【高考冲刺】高考数学(文)真题专项汇编卷(2017—2019) 知识点13：坐标系与参数方程

知识点13：坐标系与参数方程

1、如图，在极坐标系Ox中，(2,0)

A，(2,)

4

B

π

，(2,)

4

C

3π

，(2,)

Dπ，弧»AB，

»BC，»CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)

2

π

，(1,)π，曲线

1

M是弧»AB，曲线

2

M

是弧»BC，曲线

3

M是弧»CD.

（1）分别写出

1

M，

2

M，

3

M的极坐标方程；

（2）曲线M由

1

M，

2

M，

3

M构成，若点P在M上，且||3

OP=P的极坐标.

2、在极坐标系中，O为极点，点

000

(,)(0)

Mρθρ>在曲线:4sin

Cρθ

=上，直线l过点(4,0)

A且与OM垂直，垂足为P.

(1)当

=

3

θ

π时，求

ρ及l的极坐标方程；

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

3、在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

2

2

2

1

1

4

1

t

x

t

t

y

t

⎧-

=

⎪⎪+

⎨

⎪=

⎪+

⎩

（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

2cos3sin110

ρθρθ+=．

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)求C上的点到l距离的最小值．

4、在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

2cos

4sin

x

y

θ

θ

=

⎧

⎨

=

⎩

(θ为参数)，直线l的参数方程为

1cos

2sin

x t

y t

α

α

=+

⎧

⎨

=+

⎩

(t为参数).

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.

5、在平面直角坐标系xOy 中，

的参数方程为cos sin x y θ

θ==⎧⎨⎩ (θ为参数)，过点

(0,2)-且倾斜角为α的直线l 与

交于,A B 两点.

(1)求α的取值范围；

(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.

6、在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程||2,y k x =+以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的坐标方程22cos 30.ρρθ+-= (1)求2C 的直角坐标方程;

(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程

7、在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为3cos ,

sin ,x y θθ==⎧⎨⎩ (θ为参数)，直线l

的参数方程为4,

1,x a t y t =+=-⎧⎨⎩ (t 为参数).

(1)若 1a =-，求

C 与l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到l 17，求a .

8、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.

(1)M 为曲线1C 的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；

(2)设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫

⎪⎝⎭

，点B 在曲线2C 上，求△OAB 面积的最大值.

9、在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x t

y kt

==⎧⎨⎩ (t 为参数)，直线2l 的

参数方程为2x m m

y k =-+=⎧⎪

⎨⎪⎩ (m 为参数)，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时， P 的轨迹为曲线 C .

(1)写出 C 的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设

()

3:cos sin 0l ρθθ+，M 为3l 与 C 的交点，求M 的极径.

答案以及解析

1答案及解析：

答案：(1)由题设可得，弧»»»,,AB BC

CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-.

所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛

⎫=≤≤ ⎪⎝

⎭，2M 的极坐标方程为

π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤

⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫

=-≤≤ ⎪⎝⎭

. (2)设(,)P ρθ，由题设及（1）知

若π04θ≤≤，则2cos θ=π

6

θ=；

若π3π44θ≤≤

，则2sin θ=π3θ=或2π3

θ=；

若

3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π

6

θ=

.

综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭.

2答案及解析：

答案：(1) 因为点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，

所以004sin 4sin

3

π

ρθ===；

即)3M π，所以tan 3OM k π

==

因为直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，

所以直线l 的直角坐标方程为4)y x =-，即40x -=；

因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ+=，即l 的极坐标方程为

sin()26

π

ρθ+=；

(2) 设(,)P x y ，则OP y k x =

， 4

AP y

k x =-，