分类加法与分类乘法计数原理学习资料
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共40张PPT)
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
61 分类加法计数原理与分步乘数原理 (原卷版)2023-2024新高考数学选择性必修三全册学案教案
地到 C 地不同的走法种数为______．
【例题精析 3】 书架上有 2 本不同的数学书，3 本不同的语文书，4 本不同的英语书．若从这些书中取不 同科目的书两本，有____种不同的取法．
【对点精练 1】 某校开设 A 类选修课 4 门,B 类选修课 3 门,一同学从中选 1 门,则该同学的不同选法共有（ ）
完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法．那 么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法．
推广：完成一件事有 n 类不同方案，在第 1 类方案中，有 m1 种不同的方法，第 2 类方案中有 m2 种不同 的方法，…，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
A．180 种
B．150 种
C．120 种
D．90 种
2．（2022 春•凉州区期末）2022 年北京冬奥会的顺利召开，引起了大家对冰雪运动的关注．若 A ，B ，C 三
人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有 ( )
A．12 种
楼梦》人物角色分析.要求每个学生选且只能选一门课程.若甲只选英语经典阅读，乙只选数学史或物理
模型化思维，学生丙､ 丁任意选，这四名学生选择后，恰好选了其中三门课程，则他们选课方式的可
能情况有___________种.
知识点 2 分步乘法计数原理★★★ 分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第一步有 m 种不同的方法，做第二步有 n 种不同的方法，那么完成这件 事共有 N＝m×n 种不同的方法．
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．熟练掌握两个计数原理，并能灵活应用两个计数原理解决数学与生活中的计数问题，理解 两个计数原理的区别与联系，掌握分类与分步的计数原则及分类标准. 解读：通过本节课的学习，要求理解与掌握两个计数原理的计数方法，能应用两个计数原理解 决一些简单的实际问题.
第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
能遗漏.
(2)分类时,注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,不能
重复.
(3)若是正面分类比较复杂,而其反面情况比较简单,且总的情况容
易求解,则用间接法(正难则反).
[针对训练]
(1)某同学逛书店,发现3本喜欢的书,决定至少买其中的一本,则购
[针对训练]
(1)(2023·全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、
星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天
服务的选择种数为(
A.120
B.60
√
)
C.40
D.30
解析:(1)首先从 5 人中选择 1 人连续参加 2 天服务,有 种方法,再从
剩余的 4 人中抽取 2 人各参加星期六与星期天的社区服务,共有 种
)
D.9个
解析:由题知后三位数字之和为4,当一个位置为4时有004,040,400,
共3个;
当三个位置数字都不为4时,
若两个位置和为4,有013,031,103,301,130,310,022,202ห้องสมุดไป่ตู้220,共9个;
若三个位置和为4,有112,121,211,共3个,所以一共有3+9+3=15(个).
[学习目标]
1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
2.能解决简单的实际问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
两个计数原理
两个计
数原理
分类加
法计数
原理
分步乘
法计数
原理
目标
完
成
一
件
事
策略
分类加法与分类乘法计数原理
分类加法与分类乘法计数原理一．基础知识１．分类加法与分步乘法计数原理（１）分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有ｍ种不同的方法，在第二类方案中有ｎ种不同的方法，那么完成这件事共有Ｎ＝ｍ＋ｎ种不同方法（２）分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第一步有ｍ种不同的方法，做第二步有ｎ种不同的方法，那么完成这件事共有Ｎ＝ｍ⨯ｎ种不同方法２．分清两个计数原理的区别（１）分类加法计数原理是“分类”，分步乘法计数原理是“分步”（２）分类加法计数原理中每类方法中的每一种方法都能独立完成一件事；分步乘法计数原理中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事二．考点练习１．在所有的两位数中，个位上的数字大于十位上的数字的两位数共有Ａ．４５Ｂ．５０Ｃ．３６Ｄ．３５２．将２名教师４名学生分成两个小组，分别安排到甲，乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和两名学生组成，不同的安排方案有Ａ．１２Ｂ．１０Ｃ．９Ｄ．８３．集合Ｐ＝｛x，１｝，Ｑ＝｛y，１,２｝，其中x，y∈｛１,２，３，···，９｝，且Ｐ⊆Ｑ，把满足上述条件的一对有序整数对（x，y）作为一个点的坐标，则这样的点的个数有Ａ．９Ｂ．１４Ｃ．１５Ｄ．２１４．已知两条异面直线a，ｂ上分别有５个点和８个点，则这１３个点可以确定不同的平面的个数Ａ．４０Ｂ．１６Ｃ．１３Ｄ．１０５．从集合｛１,２，３，···，１０｝中任意选出三个不同的数，使它们成等比数列，这样的等比数列的个数是Ａ．３Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．８６．用０,１,２，···，９十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数是Ａ．２４３Ｂ．２５２Ｃ．２６１Ｄ．２７９７．从０,２中选一个数字，从１,３,５中选两个数字，组成无重复数字的三位奇数的个数为Ａ．２４Ｂ．１８Ｃ．１２Ｄ．６８．有不同颜色的四件上衣和不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数有９．若三角形的三边均为整数，其中一边长为４，另外两边为ｂ，ｃ，且满足ｂ≤４≤ｃ，则这样的三角形有个１０．已知集合Ｍ=｛－３，－２，－１,０，１,２｝，Ｐ（a，ｂ）表示平面上的点（a，ｂ∈Ｍ，则（１）Ｐ可表示平面上不同的点的个数是（２）Ｐ可表示平面上第二象限的点的个数是（３））Ｐ可表示不在直线y＝x的点的个数是１１．已知集合Ｍ=｛－３，－２，－１,０，１,２｝，Ｐ（a ，ｂ）若a ，ｂ，ｃ∈Ｍ，则 （１）y ＝2++ax bx c 表示的不同的二次函数的个数是（２））y ＝2++ax bx c 表示的开口向下的不同的二次函数的个数是 １２．如果一个三位正整数如“123a a a ”满足123<>a a a ，则称这样的三位数为凸数，（如１２０,４６４,２６５），那么所有的凸数的个数是１３．上海某区政府召集５家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有２人到会，其余４家企业各有１人到会，会上推选３人发言，则这３人来自３家不同企业的可能情况的种数为１４．满足a ，ｂ∈｛－１,０，１,２｝，，且关于x 的方程2+2+ax x b ＝０有实数解的有序数对（a ，ｂ）的个数为１５．我们把各为数字之和为６的四位数称为“六合数”（如２０１３是“六合数”），则“六合数”中首位为２的共有 个三.参考答案１—７ ＣＡＢＣＤＢＢ ８．１２ ９．１０ １０．３６,６,３０,１１．１８０,７２,１２． ２４０,１３． １６,１４． １３,１５． １５。
6.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第三册课件
少要用多少个字节表示?
分析：
第1位 第2位 第3位
第8位 ......
第1位 第2位 第3位
第8位 ......
2种 2种
2种
2种
2种 2种
2种
2种
256*256=65536
两 例7：计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行
分析：
“选出2幅画，分别挂
1、“要完成的一件事”：在左、右两边墙上”
2、如何完成：“分步”
追问1：你还能给出不同 的解法吗？
第1步：从3幅画中选2幅，有3种选法； （甲，乙）、（甲，丙）、（乙，丙） 第2步：将选出的两幅画挂好，有2种挂法；
N=3✖2=6种.
例5：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U～Z， 后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名？
个 计 路（程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许
数 原
多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？
理 另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以
的 实
减少测试次数吗？
际
开始
数 多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？
原 理
另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以
的 减少测试次数吗？
实 际
开始
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件(人教版)
6.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
1．理解分类加法计数原理与分步乘法 计数原理．(重点) 2．会用这两个原理分析和解决一些简 单的实际计数问题．(难点)
1.核糖核酸(RNA)分子有碱基按一定顺序排列而成。 已知碱基有4种，但由成百上千个碱基组成的RNA分 子的种数非常巨大。为什么？
B 果将这 2 个新节目插人节目单中，那么不同的插法种数为( )
A.12
B.20
C.36
D.120
解析：利用分步计数原理，第一步插入第一个新节目，有 4 种方法，第二步插 入第二个新节目，此时有 5 个空，故有 5 种方法.因此不同的插法共有 45 20 种.故选 B.
2.如图，用 4 种不同的颜色对 A，B，C，D 四个区域涂色，要求相邻的两个区
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
解：这名同学可以选择 A，B 两所大学中的一所. 在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法. 因为没有一个强项专业是两所大学共有的， 所以根据分类加法计数原理， 这名同学可能的专业选择种数为 N 5 4 9 .
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方
法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N
＝m×n种不同的方法．
例 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B
两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.
A 大学
B 大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学Biblioteka 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程 序模块命名？
6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理课件(人教版)
B大学 数学 会计学 经济学 法学
追问：现在他共有多少种选择？
C大学
方案1
营销管理
从A大学中选专业 5
土木工程 完成一件事 方案2
选专业 从B大学中选专业 4
方案3 从C大学中选专业 2
5 4 2 11
分类加法计数原理推广
完成一件事有n类不同方案， 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， ..... 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法.
列举法：56种 完成一件事
座位编号
分两个步骤完成：
第1步.确定英文字母 有6种方法
A
第2步.确定阿拉伯数字 有9种方法
69 54
1 A1
2
A4
9种
5
A5
6
A6
7
A7
8
A8
9
A9
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤， 做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
练习
1．某校高二有三个班，分别有学生50人、50人、52人．从中选一人担负
学生会主席，共有多少种不同选法( )
A．100
B．102
C．152
D．50
2.设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程
x2 m2
y2 n2
1表示焦点位于x
轴上的椭圆有( )
A．6个
B．8个
C．12个
D．16个
3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件
尝试一下：孙行者三个字交换位置可以得到多少个名字？
分类加法计数原理和分步乘法计数原理(学生版)
6.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理目 录☯知识清单☯1、分类计数原理（1）定义：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法 那么完成这件事共有12n N m m m =++⋅⋅⋅+种不同的方法。
（2）解题思路：2、分步计数原理（1）定义：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法。
（2）解题思路：分类计数 结论 将完成这件事的方法分成若干类求出每一类的方法数将每一类的方法数相加得出结果分类 分类 分类将完成这件事的方法分成若干类将完成这件事的方法分成若干类将完成这件事的方法分成若干类（3）分步两个条件：①步骤互相独立，互不干扰②步与步确保连续，逐步完成3、两个计数原理的关系（1）两个计数原理的联系与区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加，关键是“分类”分步相乘，步步相乘，关键是“分步”分类完成一件事，每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性。
分类计数原理可利用“并联”电路来理解。
分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事，要注意“步”与“步”之间的连续性。
分步计数原理可利用“串联”电路来理解。
运用加法运算运用乘法运算注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整（2）利用两个计数原理解决应用问题的一般思路：①弄清完成一件事是做什么；②确定是先分类后分步，还是先分步后分类；③弄清分步、分类的标准是什么；④类要做到不重不漏。
☯典型例题☯母题1：分类计算原理1.设椭圆22xa＋22yb＝1的焦点在y轴上，其中a∈{1，2，3，4，5}，b＝{1，2，3，4，5，6，7}，则满足上述条件的椭圆个数为( )A．20 B．24 C．12 D．112.如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个.3.算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51)．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为( )A．16B．15C．12D．10分类计数原理解题思路1.根据题目特点恰当选择一个分类标准。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
3．两个计数原理的区别和联系
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系
回答的都是关于完成一件事情的不同方法的 种数 的问题
区别一
针对的是“ 分类 ”问题
针对的是“ 分步 ”问题
区别二
各种方法相互_独__立__
各个步骤中的方法互相_依__存__
区别三 任何一种方法都可以做完这件事 只有各个步骤都完成才算做完这件事
求解较复杂的计数问题： (1)对于较复杂的问题，可以在分类方法中分步进行，或者在每步中进行分类． (2)对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理又要运用分步计数原理的问题，我们 可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰． (3)涉及“多面手”的题型，关键是分清“多面手”可以“干什么活”．
解法二 按千位是 2,3,4,5 分四类： 第一类，千位是 2 的有 2×4×3＝24 个， 其中 2 014 不合题意，应去除； 第二类，千位是 3 的有 3×4×3＝36 个； 第三类，千位是 4 的有 2×4×3＝24 个； 第四类，千位是 5 的有 3×4×3＝36 个． 由分类加法计数原理，得 N＝24＋36＋24＋36－1＝119 个．
A．24
BF 有 6 种走法，F→G 有 3 种走法，由分布乘法计数原理知，共有 6×3 ＝18 种走法，故选 B. 答案：B
利用分步乘法计数原理解决问题的注意事项： (1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排． (2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性．
探究一 分类加法计数原理
[典例 1] 某校高二(1)、(2)、(3)班，各班人数如下表：
男生人数 女生人数 总人数
高二(1)班 30
20
50
高二(2)班 30
分类加法与分步乘法计数原理-
35
思考
集合A＝{a1，a2，…，an}共有多少个 子集？
36
课堂练习
1. 一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数字， 这4个拨号盘可以组成多少个四位 数字号码？
N＝10×10×10×10＝10000（种）
37
2. 要从甲、乙、丙3名工人中选 出2名分别上日班和晚班，有多少种 不同的选法？ 第一步: 选1人上日班； 有3种方法 第二步: 选1人上晚班. 有2种方法
33
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
178次
34
例5 随着人们生活水平的提高，某 城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌 照号码需要扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照 都必须有3个不重复的英文字母和3个不 重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合 成一组出现，3个数字也必须合成一组出 现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌 照？
4×8＝32
13
问题探究
3.从师大声乐系某6名男生和8名女生中 各选一人表演男女二重唱，共有多少种 不同的选派方法？
6×8＝48
上述原理称为分步乘法计数原理.
14
问题探究
4.上述计数问题的算法有何共同特点？ 完成一件事需要两个步骤, 做第1步有m 种不同的方法, 做第2步有n 种不同的 方法, 那么完成这件事共有N＝m×n种 不同的方法.
30×29×20＋20×19×30 ＝17400＋11400＝28800（种）
分类加法原理和分步乘法原理
分类加法原理和分步乘法原理分类加法原理和分步乘法原理是概率论中常用的计数原理，它们在解决组合计数问题时非常有用。
本文将详细介绍这两个原理的概念、应用场景以及实际计算方法，希望能对读者有指导意义。
一、分类加法原理分类加法原理是指将一个计数问题分成若干个互不相交的子问题，然后将各个子问题的计数结果累加起来得到总的计数结果。
换句话说，分类加法原理认为，如果一个事件可以被划分为若干个不相交的情况，那么它所有情况的计数结果之和就是总的计数结果。
举个例子来说明分类加法原理的应用。
假设有一家商店，它的商品有3种颜色（红色、蓝色、绿色），每种颜色都有2种尺寸（大号、小号）。
现在要计算这家商店的商品总数。
根据分类加法原理，我们可以将这个问题划分为两个子问题：计算每种颜色的商品总数，然后将这些结果相加。
假设红色、蓝色、绿色商品的数量分别为3、4、2，那么总的商品数量就是3+4+2=9。
分类加法原理除了可以用于计算组合问题的数量，还可以用于计算各种可能性的总数，比如排列问题和概率问题。
二、分步乘法原理分步乘法原理是指将一个多步骤的计数问题分解成若干个独立步骤，然后将各个步骤的计数结果相乘得到总的计数结果。
简而言之，分步乘法原理认为，如果一个多步骤的事件的计数问题可以被分解成若干个独立的子问题，那么它的总的计数结果就是各个子问题计数结果的乘积。
举个例子来说明分步乘法原理的应用。
假设有一家餐厅，它的菜单上有3种汤品选择（番茄汤、鸡肉汤、蘑菇汤），每种汤品有2种配料选择（鸡肉块、海鲜）。
现在要计算在这家餐厅用餐的菜单组合总数。
根据分步乘法原理，我们可以将这个问题分解成两个子问题：计算汤品选择的数量，然后计算配料选择的数量，最后将这两个数量相乘。
假设汤品选择的数量为3，配料选择的数量为2，那么菜单组合总数就是3 * 2 = 6。
分步乘法原理类似于分类加法原理，但是不同的是，分步乘法原理适用于计算多步骤问题的总数，而分类加法原理适用于计算一个事件的不同情况之和的总数。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
分类加法计数原理是计数原理中的一种，它基于分类的思想 ，将问题分成若干个互不重叠的部分，然后分别对每一部分 进行计数，最后将各部分的计数结果相加，得到完成整个任 务的方法总数。
分类加法计数原理的应用
应用场景
分类加法计数原理适用于将一个复杂问题分解成若干个简单子问题，然后分别 对每个子问题进行计数，最后将各个子问题的计数结果相加得到总的方法数。
03
题目：一个班级有30个学生，每个学生有2种颜色的笔可以选择。如 果每个学生选择一支笔，那么一共有多少种不同的选择方式？
04
答案：60种。
进阶练习题
总结词：复杂问题 总结词：多个原理应用
总结词：综合应用
进阶练习题
题目1
分类加法计数原理进阶练习
VS
题目
在一个音乐会上，有钢琴、吉他、小提琴 三种乐器。如果一个乐手随机选择一种乐 器，有多少种不同的选择方式？
基本概念
两者都涉及到计数问题，即计算完成 某件事情的方法数量。
基本思想
都基于组合数学的基本思想，即从不 同的元素中选取一定数量的元素进行 组合，形成不同的结果。
不同点比较
分类加法计数原理
强调的是将问题分成若干个互斥的子 问题，然后分别对每个子问题进行计 数，最后将各个子问题的计数结果相 加。
分步乘法计数原理
进阶练习题
答案：3种。
01
答案：12种。
输标02入题
题目2：分步乘法计数原理进阶练习
03
04
题目：一个电影院有3个放映厅，每个放映厅有2部电 影可以选择。如果一个观众随机选择一个放映厅和一 部电影，那么一共有多少种不同的选择方式？
综合练习题
总结词
高难度问题
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件
1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法， 在第 2 类方案中有 n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N＝ _m_＋__n__种不同的方法．
■名师点拨 对分类加法计数原理的理解
分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案”，是指完 成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方 法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任 何一种方法都在某一类中．
利用两个计数原理的解题策略 用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是 “分步”，区分“分类”还是“分步”的关键是看这种方法能否 完成这件事情；其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准， 在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确 设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分 类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分 类”．
分类加法计数原理
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有 多少个？
【解】 法一：按十位上的数字分别是 1，2，3，4，5，6，7，8 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 8 个、7 个、6 个、5 个、4 个、3 个、2 个、1 个．由分类加法计数原理知，满 足条件的两位数共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 法二：按个位上的数字分别是 2，3，4，5，6，7，8，9 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 1 个、2 个、3 个、4 个、 5 个、6 个、7 个、8 个．由分类加法计数原理知，满足条件的两 位数共有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
解：据条件知 m>0，n>0，且 m≠n，故需分两步完成，第一步确 定 m，有 3 种方法，第二步确定 n，有 2 种方法，故组成椭圆的 个数为 3×2＝6(个)．
第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共30张PPT)
学科素养： 数学建模、数学抽象．
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__，在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__，做
件 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条).]
4．书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书， 第 3 层放有 6 本不同的体育书．从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，则不同的 取法种数为________．
解析： 由分步乘法计数原理知，从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，不 同的取法共有 4×5×6＝120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法，区域 1 有 3 种选法，区域 2 有 2 种选法，区域 4 从区域 1，2 所选颜色中选有 2 种选法，区域 5 可选剩下的一种和区域 1，2 所选被区域 4 选剩下的一种，有 2 种选法，共有 4×3×2×2×2＝96 种．
答案： 144；96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N＝m__＋__n_种不同的 完成这件事共有 N＝_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确 设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制．
1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于 其中一类．
2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立， 分步完成”．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件
5．两个原理的联系与区别 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是 有关做一件事的 不同方法的种数 问题．区别在于： 分类加法计数原理针对的是 分类 问 题 ， 其 中 各 种 方 法 相互独立 ，其中任何一种方法都可以完成这件 事；分步乘法计数原理针对的是 分步 问 题， 各 个步骤 中的方法 互相依存 ，只有各个步骤都完成才算完 成这件事．
[例1] 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的 两位数共有多少个？
[分析] 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原 理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了， 这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按 个位上的数字情况进行分类．
[解析] 解法一：按十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的 两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1 个．
m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
3．分步乘计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m×种n 不同的方法． 4．分类计数乘法原理的推广 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的 方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不 同的方法，那么完成这件事共有N＝ m1×m2×…×mn 种 不同的方法．
(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7 种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70 种不同的选法．
(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画， 由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝ 35种不同的选法．
所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英 语书各一本，共有30种不同的取法．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
优缺点比较
分类加法计数原理 容易理解和应用 分类较多时，计算复杂度较高
分步乘法计数原理 计算过程更明确 适用于问题需要多个步骤的情况
结论
分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决复杂计数问题的有效方法。 选择哪种方法取决于问题的特点和计算需求。
参考资料
以下是一些关于分类加法计数原理和分步乘法计数原理的参考资料，供进一 步学习和研究使用。 数学教材、学术论文
步骤一
确定问题需要的每个步骤。
步骤二
计算每个步骤的可能性。
步骤三
将每个步骤的结果相乘，得到最终 答案。
比较两种计数原理
分类加法计数原理
适用于问题需要分为不同分类的情况，简单易懂。
分步乘法计数原理
适用于问题需要多个步骤的情况，计算过程更明确。
应用案例
我们将通过一个房间装饰的例子来比较分类加法计数原理和分步乘法计数原 理。这将展示两种方法如何应用于实际情境中。
分类加法计数原理与分步 乘法计数原理
本演示将介绍分类加法计数原理和分步乘法计数原理，比较它们之间的差异， 并提供实际应用案例。我们还将讨论它们的优缺点，并得出结论。
参考资料：数学教材、学术论文
分类加法计数原理
分类加法计数原理是一种用于解决复杂计数问题的方法。它将问题分解为若干分类，分别计算每个分类 中的可能性，并将结果求和得到最终答案。
1
步骤一
确定问题中的每个分类并列出所有可能的情况。
2
步骤二
计算每个分类的可能性，通常使用乘法原理。
3
步骤三
பைடு நூலகம்
将所有分类的结果求和，得到最终答案。
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理是一种用于解决复杂计数问题的方法。它将问题分解为若干步骤，每个步骤根据先前步骤的结果 计算可能性，并将结果相乘得到最终答案。
分类加法与乘法计数原理
(2)
先开飞机去羊村抓 羊再骑摩托车回家
2步
每步中分别有几种不同的方法
2种 3种
每步能否独立完成这件事情
完成这件事情共有多少种不同 的方法
不能
(a1)
(a2)
探究新知
(b1)
(b2)
(b3)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a1b1, a1b2, a1b3, a2b1, a2b2, a2b3。
问题剖析 灰太狼做什么事情 完成这个事情有几步
解：灰太狼选一种抓羊秘技去抓羊，分为三类 第1类 从父亲的15招中选一招，有15种不同选法。 第2类 从爷爷的18招中选一招，有18种不同选法。 第3类 从太爷爷的7招中选一招，有7种不同选法。 根据分类计数原理，不同的抓法共有： N=15+18+7=40（种）
练习
灰太狼开着飞机发现羊村正在开运动会， 有12只羊在跳远、11只羊在跳高、9只羊在标 枪比赛、13只羊在铁饼比赛。灰太狼要从中 抓一只羊，有多少种不同的选择？
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。 根据分类加法计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
探究
问题. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可
以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车 有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天 中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多 少种不同的走法? 解: 从甲地到乙地有3类方法,
(2)
先开飞机去羊村抓 羊再骑摩托车回家
2步
每步中分别有几种不同的方法
2种 3种
每步能否独立完成这件事情
完成这件事情共有多少种不同 的方法
不能
2X3=6（种）
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3×2 = 6 种不同的走法。
种不同的方法。 你能根据以上两个问题的共同特征，类比分类加法计
数原理，概括出解决此类计数问题的一般规律么？
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方 法，做第2步有n种不同的方法．那么完成这件事共
有N__＝__m_×__n__种不同的方法. 在上述问题3中，若还需要从丙地坐轮船到丁地，然后再去
B大学
生物学 化学
数学 会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
完成
工程学
什么
那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 事？
变式：若数学也是A大学的强项专业.那么，这名同学
可能的专业选择共有多少种？
注意：①想清楚要“完成一件事”是什 么? ②分类要不重不漏.
问题3：
问题4：
从甲地到乙地，要从甲地 用前6个大写英文字母和1～9九
推乙广地，2：且完一成天一中件有事4需班要轮n船个，步又骤有，多做少第种1步不有同m的1种乘不坐同方方式法呢，？
做第2步有m2种不同方法……做第n步有mn种不同方
法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同
方法.
例2：设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、 女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的 选法？
问题1： 从甲地到乙地，可以乘火
车，也可以乘汽车，一天中，
火车有 3 班，汽车有2 班，那 么一天中，乘这些交通工具从
甲地到乙地共有多少种不同的
走法？
火车3
火车2
火车1
甲
乙
汽车1
汽车2
从甲地到乙地，有2类办 法，第1类办法乘火车，有3 种不同的走法，第2类办法乘 汽车，有2种不同的走法，那 么从甲地到乙地共有
先乘火车到丙地，再于次日从 个阿拉伯数字给教室的座位编
丙地乘汽车到乙地，一天中， 号：例如“ A1”“B2”等，总
火车有3班，汽车有2班，那么 共能编出多少种不同的号码？
两天中，从甲地到乙地共有多
字母
数字
1
得到的号码
少种不同的走法？
2
A2
火车3 丙 汽车1
甲
火车2
乙
3 树形
A3
A
4
图
A4
5
A5
6
26+10=36 种不同的方法。
你能根据以上两个问题的共同特征，概 括出解决此类问题的一般规律么？
一、分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种 不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那
么完成这件事共有N__＝__m_＋__n__种不同的方法. 在上述问题1中，若从甲地到乙地还可以坐轮船，且一天中 有4班轮船，又有多少种不同的乘坐方式呢？
推广1 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1
种不同方法，在第2类方案中有m2种不同方法…… 第n类方案中有mn种不同方法，那么完成这件事共 有N=m1+m2+…+mn种不同方法.
例1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，
A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体
情况如下：
A大学
例3： 现有高二年级四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7 人，8人，9人，10人，他们自愿组成数学课外小组.
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
解析： (1)完成从四个班学生中任选一人为负责人这件事，共有4类办 法， 第1类：从一班学生中任选一人，共有m1=7种不同的方法； 第2类：从二班学生中任选一人，共有m2=8种不同的方法； 第3类：从三班学生中任选一人，共有m3=9种不同的方法； 第4类：从四班学生中任选一人，共有m4=10种不同的方法； 所以,根据分类计数原理，得到不同选法种数共有
课题导入
问题1： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一 天中，火车有 3 班，汽车有2 班，那么一天中， 乘这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的 走法？
问题2： 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室 的一个座位编号：例如“ A”“B”,“0”,“1” 等，总共能编出多少种不同的号码？
A6
火车1
汽车2
从甲地到乙地，需要分成2
7
A7
给座位编号89 ，需要分成AA289个步骤，
个步骤，第1步从甲地到丙地有
第1步是选一个大写的英文字母，有6
3种不同的走法，第2步从丙地
种不同选法，第2步是选一个阿拉伯数
到乙地有2种不同的走法，那么
字，有9种选法，故给座位编号一共有
从甲地到乙地共有
6×9=54
N=7+8+9+10=34 种。
技法点拨
分类
将每一类的方法 数相加得出结果
明确要完成什么 事情
思考如何完成这 件事
判断分类还是分步
先分类还是先分步
类类相加，步步 相乘得最终结果
分步
将每一步的方法 数相乘得出结果
变式训练
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. （1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ （2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种 不同的选法？ （3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同 种类的选法？
注意：对于综合问题 应分清楚是先分类还 是先分步.
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. （1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ （2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种 不同的选法？ （3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同 种类的选法？
分析：完成哪一件事？ 解：完成从男、女生中各选一人参加比赛这件事， 需要分2步 第1步：从30名男生中选出1人，有30种不同选择
第2步：从24名女生中选出1人，有24种不同选择
根据分步乘法计数原理，共有30×24＝720种不同的选 法
注意：分步时步骤一定要完整.
典例分析
例3：现有高二年级四个班的学生34人，其中一、二、三、 四班各7人，8人，9人，10人，他们自愿组成数学课外小组 (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一人为组长，有多少种不同的选法？ (3)推选两人为中心发言人，且这两人必须来自不同的班级 ，有多少种不同的选法？
3+2 = 5 种不同的走法。
问题2： 用一个大写的英文字母或一个阿 拉伯数字给教室的一个座位编号： 例如“ A”“B”,“0”,“1”等 ，总共能编出多少种不同的号码 ？
给座位编号，有2类办法， 第1类办法是用一个大写的英文 字母，有26种不同编法，第2类 办法是用一个阿拉伯数字，有10 种编法，故给一个座位编号一共有