离散时间信号的基本运算
数字信号处理复习 (3)
式。
4、正弦型序列
x(n) sin(n )
要求：会判断正弦型序列的周期性
四、正弦序列的周期性
x(n) sin(n ) 的周期有三种情况：
2 1 、 N 是整数，则x(n)是周期序列，周期为N；
2 P 2、 是有理数，（其中P、Q为互质整数)， Q
则x(n)是周期序列，周期为P；
m
x ( m) h ( n m)
上式中，若序列x(n)和h(n)的长度分别是M和L,
则y(n)的长度为L+M-1。
三、几种常用序列 1、单位抽样序列δ(n) （1）定义式
1 (n 0) ( n) 0 (n 0)
1 (n m) ( n m) 0 (n m)
n
1.2 线性、移不变（LSI）系统 一、线性系统： 若y1(n)=T[x1(n)]、y2(n)=T[x2(n)]， 则a1 y1(n)+ a2y2(n)=T[a1x1(n)+ a2x2(n)]
例：判断下列系统是否线性系统。
y(n)=x(n)+1 y(n)=x(n+5) y(n)=x(3n)
二、移不变系统：
当n<0时，h(n)=0，则系统是因果系统。
例：下列单位抽样响应所表示的系统是否因果系统? A.h(n)=δ(n) C.h(n)= R10(n) B.h(n)=u(n) D.h(n)=e-20nu(n)
五、稳定系统 1、稳定系统的定义： 稳定（BIBO）系统是指当输入有界时，输出也有界的系统。 例：判断下列系统是否稳定系统。 y(n)=x(n-2)
二、掌握用留数法求Z反变换的方法
例：已知
X( z) 1 (1 2 z 1 )(1 1.2 z 1 )
离散信号 知识点总结
离散信号知识点总结一、离散信号的定义离散信号是指在离散时间点上的取样值的集合。
在数学上，它可以用一个序列来表示，即{..., x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2], ...}。
其中，x[n]表示在时刻n处的取样值，n为整数。
离散信号与连续信号相对，连续信号是在连续的时间上取值的，而离散信号是在离散的时间上取值的。
二、离散信号的性质1. 有界性：离散信号通常是有界的，即存在一个有限的范围，超出这个范围时信号值为零。
2. 周期性：某些离散信号是周期的，即满足x[n+N]=x[n]的性质，其中N为周期。
3. 非周期性：另一些离散信号是非周期的，即没有周期性结构。
4. 平稳性：离散信号的平稳性是指信号的统计特性在时间平移后保持不变，即x[n]=x[n-k]。
若满足这个条件，则称该信号是平稳的。
5. 因果性：对于实际系统的输入信号来说，它通常是因果的，即在某一时刻的取值只取决于之前时刻的取值。
三、离散信号的表示离散信号可以通过多种方式来表示，包括序列表示法、块状表示法、方块表示法等。
其中，序列表示法是最常见的一种表示方法。
在序列表示法中，离散信号可以通过一列有序的数值来描述，例如{x[0], x[1], x[2], ...}。
这种表示方法简单直观，便于分析和处理。
四、离散信号的处理方法离散信号的处理方法包括离散信号的运算、变换和滤波等。
其中，离散信号的运算主要是指对离散信号进行加法、乘法、卷积等运算。
这些运算可以通过离散信号的表示法来实现。
另外，离散信号的变换主要是指离散信号的傅里叶变换、离散余弦变换等。
这些变换可以用于信号的频域分析和压缩。
最后，离散信号的滤波是指通过滤波器来对信号进行频率选择和抑制。
常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
总之，离散信号是一种在离散时间点上取样的信号，在信号处理中具有重要的作用。
通过对离散信号的定义、性质、表示和处理方法的总结，可以更好地理解离散信号的特点和应用。
离散时间信号的基本运算
信号绝对值的积分
总结词
信号绝对值的积分是指将离散时间信号中每个值的绝对值与其对应的权系数相乘，并求和得到的结果 。
详细描述
信号绝对值的积分在处理一些具有正负性质的问题时非常有用，例如计算信号的能量或幅度。对于离散时 间信号 $x(n)$，其绝对值的积分可以表示为 $sum_{n=0}^{N-1} |x(n)| cdot Delta t$。
符号相加主要用于处理具有正负符号 的信号，使得正负符号能够相互抵消， 从而得到一个新的符号较少的信号。
02
离散时间信号的乘法
离散时间信号的乘法 信号相乘
信号相乘
离散时间信号的乘法是指将两个信号对应时刻的数值相乘。当两个信号相乘时，其输出信号的幅度将等于两个输入信 号幅度相乘的结果。
信号的绝对值相乘
04
离散时间信号的微分
信号的微分
信号的微分是指将信号中的每个值都 减去前一个值，得到的结果就是微分 后的信号。在离散时间信号中，微分 运算可以用于分析信号的变化趋势。
例如，如果一个离散时间信号为 [1, 3, 5, 7, 9]，其微分为 [0, 2, 2, 2, 2]，表 示信号在每个时刻的变化量。
信号符号的积分
总结词
信号符号的积分是指将离散时间信号中 每个值的符号与其对应的权系数相乘， 并求和得到的结果。
VS
详细描述
信号符号的积分可以用于处理一些具有正 负性质的问题，例如计算信号的极性或方 向。对于离散时间信号 $x(n)$，其符号的 积分可以表示为 $sum_{n=0}^{N-1} text{sgn}(x(n)) cdot Delta t$，其中 $text{sgn}(x(n))$ 表示 $x(n)$ 的符号函数。
03
信号与系统-离散信号与系统
(1)
y (k + 3) − 2 2 y (k + 2) + y (k + 1) + 0 y (k ) = f (k ) 1 y (k + 2) − y (k + 1) + y (k ) = f (k ) 4
(2)
解：用转移算子法求。
1 (1) H ( E ) = 3 2 E − 2 2E + E 1 = E ( E − 2 − 1)( E − 2 + 1) 1 1 1 2( 2 + 1) 2( 2 − 1) = + − E E − 2 −1 E − 2 + 1
f ( n )= ∑ i=-∞ f(i) ∗ δ (k-i)=f(n) ∗ δ (n)
∞
四 离散信号的卷积和
l 定义
f1 (n) ∗ f2 (n)=∑i=-∞ f1 (i) ∗ f2 (k-i)=∑i=-∞ f2 (i) ∗ f1 (k-i)
∞ ∞
l 上下限范围
– 当f1(n), f2(n)均为因果序列
yh (n) =
l
l
∑
K
N i =1
A iα
n i
i −1 n yh (n) = ∑i =+1 An α1 + ∑i=k +1 Aiαin i N
l l l
将所求得的强迫解和自由解相加，即可得到全响应 将给定的全响应的初始值代入到方程中，已确定待定系数 将所求得的待定系数带入到全响应方程中
例：求下列差分方程所 描述的系统的单位响应 h(k)
1 故h(k) =δ (k −1) +[ ( 2 +1)k−1 − 2( 2 +1) 1 k−1 ( 2 −1) ]U(k −1) 2( 2 −1) 1 k−2 1 k−2 =δ (k −1) +[ ( 2 +1) − ( 2 −1) ]U(k −2) −δ (k −1) 2 2 1 k−2 k−2 = [( 2 +1) −( 2 −1) ]U(k −2) 2
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
连续及离散时间信号基本运算的仿真设计 设计方案
连续及离散时间信号基本运算的仿真设计设计方案1.引言1.1 概述本篇文章主要讨论连续时间信号和离散时间信号的基本运算，并提出了相应的仿真设计方案。
在现代通信和信号处理领域中，信号的基本运算是非常重要且常见的操作，它们可以用于信号的合并、分解、调制和滤波等处理过程中。
连续时间信号是指在时间上连续变化的信号，其数学表示可以用连续函数描述。
本文将重点讨论连续时间信号的加法运算和乘法运算。
加法运算可以实现信号的叠加，而乘法运算可以实现信号的调制。
通过仿真设计，我们可以直观地观察信号的运算结果，并深入理解运算过程中的原理和特点。
离散时间信号则是在时间上以离散的方式变化的信号，其数学表示可以用序列表示。
本文同样关注离散时间信号的加法运算和乘法运算。
不同于连续时间信号，离散时间信号的运算过程需要考虑采样频率和采样定理等因素。
因此，通过仿真设计，我们可以探索离散时间信号运算的特点和限制，并对其进行更深入的研究和理解。
在本文的后续部分，我们将提出相应的仿真设计方案，通过计算机仿真的方法，将连续时间信号和离散时间信号的基本运算进行模拟，并观察其运算结果和特性。
通过这些仿真实验，我们可以更好地理解信号运算的原理和过程，并在实际应用中灵活运用。
总之，本文着重研究了连续时间信号和离散时间信号的基本运算，并通过仿真设计方案展示了信号运算的过程和特点。
通过深入研究和理解信号运算，我们可以更好地应用于信号处理和通信系统中，提高系统的性能和效果。
文章结构：本篇文章主要分为引言、正文和结论三个部分，在正文中又细分为连续时间信号的基本运算和离散时间信号的基本运算两个小节。
引言部分主要包括以下内容：1.1 概述：对于信号处理和通信领域来说，了解和掌握信号的基本运算是非常重要的。
本文围绕连续时间信号和离散时间信号的基本运算展开，旨在通过仿真设计的方式辅助读者更好地理解和应用基本运算。
1.2 文章结构：本文总共包括引言部分、正文部分和结论部分。
离散时间信号的表示及运算
第2章离散时间信号的表示及运算2.1实验目的学会运用MATLAB表示的常用离散时间信号；学会运用MATLAB实现离散时间信号的基本运算。
2.2实验原理及实例分析221 离散时间信号在 MATLAB 中的表示离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。
离散序列通常用x(n)来表示，自变量必须是整数。
离散时间信号的波形绘制在MATLAB中一般用Stem函数。
stem函数的基本用法和Plot函数一样，它绘制的波形图的每个样本点上有一个小圆圈，默认是空心的。
如果要实心，需使用参数“fill、"‘filled ,或者参数：”。
由于MATLAB中矩阵元素的个数有限，所以MATLAB 只能表示一定时间范围内有限长度的序列；而对于无限序列，也只能在一定时间范围内表示出来。
类似于连续时间信号，离散时间信号也有一些典型的离散时间信号。
1. 单位取样序列单位取样序列J.(n),也称为单位冲激序列，定义为(n =0)(12-1)(n = 0)要注意，单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样，它在n=0处是取确定的值1。
在MATLAB中，冲激序列可以通过编写以下的impDT.m文件来实现，即function y=impDT(n)y=(n==0); %当参数为0时冲激为1,否则为0调用该函数时n必须为整数或整数向量。
【实例2-1】禾U用MATLAB的impDT函数绘出单位冲激序列的波形图。
解：MATLAB源程序为>>n=-3:3;>>x=impDT(n);>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on>>title('单位冲激序列’)>>axis([-3 3 -0.1 1.1])程序运行结果如图12-1所示。
2. 单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)定义为u(n)(n —O) (n 0)(12-2)在MATLAB 中，冲激序列可以通过编写uDT .m 文件来实现，即function y=uDT(n) y=n>=0;%当参数为非负时输出 1调用该函数时n 也同样必须为整数或整数向量。
离散时间信号的表示与运算
实验一 离散时间信号的表示与运算一 实验目的1、熟悉MATLAB 的绘图函数；2、掌握单位取样序列、单位阶跃序列、矩形序列和正余弦序列的产生方法；3、掌握离散时间信号基本运算的MATLAB 实现；4、掌握离散时间信号线性卷积和运算的MATLAB 实现。
二 实验设备1、计算机2、MA TLAB R2007a 仿真软件三 实验原理1）序列相加和相乘设有序列)(1n x 和)(2n x ，它们相加和相乘如下：)()()()()()(2121n x n x n x n x n x n x ⋅=+=注意，序列相加（相乘）是对应序列值之间的相加（相乘），因此参加运算的两个序列必须具有相同的长度，并且保证位置相对应。
如果不相同，在运算前应采用zeros 函数将序列左右补零使其长度相等并且位置相对应。
在MATLAB 中，设序列用x1和x2表示，序列相加的语句为：x=x1+x2；然而要注意，序列相乘不能直接用x=x1*x2,该式表示两个矩阵的相乘，而不是对应项的相乘。
对应项之间相乘的实现形式是点乘“.*”，实现语句为：x=x1.*x2。
2）序列翻转设有序列：)()(n x n y -=，在翻转运算中，序列的每个值以n=0为中心进行翻转，需要注意的是翻转过程中序列的样值向量翻转的同时，位置向量翻转并取反。
MATLAB 中，翻转运算用fliplr 函数实现。
设序列)(n x 用样值向量x 和位置向量nx 表述，翻转后的序列)(n y 用样值向量y 和位置向量ny 描述。
3）序列的移位移位序列)(n x 的移位序列可表示为：)()(0n n x n y -=，其中，00>n 时代表序列右移0n 个单位；00<n 时代表序列左移0n 个单位。
在移位过程中，序列值未发生任何变化，只是位置向量的增减。
MA TLAB 中没有固定函数实现移位运算。
设序列)(n x 用样值向量x 和位置向量nx 描述移位0n 后的序列)(n y 用样值向量y 和位置向量ny 描述。
信号与系统考研笔记
信号与系统考研笔记一、信号与系统的基本概念1.信号的定义和分类：信号可以分为确定性信号和随机信号，周期信号和非周期信号，连续时间信号和离散时间信号等。
2.系统的定义和分类：系统可以分为线性系统和非线性系统，时不变系统和时变系统，连续时间和离散时间系统等。
3.信号的基本运算：包括信号的加法、减法、乘法、除法等基本运算。
4.系统的基本运算：包括系统的串联、并联、反馈等基本运算。
二、傅里叶变换1.傅里叶级数和傅里叶变换的定义：傅里叶级数用于表示周期信号，而傅里叶变换则用于表示非周期信号。
2.傅里叶变换的性质：包括对称性、线性（叠加性）、奇偶虚实性、尺度变换特性、时移特性、频移特性、微分特性、积分特性、卷积特性、相关与自相关特性等。
3.傅里叶变换的应用：包括频域分析、系统响应分析、滤波器设计等。
三、拉普拉斯变换和Z变换1.拉普拉斯变换的定义和性质：拉普拉斯变换是用来分析具有无穷大的时间域信号的一种方法。
2.Z变换的定义和性质：Z变换是用来分析离散时间信号的一种方法。
3.拉普拉斯变换和Z变换的应用：包括系统响应分析、控制系统设计等。
四、线性时不变系统1.LTI系统的定义和性质：LTI系统是指具有线性特性和时不变特性的系统。
2.LTI系统的分析和设计：包括系统的频率响应分析、系统稳定性分析、系统均衡和滤波等。
3.LTI系统的状态空间表示：包括状态空间模型的建立、系统的稳定性和可控性分析等。
五、采样定理和离散傅里叶变换1.采样定理的理解和应用：采样定理规定了采样频率和信号带宽之间的关系，对于连续时间信号的离散化采样具有重要意义。
2.DFT的理解和应用：DFT是离散时间信号的一种基本运算，可以用于信号的分析和处理。
3.快速傅里叶变换（FFT）的理解和应用：FFT是一种高效计算DFT的算法，可以大大提高信号处理的速度和效率。
六、信号与系统的应用和实践1.数字信号处理的应用和实践：包括数字滤波器设计、数字波形合成、数字音频处理等。
《数字信号处理》第二章 离散信号和抽样定理
信息。
重要结论
第三节 抽样定理
*带限信号抽样定理:
要想连续信号抽样后能够不失真的还原 出原信号，则抽样频率必须大于或等于两 倍原信号频谱的最高频率(2fm≤ fs)，这就是 奈奎斯特抽样定理。
第三节 抽样定理
二、如何从抽样信号恢复出带限信号x(t)
n
其中
1 g (t)
0
t
2
t
2
Ts
第二节 连续信号的离散化
xa (t)
抽样器
（电子开关） P(t)
T
xa (t)
xˆs (t)
fs
1 T
xˆs (t)
第二节 连续信号的离散化
理想抽样：当τ 趋于零的极限情况时，抽样脉冲
方波p(t)变成了冲激函数序列δT(t)，这些冲击函数 的强度准确地为采样瞬间的xa(t)幅值，这样的抽 样称为理想抽样。
余弦与正弦序列示意图如下：
第一节 离散时间信号
5、 用单位脉冲序列表示任意序列
任意序列x(n)都可用单位脉冲序列δ(n)表示成 加权和的形式，即
x(n) x(m) (n m) m
如:
a n x(n)
可表示为 0
10 n 10 其他
10
x(n) am (n m)
样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟 信号通过采样得来的或者是用计算机产生的。
第一节 离散时间信号
离散时间信号的时域表示 1） 表示离散时间信号可采用枚举的方式。例如
{x(n)}={…，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2， …}
信号与系统 第2章(3-5)
X
n = −∞
∑
k
x[n ]
1 k
n = −∞
∑ x[n]
2 1
k
3
单位阶跃序列可 用单位脉冲序列 的求和表示: 的求和表示:
0
k
k
u[ k ] =
n = −∞
∑ δ [n]
2.5 确定信号的时域分解
X
一、信号分解为直流分量与交流分量 二、信号分解为奇分量与偶分量之和 三、信号分解为实部分量与虚部分量 四、连续信号分解为冲激信号的线性组合 五、离散信号分解为脉冲序列的线性组合 六、信号分解为正交信号集
d
u[k ] =
u( t ) =
∫d ∫
t
−∞
δ (τ ) τ
n =−∞
∑ δ [ n] ∑ u [n]
k
k
u( t ) = d r ( t ) t r (t ) =
−∞
u[k ] = r[k + 1] − r[k ]
u(τ ) τ
d
r [ k + 1] =
n = −∞
2.4 离散时间信号的基本运算
一、序列相加与相乘
2. 序列相乘 序列相乘
x1[ k ]
0 1 k
2 1 y[k]=x1[k]× x2[k] 2 1.5
X
将若干序列同序号的数值相乘。 将若干序列同序号的数值相乘。
y[k ] = x1 [k ] × x2 [k ] × … × xn [k ]
x2 [ k ]
0
k
0
k
2.4.2 序列的相加、相乘、差分与求和
x[k] = x D C [k] + x A C [k]
k = N1
2-3 离散时间信号的表达及运算规则
x[k]→x[-k] x[k]→ x[k-N] x[k]→ x[Mk]
y[k ] = ∑n = −∞ x[n]h[k − n]
例：已知x1[k] ∗ x2[k]= y[k]，试求y1[k]= x1[k−n] ∗ x2[k−m]。
结论： y1[k]= y[k−(m+n)]
例：x[k] 非零范围为 N1≤ k ≤ N2 ， h[k] 的非零范围为 N3≤ k≤ N4
x(n) =
m = −∞
∑
∞
x ( m )δ ( n − m )
2-3离散时间信号的表达及运算规则
序列的表示 序列的产生 序列的运算规则及符号表示 常用序列 序列的周期性 序列的线性组合 序列的能量
离散信号(序列 的表示 离散信号 序列)的表示 序列
1.离散时间信号 1.离散时间信号 离散时间信号是在离散的时间上取 在两个取样间隔内数值为零的信号。 值，在两个取样间隔内数值为零的信号。 又称离散时间信号序列 离散时间信号序列。 又称离散时间信号序列。 2.表示： 2.表示 表示：
实指数序列的定义为
n x(n)=a
其中a为不等于零的任意实数。 图2-18是0＜a＜1的一个实指数 序列的图形。
图2-18 实指数序列
(5) 正弦序列
正弦序列的定义为
x(n)=sin（nω0）
其图形如图2-19所示。
图2-19正弦序列 正弦序列
序列的基本运算
• 翻转(time reversal) • • • • 位移(延迟) 抽取(decimation) 内插(interpolation) 卷积
常用序列
(1) 单位取样序列
单位取样序列的定义为
其图形如图2-15所示。
信号系统_离散时间信号的基本运算
翻转(x[k] →x[-k])位移(x[k] →x[k±n])内插与抽取序列相加序列相乘差分与求和x [k -n ]表示将x [k ]右移n 个单位。
x [k +n ]表示将x [k ]左移n 个单位。
[]}[{][2=∇∇=∇k x k x k x []}[{][2k x k x k x ==∆∆∆]}[{][1k x k x n n -∇∇=∇]}[{][1k x k x n n -=∆∆∆]1[][][--=∇k x k x k x ][]1[][k x k x k x -+=∆单位脉冲序列可用单位阶跃序列]1[][][--=k u k u k δ1．信号分解为直流分量与交流分量2．信号分解为奇分量与偶分量之和3．信号分解为实部分量与虚部分量4．连续信号分解为冲激函数的线性组合5．离散序列分解为脉冲序列的线性组合)()()(AC DC t x t x t x +=⎰-=b a t t x a b t x d )(1)(DC ][][][AC DC k x k x k x +=∑=+-=21][11][12DC N N k k x N N k x 连续时间信号离散时间信号直流交流)()()(AC DC t x t x t x +=)()()(o e t x t x t x +=)]()([21)(e t x t x t x -+=)]()([21)(o t x t x t x --=)()(e e t x t x -=)()(o o t x t x --=][][][o e k x k x k x +=]}[][{21][e k x k x k x -+=[][{21][o k x k x k x --= 离散时间信号偶分量奇分量解：-)∆uττδτd )()()(-=⎰∞∞-t x t x物理意义：不同的连续信号都可以分解为冲激信号，不同的信号只是它们的系数不同。
实际应用：当求解信号通过系统产生的响应时，只需求解冲激信号通过该系统产生的响应，然后利用线性时不变系统的特性，进行迭加和延时即可求得信号x (t )产生的响应。
离散信号的运算
8
例5
xn
6 5 4 3 2 1 O 123456 n
x2n 抽取
6
4
2
已知x(n)波形，请画出
x(2n),
x
n 2
波形。
内插
O 123456 n
9
9.序列的能量
E x(n) 2
n
有限间隔 K n K上的序列能量定义为
K
EK
x(n) 2
n K
10
例6
求此信号能量E。
解：
E x(n) 2
n 2 y 2 0 1 2 3
n 3 y 3 0 1 2 3 6
n 4 y 4 0 1 2 3 4 10
n 4 y n 10
7
8.重排（抽取和内插）
抽取(decimation)
x n x Nn
N为正整数
Decimation. Etching by William Hogarth in
内插(Interpolation) Beaver's Roman Military Punishments (1725) 来源：https:///wiki/Decimation_(Roman_army)
x
n
x
n N
，N为正整数
注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。
第一章 信号与系统分析导论
1.8 离散信号的运算
1
主要内容
• 相加 • 相乘 • 乘系数 • 移位 • 倒置 • 差分 • 累加 • 重排（压缩、扩展） • 序列的能量 • 序列的功率
2
1.相加
z(n) x(n) y(n)
例1：
x(n)=
1
,
2,
数字信号处理教案
数字信号处理教案第一章：数字信号处理概述1.1 数字信号处理的概念介绍数字信号处理的定义和特点解释信号的分类和数字信号的优势1.2 数字信号处理的发展历程回顾数字信号处理的发展历程和重要里程碑介绍数字信号处理的重要人物和贡献1.3 数字信号处理的应用领域概述数字信号处理在通信、音频、图像等领域的应用举例说明数字信号处理在实际应用中的重要性第二章：离散时间信号处理基础2.1 离散时间信号的概念介绍离散时间信号的定义和特点解释离散时间信号与连续时间信号的关系2.2 离散时间信号的运算介绍离散时间信号的基本运算包括翻转、平移、求和等给出离散时间信号运算的示例和应用2.3 离散时间系统的特性介绍离散时间系统的概念和特性解释离散时间系统的因果性和稳定性第三章：数字滤波器的基本概念3.1 数字滤波器的定义和作用介绍数字滤波器的定义和其在信号处理中的作用解释数字滤波器与模拟滤波器的区别3.2 数字滤波器的类型介绍不同类型的数字滤波器包括FIR、IIR、IIR 转换滤波器等分析各种类型数字滤波器的特点和应用场景3.3 数字滤波器的设计方法介绍数字滤波器的设计方法包括窗函数法、插值法等给出数字滤波器设计的示例和步骤第四章：离散傅里叶变换（DFT）4.1 离散傅里叶变换的定义和原理介绍离散傅里叶变换的定义和原理解释离散傅里叶变换与连续傅里叶变换的关系4.2 离散傅里叶变换的性质介绍离散傅里叶变换的性质包括周期性、对称性等给出离散傅里叶变换性质的证明和示例4.3 离散傅里叶变换的应用概述离散傅里叶变换在信号处理中的应用包括频谱分析、信号合成等举例说明离散傅里叶变换在实际应用中的重要性第五章：快速傅里叶变换（FFT）5.1 快速傅里叶变换的定义和原理介绍快速傅里叶变换的定义和原理解释快速傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系5.2 快速傅里叶变换的算法介绍快速傅里叶变换的常用算法包括蝶形算法、Cooley-Tukey算法等给出快速傅里叶变换算法的示例和实现步骤5.3 快速傅里叶变换的应用概述快速傅里叶变换在信号处理中的应用包括频谱分析、信号合成等举例说明快速傅里叶变换在实际应用中的重要性第六章：数字信号处理中的采样与恢复6.1 采样定理介绍采样定理的定义和重要性解释采样定理在信号处理中的应用6.2 信号的采样与恢复介绍信号采样与恢复的基本概念解释理想采样器和实际采样器的工作原理6.3 信号的重建与插值介绍信号重建和插值的方法解释插值算法的原理和应用第七章：数字信号处理中的离散余弦变换（DCT）7.1 离散余弦变换的定义和原理介绍离散余弦变换的定义和原理解释离散余弦变换与离散傅里叶变换的关系7.2 离散余弦变换的应用概述离散余弦变换在信号处理中的应用包括图像压缩、信号分析等举例说明离散余弦变换在实际应用中的重要性7.3 离散余弦变换的快速算法介绍离散余弦变换的快速算法包括8x8 DCT算法等给出离散余弦变换快速算法的示例和实现步骤第八章：数字信号处理中的小波变换8.1 小波变换的定义和原理介绍小波变换的定义和原理解释小波变换与离散傅里叶变换的关系8.2 小波变换的应用概述小波变换在信号处理中的应用包括图像去噪、信号分析等举例说明小波变换在实际应用中的重要性8.3 小波变换的快速算法介绍小波变换的快速算法包括Mallat算法等给出小波变换快速算法的示例和实现步骤第九章：数字信号处理中的自适应滤波器9.1 自适应滤波器的定义和原理介绍自适应滤波器的定义和原理解释自适应滤波器在信号处理中的应用9.2 自适应滤波器的设计方法介绍自适应滤波器的设计方法包括最小均方误差法等给出自适应滤波器设计的示例和步骤9.3 自适应滤波器的应用概述自适应滤波器在信号处理中的应用包括噪声抑制、信号分离等举例说明自适应滤波器在实际应用中的重要性第十章：数字信号处理的综合应用10.1 数字信号处理在通信系统中的应用介绍数字信号处理在通信系统中的应用包括调制解调、信道编码等分析数字信号处理在通信系统中的重要性10.2 数字信号处理在音频处理中的应用介绍数字信号处理在音频处理中的应用包括声音合成、音频压缩等分析数字信号处理在音频处理中的重要性10.3 数字信号处理在图像处理中的应用介绍数字信号处理在图像处理中的应用包括图像滤波、图像增强等分析数字信号处理在图像处理中的重要性10.4 数字信号处理在其他领域的应用概述数字信号处理在其他领域的应用包括生物医学信号处理、地震信号处理等分析数字信号处理在其他领域中的重要性重点和难点解析重点环节1：数字信号处理的概念和特点数字信号处理是对模拟信号进行数字化的处理和分析数字信号处理具有可重复性、精确度高、易于存储和传输等特点需要关注数字信号处理与模拟信号处理的区别和优势重点环节2：数字信号处理的发展历程和应用领域数字信号处理经历了从早期研究到现代应用的发展过程数字信号处理在通信、音频、图像等领域有广泛的应用需要关注数字信号处理的重要人物和里程碑事件重点环节3：离散时间信号处理基础离散时间信号是数字信号处理的基础需要关注离散时间信号的定义、特点和运算方法理解离散时间信号与连续时间信号的关系重点环节4：数字滤波器的基本概念和类型数字滤波器是数字信号处理的核心组件需要关注数字滤波器的定义、类型和设计方法理解不同类型数字滤波器的特点和应用场景重点环节5：离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是数字信号处理中的重要工具需要关注离散傅里叶变换的定义、性质和应用理解离散傅里叶变换与连续傅里叶变换的关系重点环节6：快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是离散傅里叶变换的优化算法需要关注快速傅里叶变换的定义、算法和应用理解快速傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系重点环节7：数字信号处理中的采样与恢复采样与恢复是数字信号处理的关键环节需要关注采样定理的重要性、信号的采样与恢复方法理解插值算法的原理和应用重点环节8：数字信号处理中的离散余弦变换（DCT）离散余弦变换是数字信号处理中的另一种重要变换需要关注离散余弦变换的定义、应用和快速算法理解离散余弦变换与离散傅里叶变换的关系重点环节9：数字信号处理中的小波变换小波变换是数字信号处理的另一种重要变换需要关注小波变换的定义、应用和快速算法理解小波变换与离散傅里叶变换的关系重点环节10：数字信号处理中的自适应滤波器自适应滤波器是数字信号处理中的高级应用需要关注自适应滤波器的定义、设计方法和应用领域理解自适应滤波器在信号处理中的重要性本教案涵盖了数字信号处理的基本概念、发展历程、离散时间信号处理、数字滤波器、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换、采样与恢复、离散余弦变换、小波变换、自适应滤波器等多个重点环节。
信号与系统离散信号的卷积公式
信号与系统离散信号的卷积公式
离散信号的卷积公式是信号与系统理论中的重要概念之一。
卷积运算是将两个序列进行混合操作，以得到新的序列。
在信号处理和系统分析中，离散信号的卷积公式可以通过以下方式表示：
设有两个离散信号序列x[n]和h[n]，其中n为整数。
若卷积结果为y[n]，则其数学表达式为：
y[n] = Σ(x[k]·h[n-k])
其中，Σ表示求和符号，k为累加范围。
该公式表示在离散时间下，输出序列y[n]的每个元素由输入序列x[n]和h[n]的乘积累加得出。
信号的卷积可用于系统响应的计算、滤波器设计、图像处理等领域。
它可以帮助我们理解信号在系统中的传递和转换过程。
离散信号的卷积公式是信号与系统理论中的基础，为我们研究和分析离散时间系统提供了有效的数学工具。
需要注意的是，在实际应用中，离散信号的卷积计算可以通过离散傅里叶变换（DFT）等方法进行高效计算。
此外，离散信号的卷积还涉及卷积定理、卷积的性质以及快速卷积算法等相关概念。
通过学习和应用离散信号的卷积公式，我们可以更好地理解和分析离散时间系统的行为和特征。
总之，离散信号的卷积公式是信号与系统领域的重要概念，它描述了输入序列之间通过卷积运算生成输出序列的关系。
通过应用该公式，我们可以更好地理解和分析离散时间系统的特性，并在实际应用中进行信号处理和系统设计。
第二讲 信号的基本运算与波形变换
o
②再平移 f (– t) → f (– t +2)= f [– (t – 2)]
19
【例1. 6】 信号的波形如图所示，求 f t 1, f t 1, f t , f t 1 及 f t 1 的表达式，并画出其波形。
解 由信号 f t 的波形图可得 0, t 0 f t t ,0 t 1 0, t 1
n0 n0 n0
n0 0 n y 2 ( n) f ( n) 1 n0 n a (1 a n ) n0 1 a
13
4. 取模（或取绝对值）运算 连续时间复信号的取模运算
yt f t
离散时间复信号的取模运算
yn f n
t 1 0 0, t 1 0, f t 1 t 1,0 t 1 1 t 1,1 t 0 0, 0, t 1 1 t 0
t 1 0 0, t 1 0, f t 1 t 1,0 t 1 1 t 1,1 t 2 0, 0, t 1 1 t2
' f (t ) (t ) (t 1)
11
a n , 【例1. 5】已知单边衰减指数序列为 f n 0, 试分别求其一阶差分和一次累加。 解：
0 y1 (n) f (n) f (n 1) 1 a n a n 1
n0 , n0
1 n y (n) 2 n 1
n 1 n 1
求x(n)+ y(n)。 解：
n 1 z ( n) x ( n) y ( n) 2 n 1 n 3 2
n 1 n 1 n 1
离散时间信号的表示及运算
第2章 离散时间信号的表示及运算2.1 实验目的● 学会运用MATLAB 表示的常用离散时间信号；● 学会运用MATLAB 实现离散时间信号的基本运算。
2.2 实验原理及实例分析2.2.1 离散时间信号在MATLAB 中的表示离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。
离散序列通常用)(n x 来表示，自变量必须是整数。
离散时间信号的波形绘制在MATLAB 中一般用stem 函数。
stem 函数的基本用法和plot 函数一样，它绘制的波形图的每个样本点上有一个小圆圈，默认是空心的。
如果要实心，需使用参数“fill ”、“filled ”，或者参数“.”。
由于MATLAB 中矩阵元素的个数有限，所以MATLAB 只能表示一定时间范围内有限长度的序列；而对于无限序列，也只能在一定时间范围内表示出来。
类似于连续时间信号，离散时间信号也有一些典型的离散时间信号。
1. 单位取样序列单位取样序列)(n δ，也称为单位冲激序列，定义为)0()0(01)(≠=⎩⎨⎧=n n n δ （12-1）要注意，单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样，它在n =0处是取确定的值1。
在MATLAB 中，冲激序列可以通过编写以下的impDT .m 文件来实现，即function y=impDT(n)y=(n==0); %当参数为0时冲激为1,否则为0调用该函数时n 必须为整数或整数向量。
【实例2-1】 利用MATLAB 的impDT 函数绘出单位冲激序列的波形图。
解：MATLAB 源程序为>>n=-3:3;>>x=impDT(n);>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on>>title('单位冲激序列')>>axis([-3 3 -0.1 1.1])程序运行结果如图12-1所示。
信号与系统公式总结
信号与系统公式总结信号与系统是电子信息类专业中非常重要的一门课程，它是基于数学和工程学原理的理论与实践的结合。
信号与系统公式总结作为这门课程的核心内容，在学习和应用中起着重要的作用。
下面将对信号与系统中的常用公式进行总结，以供参考。
一、信号及其表示公式1. 常数信号: x(t) = A (常数值 A)2. 常函数信号: x(t) = A, t∈[t1, t2]，否则 x(t)=0，其中 t1<t<t23. 正弦信号: x(t) = A*sin(ωt+θ)，其中A为振幅，ω为角频率，θ为初相位4. 余弦信号: x(t) = A*cos(ωt+θ)，其中A为振幅，ω为角频率，θ为初相位5. 单位阶跃信号: u(t) = 1，t≥0，否则 u(t) = 06. 单位冲激信号: δ(t) = 0，t≠0，否则δ(t) = ∞二、信号运算公式1. 平移公式: y(t) = x(t-T) (平移单位为 T，右移 T 为正，左移 T 为负)2. 缩放公式: y(t) = A*x(a*t) (缩放比例为 a，若 a>1，信号变化幅度增大；若0<a<1，信号变化幅度减小)3. 均值公式: RMS = sqrt((1/T)*∫(x(t)^2)dt) (T为时间区间，x(t)为信号函数)4. 线性运算公式: y(t) = a*x(t) + b*y(t) (y(t)表示输出信号，x(t)表示输入信号，a和b为常数)5. 卷积公式: y(t) = ∫[x(τ)*h(t-τ)]dτ (卷积公式是时间域中输入信号和系统响应的乘积积分，表示系统的输出)三、系统性质与稳定性公式1. 线性性质: L(a*x1(t)+b*x2(t)) = a*L(x1(t)) + b*L(x2(t)) (x1(t)和x2(t)为输入信号，a和b为常数，L()表示对信号进行线性处理)2. 时不变性质: 若输入信号延时 T 后输出信号也延时 T，即 y(t) = L{x(t)}，则 y(t-T) = L{x(t-T)}3. 稳定性性质: 若输入信号 x(t) 有界，输出信号 y(t) 也有界，则系统是稳定的。
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x1[k] 1
0 1 x2[k ]
0
k
1 k
x1[k] x2[k] 0
2 k
5. 序列相乘
y[k] x1[k] x2[k] xn[k]
若干离散序列对应点信号值相乘
x1[k ]
1
k
x1[k] x2[k]
2
x2[k ] 0 2
1 k
k 0
0
6. 差分
一阶后向差分 x[k] x[k] x[k 1]
3
3
2
2
1
k 01234
x[2k] 3 2
1 k
012
在原序列中每隔M-1点抽取一点
3. 尺度变换
原信号x
[x,Fs,bits] = wavread(‘我的祖国'); % Fs=22,050 Hz
x1=x(1:4:end);
4倍抽取后信号x1 % Fs=22,050/4 Hz
x2=x(1:8:end);
8倍抽取后信号x2 % Fs=22,050/8 Hz
3. 尺度变换
内插(Interpolation) L
x [k] I
x[k
0
/
L]
k 是 L的 整 数 倍 其它
x[k] 3 2
1
3 xI[k]
2
1
k 012
k 01234
在原序列各点之间插入L-1个点
4. 序列相加
y[k] x1[k] x2[k] xn[k]
n
k
x1[n] 3
x1[k ]
n
2
1 k
1
k
0
0
单位阶跃序列可用单位脉冲序列的求和表示
k
u[k] [n]
n
离散时间信号的基本运算
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来 源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处， 特此说明并表示感谢！
二阶后向差分 2 x[k] {x[k]} x[k] 2x[k 1] x[k 2]
…
N阶后向差
n x[k] {n1x[k]}
单分位脉冲序列可用单位阶跃序列的一阶后向差分表示
[k] u[k] u[k 1]
一阶前向差分 x[k] xBiblioteka k 1] x[k]7. 求和
k
y[k] x[n]
x[k] x[kn] n>0
x[k]
3
x[k-n]表示将x[k]右移n个单位；
2
2
x[k+n]表示将x[k]左移n个单位。
1
k
1 0 1 2 3
x[k2]
3
x[k2]
3
2
2
2
2
1
1
k
k
012345
4 3 2 1 0
3. 尺度变换
抽取(Decimation) M x[k]x[Mk] M为正整数
x[k]
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
离散时间信号的基本运算
※ 翻转 ※ 位移 ※ 抽取与内插 ※ 序列相加 ※ 序列相乘 ※ 差分 ※ 求和
1. 翻转
x[k] x[-k] 将 x[k] 以纵轴为中心作180翻转
x[k]
3
x[k] 3
2
2
2
2
1
1
k 1 0 1 2 3
k 2 1 0 1 2
2. 位移