各高校自主招生数学试题

自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风格。

一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。

应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。

方程的根的问题：1. 已知函数2()f x ax bx c =++(0)a ≠，且()f x x =没有实数根．那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论．（08交大）2. 设432()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ： （1）方程()0f x =总有相同实根； （2）存在0x ，恒有0()0f x ≠．（07交大）3.（06交大）设3229,29270k x kx k x k ≥++++=解方程4. （053=的实数根．5.（05交大）320x ax bx c +++=的三根分别为a ,b ,c ，并且a ,b ,c 是不全为零的有理数，求a ,b ,c 的值．6. 解方程：．求方程2x x =+++n 重根）的解．(09交大)凸函数问题1. (2009复旦)如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x ，y 都满足 ()()()22x y f x f y f ++≤，则称这个函数时下凸函数，下列函数（1）()f x 2x = （2）()f x =3x（3）()f x =2log x （0x >）（4）,0,()2,0,x x f x x x <⎧=⎨≥⎩ 中是下凸函数的有-------------------。

A ．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)2. （06复旦）设x 1,x 2∈（0，2π），且x 1≠x 2，下列不等式中成立的是： (1)12（tanx 1+tanx 2）>tan 122x x +; (2) 12（tanx 1+tanx 2）<tan 122x x +;(3)12（sinx 1+sinx 2）>sin 122x x +; (4) 12（sinx 1+sinx 2）<sin 122x x +A ． (1),(3)B ．(1),(4)C ．(2),(3)D ．(2),(4)3.（09，清华）,1,y x 0,y 0,x +∈=+>>N n 证明：122221x -≥+n n n y柯西不等式时等号成立。

时，规定，当且仅当为任意实数，则，，，及，，，设)00())(()(22112222122221222112121=====++++++≤+++i i nn n n n n n n b a b a b a b a b b b a a a b a b a b a b b b a a a1．(03交大)已知,x y R +∈，x +2y ＝1，则22x y+的最小值是______________． 2. 已知2x+3y+4z=10，求x 2+y 2+z 2的最小值。

3．P 为△ABC 内一点，它到三边BC 、CA 、AB 的距离分别为123,,d d d ，S 为△ABC 的面积，求证：2123()2a b c a b c d d d S++++≥．（09南大） 4. 给定正整数n 和正常数a ，对于满足不等式a a a n ≤++2121的所有等差数列a 1,a 2,a 3,…,和式∑++=121n n i ia 的最大值=_______.（07复旦）A.)1(210+n a; B.n a 210; C.)1(25+n a; D.n a25. 5. （07复旦）当a 和b 取遍所有实数时，则函数22)sin 2()cos 35(),(b a b a b a f -+-+=所能达到的最小值为_____________. A.1; B.2; C.3; D.4.基础题1. 求()xe f x x=的单调区间及极值.(2007年清华)2.设正三角形1T 边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和.求1limnkn k A→∞=∑.(2007年清华)3. 圆内接四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝3，DA ＝4，求ABCD 的外接圆半径．(北大2009)4. 已知一公差为正整数无穷项等差数列，其中有3项：13，25，41．求证：2009为数列中一项．（2009，北大） 5. 求最小正整数n ，使得1()2n I =为纯虚数，并求出I ．(06,清华)6. 已知b a 、为非负数，1b a ,b a M 44=++=，求M 的最值．(06,清华)7. 已知θαθcos sin sin 、、为等差数列，θβθcos sin sin 、、为等比数列，求β-α2cos 212cos 的值．(06,清华) 8. 比较25log 24与26log 25的大小并说明理由．（04复旦）9. 求证：边长为1的正五边形对角线长为215+（08北大）. 10. 四面体ABCD 中,AB=CD,AC=BD,AD=BC 。

（1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形。

（2）设底面为BCD ，设另外三个面与面BCD 所形成的二面角为α，β，γ。

求证：cosα+cosβ+cosγ=1。

11.（09清华）（1）,1,y x 0,y 0,x +∈=+>>N n 证明：122221x -≥+n n n y（2）已知x ，y ，z>0，a ，b ，c 是x ，y ，z 的一个排列。

求证：3a b cx y z++≥。

12. 求所有3项的公差为8的自然数数列，满足各项均为素数。

13. 求所有满足tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++的非直角三角形（这里[]x 表示不超过x 的最大整数）(2009年南京大学自主招生试题)14. 求由正整数组成的集合S ，使S 中的元素之和等于元素之积(06，清华)。

15.1515-+的整数部分为A ，小数部分为B 。

（1）求A,B ； （2）求222AB A B ++； （3）求22lim()n n B B B →∞+++。

（09，清华）16．（09复旦）.定义全集X 的子集A⊂X 的特征函数为1,,()0,,AX x A x x A fC ∈⎧=⎨∈⎩这里，XA C 表示A 在X 中的补集。

那么，对A ，B⊂X ，下列命题中不准确的是_______________.A ．A ⊂B ⇔()Ax f ≤()Bx f ，∀x ∈XB ．()1()X AAx x C ff=-，∀x ∈Xc. ()A Bx f⋂=()Ax f()Bx f，∀x ∈XD.()A Bx f⋃=()Ax f+()Bx f，∀x ∈X17．（09复旦）.半径为R 的球内部装4个有相同半径r 的小球，则小球半径r 的最大可能值是_______________。

ARB.RC.R DR中等题18. 给出一个整系数多项式1110()nn n n f x a x a xa x a --=++++，使()0f x =2009清华）19.．通信工程中常用n 元数组123(,,,)n a a a a ……表示信息，其中0i a =或1，i n N ∈、．设123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……，(,)d u v 表示u 和v 中相对应的元素不同的个数．（１）(0,0,0,0,0)u =问存在多少个5元数组v 使得(,)1d u v =； （２）(1,1,1,1,1)u =问存在多少个5元数组v 使得(,)3d u v =；（３）令0(0,0,00)n w =个……，123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……，求证：(,)(,)(,)d u w d v w d u v +≥．（08交大）20．证明：若f （f （x ））有唯一不动点，f （x ）也有唯一不动点（09交大）21. 已知(1,1)A --，△ABC 是正三角形，且B 、C 在双曲线1(0)xy x =>一支上.(1)求证B 、C 关于直线y x =对称；(2)求△ABC 的周长.(07,清华)22. 是否存在实数x ，使3cot ,3tan ++x x 均为有理数？(09，北大)23．对于集合2R M ⊆，称M 为开集，当且仅当0P M ∀∈，0r ∃>，使得20{}P R PP r M ∈<⊆.判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否 为开集，并证明你的结论.(2007年清华)。

{}*111223*124.{},,,(,)(1).(2),1,.(3)(2),.n n m n mi i a a b b b a a b N a a b b a b a a m n N a b b a =∉=<=<<<∃∈+=∑首项为公差为首项为公比为且求的值若使求的值在的条件下求25．定义在R 上的函数()244+=x x x f ，⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n f n f n f S n 121 n =2,3,…(1) 求n S ； (2) 是否存在常数M >0，2≥∀n ，有231111n M S S S ++++≤．（05复旦） 26．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标．（07交大）27．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个平面？并证明。

（抛物线内部指焦点所在的一侧）（09清华）28． 数列{}n a 满足2121n na a +=-，1N a =且11N a -≠，其中{}2,3,4,N ∈①求证：11a ≤；② 求证：()12cos2N k a k Z π-=∈。

29.(03交大)求证：342231a a a a +++为最简分式．30.（04复旦）若存在M ，使任意D t ∈（D 为函数)(x f 的定义域），都有M x f ≤)(，则称函数)(x f 有界．问函数x x x f 1sin 1)(=在)21,0(∈x 上是否有界？31．对于集合2R M ⊆，称M 为开集，当且仅当0P M ∀∈，0r ∃>，使得20{}P R PP r M∈<⊆. 判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论.(2007年清华)。