分类加法与分类乘法计数原理学习资料

先乘火车到丙地，再于次日从 个阿拉伯数字给教室的座位编
丙地乘汽车到乙地，一天中， 号：例如“ A1”“B2”等，总
火车有3班，汽车有2班，那么 共能编出多少种不同的号码？
两天中，从甲地到乙地共有多
字母
数字
1
得到的号码
A1
少种不同的走法？
2
A2
火车3 丙 汽车1
甲
火车2
乙
3 树形
A3
A
4
图
A4
5
A5
6
A6
火车1
汽车2
从甲地到乙地，需要分成2
7
A7
给座位编号89 ，需要分成AA289个步骤，
个步骤，第1步从甲地到丙地有
第1步是选一个大写的英文字母，有6
3种不同的走法，第2步从丙地
种不同选法，第2步是选一个阿拉伯数
到乙地有2种不同的走法，那么
字，有9种选法，故给座位编号一共有
从甲地到乙地共有
6×9=54
分析：完成哪一件事？ 解：完成从男、女生中各选一人参加比赛这件事， 需要分2步 第1步：从30名男生中选出1人，有30种不同选择
第2步：从24名女生中选出1人，有24种不同选择
根据分步乘法计数原理，共有30×24＝720种不同的选 法
注意：分步时步骤一定要完整.
典例分析
例3：现有高二年级四个班的学生34人，其中一、二、三、 四班各7人，8人，9人，10人，他们自愿组成数学课外小组 (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一人为组长，有多少种不同的选法？ (3)推选两人为中心发言人，且这两人必须来自不同的班级 ，有多少种不同的选法？
B大学
生物学 化学
数学 会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
完成
工程学
什么
那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 事？
变式：若数学也是A大学的强项专业.那么，这名同学
可能的专业选择共有多少种？
注意：①想清楚要“完成一件事”是什 么? ②分类要不重不漏.
问题3：
问题4：
从甲地到乙地，要从甲地 用前6个大写英文字母和1～9九
推乙广地，2：且完一成天一中件有事4需班要轮n船个，步又骤有，多做少第种1步不有同m的1种乘不坐同方方式法呢，？
做第2步有m2种不同方法……做第n步有mn种不同方
法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同
方法.
例2：设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、 女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的 选法？
推广1 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1
种不同方法，在第2类方案中有m2种不同方法…… 第n类方案中有mn种不同方法，那么完成这件事共 有N=m1+m2+…+mn种不同方法.
例1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，
A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体
情况如下：
A大学
3+2 = 5 种不同的走法。
问题2： 用一个大写的英文字母或一个阿 拉伯数字给教室的一个座位编号： 例如“ A”“B”,“0”,“1”等 ，总共能编出多少种不同的号码 ？
给座位编号，有2类办法， 第1类办法是用一个大写的英文 字母，有26种不同编法，第2类 办法是用一个阿拉伯数字，有10 种编法，故给一个座位编号一共有
例3： 现有高二年级四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7 人，8人，9人，10人，他们自愿组成数学课外小组.
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
解析： (1)完成从四个班学生中任选一人为负责人这件事，共有4类办 法， 第1类：从一班学生中任选一人，共有m1=7种不同的方法； 第2类：从二班学生中任选一人，共有m2=8种不同的方法； 第3类：从三班学生中任选一人，共有m3=9种不同的方法； 第4类：从四班学生中任选一人，共有m4=10种不同的方法； 所以,根据分类计数原理，得到不同选法种数共有
26+10=36 种不同的方法。
你能根据以上两个问题的共同特征，概 括出解决此类问题的一般规律么？
一、分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种 不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那
么完成这件事共有N__＝__m_＋__n__种不同的方法. 在上述问题1中，若从甲地到乙地还可以坐轮船，且一天中 有4班轮船，又有多少种不同的乘坐方式呢？
课题导入
问题1： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一 天中，火车有 3 班，汽车有2 班，那么一天中， 乘这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的 走法？
问题2： 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室 的一个座位编号：例如“ A”“B”,“0”,“1” 等，总共能编出多少种不同的号码？
注意：对于综合问题 应分清楚是先分类还 是先分步.
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. （1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ （2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种 不同的选法？ （3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同 种类的选法？
3×2 = 6 种不同的走法。
种不同的方法。 你能根据以上两个问题的共同特征，类比分类加法计
数原理，概括出解决此类计数问题的一般规律么？
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方 法，做第2步有n种不同的方法．那么完成这件事共
有N__＝__m_×__n__种不同的方法. 在上述问题3中，若还需要从丙地坐轮船到丁地，然后再去
问题1： 从甲地到乙地，可以乘火
车，也可以乘汽车，一天中，
火车有 3 班，汽车有2 班，那 么一天中，乘这些交通工具从
甲地到乙地共有多少种不同的
走法？
火车3
火车2
火车1
甲
乙
汽车1
汽车2
从甲地到乙地，有2类办 法，第1类办法乘火车，有3 种不同的走法，第2类办法乘 汽车，有2种不同的走法，那 么从甲地到乙地共有
N=7+8+9+10=34 种。
技法点拨
分类
将每一类的方法 数相加得出结果
明确要完成什么 事情
思考如何完成这 件事
判断分类还是分步
先分类还是先分步
类类相加，步步 相乘得最终结果
Hale Waihona Puke Baidu
分步
将每一步的方法 数相乘得出结果
变式训练
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. （1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ （2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种 不同的选法？ （3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同 种类的选法？