量子计算和量子信息(量子计算部分,Nielsen等着)4(大部分)

4.1
4.2
证明过程需要用到如下三个泰勒级数展开式：
e^x= 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x ）
sin x = x -x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k -1)*x^(2k -1)/(2k -1)!+Rn(x)(-∞<x<∞)
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<∞)
这种矩阵形式的指数表达式exp(iAx)就是用相应的泰勒级数展开来定义的，方法就是把
上面的x 换成这里的矩阵iAx 即可。

上面的数字1，就是单位矩阵I ，n 次方也就是矩阵
iAx 相乘n 次。

exp(iAx)=I+iAx -A^2x^2/2!-iA^3x^3/3!+A^4x^4/4!+......+(iAx)^n/n!+......
=I+iAx -Ix^2/2!-iA^3x^3/3!+Ix^4/4!+......
(注意到A^2=I)再结合sinx 和cosx 的泰勒级数展开式，就可以发现，
cos(x)I = I -Ix^2/2!+Ix^4/4!-...
isin(x)A=iAx -iA^3x^3/3!+iA^5x^5/5!-......
所以就有exp(iAx)=cos(x)I+isin(x)A
4.3
y z
H=(X+Z)/2=R x(π) R y(π/2)exp(iπ/2)
R x(θ)=R z(−π/2) R y(θ) R z(π/2)
所以H=R z(−π/2) R y(π) R z(π/2) R y(π/2)exp(iπ/2)
4.5
X^2=Y^2=Z^2=I 并且paili矩阵相互反对易，展开化简即得4.7
4.17
H Z H
4.18
左边线路的作用：
|00>→|00>
|01>→|01>
|10>→|10>
|11>→-|11>
右边线路的作用：
|00>→|00>
|01>→|01>
|10>→|10>
|11>→-|11>
所以等价
4.19
[1
001 00000000 0110][a b e f c d g ℎi j m n k l o p ][1001 00000000 0110
]=[a b e f c d g ℎm n i j o p k l ][1001 00000000 0110]
= [a b e f d c ℎg m n i j p o l k ]
4.20
左边=(H ⨂H)(|0><0|⨂I+|1><1|⨂X)(H ⨂H)= [1000 00010001 1000
]=右边
4.21
直接输入8个状态进行验证即可
4.22
设V^2=U,而V=e^(i α)AXBXC, V +=e^(-i α) C +XB +XA +
[100e^(i α)]可以无限穿越节点，但不能穿越X
4.23
U=R x (θ)=R z (−π2)R y (θ)R z (π2) 不能减少
U=R y (θ) 能
4.24
控制比特：
|00>: 第一比特位 T|0>=|0>
第二比特位 T +T +S= (T 2)+S=S +S=I
第三比特位 H T +T T +TH=I
|01>: 第一比特位 T|0>=|0>
第二比特位 T +T +S= (T 2)+S=S +S=I
第三比特位 H XT +T XT +TH=I
|10>: 第一比特位 T|1>=e^(i π/4)|1>
第二比特位 T +XT +X S=e^(−i π/4) S,
e^(−i π/4) S|0>= e^(−i π/4)|0>
第三比特位 H T +X T T +X TH=I,
e^(i π/4)|1>⨂ e^(−i π/4)|0>=|10>
|11>: 第一比特位 T|1>=e^(i π/4)|1>
第二比特位 T +XT +X S=e^(−i π/4) S,
e^(−i π/4) S|1>= e^(i π/4)|1>
第三比特位 H XT +X T XT +X TH= e^(-i π/2)HZH= e^(-i π/2)X e^(i π/4)|1>⨂ e^(i π/4)|1>= e^(i π/2)|11>
R z (π2) R y (θ2) R z (−π2) R y (θ2) R y (θ2
) R y (θ2)
4.25
(1)
第三比特是控制位
(2)
第三比特是控制位
或
第一比特是控制位
4.26
直接输入8个状态进行验证即可（验算后没相位因子？）
4.27
构造如图：
4.32
ρ,=∑ρij00ij |i><j|⨂|0><0|+ ∑ρij11ij |i><j|⨂|1><1|
ρ=Σρijmn |i><j|⨂|m><n|
tr(ρ)= Σρijmn |i><j|tr(|m><n|)=Σρijm |i><j|
4.33
产生Bell 态的线路为
而线路
与恒等算子I完成的效果一样
因而最后测量的是初始输入的计算基
4.36
4.37
U4U3U2U1U=I按照书上的步骤计算即可
4.39
4.40
E(U,V)=√<φ|(U −V )+(U −V )|φ>
=√<φ|(U +U +V +V)|φ>−<φ|(U +V +V +U)|φ>
=√2−<φ|(U +V +V +U)|φ>
U=cos(α/2)-isin(α/2)n ⃗ *σ
V= cos((α+β)/2)-isin((α+β)/2)n ⃗ *σ
<φ|(U +V +V +U)|φ>=<φ|2cos (β2)I|φ>=2cos (β2) E(U,V)= √2−2cos (β2)=|1-exp(i β/2)|
4.41
(S 为相位门)
输入|00 φ>
输出是|00>⨂(3/4 S| φ>+1/4 XSX| φ>)+(|01>+|10>−|11>⨂(1/4)(S| φ>− XSX| φ>)
（3/4）^2+(1/4)^2=5/8
所以以5/8的概率得到|00>
3/4 S+1/4 XSX=(1/4) [3+i 001+3i
]
R z (θ)=exp(-i θ/2) [10035+45i ]
而(3+i) [10035+45i ]= [3+i 001+3i
]
4.47
利用练习2.54 A ，B 对易，则exp(A)*exp(B)=exp(A+B)
4.49
左边对e^[(A+B)△t]泰勒展开到O(△t^3)即可
右边对e^（A △t ），e^（B △t ）泰勒展开到O(△t^3) e^{-0.5[A,B] △t^2}泰勒展开到O(△t^4)
右边再合并化简即可与左边相同
4.50
(1) 每项e^[-i H k △t] 泰勒展开到O(△t^2)即可
(2)E(U △t m ,e^(-2miH △t)≤∑E(U △t ,e^(−2iH △t)m 1
=m||U △t −e^(−2iH △t)|φ>||
=m|| O(△t^3) |φ>||
=ma △t^3
4.51
[01
−10
]X=Z
[0−i
−i0
]Y=Z 再用式4.113即可。