北邮运筹学ch32基变量与闭回路.33

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称集合 xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 , , x , x is js is j1 (i1, i2 , , is；j1, j2 , , js互不相同)
为一个闭回路 ，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量的连 线为闭回路的边。在表3－3及表3－4中的变量组构成两个闭回路。
故不能构成一组基变量。变量组
x11, x21, x22 , x32 , x33, x34
有6个变量且不含有任何闭回路，故可以构成此问题的一组基变量。
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§3.2 基变量与闭回路 Ch3 Transportation Problem
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B x33, x32 , x12 , x11, x21 ;
B的变量数是奇数，显然不是北京闭邮回电大路学 ，运筹也学 不含有闭回路；
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A2
C21
C22
C23
C24
a2
x31
x32
x2
x34
A3
C31
C32
C33
C34
a3
bj
b1
b北2京邮电大学b3运筹学 b4
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的变量对应的例向量线性相关。
【证】由线性代数知，向量组中部分向量组线性相关则该向量组线 性相关，显然，将C中列向量分别乘以正负号线性组合后等于零， 即
Pi1 j1 Pi1 j2 Pi2 j2 －pis j1 0
因而C中的列向量线性相关，所以B中列向量线性相关。
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x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn 1 1 1
1 1 1
A
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
中任意m+n阶子式等于零，取第一行到m+n－1行与
x1n，x2n， ，xmn , x11, x12 , , x1,n1
A1 x11
x12
是连线的交点。
A2
表3－4中闭回路是
x11, x41, x43, x33, x32 , x12
A3
x32
x33
例如变量组
A4 x41
x43
A x21, x25, x35, x31, x11, x12 ;
A不能组成一条闭回路，但A中包含有闭回路 x21, x25 , x35 , x31 ;
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本节介绍了具有m个产地n个销地的平衡运输问题时： 1.具有m+n－1个基变量 2. 闭回路的概念 3.怎样判断m+n－1个变量是否构成一组基变量
作业：P98 T3.1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
表上作业法 Exit
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例如，m=3,n=4，在运价表Cij的格子的右上方填上相应的xij，如表35所示。
表3－5
Bj Ai
B1
B2
B3
B4
ai
A1
x11
x12
x13
x14 a1
C11
C12
C13
C14
x21
x22
x23
x24
对应的列（共m+n-1列）北组京邮成电大的学 运m筹+学 n－1阶子式
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1
1 1 1
1
1
0
1
1
1
故r(A)=m+n－1所以运输问题有m+n－1个基变量。
为了在mn个变量中找出m+n－1个变量作为一组基变量， 就是要在A中找出m+n-1个线性无关的列向量，下面引用 闭回路的概念寻找这些基北京变邮电量大学。运筹学
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i 1
j 1, , n
xij 0,
i 1, , m; j 1, , n
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【定理1】设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变量
这个运输问题的基变量数目是3+4－1=6。变量组中
x11, x31, x32 , x24 , x13, x12 , x22
有7个变量，显然不能构成一组基变量，又如
x21, x22 , x32 , x13, x24 , x34 ,
中有6个变量，但包含有一条闭回路
x22 , x32 , x34 , x24
表3－3
表3－3中闭回路的变量集
B1 B2 B3 B4 B5
合是{x11,x12,x42, x 43, x 23, x 25, x 35, x 31}共有8个顶点， 这
A1 x11 x12
8个顶点间用水平或垂直线 A2 段连接起来，组成一条封
x23
x25
闭的回路。
A3 x31
x35
A4
x42
x43
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设平衡运输问题的数学模型为：
mn
min z
cij xij
i1 i1
n
xij ai
i 1, , m
j 1
m
xij b j
数为m+n-1。
m
m
【证】因为产销平衡，即 ai bi ，将前m个约束方
程两边相加得
i 1
j 1
mn
m
xij ai
i1 j1
i 1
再将后n个约束相加得
nm
n
xij bj
j1 i1
j 1
显然前m个约束方程之和等于后n个约束方程之和，m+n个 约束方程是相关的，系数矩阵
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一条回路中的顶点数一定是
表3－4
偶数，回路遇到顶点必须转90度 与另一顶点连接，表3－3中的变
B1
B2
B3
量x 32及x33不是回闭路的顶点，只
【定理3】m+n－1个变量组构成基变量的充要条件是它不包含任何
闭回路。
定理3告诉了一个求基变量的简单方法，同时也可以判断一组变量 是否可以作为某个运输问题的基变量。这种方法是直接在运价表中 进行的，不需要在系数矩阵A中去寻找，从而给运输问题求初始基 可行解带来极大的方便。
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§3.2 基变量与闭回路 Ch3 Transportation Problem
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由定理2可知，当一个变量组中不包含有闭回路，则这些变量对应 的系数向量线性无关。
求运输问题的一组基变量，就是要找到m+n－1个变量，使得它们 对应的系数列向量线性无关，由定理2，找这样的一组变量是很容 易的，只要m+n－1个变量中不包含闭回路，就可得到一组基变量。 因而有：
C x21, x23, x12 , x11, x32 , x33
C是一条闭回路，若把C重新写成 C x21, x23, x33, x32 , x12 , x11
就不难看出C仍是一条闭回路。
【定理2】 若变量组B 包含有闭回路 C xi1 j1 , xi1 j2 , , xis j1 ，则B中