北邮运筹学ch32基变量与闭回路.33
北邮运筹学ch3-1 运输问题
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
Ch3 Transportation Problem
2020/1/28
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需求假设（The Requirements Assumption）： 每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应 量都必须配送到目的地。与之相类似，每一个目的 地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出 发地满足，即
如何制定一个运输方案，使总的运输费用最小。这样的问题称为运 输问题。
北京邮电大学 运筹学
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
Ch3 Transportation Problem
2020/1/28
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运输问题的特征 Characteristics of Transportation Problems
钢铁厂
矿山
B1
A1
3
A2
5
A3
4
需要量
5
表3－1
B2
B3
2
6
3
8
1
2
7 8 北京邮电大学 运筹学
运价表（元/吨）
B4
产量
3
10
2
8
9
5
3
23
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
Ch3 Transportation Problem
2020/1/28
Page 7 of 11
x12 x22
x13 x14 x23 x24
10 8
12-13运筹学32(B)答案
上海海洋大学试卷诚信考试承诺书本人郑重承诺：我已阅读且透彻理解了“上海海洋大学学生考场规则”和“上海海洋大学学生违反校纪校规处理规定”，承诺在考试中自觉遵守，如有违反，按有关条款接受处理。
承诺人签名： 日 期：考生姓名： 学号： 专业班名： 一、(10分)写出下列线性规划问题的对偶问题：123123123123123567531556102050,0,Min Z x x x x x x x x x x x x x x x =----+-≥⎧⎪--+≤⎪⎨--=-⎪⎪≤≥⎩s.t.不受限制解：123123123123123152055556631070,0,Max w y y y y y y y y y y y y y y y =+---+≤-⎧⎪--≤-⎪⎨-+-=-⎪⎪≥≤⎩s.t.不受限制二、（15分）、已知线性规划问题：12341234123423422320232200, 1.2.3.4iMax Z x x x x x x x x x x x x x i =++++++≤⎧⎪+++≤⎨⎪≥=⎩s.t. 其对偶问题的最优解为Y 1*=1.2,Y 2*=0.2,试用对偶的互补松弛性求解原问题的最优解。
解：121212121212202021222333240,0Max w y y y y y y y y y y y y =++≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪+≥⎪⎪≥≥⎩s.t.变为标准型为1234123412121212122122233324,,,,,0s s s s s s s s y y y y y y y y y y y y y y y y y y ⎧+-=⎪+-=⎪⎪+-=⎨⎪+-=⎪⎪≥⎩因为最优解为Y 1*=1.2,Y 2*=0.2，所以12340.4,0.6,0,0s s s s y y y y ====根据对偶的互补松弛性，123412340s s s s x y x y x y x y +++=，所以120x x ==所以343423203220x x x x +=⎧⎨+=⎩，解得344x x ==三、（15分）给定线性规划问题12312312min 26..240j 1,2,3j z x x x x x x s t x x x =-++⎧++≤⎪-≤⎨⎪≥=⎩（）（1）把11c =-改为4，求原问题的最优解（2）讨论2c 在什么范围内变化时原来的最优解也是原问题的最优解。
离散数学第3版课件ch32集合与关系3.33.5贲
(A×B)×C≠A×(B×C) (当A≠∧B≠∧C≠时)
(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)
A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
(5) AC∧BDA×BC×D
3
我们给出性质(4)第一个式子的证明。
说明:(1)把关系这种“无形”的联系用集合这种“有形”的实体来描述。
(2)有序对是讲究次序的。
8
on numbers: a=b a<b a≥b
on integers: a|b on subsets: A B
|A|=|B| on people: a is married to b
a is younger than b a is a descendant of b.
例7 求集合A＝｛1,2,3,4｝上的恒等关系、空关系、 全域关系和小于关系，并画出小于关系的关系图。
16
例7 求集合A＝｛1,2,3,4｝上的恒等关系、空关系、 全域关系和小于关系，并画出小于关系的关系图。
IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4> } EA={ <1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,
定义3.16 设A,B,C是三个任意集合,R是A到B的二元关系,S是B到C 的二元关系，则定义关系R和S的合成或复合关系 RοS＝{<a,c>| aA,cC ∧ bB,使 <a,b>R且<b,c>S }。
例11 集合A＝{a,b,c},B＝{1,2,3}，R是A上关系，S是A到B
ch3-2基变量与闭回路(精)
x11 , x41 , x43 , x33 , x32 , x12
x32
x33
B x33 , x32 , x12 , x11 , x21;
B的变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；
Ch3 Transportation Problem §3.2 基变量与闭回路 Basis Variable and Closed Path 2018年9月14日星期五 Page 7 of 11
【定理 1】设有 m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变量 数为m+n-1。 m m 【证】因为产销平衡，即 ai bi ，将前m个约束方
程两边相加得
i 1
j 1
x
i 1 j 1
m
n
ij
ai
i 1
m
再将后n个约束相加得
x
j 1 i 1
n
m
ij
bj
8个顶点间用水平或垂直线
段连接起来，组成一条封 闭的回路。
x23
x25
x35
Ch3 Transportation Problem §3.2 基变量与闭回路 Basis Variable and Closed Path 2018年9月14日星期五 Page 6 of 11
一条回路中的顶点数一定是 偶数，回路遇到顶点必须转90度
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为一个闭回路 ，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量的连 线为闭回路的边。在表3－3及表3－4中的变量组构成两个闭回路。 表3－3 表3－3中闭回路的变量集 合是{x11,x12,x42, x 43, x 23, x 25, x 35, x 31}共有8个顶点， 这 A1 A2 A3 A4 x31 x42 x43 B1 x11 B2 x12 B3 B4 B5
(北邮出版社)运筹学课本答案
No .1 线性规划1、某织带厂生产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而工厂有供纺纱的总工时7200h ，织带的总工时1200h 。
(1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大；(2) 如果组织这次生产具有一次性的投入20万元，模型有什么变化？对模型的解是否有影响？解：(1)设A 的产量为x 1，B 的产量为x 2，C 的产量为x 3，D 的产量为x 4，则有线性规划模型如下：max f (x )=(168-42)x 1 +(140-28)x 2 +(1050-350)x 3 +(406-140)x 4=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4s.t. ⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i(2)如果组织这次生产有一次性的投入20万元，由于与产品的生产量无关，故上述模型只需要在目标函数中减去一个常数20万，因此可知对模型的解没有影响。
2、将下列线性规划化为极大化的标准形式解：将约束条件中的第一行的右端项变为正值，并添加松弛变量x 4，在第二行添加人工变量x 5，将第三行约束的绝对值号打开，变为两个不等式，分别添加松弛变量x 6, x 7，并令x x x 333='-''，则有max[-f (x )]= {-2 x 1 -3 x 2 -5('-''x x 33)+0 x 4 -M x 5+0 x 6 +0 x 7} s.t. 0,,,,,,,1355719 13 5571916 9976 5 7654332173321633215332143321≥'''=+''+'-+-=+''-'+-=+''+'-+-=+''-'+--⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±≥≤+-=-+--≥-+++=不限321321321321321 ,0,13|5719|169765..532)(min x x x x x x x x x x x x t s x x x x f3、用单纯形法解下面的线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++-≤++-≤-+++= ,0,,4205.021********* ..352)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f 解：在约束行1,2,3分别添加x 4, x 5, x 6松弛变量，有初始基础可行解和单纯形答：最优解为x 1 =244.375, x 2 =0, x 3 =123.125, 剩余变量x 6 =847.1875；最优解的目标函数值为858.125。
运筹学学习资料-运筹学习题集-第五章.doc
判断题判断正误，如果错误请更正第五章运输与指派问题1.运输问题中用位势法求得的检验数不唯一。
2.产地数为3,销地数围的平衡运输中，变量组{Xll, X13, X22, X33, X34}可作为一组基变量。
3.不平衡运输问题不一定有最优解。
4.m+n-1个变量构成基变量组的充要条件是它们不包含闭合回路。
5.运输问题中的位势就是其对偶变量。
6.含有孤立点的变量组不包含有闭回路。
7.不包含任何闭回路的变量组必有孤立点。
& 产地个数为m销地个数为n的平衡运输问题的对偶问题有m+n个约束。
9.运输问题的检验数就是对偶问题的松弛变量的值。
10.产地个数为m销地个数为n的平衡运输问题的系数矩阵为A,则有r(A)〈=m+nT。
11.用一个常数k加到运价C的某列的所有元素上，则最优解不变。
12.令虚设的产地或销地对应的运价为一任意大于0的常数C (00),则最优解不变。
13.若运输问题中的产量或销量为整数则其最优解也一定为整数。
14.运输问题中的单位运价表的每一行都分别乘以一个非0常数，则最优解不变。
15.按最小元素法求得运输问题的初始方案，从任一非基格出发都存在唯一一个闭回路。
16.在指派问题的效率表的某行乘以一个大于零的数最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第五章运输与指派问题1.下列变量组是一个闭回路的有A{x21,xll,xl2,x32,x33,x23} B{xll,xl2,x23,x34,x41,xl3} C {x21,xl3,x34,x41,xl2} D{xl2,x32,x33,x23,x21,xll} D{xl2,x22,x32,x33,x23,x21}2.具有M个产地N个销地的平衡运输问题模型具有特征A有MN个变量M+N个约束B 有M+N个变量MN个约束C有MN个变量M+N-1个约束D有M+N-1个基变量MN-M-N+1个非基变量E系数矩阵的秩等于M+N-13.下列说法正确的有A运输问题的运价表第r行的每个cij同时加上一个非0常数k, 其最优调运方案不变。
北邮运筹学ch2-4灵敏度分析
所以
c j j
即cj的增量 c j 不超过cj的检验数的相反数时，最优解不 变，否则最优解就要改变。
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§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2013-9-13 Page 4 of 34
二、ci是基变量xi的系数 因ci∈CB ，所以每个检验数λj中含有c i,当c i变化为c i＋ ' 变化，这时令 j ' c j C B B 1 Pj
bi
当 令
ir 0时有br
ir
bi 1 max ir 0 i ir bi 2 min 北京邮电大学 运筹学 ir 0 i ir
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Δc3无上界，即有Δc3≥－2，c3的变化范围是。
c3 ' 1或c3 1,
北京邮电大学 运筹学
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2013-9-13 Page 9 of 34
对c3的变化范围，也可直接从表2－6推出，将c3=3写成
Ch2 Dual Problem
x1
x3
1
0 0
1
1 －3
0
1 0
0
0 0
1
0 －1
－1
1 －2
5
15
最优解X=（5，0，15） ; 最优值Z=50。
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§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2010-2011学年北京交通大学运筹学期末考试试题
北京交通大学2010-2011学年第一学期《运筹学基础》期末考试试卷（A）考试方式：闭卷任课教师：李岷珊学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共六大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、1、找出下列变量组中的闭回路并排成标准次序：A. X12X23X34X41B.X12X53X46X52X16X43C.X12X24X22X14D. X12X14X24X32X34X222、已知线性规划问题MAX Z = X1+2X2+3X3+4X4X1+2X2+2X3+3X4≤20 2X1+X2+3X3+2X4≤20 X i≥0 求其对偶问题3、已知线性规划问题MAX Z =CX, 约束条件AX=b, X i≥0。
证明其可行域是凸集；并证明该问题若有不同的最优解，则有无穷多最优解。
4、（1，1，1，0，0，0），（1，0，0，0，1，0），（0，0，1，1，1，0）（0，1，0，1，0，0），（0，0，0，0，0，1），（0，0，0，0，0，1）是无向简单图的关联矩阵。
画出该图，并回答该图是否连通。
5、分别利用优超关系和求鞍点方法求解如下矩阵对策。
其赢得矩阵的三行分别为（2，6，8），（5，4，10），（7，7，9）二、解下列线性规划问题，并写出最优基矩阵B及其逆矩阵；若第二种资源发生变化，在什么范围内变化原最优基不变？MAX Z = 2X1+3X23X1 + 6X2≤36 2X1 ≤12 4X2≤20 X1≥0，X2≥02三、在下图中，除已经标明方向的弧其方向均为从左至右，仅四条上下方向的弧为从下至上。
以上各弧对应数对左边数字即是该弧的容量，求该网络（A是源，F是汇）的最大流。
G 7-3 H第 3 页共5 页四、在上图中，各弧对应数对左边数字是该弧的长度，求（A到F的）最短路。
北邮运筹学ch3-3 表上作业法
810 5 10 C 5 15 2 1 20
15 15
8 510 10 C 15 5 1 20 2
15 15
前一种按最小元素法求得，总运费是Z1=10×8+5×2+15×1=105， 后一种方案考虑到C11与C21之间的差额是8－2=6，如果不先调运x21， 到后来就有可能x11≠0，这样会使总运费增加较大，从而先调运x21， 再是x22，其次是x12这时总运费Z2=10×5+15×2+5×1=85<Z1。 北京邮电大学 运筹学
2013-9-13 Page 7 of 36
【解】 B1 A1 B2 B3 0 1 B4
表3－8 ai 6 7 4 9 20
× 3
×
11
7 × 6 2 6
4 4
3 10 5 ×
4
× 8 × 6 6
A2 7 A3 bj 1 3
3
在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如选x12
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销地 产地
A1 A2 A3 bj vj
B1
B2
B3
×
B4
ai
ui
5 1 6 20 4
8 7 10 10 1
9 5 2 × 13 5 7
12 4 8 25 4
15 25 20 60
3 1 2
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§3.3 表上作业法
Transportation Simplex Method
Ch3 Transportation Problem
第三步：这时必有一列或一行调运完毕，在剩下的运价中再求最 大差额，进行第二次调运，依次进行下去，直到最后全部调运完毕， 就得到一个初始调运方案。 用运费差额法求得的基本可行解更接近最优解，所以也称为近似 方案。
北邮运筹学3-3表上作业法
第二步：求检验数并判断是否得到最优解，常用求检验的方法有 闭回路法和位势法，当非基变量的检验数λij全都非负时得到最优解， 若存在检验数λlk<0，说明还没有达到最优，转第三步。 第三步：调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运量进行调 整得到新的基可行解，转入第二步。
北京邮电大学 运筹学
§3.3 表上作业法
北京邮电大学 运筹学
§3.3 表上作业法
Transportation Simplex Method
Ch3 Transportation Problem
2019/2/7 Page 8 of 36
初始基本可行解可用下列矩阵表示
0 1 6 4 3 6
表3－8中，标有符号
8
4 7
6
3 4
7
45 5 25 8
销 量
60
30
10
100
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§3.3 表上作业法
Transportation Simplex Method
Ch3 Transportation Problem
2019/2/7 Page 5 of 36
【解】
产地 销地
B1 20
B2
B3 10
可发量
810 5 10 C 5 15 2 1 20
15 15
8 510 10 C 15 5 1 20 2
15 15
前一种按最小元素法求得，总运费是 Z1=10×8+5×2+15×1=105 ， 后一种方案考虑到C11与C21之间的差额是8－2=6，如果不先调运x21， 到后来就有可能x11≠0，这样会使总运费增加较大，从而先调运x21， 再是x22，其次是x12这时总运费 Z2=10× 5+15×2+5×1=85<Z1。 北京邮电大学 运筹学
《现代物流运筹学》最新版精品课件第11章
《现代物流运筹学》
1.西北角法 2.最小元素法 3.伏格尔法
表上作业法步骤
闭回路法
初始方 最优性 方案调
案
检验
整
1.闭回路法 2.位势法
对初始基可行解的最优性检验有闭合回路法和位势法两种基本方法。闭 合回路法具体、直接，并为方案调整指明了方向；而位势法具有批处理 的功能，提高了计算效率。
+1
-1
-1
+1
3. 得到调整后的调运方案：
B1
B2
B3
B4
A1
5
2
A2
3
1
A3
6
3
4.计算新方案的检验数，重复上述步骤，直至所有检验数都 ≥0， 即得到最优方案。
最优调运方案
B1 B2 B3 B4
A1
52
A2 3
1
A3
6
3
相应的最小总运费为：
34
Z
cij xi5
θ=min{该闭回路中偶数次顶点调运量xij}
ij
若有多个检验数小于零，则取其中最小的负数
继续上例，因σ24= -1 ，画出以x24为起始变量的闭回路 计算调整量： θ =Min（3，1）=1
2. 按照下面的方法调整调运量：
闭回路上，偶数次顶点的调运量减去θ ，奇数次顶点（包 括起始顶点）的调运量加上θ ；闭回路之外的变量调运量不变。
所谓闭合回路是在已给出的调运方案的运输表上从一个代表非基变量的 空格出发，沿水平或垂直方向前进，只有遇到代表基变量的填入数字的 格才能向左或右转90度（当然也可以不改变方向）继续前进，这样继续 下去，直至回到出发的那个空格，由此形成的封闭折线叫做闭合回路。 一个空格存在唯一的闭回路。
北邮运筹学ch3-4 运输问题的变体
Variants of Transportation Problems
应用
【例12】（教材P93例3）
季度 1 2 3 需求量（台） 生产能力（台） 单位成本（万元） 10 15 25 25 35 30 10．8 11．1 11．0
北京邮电大学 运筹学
§3.4 运输问题的变体
Ch3 Transportation Problem
2013-9-13 Page 2 of 22
Variants of Transportation Problems
第一种方法：将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运 价表为C=（Cij）m×n，用一个较大的数M（M≥max{Cij}）去减每一 个Cij得到矩阵C/=（C′ij）m×n ，其中C/ij=M－Cij≥0,将C/作为极小化问 题的运价表，用表上用业法求出最优解，目标函数值为
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Variants of Transportation Problems
1 B1
B12
1 B2
2 B2
B3 35
B4 25
ai 60 40
A1 A2 A3 A4 A5 bj 20 0 20 30 10 40 50 20 20 40 10
20
30 50 30
9 X 10 8 4 0
λ11=8,λ12=4,λ21=2,λ23=2 全 部 非 负 , 得 到 最 优 运 输 方 案 X, 最 大 利 润 Z=8×9+10×10+6×8+5×4=240
第二种方法:所有非基变量的检验数λij≤0时最优.求初始运输方案可 采用最大元素法. 如上例,用最大元素得到 的初始运输方案: 2 5 8 9 9 C 9 10 7 10 X 10 6 5 4 12 8 4 0 8 14 9 求检验数:λ11=－8,λ12=－4,λ21=－2,λ23=－2,全部非正,得到最优解运输 方案,结果与第一种方法相同. 北京邮电大学 运筹学
运筹学_华侨大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
运筹学_华侨大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.运筹学的发展趋势是追求数学模型的精巧。
参考答案:错误2.对于总运输费用最小的运输问题，若已经得到最优方案，则其所有空格的检验数都（）参考答案:非负3.下列变量组是一个闭回路（）参考答案:{x12,x32,x33,x23,x21,x11}4.若线性规划的原问题和其对偶问题都具有可行解，则该线性规划问题一定具有最优解。
参考答案:正确5.若线性规划问题的原问题存在可行解，则对偶问题也一定存在可行解.参考答案:错误6.某个常数bi波动时，最优表中引起变化的有（）参考答案:基变量的取值7.当基变量xj的系数cj波动时，最优表中引起变化的有（）参考答案:非基变量的检验数8.单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。
参考答案:正确9.X是线性规划的可行解，则错误的结论是（）。
参考答案:X是基本可行解10.不是运筹学的主要来源（）参考答案:政治11.运筹学是一门数学课程。
参考答案:错误12.运筹学作为科学名字出现在（）参考答案:20世纪30年代末13.下列哪些不是运筹学的研究范围（）参考答案:系统设计14.已知y*i为线性规划的对偶问题的最优解,如果y*i=0,说明在最优生产计划中第i种资源一定有剩余。
参考答案:错误15.运筹学模型（）参考答案:可以是图象的，也可以是符号的，能够预测某些决定性因素与效果16.关于目标规划下面说法不正确的是：（）参考答案:目标函数可以是最大化或最小化问题17.在目标规划中，求解的基本原则是首先满足高级别的目标，但当高级别目标不能满足时（）。
参考答案:其后的某些低级别目标有可能被满足18.目标规划没有系统约束时，不一定存在满意解。
参考答案:错误19.连通图一定有支撑树。
参考答案:正确20.Dijkstra算法要求边的长度非负。
参考答案:正确21.目标规划只能解得满意解，不存在最优解。
运筹学第06章北邮
邻接矩阵为：
v1 0 v2 1 v 3 0 B v 4 1 v 5 1 v6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
用Dijkstra算法求下图从v1到v6的最短路。
v2 3 v1 5 2 2 4 v4 4 v6 2
1 v3
2 v5
解 （1）首先给v1以P标号，给其余所有点T标号。
P(v1 ) 0
T (vi ) (i 2 , 3,, 6)
（2） T (v2 ) min[T (v2 ) , P(v1 ) l12 ] min[ , 0 3] 3
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2 e1 v1 e2 v2 e1 v1 e2 v3 e3 e5 e6 e4 e7 v4 v3 v2 e4 e3
e4
e7
v4 e 8 e6 v5
e5
e8
v5
v1 e2 v3
v4 e6
e8
v5
（一）破圈法
（二）避圈法 在图中任取一条边e1，找一条与e1不构成圈的边e2， 再找一条与{e1，e2}不构成圈的边e3。一般设已有{e1， e2，…，ek}，找一条与{e1，e2，…，ek}中任何一些边 不构成圈的边ek+1，重复这个过程，直到不能进行为 止。
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图与网络的基本知识 树及最小树问题 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
ch3-2基变量与闭回路(精)
Pi1 j1 Pi1 j2 Pi2 j2 －pis j1 0
因而C中的列向量线性相关，所以B中列向量线性相关。
Ch3 Transportation Problem §3.2 基变量与闭回路 Basis Variable and Closed Path 2018年9月14日星期五 Page 8 of 11
表3－4 B1 B2 x12 B3
与另一顶点连接，表3－3中的变 量x 32及x33不是回闭路的顶点，只 是连线的交点。
表3－4中闭回路是
A1
A2 A3
x11
A4 x x43 例如变量组 41 A x21 , x25 , x35 , x31 , x11 , x12 ; A不能组成一条闭回路，但A中包含有闭回路 x21 , x25 , x35 , x31;
中任意m+n阶子式等于零，取第一行到m+n－1行与
x1n，x2 n， ，xmn , x11 , x12 ,, x1,n1
对应的列（共m+n-1列）组成的m+n－1阶子式
Ch3 Transportation Problem §3.2 基变量与闭回路 Basis Variable and Closed Path 2018年9月14日星期五 Page 4 of 11
1 1
1
1
1
1 0 1 1 1
故r(A)=m+n－1所以运输问题有m+n－1个基变量。 为了在mn 个变量中找出 m+n －1个变量作为一组基变量， 就是要在 A 中找出 m+n-1 个线性无关的列向量，下面引用 闭回路的概念寻找这些基变量。
运筹学-北邮全
max f ( x ) 40 x1 45 x2 24 x3 2 x1 3 x2 x3 100 s.t. 3 x1 3 x2 2 x3 120 x1 , x2 , x3 0
x1 CB XB b 40 x4 100 0 2 x5 120 0 3 OBJ = 0 zj 0 cj-zj 40 x2 45 3 3 0 45 x3 24 1 2 0 24 x4 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 0
19
2 x1 x2 x3 10 8 E G x1 A B 3 x2 x4 8 7 s.t. C x2 x5 7 6 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 4 2 最优解 : x1 2, x2 6, 3
9 2 max 1 O 1 2 3 4
10
x2
F E A B G C
9 8 7 6 5 4 3
2 )=1 f(x )=0 f(x
2 3
2 1
1
O
1
2
3
4
D 5 6
7
H 8 11
x1
线性规划问题的几个特点：
• • • • 线性规划问题的可性解的集合是凸集 线性规划问题的基础可行解一般都对应于凸集的极点 凸集的极点的个数是有限的 最优解只可能在凸集的极点上，而不可能发生在凸集 的内部
12
1.2 线性规划问题的单纯型解法
1.2.1 线性规划问题的标准形式 为了使线性规划问题的解法标准，就要把一般形式 化为标准形式
max(min) f ( x ) c j x j
j 1
n
s.t .
n i 1,2,, m aij x j ( , )bi , j 1 x j 0( 0,不限 ), j 1,2,, n
ch2第二节-表上作业法
C23= 2
-1
25
C24=8 [x24]+1
这个过程就是寻找一个以非基变量 x24 为起 始顶点的闭回路—— {x24 ，x14 ，x13 ，x23 }， 这个闭回路的其他顶点均为基变量(对应着填上数 字的格)。容易计算出上述调整使总的运输费用发 生的变化为 c24-c14+c13-c23= 8 – 10 + 3 – 2 ＝ -1 ，即总的运费减少 1 个单位，这就说明原 始方案不是最优方案，可以进行调整以得到更好 的方案。
17
Vogel 法的步骤：
（1）计算每行和每列的最小单位运价和次小单位运价（相 同的元素重复算）之间的差值 ，并称之为行罚数和列罚数。 将算出的行罚数填入运输表右侧行罚数栏左边第一列相应格 子中，列罚数填入运输表下边列罚数栏的第一行的相应格子 中。 (2) 从所有罚数中选出最大者，选择他所在行或列中的最 小元素格填数，满足最大的需要量。如出现几个相同的最 大差额，可任取一行或一列。若某行（或某列）的产量 （销量）已用尽，则把这一行（列）划去。
5
定理3.1 变量组 xab , xcd , xef ,…, xst 所对应的 系数列向量 pab , pcd , pef ,…, pst 线性无关的充分 必要条件是这个变量组中不包含闭回路。
推论 产销平衡运输问题的 m+n -1 个变量构 成基变量的充分必要条件是它不含闭回路。 这个推论给出了运输问题基本解的重要性质， 也为寻求基本可行解提供了依据。
表3-5中用虚线画出以非基变量 x22 为起始顶点的闭回路.
26
表3-5 以非基变量 x22 为起始顶点的闭回路 销地 产地 A1 A2 A3 销量
大学运筹学课程知识点总结
1.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=83105120106max 212121x x x x x x z2.将下述线性规划问题化成标准形式。
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束4,03,2,12321422245243min 4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z解：令z z -='，''4'44x x x -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-+-+-=0,,,,,,232142222455243'max 65''4'43216''4'43215''4'4321''4'4321''4'4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z3.分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中的可行域的哪个顶点。
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,825943510max 21212121x x x x x x x x z解：①图解法：②单纯形法：将原问题标准化：⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=+++=0,,,825943510max 432142132121x x x x x x x x x x x x z C j10 5 0 0 θ 对应图解法中的点C B B b x 1 x 2 x 3 x 4 0 x 3 9 3 4 1 0 3 O 点 0x 48 [5] 2 0 1 8/5 σj 0 10 5 0 0 0 x 3 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 3/2 C 点 10x 1 8/5 1 2/5 0 1/5 4 σj -16 0 1 0 -2 5x 2 3/215/14-3/14B 点10x 1 1 1 0 -1/7 2/7 σj35/2-5/14-25/14最优解为（1,3/2,0,0），最优值Z=35/2。
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x11, x21, x22 , x32 , x33, x34
有6个变量且不含有任何闭回路，故可以构成此问题的一组基变量。
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§3.2 基变量与闭回路 Ch3 Transportation Problem
Basis Variable and Closed Path
i 1
j 1, , n
xij 0,
i 1, , m; j 1, , n
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§3.2 基变量与闭回路 Ch3 Transportation Problem
Basis Variable and Closed Path
2020/5/23
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【定理1】设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变量
表3－3
表3－3中闭回路的变量集
B1 B2 B3 B4 B5
合是{x11,x12,x42, x 43, x 23, x 25, x 35, x 31}共有8个顶点， 这
A1 x11 x12
8个顶点间用水平或垂直线 A2 段连接起来，组成一条封
x23
x25
闭的回路。
A3 x31
x35
A4
x42
x43
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【定理3】m+n－1个变量组构成基变量的充要条件是它不包含任何
闭回路。
定理3告诉了一个求基变量的简单方法，同时也可以判断一组变量 是否可以作为某个运输问题的基变量。这种方法是直接在运价表中 进行的，不需要在系数矩阵A中去寻找，从而给运输问题求初始基 可行解带来极大的方便。
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§3.2 基变量与闭回路 Ch3 Transportation Problem
C x21, x23, x12 , x11, x32 , x33
C是一条闭回路，若把C重新写成 C x21, x23, x33, x32 , x12 , x11
就不难看出C仍是一条闭回路。
【定理2】 若变量组B 包含有闭回路 C xi1 j1 , xi1 j2 , , xis j1 ，则B中
§3.2 基变量与闭回路 Ch3 Transportation Problem
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设平衡运输问题的数学模型为：
mn
min z
cij xij
i1 i1
n
xij ai
i 1, , m
j 1
m
xij b j
为了在mn个变量中找出m+n－1个变量作为一组基变量， 就是要在A中找出m+n-1个线性无关的列向量，下面引用 闭回路的概念寻找这些基北京变邮电量大学。运筹学
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数为m+n-1。
m
m
【证】因为产销平衡，即 ai bi ，将前m个约束方
程两边相加得
i 1
j 1
mn
m
xij ai
i1 j1
i 1
再将后n个约束相加得
nm
n
xij bj
j1 i1
j 1
显然前m个约束方程之和等于后n个约束方程之和，m+n个 约束方程是相关的，系数矩阵
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§3.2 基变量与闭回路 Ch3 Transportation Problem
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一条回路中的顶点数一定是
表3－4
偶数，回路遇到顶点必须转90度 与另一顶点连接，表3－3中的变
B1
B2
B3
量x 32及x33不是回闭路的顶点，只
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由定理2可知，当一个变量组中不包含有闭回路，则这些变量对应 的系数向量线性无关。
求运输问题的一组基变量，就是要找到m+n－1个变量，使得它们 对应的系数列向量线性无关，由定理2，找这样的一组变量是很容 易的，只要m+n－1个变量中不包含闭回路，就可得到一组基变量。 因而有：
A2
C21
C22
C23
C24
a2
x31
x32
x2
x34
A3
C31
C32
C33
C34
a3
bj
b1
b北2京邮电大学b3运筹学 b4
§3.2 基变量与闭回路 Ch3 Transportation Problem
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称集合 xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 , , x , x is js is j1 (i1, i2 , , is；j1, j2 , , js互不相同)
为一个闭回路 ，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量的连 线为闭回路的边。在表3－3及表3－4中的变量组构成两个闭回路。
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x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn 1 1 1
1 1 1
A
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
中任意m+n阶子式等于零，取第一行到m+n－1行与
x1n，x2n， ，xmn , x11, x12 , , x1,n1
A1 x11
x12
是连线的交点。
A2
表3－4中闭回路是
x11, x41, x43, x33, x32 , x12
A3
x32
x33
例如变量组
A4 x41
x43
A x21, x25, x35, x31, x11, x12 ;
A不能组成一条闭回路，但A中包含有闭回路 x21, x25 , x35 , x31 ;
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本节介绍了具有m个产地n个销地的平衡运输问题时： 1.具有m+n－1个基变量 2. 闭回路的概念 3.怎样判断m+n－1个变量是否构成一组基变量
作业：P98 T3.1
表上作业法 Exit
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的变量对应的例向量线性相关。
【证】由线性代数知，向量组中部分向量组线性相关则该向量组线 性相关，显然，将C中列向量分别乘以正负号线性组合后等于零， 即
Pi1 j1 Pi1 j2 Pi2 j2 －pis j1 0
因而C中的列向量线性相关，所以B中列向量线性相关。
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§3.2 基变量与闭回路 Ch3 Transportation Problem
对应的列（共m+n-1列）北组京邮成电大的学 运m筹+学 n－1阶子式
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故r(A)=m+n－1所以运输问题有m+n－1个基变量。
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例如，m=3,n=4，在运价表Cij的格子的右上方填上相应的xij，如表35所示。
表3－5
Bj Ai
B1
B2
B3
B4
ai
A1
x11
x12
x13
x14 a1
C11
C12
C13
C14
x21
x22
x23
x24
B x33, x32 , x12 , x11, x21 ;
B的变量数是奇数，显然不是北京闭邮回电大路学 ，运筹也学 不含有闭回路；
§3.2 基变量与闭回路 Ch3 Transportation Problem
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这个运输问题的基变量数目是3+4－1=6。变量组中
x11, x31, x32 , x24 , x13, x12 , x22
有7个变量，显然不能构成一组基变量，又如
x21, x22 , x32 , x13, x24 , x34 ,
中有6个变量，但包含有一条闭回路
x22 , x32 , x34 , x24