养学生的思维能力本节课的层次主要表现为两个方面：一是对公理的多层次理解；二是综合练习的多层次变化。
公理的多层次理解包括：明确公理的条件及结论；公理的文字语言、图形语言、符号语言的理解及掌握；公理的作用。
这里特别强调三个方面：1、特殊三角形的特殊性；2、归纳总结判定直角三角形全等的方法。
综合练习的多层次变化：首先给出直接应用公理证明三角形全等的题目；然后给出变式题目；最后给出综合应用题目。
这里注意两点：一是给出题目后先让学生独立思考，并按教材的形式严格书写。
三角形全等
解：在CMO和CNO中，
（已知） OM＝ON， C O ， CM＝CN（已知） N CO＝CO， B （公共边） CMO ≌CNO （SSS） . （全等三角形对应角相等） COM ＝CON .
M
A
OC是AOB的平分线 .
如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE， A 求证：△AEB ≌ △ ADC。
A C
D B
E
F
思 考
已知AC=FE，BC=DE，点A、D、 B、 F在一条直线上，AD=FB. 要用“边边边”证明 △ABC ≌△ FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以 外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
证明： AD FB， Q AD DB FB DB， 即AB FD. 在ABC和 FDB 中，
C C’
B
B’
ABC A’B’C’ ∴△______≌△______（ASA）
全等三角形判定方法4：
有两个角及其中一角的对 边分别对应相等的两个三角 形全等。
(简写成“角角边”或“AAS”）
在两个三角形中,如果有两个角和其中一角的对 边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成“角 角边”或“AAS”）. 用符号语言表达为： 在△ABC和△ A′B′C′中，
A
D A B C
则AB边的对应边为 DE
∠C的对应角为
∠F
E
D
例2 如图，△ABC是一个钢架，AB=AC， AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证： △ABD≌△ACD. (1) (2)∠BAD = ∠CAD.
A A
B
D
C
B
C
D
例2 如图，△ABC是一个钢架，AB=AC， AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证： △ABD≌△ACD. (1) (2)∠BAD = ∠CAD.
直角三角形的全等
1第19节 直角三角形的全等【知识要点】1．已知斜边和一直角边画直角三角形．2．斜边、直角边条件（HL ）①内容：有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等． ②作用：判定两个直角三角形全等． 3．判定两个直角三角形全等的方法．共有五种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL ． 判定两个直角三角形全等、必须有一组边对应相等．4．判定两个直角三角形全等时应先考虑利用斜边、直角边条件来证，如不行再考虑用其他四种方法．【经典例题】例1、如图4，ABC ∆中，AC AB =，BC AD ⊥于点D ，AC BE ⊥于E 交AD 于H ，且BE AE =，试说明BD AH 2=．例2、如图：已知AE AB =，ED BC =，E B ∠=∠，CD AF ⊥，F 是垂足，试判断CF 与DF有什么特殊的数量关系？并说明理由．例3、如图9，PB PA =，PC AD ⊥于A ，PD BC ⊥于B ，AD 、BC 相交于O ，说明OD OC =．CDF（3）ABPDCO2例4、如图所示，ABC ∆中， 90=∠BAC ，AC AB =，AE 是过A 的一条直线，且点B 、C 在AE 的异侧，AE BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ，试说明．CE DE BD +=【练习拓展】1．在ABC ∆和DEF ∆中，DE AB =， 90=∠=∠D A ，只要再补充条件 、或 、或 ,就能说明DEF ABC ∆≅∆．2．判定直角三角形全等共有 种方法．分别是 ．3．如图（7），BA ∥CD ， 90=∠A ，CE AB =，ED BC =，则≅∆CED ．根据 ．4．如图（8），DE AE BC AB ⊥⊥,，垂足分别为B 、E ，AE AB =，ADE ACB ∠=∠，70=∠=∠ADC ACD ， 60=∠BAD ，则=∠BAE ．5．如图所示，AC=BD ，BD BC AC AD ⊥⊥,．求证：AD=BC ．AB ECD（7）CDE （8）CBA DC36．已知：如图所示，在ABC ∆中，D BC AC ACB ,,90=︒=∠为AC 上的一点，延长BC 到E ，使CE=CD ，求证：AE BF ⊥．7.已知：如图2，ABC ∆中，AD 是它的角平分线，且CD BD =，DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足为E 、F ，试判断EB 与FC 有什么特殊的数量关系？并说明理由．8．如图， 90=∠=∠BDA ACB ，若要使BDA ACB ∆≅∆，还需要什么条件？把它们分别写出来（有几种写几种），并写明每一种识别方法的根据．9．如图所示，D 是AOB ∠的平分线OC 上一点，过点D 的直线交AO 、BO 于E 、F ，并且OC EF ⊥．求证：DE=DF ．10．如图所示，AB=AC ，AC MF AB ME ⊥⊥,，垂足分别为E 、F ，ME=MF ．求证：MB=MC ．D C（2）A BDCAC BFE DOC4【课后作业】1．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ）． A 、一锐角对应相等 B 、两锐角对应相等 C 、一条边对应相等D 、两条直角边对应相等2．如图5，P 到AB 、AC 的距离PE PF =，则PAF PAE ∆≅∆的理由是（ ）． A 、HL B 、AAS C 、SSS D 、ASA3．如图6中， 90=∠C ，BC AC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，AB DE ⊥于E ，若cm AB 6=，则DEB ∆的周长（ ）． A 、cm 5 B 、cm 6C 、cm 7D 、cm 84．已知：如图所示，AC AD CE CD DCE ⊥=︒=∠,,90于A ，AC BE ⊥于B，求证：AB+AD=BE 。
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师：通过上面的辨析，大家想一想：我们来判定两个三角形全等的方法是不是也可以用来判定两个直角三角形全等呢？
生：可以。
师：既然如此，判定两直角三角形全等的方法共有SAS,ASA,AAS,SSS,HL五种。其中HL最特殊，它只能用来判定两个直角三角形全等。什么时候用哪一种方法，需要根据具体的问题确定。
设计意图
活动2
（1）探究作图
已知线段a，c和一个直角，利用尺规作一个直角三角形ABC，使∠C为直角，AB＝c，CB=a.
（2）把画好的Rt△ABC剪下，和其他学生进行比较看是否重合.
.
（学生分组交流，归纳步骤）
师：△ABC是所求作的三角形吗？
生：是
师：同学们作的三角形能完全重合吗？
生：能
学生通过动手作图，加深了对所作三角形特点的认识，为下面的学习活动提供经验。
（2）学生在证明过程的书写是否规范．
培养学生的逻辑推理能力，学会运用“HL”条件判定直角三角形全等．
培养学生独立分析能力、读图能力。会从问题中的条件出发，获得运用“HL”条件所需要的条件，规范的书写证明过程．
活动5
小结
（1）从本节课的学习中你有何收获？
作业
（1）教科书第103页习题13.2第6题，第7题．
(3)工作人员是这样做的，他测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？
（1）师：要使这两个三角形全等我们可以得到的条件是什么？
生：边和角对应相等
师：那么，你可以得到哪些边等？哪些角等呢？
生1：一条短直角边和斜边
生2：还有一组锐角相等。
问题与情景
师生行为
设计意图
活动3
如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.(1)求证：BC=AD.
(2)你还能找到其他的全等三角形吗？
(3)你可以得到哪些线段相等？
练习题：如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地.DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
师：此时三角形全等的条件已经具备了吗？说说你的方法
生：SAS
（2）师：此时，遇到了什么困难？
生：卷尺不能测量角的度数，只剩下一条直角边和一条斜边。
师：那此时，这两个三角形全等吗？
生3：我们可以用SSA来判定三角形全等
生4：不对，SSA不能判定两个三角形全等
（3）生5：这两个三角肯定是全等的，就是现在说不出理由。
分组讨论。
因为有了“劳动”，所以就有了思想。老师布置了“劳动”中，而学生收获了思想。学生在操作中获取了认知，在交流中表达了认知，在归纳中抽象，概括了认知。这不正是从感性认识到理性认识的飞跃吗？
一是让学生认识到判定两个直角三角形全等的方法的特殊性，二是认识到判定两个直角三角形全等的方法的一般性，这有利于学生构建完整的知识体系。
学生自我小结、谈感受、教师点评．
学生独立思考，把第1题，第2题做在作业本上，教师检查、批改．
及时了解学生学习效果，调整教学安排．
通过独立思考，自我评价学习效果；学会反思、发现问题，并试着与同学交流解决问题，养成良好的学习习惯
直角三角形全等的条件
【教学任务分析】
教
学
目
标
知识技能
1．掌握“斜边、直角边”条件的内容．
2．初步运用“斜边、直角边”条件证明两个直角三角形全等．
数学思考
使学生经历作图，比较证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力．
解决问题
会运用“斜边、直角边”条件证明两个直角三角形全等．
情感态度
通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进一步激发探究的积极性．
生6：因为我们作的BC边的长度和AB边相等
生7：还有——一个角都是直角。
师：真是火眼金睛，“有一个角都是直角”换句话说就是它们都是“直角三角形”，事实上你们已经找到了答案，谁能说给大家听听？
生8：两个直角三角形，如果有斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。
师：太棒了，同组的同学相互交流一遍：斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。简写成“斜边，直角边”或“HL”。同学们现在明白了图中两个三角形全等的道理了吗？
自主操作，合作交流，既没有流于形式，又是探究过程的必要环节，学生体会到各自所画三角形能相互生命的神奇，体会到操作成功的快感，又一次激发了他们学习的积极性。
（3）归纳结论
（4）认识辨析
已知：CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E、F
1若AC∥DB，且AC=DB,则ΔACE≌ΔBDF,理由：
2若AC∥DB，且AE=BF,
教师引导学生分析问题中的已知条件，以及证明线段相等还需要的条件．
学生先独立思考，然后再分析、讨论、相互交流，教师板书过程．
本次活动中，教师应重点关注：
（1）学生对“HL”条件的理解程度；
（2）学生能否发现这两条线段所在的三角形；
学生独立分析，写出过程，全班交流；
在练习中，教师应重点关注：
（1）学生对“HL”条件的熟练程度；
重点
掌握判定两个直角三角形全等的方法．
难点
熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等．
【教学过程设计】
问题与情景
师生行为
设计意图
活动1
问题
（1）舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量，怎么办呢？
（2）如果他带的测量工具只是一把卷尺时呢？
则ΔACE≌ΔBDF,理由：
③若AE=BF，且CE=DF，则ΔACE≌ΔBDF,理由：
④若AC=DB，AE=BF，CE=DF，则ΔACE≌ΔBDF,理由：
⑤若AC=DB，CE=DF，（或AE=BF），则ΔACE≌ΔBDF,理由：
（5）疑难辨析
有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗？
师：很好，这说明大家做的三角形都是全等的，你们告诉老师它们为什么全等吗？
把生活中熟悉的事情移植到数学课堂，既是丰富学生情感的有效手段，也能引导学生用数学的眼光关注生活，同时也激发了学生学习，探究的欲望。鲜活的生活实例展现在学生面前，让数学课堂旧貌换新颜。
看到这个同学的无奈，其他学生备受激励，似乎有了不弄个究竟不罢休的斗志，这不正是教与泶所期望的悱愤状态吗？
问题பைடு நூலகம்情景
师生行为