【高考冲刺】高考数学(文)真题专项汇编卷(2017—2019) 知识点13：坐标系与参数方程

知识点13：坐标系与参数方程
1、如图，在极坐标系Ox中，(2,0)
A，(2,)
4
B
π
，(2,)
4
C
3π
，(2,)
Dπ，弧»AB，
»BC，»CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)
2
π
，(1,)π，曲线
1
M是弧»AB，曲线
2
M
是弧»BC，曲线
3
M是弧»CD.
（1）分别写出
1
M，
2
M，
3
M的极坐标方程；
（2）曲线M由
1
M，
2
M，
3
M构成，若点P在M上，且||3
OP=P的极坐标.
2、在极坐标系中，O为极点，点
000
(,)(0)
Mρθρ>在曲线:4sin
Cρθ
=上，直线l过点(4,0)
A且与OM垂直，垂足为P.
(1)当
=
3
θ
π时，求
ρ及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
3、在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
2
2
2
1
1
4
1
t
x
t
t
y
t
⎧-
=
⎪⎪+
⎨
⎪=
⎪+
⎩
（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2cos3sin110
ρθρθ+=．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
4、在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
2cos
4sin
x
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
(θ为参数)，直线l的参数方程为
1cos
2sin
x t
y t
α
α
=+
⎧
⎨
=+
⎩
(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.
5、在平面直角坐标系xOy 中，
的参数方程为cos sin x y θ
θ==⎧⎨⎩ (θ为参数)，过点
(0,2)-且倾斜角为α的直线l 与
交于,A B 两点.
(1)求α的取值范围；
(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.
6、在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程||2,y k x =+以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的坐标方程22cos 30.ρρθ+-= (1)求2C 的直角坐标方程;
(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程
7、在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ==⎧⎨⎩ (θ为参数)，直线l
的参数方程为4,
1,x a t y t =+=-⎧⎨⎩ (t 为参数).
(1)若 1a =-，求
C 与l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到l 17，求a .
8、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.
(1)M 为曲线1C 的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
，点B 在曲线2C 上，求△OAB 面积的最大值.
9、在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x t
y kt
==⎧⎨⎩ (t 为参数)，直线2l 的
参数方程为2x m m
y k =-+=⎧⎪
⎨⎪⎩ (m 为参数)，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时， P 的轨迹为曲线 C .
(1)写出 C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
()
3:cos sin 0l ρθθ+，M 为3l 与 C 的交点，求M 的极径.
答案以及解析
1答案及解析：
答案：(1)由题设可得，弧»»»,,AB BC
CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-.
所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛
⎫=≤≤ ⎪⎝
⎭，2M 的极坐标方程为
π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤
⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫
=-≤≤ ⎪⎝⎭
. (2)设(,)P ρθ，由题设及（1）知
若π04θ≤≤，则2cos θ=π
6
θ=；
若π3π44θ≤≤
，则2sin θ=π3θ=或2π3
θ=；
若
3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π
6
θ=
.
综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭.
2答案及解析：
答案：(1) 因为点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，
所以004sin 4sin
3
π
ρθ===；
即)3M π，所以tan 3OM k π
==
因为直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，
所以直线l 的直角坐标方程为4)y x =-，即40x -=；
因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ+=，即l 的极坐标方程为
sin()26
π
ρθ+=；
(2) 设(,)P x y ，则OP y k x =
， 4
AP y
k x =-，
由题意，OP AP ⊥，所以1OP AP
k k =-，故2214y x x
=--，整理得22
40x y x +-=，
因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02,24x y ≤≤≤≤， 所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ()4
2
π
π
ρθθ=≤≤
.
3答案及解析：
答案：(1)因为221111t t --<≤+，且()
2
2
2
22
222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为2
2
1(1)4
y x x +=≠-.
l
的直角坐标方程为2110x +=.
(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,
2sin .x y αα=⎧⎨
=⎩
（α为参数，ππα-<<）.
C 上的点到l
π4cos 11
α⎛
⎫-+ ⎪=. 当2π
3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭取得最小值7，故C 上的点到l
.
4答案及解析：
答案：(1)曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +
=. 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=.
①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解， 设为12,t t ，则120t t +=.又由①得122
4(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-
+， 故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-.
5答案及解析：
答案：(1) 3,
44
ππ
α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
(2)2
21tan 1tan x y ααα⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪
⎪=-
⎪+⎩ (α为参数， 3,
44ππ
α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
) 解析：(1)设直线l
为y kx =- 由题意得直线l 与圆相交时，
1d =
<
()(),11,k ∴∈-∞-⋃+∞，又∵tan k α=
3,44αππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭
(2)设,A B 两点分别为1222(,),(,)x y x y ，P 点坐标为00(,)x y
联立221tan x y y x α⎧+=⎪⎨=⋅⎪⎩
: 22(1tan )20x x αα+-⋅+=
由韦达定理得1221tan x x α
α
+=
+
122
1tan y y α
∴+=-+
121200
22,21tan 21tan x x y y x y ααα
++∴=
===-++ ∴点P 得轨迹得参数方程为
221tan 1tan x y α
αα⎧=⎪⎪+⎨⎪=-
⎪+⎩
(α为参数， 3,44ππα⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
)
6答案及解析：
答案：(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++= (2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆
由题设知， 1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线，记y 轴右边的射线为
1l ，
y 轴左边的射线为2l ，由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等
价于1l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 两个公共点， 或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点
当1l 与2C 只有一个公共点时， A 到1l 所在直线的距离为2，
2=，故
4
3
k =-或0k =.
经检验，当0?k =时， 1l 与2C 没有公共点，当4
3
k =-时， 1l 与2C 只有一个公共
点， 2l 与2C 有两个公共点，
当2l 与2C 只有一个公共点时， A 到2l 所在直线的距离为2
2=，
故0k =或43
k =
. 经检验，当0k =时， 1l 与2C 没有公共点，当4
3
k =时， 2l 与2C 没有公共点 综上，所求1C 的方程为4
23
y x =-+
7答案及解析：
答案：(1)曲线 C :2
2221999
x y x y +=⇒+=.
直线l :44x y a +=+，当 1a =-时， 34x y =-
∴229934x y x y
+==-⎧⎨⎩，消x 得: 229241699y y y -++= 解得03y x ==⎧⎨⎩或24252125y x ⎧⎪-=⎨=
⎪⎪⎪⎩
∴ C 与l 的交点坐标为(3,0)和2124,2525⎛⎫
- ⎪⎝⎭。

(2)直线l :440x y a +--=
∴3cos 4sin 4
a d θθ+--=
≤
∴3cos 4sin 417a θθ+--≤ ∴()5sin 417a θϕ+--≤ ∴5417a --=± ∴16a =-或8.
8答案及解析：
答案：(1)设P 的极坐标为(),ρθ()0ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ()10ρ>. 由题设知OP ρ=，14
cos OM ρθ
==
. 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程()4cos 0ρθρ=>. 因此2C 的直角坐标系方程为()()2
2240x y x -+=≠. (2)设点B 的极坐标为(),B ρα()0B ρ>. 由题设知2OA =，4cos B ρα=， 于是△OAB 面积1
sin 2
B S OA AOB ρ=
⋅⋅∠ 4cos sin 3παα⎛
⎫=⋅- ⎪⎝
⎭
2sin 23πα⎛
⎫=--
⎪⎝⎭
2≤+
当12
π
α=-
时， S 取得最大值2+.
所以△OAB 面积的最大值为2.
9答案及解析：
答案：(1)消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-，消去参数 m 得2l 的普通方程()21
:2l y x k
=
+. 设(),P x y ，由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪
⎨=+⎪⎩
，消去k 得()2240x y y -=≠.
所以 C 的普通方程为()2240x y y -=≠.
(2) C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠.
联立()(
)222
cos sin 4cos sin 0
ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.
故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ==.
代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=， 所以交点M
的极径为。