最新 大学物理-矢量和矢量运算
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A
A= A +A +A
2 x 2 y
2 z
若
A =1
则 称为
方向上的单位矢量。 A 方向上的单位矢量。
♦
四、矢量的加减法 若
A = Axi + Ay j + A k z
B = Bxi + By j + Bzk
则
A± B = ( Ax ± Bx )i + ( Ay ± By ) j + ( Az ± Bz )k
∫ A(t)dt = (∫ A (t)dt)i +(∫ A (t)dt) j
0 0 x 0 y
t
t
t
+ (∫ A (t)dt)k z
0
t
A(t) = Ax (t)i + Ay (t) j + A (t)k z
dAy dAz dA dAx j+ i+ k = dt dt dt dt
2 2
d A d Ax = 2 i+ 2 2 dt dt dt
d Ay
2
d2 A j + 2z k dt
♦
八、矢量函数的积分
A(t) = Ax (t)i + Ay (t) j + A (t)k z
六、矢量的矢积（叉乘） 矢量的矢积（叉乘）
C = A×B
其大小为
C = ABsinθ
Baidu Nhomakorabea
方向： 方向：右手定则
注意顺序： 注意顺序： A× B = −(B× A)
（1）当两个矢量平行时 ）
θ =0
sinθ = 0
A× B = 0
（2）当两个矢量垂直时 ）
θ=
π
2
sin θ =1
A× B = AB
i ×i = j × j = k × k = 0 i × j =k j ×k = i k ×i = j
预备知识
矢量和矢量运算
一、标量和矢量
♦
有一类物理量只有大小和正负、没有方向， 有一类物理量只有大小和正负、没有方向， 如：时间、质量、温度、功、能量等等， 时间、质量、温度、 能量等等， 这类物理量称为标量
♦
而另一类物理量既有大小、又有方向， 而另一类物理量既有大小、又有方向，称 为矢量， 为矢量，如：位移、速度、加速度、力、 位移、速度、加速度、 动量、 动量、冲量等等
A× B = ( Axi + Ay j + A k)×(Bxi + By j + Bzk) z
= ( Ay Bz − A By )i + ( A Bx − Ax Bz ) j + ( Ax By − Ay Bx )k z z
i A× B = Ax Bx
j Ay By
k A z Bz
♦
七、矢量函数的导数
i ⋅ j = j ⋅k = k⋅i = 0
所以两个矢量的标积为： 所以两个矢量的标积为：
A = Ax i + Ay j + Azk ;
B = Bx i + By j + Bzk
A⋅ B = (Axi + Ay j + Azk) ⋅(Bxi + By j + Bzk)
= Ax Bx + Ay By + A Bz z
♦ 二、矢量的解析表示
A = A i + Ay j + A k x z
大 小
2 2 A = Ax + Ay + A2 z
Y
Ay
A
O Z
Az AX
X
cosα =
Ax A Ay A A z A
夹 角
cos β = cosγ =
♦ ♦
三、矢量的模和单位矢量 矢量的大小称为矢量的模， 矢量的大小称为矢量的模，记做
解析法（图解） 解析法（图解）
♦ 五、矢量的标积（点乘） 矢量的标积（点乘）
E = A⋅ B = ABcosθ
（1）当两个矢量平行时 ）
θ =0
cosθ = 1 A⋅ B = AB
B θ
A
（2）当两个矢量垂直时 ）
θ= π
2 cosθ = 0 A⋅ B = 0
（3）由于直角坐标系的单位矢量具有 ） 正交性， 正交性，即： i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1
A= A +A +A
2 x 2 y
2 z
若
A =1
则 称为
方向上的单位矢量。 A 方向上的单位矢量。
♦
四、矢量的加减法 若
A = Axi + Ay j + A k z
B = Bxi + By j + Bzk
则
A± B = ( Ax ± Bx )i + ( Ay ± By ) j + ( Az ± Bz )k
∫ A(t)dt = (∫ A (t)dt)i +(∫ A (t)dt) j
0 0 x 0 y
t
t
t
+ (∫ A (t)dt)k z
0
t
A(t) = Ax (t)i + Ay (t) j + A (t)k z
dAy dAz dA dAx j+ i+ k = dt dt dt dt
2 2
d A d Ax = 2 i+ 2 2 dt dt dt
d Ay
2
d2 A j + 2z k dt
♦
八、矢量函数的积分
A(t) = Ax (t)i + Ay (t) j + A (t)k z
六、矢量的矢积（叉乘） 矢量的矢积（叉乘）
C = A×B
其大小为
C = ABsinθ
Baidu Nhomakorabea
方向： 方向：右手定则
注意顺序： 注意顺序： A× B = −(B× A)
（1）当两个矢量平行时 ）
θ =0
sinθ = 0
A× B = 0
（2）当两个矢量垂直时 ）
θ=
π
2
sin θ =1
A× B = AB
i ×i = j × j = k × k = 0 i × j =k j ×k = i k ×i = j
预备知识
矢量和矢量运算
一、标量和矢量
♦
有一类物理量只有大小和正负、没有方向， 有一类物理量只有大小和正负、没有方向， 如：时间、质量、温度、功、能量等等， 时间、质量、温度、 能量等等， 这类物理量称为标量
♦
而另一类物理量既有大小、又有方向， 而另一类物理量既有大小、又有方向，称 为矢量， 为矢量，如：位移、速度、加速度、力、 位移、速度、加速度、 动量、 动量、冲量等等
A× B = ( Axi + Ay j + A k)×(Bxi + By j + Bzk) z
= ( Ay Bz − A By )i + ( A Bx − Ax Bz ) j + ( Ax By − Ay Bx )k z z
i A× B = Ax Bx
j Ay By
k A z Bz
♦
七、矢量函数的导数
i ⋅ j = j ⋅k = k⋅i = 0
所以两个矢量的标积为： 所以两个矢量的标积为：
A = Ax i + Ay j + Azk ;
B = Bx i + By j + Bzk
A⋅ B = (Axi + Ay j + Azk) ⋅(Bxi + By j + Bzk)
= Ax Bx + Ay By + A Bz z
♦ 二、矢量的解析表示
A = A i + Ay j + A k x z
大 小
2 2 A = Ax + Ay + A2 z
Y
Ay
A
O Z
Az AX
X
cosα =
Ax A Ay A A z A
夹 角
cos β = cosγ =
♦ ♦
三、矢量的模和单位矢量 矢量的大小称为矢量的模， 矢量的大小称为矢量的模，记做
解析法（图解） 解析法（图解）
♦ 五、矢量的标积（点乘） 矢量的标积（点乘）
E = A⋅ B = ABcosθ
（1）当两个矢量平行时 ）
θ =0
cosθ = 1 A⋅ B = AB
B θ
A
（2）当两个矢量垂直时 ）
θ= π
2 cosθ = 0 A⋅ B = 0
（3）由于直角坐标系的单位矢量具有 ） 正交性， 正交性，即： i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1