数列四种递推公式解题

浅谈四种数列递推公式求通项公式的方法

寿县一中数学组 邵兵荣

摘要：本文是介绍数列通项公式的求法，数列的通项公式是研究数列性质的关键，对数列的单调性，数列的最大项，最小项，数列的求和等都有重大作用，通过构造等比数列将四种数列的递推公式转化为等比数列，先有等比数列的通项公式再求所求数列的通项公式。

关键词：等比数列 递推公式 通项公式

数列的递推公式是数列的一种表示方法，它反映的是数列相邻项之间的关系式，如果要研究某个数列的性质，我们就要确定其通项公式。本文就介绍了四种根据数列的递推公式求通项公式的方法。

一、数列}{n a 中，已知q pa a a a n n +==-11,，()+∈>N n n ,1，0,1≠≠q p ，求数列}{n a 的通项公式。

解析：可以设()x a p x a n n +=+-1，化简得()x p pa a n n 11-+=- 比较系数得到(),1q x p =-即1

-=p q x ， 所以数列}{n a 满足：⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=-+-111p q a p p q a n n 即数列}1{-+p q a n 是以首项为1

-+p q a ，公比为p 的等比数列。 即111-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=-+n n p p q a p q a 所以111--⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+=-p q p p q a a n n ，（0,1,≠≠∈+q p N n ） 【例1】设数列}{n a 满足,

23,111+==-n n a a a ()+∈>N n n ,1，求数列}{n a 的

通项公式。 解：根据231+=-n n a a 可以得到()1311+=+-n n a a

即数列}1{+n a 是以211=+a 为首项，公比为3的等比数列。

所以1321-⋅=+n n a 即1321-⋅=-n n a

二、数列}{n a 中，已知a a =1，r qn pa a n n ++=-1，()+∈>N n n ,1，R r q a p ∈≠≠≠,0,0,1 ,求数列}{n a 的通项公式。

解析：可以设()]1[1y n x a p y xn a n n +-+=++-，可以得到

()y py px n x px pa a n n -+--+=-1，比较系数可得

,,r px y py q x px =--=-解得()11,12-+-=-=p r p pq y p q x 即数列}{y xn a n ++是以y x a ++为首项，公比为p 的等比数列。 所以()1-++=++n n p y x a y xn a ，把上述解得的y x ,带入下面()1式可得数列}{n a 的通项公式为：()y xn p y x a a n n --++=-1，()+∈>N n n ,1 ()1

【例2】数列}{n a 满足11=a ，2231++=-n a a n n ，()+∈>N n n ,1，求数列}{n a 的通项公式。

解：根据2231++=-n a a n n ，可得()]251[3251+-+=+

+-n a n a n n 即数列}25{+

+n a n 是以首项为292511=++，公比为3的等比数列。 所以132925-⋅=++n n n a ，即2

53211--⋅=+n a n n 三、数列}{n a 中，a a =1，r q pa a n n n ++=-1，()+∈>N n n ,1，q p q a p ≠≠≠≠,0,0,1，求数列}{n a 的通项公式。

解析：可以设()

y xq a p y xq a n n n n ++=++--11，化简得 ()y p q x x q p pa a n n n 11-+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=-比较系数可以得到，

()r y p x x q p =-=-1,1，解出1

,-=-=p r y q p q x 即数列}{y xq a n n ++是以y xq a ++为首项，公比为p 等比数列。 所以()1-++=++n n n p y xq a y xq a ，把上述解得的y x ,带入下面()2式可得数列}{n a 的通项公式为()y xq p y xq a a n n n --++=-1，()+∈>N n n ,1 ()2

【例3】数列}{n a 满足11=a ，2231++=-n n n a a ，()+∈>N n n ,1，求数列}{n a 的通项公式。

解：根据2231++=-n n n a a 可以得到()122312211+⋅+=+⋅+--n n n n a a 即数列}122{+⋅+n n a 是以1+4+1=6为首项，公比为3的等比数列，所以 136122-⋅=+⋅+n n n a 即 12321--⋅=+n n n a

四、数列}{n a 中，a a =1，b a =2，21--+=n n n qa pa a ,()+∈>N n n ,2 其中04,0,02>+≠≠q p q p ，求数列}{n a 的通项公式。

解析：可以设()211---+=+n n n n xa a y xa a ，()3

即()21--+-=n n n xya a x y a 比较系数可以得到，q xy p x y ==-,解出，2

42q p p x ++-=，242q p p y ++=， 或242q p p x +-

-=，242q p p y +-=， 所以数列}{1-+n n xa a 是以xa b +为首项，公比为y 的等比数列。 即()21--+=+n n n y xa b xa a ①

同样我们将()3式写成()211-----=-n n n n ya a x ya a 形式

所以数列}{1--n n ya a 是以ya b -为首项，公比为x -的等比数列。 即 ()()

21----=-n n n x ya b ya a ②

根据①②式可得数列}{n a 的通项公式为 ()()()y x x ya b y xa b a n n n +--

-+=--11 ()4

把上述解得的y x ,的一组值带入()4式就可以，因为另一组值带入的结果是一样的。

【例4】数列}{n a 满足4,321==a a ，2123---=n n n a a a ，()+∈>N n n ,2，求数列}{n a 的通项公式。

解：根据2123---=n n n a a a 可得，()2112----=-n n n n a a a a 所以数列}{1--n n a a 是以134=-为首项，公比为2的等比数列。