第一章概率论基础4

i i i 1
n
S (a, b) lim
0
g (u )F ( x ) g ( x)dF ( x)
b i 1 a
称极限S(a,b)为g(x)关于F(x)在[a , b]上的R-S积分
关于R-S积分的说明 ☆λ 0 n且max{xi} 0 ☆特别当F(x)=x : R-S积分Riemann积分 R-S积分的性质 ☆ 当a < c1 < c2 < ∙∙∙ < cn < b时
性质： 设 X= X(ω)是定义在概率空间(Ω ,F, P)上的随机变量， F (x)为其分布函数，随机变量X方差具有如下性质 ☆ ☆ D( X c) D( X ) , c const
D( 1, ∙∙∙ a D( X ) , a const ☆设XaX ) ,Xn是互相独立的随机变量
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性质：
☆ 协方差 cov(X,Y)=σXY和相关系数 (X,Y) 是刻画随机变量之 间相依性(interdependence)的数字特征，他们具有相同的符
号，且：
cov(X,Y)=σXY >0( (X,Y) >0)随机变量X,Y具有相同的变化趋势； cov(X,Y)=σXY <0( (X,Y) <0) 随机变量X,Y具有相反的变化趋势。
E| X |

|
x | dF ( x)

(2)对 k N , 若 E| X |k 存在，其k 阶原点矩(moment about origin )为 k k k E ( X ) x dF ( x) (2)对 m >1 N,若 E| X |m 存在，其m 阶中心矩(moment about center )为 m m E( X EX ) ( x EX )m dF ( x)

( X ) D( X ) ( X )
为标准差(standard deviation)
注意：方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性 差; 而如果 D(X) 值小, 则表示 X 的取值 比较集中, 以 E(X) 作为随机变量的代表 性好.
i 1 i 1
n
n
由 EX i
2
1 n
，得
2
DX i EX i
1 1 ( EX i ) 2 , i 1,2,, n n n
2
而当 i j 时，
1 E ( X i , X j ) P( X i 1, X j 1) P( X i 1) P( X j 1 X i 1) n(n 1)
0 a i 1 i
n 1
)
b
i 1
a
i
☆若F1(x) 和F2(x)为两个分布函数，常数c1,c2>0
b b a 1 1 2 2 1 a 1
aHale Waihona Puke Baidu
g ( x)d[c F ( x) c F ( x)] c g ( x)dF ( x) c g ( x)dF ( x)
2 a 2
b
关于R-S积分的几个特例 ☆特别当 g(x)=1
n
n
n 1
n 1 n
2

2 2C n
1 n 2 (n 1)
1.4.2.4 随机变量的矩
定义5 : 设 X= X(ω)是定义在概率空间(Ω ,F, P)上的随机变量， F (x)为其分布函数:
(1)对 >0R，其 阶绝对矩(absolute moment of order )为
E (aX bY ) aEX bEY , a, b const
若X,Y相互独立
EXY EXEY
注意：数学期望是一个实数, 而非变量,它是 一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本 质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平 均值.
1.4.2.2随机变量的方差(variance）
定义1 . 设X= X(ω)是定义在概率空间(Ω ,F, P)上随机变量，其 分布函数为F (x) ，定义 etX 的数学期望为
g X (t ) E (e )
tX

tx e dF ( x)
如果X= X(ω)为连续型的，概率密度函数为 f (x)，那么
g X (t ) E (e )
1.4 随机变量的数字特征
1.4.1 引言 黎曼-斯蒂尔切斯(Riemann-Stieltjes) 积分 1.4.2随机变量的数字特征
1.4.1 引言 黎曼-斯蒂尔切斯 (Riemann-Stieltjes)积分
设F(x)为(-∞, ∞)上的单调不减右连续函数，g(x)为(-∞, ∞)上的单 值实函数，对于区间 a< b ,任取分点a =x0 < x1 < x2 < ∙∙∙ < xn=b。 ui [xi-1 , xi](i=1,2, ∙∙∙ ,n)，作和式
b a g ( x)dF ( x)
F (b) F (a) P(a X b)
☆ 若X是离散型随机变量，即P ( X =ci )= pi (i=1,2, ∙∙∙ ) ，则
F ( x) pi
ci x
c0 , X ~ p , 0
c1 , cn p1 , pn
2
D( X i ) D( X i )
i 1 i 1
n
n
1.4.2.3随机变量的协方差和相关系数
定义3：设 X= X(ω), Y= Y (ω)是定义在概率空间(Ω ,F, P) 上的两个随机变量，若
0 DX ,0 DY 称 cov( X , Y ) E[( X EX )(Y EY )] E ( XY ) ( EX )( EY )
1 1 1 cov(X i , X j ) E ( X i , X j ) EX i EX j 2 2 n(n 1) n n (n 1)
DX D ( X i ) DX i 2 cov(X i , Y j )
i 1 i 1 1i j n

是一个跳跃型分布函数，即F(x)仅在c1 , c2 , ∙∙∙ 点作跃度pi的变化，
则R-S积分为

b
a
g ( x)dF ( x) g (ci )[ F (ci 0) F (ci 0)] g (ci ) pi
i 1 i 1


其R-S积分级数
1.4.2随机变量的数字特征
i j
n n
(3)若X1, X2, ∙∙∙ ,Xn两两不相关，则 D( X i ) D( X i )
i 1 i 1
(4)施瓦茨(Schwarz)不等式，设随机变量X, Y存在二阶矩，则
[ E ( XY )]2 E ( X 2 ) E (Y 2 )
特别 | cov( X , Y ) |2 DXDY 2 2 X Y
定义2：设 X= X(ω)是定义在概率空间(Ω ,F, P)上的随机变量， F (x)为其分布函数，若 x 2dF ( x) 存在，则称 2 2 DX E ( X EX ) ( x EX ) dF ( x) 刻画随机变量X 为随机变量X 的方差。 围绕其均值散布程度 亦记作 2 2 DX var X ( X ) X 而称 2
为(X,Y)的协方差(covariance)。简记为cov(X, Y)=σXY 特别X与 Y独立 cov(X, Y)=σXY=0
刻画随机变量X,Y取值存在 某种统计上的线性相关关系
2 X
2 Y
定义4：设 X= X(ω), Y= Y (ω)是定义在概率空间(Ω ,F, P)上的两 个随机变量，若 0 DX 2 ,0 DY 2
1 Xi 0
其分布率为
第i个人选中自己的帽子； 否则；
X Xi
i 1 n
(i 1,2,, n)
1 n 1 P(Xi 1 ) ,P(Xi 0 ) n n
EX i 1 , i 1,2, n n
EX E ( X i ) EX i 1
1.5 矩母函数、特征函数和拉普拉 斯变换
• 1.5.1随机变量的矩母函数(moment generating function) • 1.5.2 随机变量的特征函数(characteristic function) • 1.5.3 随机变量的拉普拉斯变换-（自变量的取 值非负）
1.5.1随机变量的矩母函数(moment generating function)
i 1
g (ui )F ( xi ) g (ui )[ F ( xi ) F ( xi 1 )]
i 1
1i n
n
n
令 max xi max ( xi xi 1 ) ，若极限
1i n
S (a, b) lim
n i i
存在，则记
0
g (u )F ( x )
| ( X , Y ) |2 1
推广： 设X1,X2 , ∙∙∙ ,Xn是n个随机变量，则
D( X i ) DX i 2 cov(X i , Y j )
i 1 i 1 1i j n
n
n
例：（配对问题）n个人将自己的帽子放在一起，充分混合后每 人随机取出一顶帽子，试求选中自己帽子的人数的均值和方差。 解：定义随机变量X
随机变量数学期望的性质 若ci (i=1,2, ∙∙∙ ,n)为常数， Xi= Xi(ω)是定义在概率空间(Ω ,F, P)上的随机变量，
则
E[ ci X i ] ci EX
i 1 i 1
n
n
设g(x)为x函数，F (x)为随机变量X分布函数，若E[ g(X)] 存在，则
E[ g ( X )]
tX

tx e
f ( x)dx
x1 , xn , p1 , pn ,
x0 , 如果X= X(ω)为离散型的，概率分布率为， ~ X p0 , txk 那么 g X (t ) e pk k
g ( x)dF ( x)

—当X为离散型随机变量，即 P (X=xi)=pi(i N )时，则
EX xi pi
i 1
EX 是X所有可能值的加权平均
—当X为连续型随机变量，且有概率密度 f (x) 时，则
EX
xf ( x)dx
设 X,Y是定义在概率空间(Ω ,F, P)上的两个随机变量，
1.4.2.1随机变量的数学期望( mathematical expectation or
mean)
定义1：设 X= X(ω)是定义在概率空间(Ω ,F, P)上的随机变量，
F (x)为其分布函数，若
|
x | dF ( x) 存在，则称
EX xdF ( x) 为随机变量X的数学期望（或称为X的均值(mean) ）.
☆设 X,Y是定义在概率空间(Ω ,F, P)上的两个随机变量，则：
(1)D( a
i 1
n
i Xi )

(2)若X1,X2 , ∙∙∙ ,Xn互相独立，则cov(Xi, Xj)=0 (ij) Xi,X j不相关
2 ai DX i i 1
n
2 ai a j cov( X i , X j )
X Y
称
cov( X , Y ) cov( X , Y ) ( X ,Y ) XY DXDY
刻画随机变量(X,Y) 之间线性关系的密切 程度
为(X,Y)的相关系数(correlation coefficient)。 特别若 (X,Y) =0 X,Y不相关
二维正态随机变量( X ,Y ) 的概率密度曲面与 相关系数 XY 的关系.
b n ci 1 a b n i 0 ci n b
g ( x)dF ( x) g ( x)dF ( x) (a c , b c ☆ g ( x)dF ( x) g ( x)dF ( x) ☆若g(x) 0 (a < b) 则 g ( x)dF ( x) 0