2016年厦门大学数学分析考研试题

厦门大学

2016年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学分析

考生须知：

1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

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1.(20分)已知f (x )在[0,+∞)上单调递减,且lim x →+∞f (x )=0,证明

∞∑n =1f (n )收敛的充分必要条件是∫+∞

0f (x )dx 收敛.

2.(20分)设f ∈C 1[0,+∞],f (0)=1,f ′(x )=1x 2+f 2(x ).证明:(a)lim x →+∞

f (x )存在;(b)lim x →+∞f (x )≤1+π2.3.(15分)已知lim n →∞a n n

=0,证明lim

n →∞max {a 1···,a n }n =0.4.(20分)已知f (x )有界,且在R 上连续.设T >0,证明:存在数列{x n },使得

lim n →∞x n =+∞,lim n →∞

(f (x n +T )−f (x n ))=0.5.(20分)设f 在[a ,b ]上二阶可导,且∀x ∈(a ,b )有f ′′(x )>0.证明:∀x 1,x 2∈(a ,b ),有f (x 1+x 22)<12

[f (x 1)+f (x 2)].6.(15分)设f 在[a ,b ]上可积,且有

∫x

a f (t )dt ≥0,

∫b a f (x )dx =0.证明:∫b

a x f (x )dx ≤0.

7.(20分)设B 为单位球x 2+y 2+z 2≤1的区域,∂B 为其球面.已知f 为k 次齐次函数,即f (ax ,ay ,az )=a k f (x ,y ,z ).证明:∫∫

∂B f (x ,y ,z )dS =

∫∫∫B △f dxdydz ,其中△f =∂2f ∂x 2+∂2f ∂y 2+∂2f ∂z

2.8.(20分)设有一张长方形纸片,要在上面涂颜色.长方形纸片内部涂颜色的面积为A cm 2，边缘有空隙:上下边宽度之和为r cm,左右宽度为h cm.意思是:在长方形纸片上给矩形求:当长方形纸片长(y cm)和宽(x cm)为多少时,长方形纸片面积最小?

注：感谢数学人才小基地群(342767800)Veer 提供的真题.

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