高一人教版数学必修教案：幂函数幂函数
【人教A版高一数学必修1教案】幂函数
1 《幂函数》教案
一、教学目的：
使学生掌握幂函数的概念，会画幂函数的图象，能判定一个幂函数是增函 数还是减函数，能判断一个幂函数的奇偶性。
二、教学重难点：
1.教学重点：幂函数的图象、幂函数的增减性的证明。
2.教学难点：幂函数增减性的证明。
三、教学过程：
（一）新课引入
课本P90，p=w, S=a 2, V=a 3 ,a=S 21,v=t -1,
上述问题中的函数具有什么共同特征？
（二）新课讲授：
上述问题中涉及的函数，都是形如y ＝x a 的函数。
一般地，函数y ＝x a 叫做幂函数（power function ）。
其中x 是自变量，a 是常数。
当a ＝1,2，3，2
1，－1时，得到下列的幂函数，画出它们的图象，并观察图象， 将你发现的结论写在下表中：
y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 2
1
y ＝x －1 定义域 R R R ［0，＋∞） （－∞，0）∪（0，＋∞） 值域 R ［0，＋∞） R ［0，＋∞） （－∞，0）∪（0，＋∞） 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 ［0，＋∞）增 增 增 （－∞，0）减
（－∞，0）减 ［0，＋∞）减
定点 （1,1） （1,1） （1,1） （1,1） （1,1）
例1、证明幂函数f （x ）＝x 在［0，＋∞）上是增函数。
高中数学必修一幂函数教案
高中数学必修一幂函数教案教案主题：幂函数教案目标：1.了解幂函数的定义和性质；2.掌握幂函数图像的特点以及对称性；3.准确理解幂函数的增减性质并能应用到解题中；4.能够分析幂函数与线性函数、指数函数和对数函数的关系。
教学准备：1.多媒体教学工具；2.手写板或黑板；3.课本及教学参考书。
教学过程：一、导入（5分钟）教师利用多媒体工具或手写板呈现一幂函数的图像，并提问学生对于该图像的感受和认知。
引导学生逐渐了解幂函数。
二、输入与解释（10分钟）教师在黑板上写下幂函数的定义，并对每一部分进行解释。
幂函数定义：幂函数是指以自变量x为底数，以常数a（a>0且a≠1）为指数的函数。
它可以表示为y=x^a。
三、图像特点与对称性（20分钟）1.通过幂函数的图像和函数表达式的关系，教师解释幂函数的图像特点：（1）当a>1时，函数图像在x轴正半轴上逐渐上升；当0<a<1时，函数图像保持下降的趋势。
（2）当a为整数时，函数图像在坐标原点有一个翻转对称轴，如a为奇数，则函数图像在原点处且坐标原点是函数图像的一个特殊点。
2.教师通过实例讲解幂函数图像的对称性，并要求学生在黑板上绘制出幂函数图像，并观察其对称轴和特殊点。
四、增减性质与应用（30分钟）1.幂函数的增减性质：（1）a>1时，函数递增；（2）0<a<1时，函数递减。
教师通过函数的图像和定义，对幂函数的增减性质进行讲解，强调函数图像的上升和下降趋势。
2.教师通过例题引导学生应用增减性质去解题。
五、幂函数与其他函数的关系（20分钟）1.幂函数与线性函数的关系：幂函数的特殊情况即a=1时，函数变为y=x。
教师通过图像和式子对比，指出线性函数就是幂函数的特殊情况。
2.幂函数与指数函数及对数函数的关系：幂函数与指数函数和对数函数正好是互为反函数，即幂函数和指数函数是对方的反函数。
3.教师通过例题和实例分析，引导学生理解以上关系。
六、总结与归纳（10分钟）教师与学生共同总结幂函数的定义、图像特点以及与其他函数的关系。
高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修
高中数学（幂函数）示范教案新人教A版必修一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解幂函数的定义和性质；（2）会求幂函数的导数；（3）能够运用幂函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳幂函数的性质，培养学生的逻辑思维能力；（2）利用信息技术手段，展示幂函数的图象，提高学生的直观认知能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点1. 重点：幂函数的定义和性质，幂函数的导数。
2. 难点：幂函数在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习指数函数、对数函数的性质；（2）提问：幂函数是什么？它的图象和性质是怎样的？2. 自主学习：（1）学生自主探究幂函数的定义和性质；3. 课堂讲解：（1）讲解幂函数的定义和性质；（2）讲解幂函数的导数；（3）举例说明幂函数在实际问题中的应用。
4. 课堂练习：（1）学生独立完成练习题；（2）教师点评答案，解答疑问。
5. 课堂小结：（2）教师点评并补充。
四、课后作业1. 完成教材课后练习题；2. 选取两个不同的幂函数，分析它们的性质和图象；五、教学反思1. 反思教学目标是否达成，学生掌握情况如何；2. 反思教学过程中是否存在问题，如何改进；3. 针对学生的反馈，调整教学策略，为下一节课做好准备。
六、教学评价1. 评价内容：学生对幂函数的定义、性质和导数的掌握程度，以及运用幂函数解决实际问题的能力。
2. 评价方式：课堂练习、课后作业、课堂讨论、小组合作等。
3. 评价指标：准确性、逻辑性、创新性、合作精神等。
七、教学拓展1. 对比分析幂函数、指数函数和对数函数的性质及其应用；2. 探讨幂函数在其他学科领域的应用，如物理学、化学等；3. 引入复合幂函数的概念，引导学生进一步探究。
八、教学资源1. 教材：新人教A版高中数学必修教材；2. 课件：幂函数的定义、性质和导数的课件；3. 练习题：幂函数相关练习题及答案；4. 信息技术手段：多媒体投影、网络资源等。
新人教A版必修1《幂函数》教案
-强调幂函数的单调性、奇偶性、过定点等性质。
-结合具体幂函数，如f(x) = x^2、f(x) = x^3等，讲解其性质并举例说明。
-核心内容三：常见幂函数的图像与性质
-详细分析正比例函数、反比例函数、二次函数、三次函数的图像及其性质。
-引导学生观察图像，总结性质，并能运用性质解决相关问题。
2.教学难点
4.数学抽象：帮助学生从具体实例中抽象出幂函数的一般规律，培养学生的数学抽象思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容一：幂函数的定义及其一般形式
-重点讲解幂函数的一般形式f(x) = x^a，强调a为常数的特点。
-通过实例展示，让学生理解不同a值对应的幂函数图形差异。
-核心内容二：幂函数的性质
-难点三：幂函数在实际问题中的应用
-学生可能不知道如何将幂函数应用于实际问题，如计算面积、体积等。
-教师应设计相关实际问题，引导学生运用幂函数知识解决问题，提高应用能力。
-难点四：幂函数性质的应用与拓展
-学生可能难以将幂函数性质应用于更广泛的数学问题。
-教师可通过举例，如数学竞赛题等，展示幂函数性质在更复杂问题中的应用，拓展学生思维。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解幂函数的基本概念。幂函数是形如f(x) = x^a的函数，其中a为常数。幂函数在数学中具有重要地位，广泛应用于实际问题中。
2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)
2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。
力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。
情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。
2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。
函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。
高中数学新人教版A版精品教案《幂函数》
幂函数
一、教材分析：
《幂函数》是普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学必修一第二章第三单元的内容从本单元所在教材中的地位来看，它起到了承上启下的作用承上：在本章前两单元学习的指数函数和对数函数为本单元学习铺设了研究方法：例如“数形结合”、“从特殊到一般”、“类比”；同时，初
中学习的正比例函数x y =、反比例函数x
y 1=和二次函数2x y =也为本单元的学习提供了基础启
下：幂函数为学生在选修中学习导数做了铺垫
通过对本单元的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待已经接触的函数，进一步熟悉研究一个函数的方法因而本单元是对学生研究函数的方法和能力的综合提升
本单元内容安排1课时 二、教学目标：
1通过具体实例，了解幂函数的概念，体会建立一个函数模型的过程
2通过数形结合的研究方法，掌握五个具体幂函数：,,,3
2
x y x y x y ===2
1
x y =，1-=x y 的图象及性质
3经历研究五个具体幂函数的图象及性质的过程，掌握研究一般幂函数的图象及性质的方法，进一步渗透从特殊到一般的思想，培养学生综合归纳、类比的能力 三、教学重点：
1幂函数的概念
2五个幂函数的图象及性质 四、教学难点：
归纳五个幂函数的图象的共同特征，并由此得到对一般幂函数的图象及性质的研究方法 五、教学手段和方式：
本节课主要采用“思考、探究”，问题教学的方式，老师设置问题进行引导，学生自主学习、思考进行概念学习，合作交流、综合归纳进行思想方法的掌握意在充分体现的学生主体地位，教师的主导地位，让学生充分享受学习的兴趣
六、教学过程：
七、板书设计。
人教版高中必修一《幂函数》教案
人教版高中必修一《幂函数》教案一、教学目标1.了解幂函数的定义和特点；2.学习叠加思想，并掌握简单的幂函数叠加方法；3.能够解决一些实际问题。
二、教学重难点1.幂函数的定义及其特点；2.幂函数的叠加思想；3.幂函数的绘图方法；三、教学过程1.引入幂函数的定义：$y=x^p(p\\in \\mathbb{R})$让学生发现x的取值范围对函数图象的影响，并对函数图象进行描述。
2. 概念讲解1.首先讲解幂函数的定义，指出它是一种基本函数；2.介绍幂函数的性质，让学生知道幂函数的图像不可能横切x轴；3.引入幂函数的叠加思想，让学生知道可以将不同的函数图像叠加在一起。
3. 具体例子讲解1.书写公式，说明函数图象的性质；2.给出幂函数的图象，描出函数的图象；3.确定函数图象的性质，让学生明白函数图象的变化。
4. 例题解析1.给出实际问题，提供数据；2.根据实际问题列出函数式，确定函数图象；3.通过实际问题，解释函数图象的意义。
5. 分组讨论1.将学生分成若干小组，每组做一道练习题；2.每组向其他组展示自己的想法、方法及结果；3.学生之间相互交流，共同探讨出最佳答案。
四、教学方法1.板书法：结合具体例子进行讲解；2.案例法：让学生通过实际问题练习解题思路；3.分组讨论法：提高学生探究问题、思考问题和解决问题的能力。
五、教学帮助1.帮助学生理解定义和性质；2.尤其帮助学生掌握幂函数的叠加思想，找出函数图象的变化规律。
六、课堂反馈1.倾听学生提出的疑问和问题；2.鼓励并指导学生提出自己的解决方案；3.搜集学生反馈，及时调整教学进度和方法。
七、课堂作业1.完成教师布置的作业；2.阅读教材给出的例题；3.自己找出一些幂函数的例子进行探究。
幂函数教案：高中数学必修的章节之一
幂函数教案：高中数学必修的章节之一在高中数学必修的课程中，幂函数是一道重要而又基础的数学知识，更是我们学习其他数学知识的基础。
因此，针对高中数学必修中的幂函数教案，我们需要作出详细的讲解和探究，同时需要结合一些实例和练习来帮助学生更好地理解和掌握这一知识，提高数学素养和解题能力。
一、教学目标1.理解幂函数的定义和性质，知道其图像特征并能用具体实例说明。
2.能变形解决简单的幂函数的运算。
3.能应用指数函数和对数函数的性质，解决幂函数与指数函数、对数函数的联立方程。
二、教学重点1.在数轴上绘制幂函数的图像并分析其特征。
2.掌握幂函数的运算规则，以及幂函数与指数函数、对数函数的联立方程解法。
三、教学难点1.理解并掌握幂函数的定义和性质，知道幂函数的图像特点。
2.掌握幂函数的运算规则，能解决幂函数的简单运算。
3.掌握幂函数和指数函数、对数函数联立方程的解法。
四、教学过程1.幂函数的定义和性质幂函数是形如y=x^a（a为实数）的函数，其中x>0(x=0时，a>0)。
幂函数的图像特征与指数函数相似，是利用对数函数的概念、运算，指数函数的知识，掌握的一个重要的数学工具。
幂函数的图像特征：当a>1时，幂函数y=x^a的图像上升逐渐加速，当a=1时为与x 轴正比例函数y=x，当0<a<1时，幂函数y=x^a的图像上升逐渐减缓，最后趋近于x轴。
当a<0时，幂函数y=x^a的图像下降，且在x轴右侧有垂直渐近线x=0，在x轴左侧有水平渐近线y=0。
2.幂函数的运算规则加减法运算：当幂函数底数相同时，可将其指数相加或相减。
即x^a+x^b=x^(a+b)，x^a-x^b=x^(a-b)。
乘法运算：当幂函数底数相同时，可将其指数乘积。
即x^a*x^b=x^(a+b)。
幂函数的运算可以变形为指数函数和对数函数的运算，如x^a=y，可变形为a=logx(y)或者y=x^a，可变形为a=logy(x)。
人教版高中数学必修一2、3幂函数教案
《2.3幂函数》教学案例1.教学设计1.1教材的地位和作用《2.3幂函数》是继指数函数和对数函数后学习的另一个基本函数。
幂函数出现在必修一第二章第三节，是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。
本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。
因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。
1.2教学目标1.2.1基础知识目标（1）理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质；（2）能应用幂函数性质解决简单问题。
1.2.2能力训练目标（1）通过观察总结幂函数性质，培养学生抽象概括、逻辑推理和识图能力；（2）使学生进一步体会数形结合思想。
1.3教学重、难点重点：本节的教学重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难。
突破难点：引导学生观察图象，从图象特点入手，观察单调性奇偶性。
1.4学情分析学生学过了一次函数，二次函数，正、反比例函数，指数函数和对数函数，知道了他们的图象和性质，用性质解决一些简单问题也有了一定的基础，为学习幂函数做好了准备，但由于幂函数性质较复杂，学生需要一定的综合分析能力，所以在教学中重视学生自己动手操作、观察分析发现的过程。
我所教的班级是遵义四中高一（23）班，总体学习程度在中等，根据学生的学情，本节课我重在基础，难度上适当适中。
1.5教学用具本节课使用三角板，PPT ，学生准备白纸，格尺。
高中数学幂函数的教案
高中数学幂函数的教案
一、教学目标：
1. 理解幂函数的基本概念和特点；
2. 掌握幂函数的图像特征和性质；
3. 能够解决幂函数相关的问题。
二、教学重点：
1. 幂函数的定义和基本特点；
2. 幂函数的图像性质。
三、教学难点：
1. 幂函数的特殊情况的解决方法；
2. 幂函数的应用问题的解决。
四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入幂函数的概念，引发学生的兴趣。
2. 概念讲解：介绍幂函数的定义和基本特点，解释幂函数的图像特征和性质。
3. 实例演练：通过案例分析，让学生运用所学知识解决幂函数相关的问题。
4. 拓展应用：引导学生探讨幂函数在实际问题中的应用，开拓思维。
五、课堂讨论：组织学生讨论幂函数的特殊情况和解决方法，促进学生之间的交流和思考。
六、练习测试：布置与幂函数相关的习题，检验学生对知识的掌握程度。
七、总结反思：引导学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和感悟。
八、课后复习：提醒学生及时复习幂函数相关知识，完成作业，并准备下节课内容。
九、教学手段：采用多媒体教学、案例分析、讨论互动等方式，激发学生学习兴趣。
十、教学评估：根据学生的学习情况和表现，及时调整教学策略，确保教学效果。
十一、教学延伸：鼓励学生主动学习，拓展幂函数相关知识，提高数学思维能力。
以上是高中数学幂函数的教案范本，仅供参考。
祝教学顺利！。
《幂函数》教学设计
普通高中教科书数学必修第一册（人教A版2019）3.3幂函数一、教学目标：（一）了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.（二）通过具体实例，会画y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象，描述它们的变化规律，总结掌握幂函数的性质.（三）能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.二、教学重难点重点：幂函数的概念、图象和性质．难点：利用幂函数的性质解决有关问题.三、教学用具：ppt、geogebra软件四、教学过程：（一）情境导入前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例. 1．如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜wkg，那么她需要支付 p=w元，这里p是w的函数;2．如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y=x2,这里y是x的函数; 3．如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3,这里V是b的函数; 4．如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形场地的边长c=√S,这里c是S的函数;5．如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=1km/s,t 即v=t−1,这里v是t的函数.（二）探究活动1：请观察1—5中的函数解析式，讨论它们有何共同特征.1.p=w;2.y=x2;3.V=b3;,即v=t−1.4.c=√S，即c=s12;5.v=1t实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自，-1；它们都是形如y=xα的变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，12函数.【设计意图】将实际问题转化为数学问题，引导学生经历从实例中用函数思维方式抽象出幂函数的形式，进而引出新知识的定义和形式. （三）概念新知幂函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.1.练习：（1）下列函数哪些是幂函数（）①y＝x3②y=(1)x③y＝4x2④y＝x5＋12⑤y＝(x－1)2 ⑥y＝x ⑦y=2x（2）若f(x)＝(m2－4m－4)x m是幂函数，则m＝_____.结论：底数只能是自变量x，指数只能是常数,幂的系数只能是1, 解析式只能是一项；判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式；反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式．在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效.【设计意图】通过引导学生从函数的思维方式归纳出幂函数的定义，然后再通过练习和思考，学生进一步理解幂函数的定义.（四）探究活动2（数到形），−1时的图象与性质.现对于幂函数，我们只研究α=1，2，3，12请同学们尝试在同一坐标系中画出这五个函数的大致图象.（取点要具有代表性）老师用geogebra软件进行展示【设计意图】通过课前预习的网络作业让学生先独立画出三个幂函数的图像，然后课堂上在同一直角坐标系中通过描点法画出另外两个幂函数，在画的过程中体会图像的变化趋势，掌握幂函数的特征.（五）探究活动3（形到数）结合幂函数图像和解析式，将你发现的结论填写在下表.【设计意图】由形到数，发现并归纳5个常见幂函数的图像性质. （六）性质探究探究活动4：观察α=1,2,3，1/2 ，-1时幂函数的图形，填写以下研究报告1.特殊幂函数的性质(1) y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12，y＝x－1主要分布在第象限，第象限无图像.(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12和y＝x－1的图像都通过点；(3)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是，函数y＝x2是；(4)在区间(0,＋∞)上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12,函数y＝x－1；（5）在第一象限内，函数y＝x－1的图像向上与y轴，向右与x轴.2.一般幂函数的性质：(1)第一象限均有图像，第四象限均无图像(2)幂函数图像都过点(1,1)；α>0，函数过（0,0）(3)α为偶数时，幂函数是偶函数;α为奇数时，幂函数是奇函数.(4)当α>0时,幂函数在区间(0，+∞)上单调递增；当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减（5）一般地，幂函数的图像在直线x=1的右侧，指数大的在上，指数小的在下（指大图高），在y轴与直线x=1之间正好相反（指大图低）.【设计意图】引导学生通过观察函数的图像，分析归纳出五个函数图像各自性质的基础上，再归纳幂函数的共性和差异性，进而得出幂函数的基本性质.（七）应用提升例1．在下列四个图形中，y ＝x－12的大致图像是( )例2 比较下列各组数的大小.(1) (2) （3）（八）当堂检测1.下列函数是幂函数的是（ ）A .y =5x 2B .y =x 5−1 C .y =x 8D.y =（x +1）22.若 f (x )＝(m 2－2m －2)x m是幂函数，且在第一象限为增函数，则m ＝（ ）A .−1 B. 3 C. -1或3 D.13.已知幂函数y =f(x)的图像经过点（4， 12 ），则 f (2)=（ ）A .14B.4C.√22D.√24.下列正确的是( )A.(1.5)3<(1.4)3B. (0.1)0.3>(0.2)0.3C. (11.5)−3<(11.6)−3D. (0.6)3<(0.6)0.5111.5 1.4--，1.23，1.330.53 ，0.50.55.若（3-2m）12＞（m+1）12，求实数m的取值范围.五．归纳总结1.幂函数概念：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2.幂函数性质：(1)幂函数图象都过点(1,1).(2)α为偶数时，幂函数是偶函数。
人教版高中必修1幂函数教案
人教版高中必修1幂函数教案《人教版高中必修1幂函数教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！§2.3幂函数一.教学目标：1.知识技能(1)理解幂函数的概念;(2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2.过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质.3.情感、态度、价值观(1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法;(2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二.重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质三.学法与教具(1)学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;(2)教学用具：多媒体四.教学过程：1导入新课1.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系?根据函数的定义可知,这里p是w的函数.2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数.5.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?(右边指数式,且底数都是变量).(适当引导：从自变量所处的位置这个角度)(引入新课,书写课题:幂函数).2新知探究提出问题：问题①:给出下列函数:y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数?问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:一般地,形如y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.练1判断下列函数哪些是幂函数.(1)y=0.2x;(2)y=x-3;(3)y=x-2;(4)y=x;(5)y=2x2 ;(6)y=-x-1活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.解：(1)y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;(2)y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;(3)y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;(4)y=x的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.(5)的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;(6)的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.提出问题：问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?问题④:画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.讨论结果：③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的图象.列表:图1让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.通过观察图象,完成表格.提出问题：问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象?哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断?问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?讨论结果：⑤第一象限一定有幂函数的图象;第四象限一定没有幂函数的图象;而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.⑥幂函数y=xα的性质：(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因：1x=1);(2)当α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升).特别地,当α>1时,x∈(0,1),y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.当0<α<1时,x∈(0,1),y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.(3)当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.3典例精析例1比较下列各组数的大小：(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.比较数的大小,常借助于函数的单调性.对(1)(2)可直接利用幂函数的单调性.对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.解：(1)由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.(2)由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性;底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性例2.证明幂函数f(x)=在[0,+∞)上是增函数.活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.证明：任取x1,x2∈[0,+∞),且x1f(x1)-f(x2)===,因为x1-x2<0,x1+x2>0,所以<0.所以f(x1)点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x1)与f(x2)的符号要一致.4知能训练1.下列函数中,既是幂函数又是奇函数的是( )A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x2.下列结论正确的是( )A.幂函数的图象一定过原点B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是偶函数,也是幂函数3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( )A.y=x3B.y=x2C.y=D.y=x4.已知某幂函数的图象经过点(2,),则这个函数的解析式为. 。
人教版高中数学必修1： 2.3幂函数教案
2.3 幂函数（教学设计）教学目的：1．通过实例，了解幂函数的概念．2．具体结合函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，了解幂函数的变化情况．3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导． 教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难． 一、新课导入先看五个具体的问题：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数； （2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2a S =，这里S 是a 的函数； （3）如果立方体的边长为a ，求立方体的体积3a V =，这里V 是a 的函数；（4）如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长21S a =，这里a 是S 的函数； （5）如果某人t s 内骑车进行了1km ，那么他骑车的平均速度1-=t v km/s ，这里v 是t 的函数．讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数． 从上述函数中，我们观察到，它们都是形如y x α=的函数．二、师生互动，新课讲解： 1、幂函数的定义一般地，函数αx y =)(R a ∈叫做幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是常数．对于幂函数αx y =，我们只讨论1,21,3,2,1-=α时的情形． 2、幂函数的图象在同一直角坐标系内作出幂函数x y =； 21x y =； 2x y =；1-=x y ；3x y =的图象．观察以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．3、幂函数的性质 1）．五个具体的幂函数的性质（1）函数x y =； 21x y =； 2x y =；3x y =和1-=x y 的图象都通过点（1，1）；（2）函数x y =；3x y =；1-=x y 是奇函数，函数2x y =是偶函数；（3）在区间),0(+∞上，函数x y =，2x y =，3x y =和21x y =是增函数，函数1-=x y 是减函数；（4）在第一象限内，函数1-=x y 的图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近． 2）．一般的幂函数的性质（1）所有的幂函数αx y =在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数； α>1时，图象向上，靠近y 轴； 0<α<1，图景向上，靠近x 轴； α=1是条直线。
人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》教学案
[学习目标] 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 21的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.知识点一 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.思考 (1)任意一次函数和二次函数都是幂函数吗？若函数y ＝mx α是幂函数，m 应满足什么条件？(2)幂函数与指数函数有何区别？答 (1)并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的y ＝x 和y ＝x 2是幂函数.若y ＝mx α是幂函数，则必有m ＝1.(2)幂函数与指数函数不同点在于：幂函数形式为y ＝x α(α∈R )，其自变量x 处于底数位置，常数α处于指数位置；而指数函数形式为y ＝a x (a >0且a ≠1)，其自变量x 处于指数位置，常数a 处于底数位置，且a 须满足大于0而且不等于1. 知识点二 幂函数的图象与性质题型一 幂函数的概念例1 (1)已知(2，2)在幂函数f (x )的图象上，求f (2)的值； (2)已知函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)255-+a a x (a 为常数)为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，求实数a 的值.解 (1)设f (x )＝x α， ∵(2，2)在f (x )的图象上， ∴f (2)＝(2)α＝2，∴α＝2. 故f (x )＝x 2，f (2)＝22＝4.(2)∵f (x )为幂函数，∴a 2－3a ＋3＝1， 得a ＝1或a ＝2.当a ＝1时，f (x )＝x ，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意. 当a ＝2时，f (x )＝x －1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意.综上，得a 的值为2.反思与感悟 1.幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数.2.当α>0时，幂函数在第一象限内单调递增；当α<0时，幂函数在第一象限内单调递减.跟踪训练1 函数f (x )＝(m 2－m －1)23+-mm x是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式.解 根据幂函数定义得，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数， 当m ＝－1时，f (x )＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合题意.∴f (x )的解析式为f (x )＝x 3. 题型二 幂函数的图象例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )A.－2，－12，12，2B.2，12，－12，－2C.－12，－2，2，12D.2，12，－2，－12答案 B解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.注意当n ＞0时，对于y ＝x n ，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，n ＜0时看|n |的大小.根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n ＞0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝12，当n ＜0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－12，曲线c 4的n ＝－2，故选B.反思与感悟 幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，各幂函数图象对应的指数逆时针增大；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，指数也呈逆时针增大.(2)幂函数y ＝x α，若α>0，在第一象限内函数单调递增；若α<0，在第一象限内函数单调递减.(3)图象的凹凸性：在第一象限内，当0<α<1，曲线上凸；当α>1，曲线下凹；当α<0，曲线下凹.跟踪训练2 如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A.－1＜n ＜0＜m ＜1B.n ＜－1,0＜m ＜1C.－1＜n ＜0，m ＞1D.n ＜－1，m ＞1答案 B解析 方法一 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，如图所示.根据“点低指数大”，有0＜m ＜1，n ＜－1.方法二 根据幂函数图象增减性知m >0，n <0，由x ＝1右侧指数逆时针增大，知n <－1，由图象上凸知0<m <1，故选B. 题型三 比较幂的大小 例3 比较下列各组数的大小. (1)325-和3.125-；(2)898-和(19)98；(3)(34)－2和3－4；(4)(－13)－3和251. 解 (1)函数y ＝x25-在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以325->3.125-.(2)函数y ＝x 98在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，所以(18)98>(19)98，即898->(19)98.(3)3－4＝(32)－2＝9－2，函数y ＝x－2在(0，＋∞)上为减函数，又34<9，所以(34)－2>9－2，即(34)－2>3－4.(4)因为(－13)－3<0,251>0，所以(－13)－3<251.反思与感悟 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数.2.若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量. 跟踪训练3 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.5与⎝⎛⎭⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝⎛⎭⎫1243与⎝⎛⎭⎫3421.解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝⎛⎭⎫230.5＞⎝⎛⎭⎫350.5.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，∴⎝⎛⎭⎫1243＜⎝⎛⎭⎫1221. y ＝x 21是[0，＋∞)上的增函数， ∴⎝⎛⎭⎫3421＞⎝⎛⎭⎫1221.∴⎝⎛⎭⎫3421＞⎝⎛⎭⎫1243. 题型四 幂函数的奇偶性 例4 判断下列函数的奇偶性： (1)y ＝x 31；(2)y ＝x －2；(3)y ＝x32-.解 (1)f (－x )＝(－x )31＝－x 31＝－f (x )， 又∵y ＝x 31定义域为R ，∴y ＝x 31为奇函数.(2)f (x )＝x －2＝1x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f (－x )＝1(－x )2＝1x 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数. (3)f (x )＝x32-＝321x＝1x 3. ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称. ∴f (x )为非奇非偶函数.反思与感悟 幂函数的奇偶性.y ＝x n ，当n ＝pq (p ，q ∈Z )是最简分数时，若p ，q 均为奇数，则y ＝x n 是奇函数；若p 为偶数，q 为奇数，则y ＝x n 是偶函数；若q 为偶数，则y ＝x n 为非奇非偶函数.跟踪训练4 函数y ＝x 59在[－1,1]上是( ) A.增函数且是奇函数 B.增函数且是偶函数 C.减函数且是奇函数 D.减函数且是偶函数答案 A解析 由幂函数的性质知当α>0时，y ＝x α在第一象限内是增函数， ∴y ＝x 59在x ∈[0,1]上是增函数.设f (x )＝x 59，x ∈[－1,1]，则f (－x )＝(－x )59＝－x 59＝－f (x )，∴f (x )＝x 59是奇函数. ∵奇函数的图象关于原点对称， ∴x ∈[－1,0]时，y ＝x 59也是增函数.当x ＝0时，y ＝0，故y ＝x 59在[－1,1]上是增函数且是奇函数.故选A.忽略幂函数定义致误例5 函数y ＝(a 2＋1)211-a x是幂函数，求a 的取值范围.错解 根据幂函数的定义y ＝x α，α为常数， 知指数11－a2有意义，有1－a 2≠0，即a ≠±1，所以a 的取值范围是{a |a ≠±1}.正解 根据幂函数的定义y ＝x α，α为常数， 知a 2＋1＝1，即a ＝0， 此时指数11－a 2有意义，所以a 的取值范围为{0}. 易错警示跟踪训练5 幂函数y ＝(m 2－m －1)223--m m x ，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m 的值，并求函数的定义域. 解 因为y ＝(m 2－m －1)223--m m x为幂函数，所以m 2－m －1＝1，即(m －2)(m ＋1)＝0， 所以m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，y ＝x－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数.当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，y ＝x 0＝1(x ≠0)不是减函数， 所以m ＝2，此时y ＝x －3.所以函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}.1.下列给出的函数中，是幂函数的是( ) A.y ＝3x B.y ＝2x 3 C.y ＝x －3D.y ＝x 3－1答案 C2.若函数y ＝(k 2－k －5)x 2是幂函数，则实数k 的值为( ) A.3 B.2 C.3或－2 D.k ≠3且k ≠－2 答案 C解析 由幂函数的概念可知k 2－k －5＝1，即k 2－k －6＝0，得k ＝－2，或k ＝3. 3.幂函数f (x )＝x 23的大致图象为( )答案 B解析 由于f (0)＝0，所以排除C ，D 选项，而f (－x )＝(－x )23＝3(－x )2＝3x 2＝x 23＝f (x )，且f (x )的定义域为R ，所以f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称.故选B. 4.设f (x )＝(m －1)22-m x，若f (x )为正比例函数，则m ＝________；若f (x )是反比例函数，则m＝________；若f (x )是幂函数，则m ＝________. 答案 ±3 －1 2解析 f (x )＝(m －1)22-mx.若f (x )是正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≠0，m 2－2＝1，∴m ＝±3.若f (x )是反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≠0，m 2－2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠1，m 2＝1，∴m ＝－1.若f (x )是幂函数，则m －1＝1，∴m ＝2.5.若a ＝(12)53，b ＝(15)53，c ＝(－2)3，则a ，b ，c 的大小关系为________.答案 a ＞b ＞c解析 ∵y ＝x 53在(0，＋∞)上为增函数. ∴(12)53＞(15)53，即a ＞b ＞0. 而c ＝(－2)3＝－23＜0，∴a ＞b ＞c .1.幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量.2.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.3.简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1. (2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数. (3)如果α＜0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.一、选择题1.下列函数是幂函数的是( ) A.y ＝5x B.y ＝x 5 C.y ＝5x D.y ＝(x ＋1)3答案 B解析 函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数. 2.已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值为( ) A.16 B.116 C.12 D.2答案 C解析 设f (x )＝x a ，则有2a＝22，解得a ＝－12，即f (x )＝x 21-，所以f (4)＝421-＝12.3.设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A.1,3B.－1,1C.－1,3D.－1,1,3答案 A解析 可知当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，又∵y ＝x α的定义域为R ，则α＝1,3. 4.设a ＝⎝⎛⎭⎫2553，b ＝⎝⎛⎭⎫2552，c ＝⎝⎛⎭⎫3552，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.c ＞a ＞b C.a ＜b ＜c D.b ＞c ＞a答案 C解析 ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x 在R 上是减函数，又35＞25， ∴⎝⎛⎭⎫2553＜⎝⎛⎭⎫2552，即a ＜b .又∵函数y ＝x 52在R 上是增函数，且35＞25，∴⎝⎛⎭⎫3552＞⎝⎛⎭⎫2552，即c ＞b ，∴a ＜b ＜c . 5.函数y ＝x 31的图象是( )答案 B解析 函数y ＝x 31是幂函数，幂函数在第一象限内的图象恒过定点(1,1)，排除A 、D.当x >1时，x >x 31，故幂函数y ＝x 31图象在直线y ＝x 的下方，排除C.6.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( ) A.7个 B.8个 C.9个 D.无数个 答案 C解析 值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1,2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1,2}{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1,2}，{1,2，－2}，{－1,2，－2}，{1，－1,2，－2}，共有9种情况. 二、填空题7.已知幂函数f (x )＝x m 的图象经过点(3，13)，则f (6)＝________.答案136解析 依题意13＝(3)m ＝32m，所以m2＝－1，m ＝－2，所以f (x )＝x －2，所以f (6)＝6－2＝136.8.若y ＝249--a a x是偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a 的值是________.答案 1,3,5，－1解析 由题意得，a 2－4a －9应为负偶数， 即a 2－4a －9＝(a －2)2－13＝－2k (k ∈N *)， (a －2)2＝13－2k ，当k ＝2时，a ＝5或－1；当k ＝6时，a ＝3或1.9.已知幂函数f (x )＝x 21，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________. 答案 (3,5]解析 因为f (x )＝x 21＝x (x ≥0)， 易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又f (10－2a )<f (a ＋1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，10－2a ≥0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ≤5，a >3.所以3<a ≤5.10.幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x 2m －3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________.答案 －1解析 ∵f (x )＝(m 2－m －1)x 2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1， ∴m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x ，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m ＝－1时，f (x )＝x －5，符合题意.综上可知，m ＝－1. 三、解答题11.已知幂函数f (x )的图象过点(25,5). (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域. 解 (1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5， ∴α＝12，∴f (x )＝x 21.(2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ， ∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0， 即lg x ≤2，解得0＜x ≤100.∴g (x )的定义域为(0,100]，又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞).12.已知函数f (x )＝(a 2－a ＋1)x a＋1为幂函数，且为奇函数. (1)求a 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )＋[f (x )]2在[0，12]上的值域. 解 (1)因为函数f (x )＝(a 2－a ＋1)x a ＋1为幂函数，所以a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1.当a ＝0时，f (x )＝x ，函数是奇函数；当a ＝1时，f (x )＝x 2，函数是偶函数.故a ＝0.(2)由(1)知g (x )＝x ＋x 2＝(x ＋12)2－14. 当x ＝0时，函数取得最小值g (0)＝0；当x ＝12时，函数取得最大值g (12)＝12＋14＝34. 故g (x )在区间[0，12]上的值域为[0，34]. 13.已知幂函数f (x )＝(m －1)2242-+m m x在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k . (1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围. 解 (1)依题意，得(m －1)2＝1，解得m ＝0或m ＝2.当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去.∴m ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2.当x ∈[1,2]时，f (x )，g (x )单调递增，∴A ＝[1,4]，B ＝[2－k,4－k ].∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，⇒0≤k ≤1. ∴实数k 的取值范围是[0,1].。
高中优秀教案高一数学教案：《幂函数》教学设计
高一数学教案：《幂函数》教学设计高一数学教案：《幂函数》教学设计教学目标：1．使同学理解幂函数的概念，能够通过图象讨论幂函数的性质；2．在作幂函数的图象及讨论幂函数的性质过程中，培育同学的观查力量，概括总结的力量；3．通过对幂函数的讨论，培育同学分析问题的力量．教学重点：常见幂函数的概念、图象和性质；教学难点：幂函数的单调性及其应用．教学方法：采纳师生互动的方式，由同学自我探究、自我分析，合作学习，充分发挥同学的主动性与主动性，老师利用实物投影仪及计算机帮助教学．教学过程：一、问题情境情境：我们以前学过这样的函数：y＝x，y＝x2，y＝x?1，试作出它们的图象，并观查其性质．问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？二、数学建构1．幂函数的定义：一般的我们把形如y＝x(R)的函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数是常数．2．幂函数y＝x 图象的分布与的关系：对任意的 R，y＝x在第I象限中必有图象；若y＝x为偶函数，则y＝x在第II象限中必有图象；若y＝x为奇函数，则y＝x在第III象限中必有图象；对任意的 R，y＝x的图象都不会出现在第VI象限中．3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：（1）定点：＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；0时，图象过只过定点(1，1)．（2）单调性：＞0时，在区间[0，＋)上是单调递增；＜0时，在区间(0，＋)上是单调递减．三、数学运用例1 写出下列函数的定义域，并推断它们的奇偶性四、要点归纳与方法小结1．幂函数的概念、图象和性质；2．幂值的大小比较方法．五、作业课本P90-2，4，6．。
高中数学必修幂函数教案
高中数学必修幂函数教案【教学目标】1. 理解和掌握幂函数的概念和性质；2. 掌握求解幂函数的基本问题；3. 利用幂函数解决实际问题。
【教学重点和难点】1. 幂函数的概念和性质；2. 幂函数的图像；3. 幂函数与实际问题的联系。
【教学内容】一、幂函数的概念和性质1. 幂函数的定义：$y=x^a$，其中$a$为常数且$a\neq0$；2. 幂函数的性质：幂函数的定义域为实数集，具有相似性、奇偶性和单调性等性质。
二、求解幂函数的基本问题1. 求幂函数的零点；2. 求幂函数的最值；3. 求幂函数的增减性；4. 求幂函数的解析式。
三、幂函数与实际问题的联系1. 利用幂函数解决实际问题；2. 利用幂函数分析实际问题。
【教学过程】一、引入通过举例引导学生了解幂函数的基本概念，并讨论幂函数在现实生活中的应用。
二、幂函数的性质1. 讲解幂函数的定义和性质，引导学生理解幂函数的基本特点；2. 通过例题讲解幂函数的相似性、奇偶性和单调性等性质。
三、求解幂函数的基本问题1. 讲解如何求幂函数的零点、最值、增减性和解析式；2. 练习相关例题，巩固学生的求解能力。
四、幂函数与实际问题的联系1. 通过实际问题引导学生应用幂函数进行分析和求解；2. 练习相关实际问题，培养学生的应用能力。
【课堂练习】1. 求解函数$y=x^3-3x^2+2x$的零点和最值；2. 分析实际问题：“某商品的销售额与价格之间的关系可以表示为$y=10x^{-0.5}$，求价格为$100$元时的销售额。
”【教学反馈】对学生进行课堂参与评分，检查学生的作业完成情况并加以讨论，及时纠正学生的错误。
【课后作业】1. 完成课堂练习的题目；2. 拓展练习：自行设计一个实际问题，利用幂函数进行分析和求解。
以上为高中数学必修幂函数教案范本，希望对教学工作有所帮助。
高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修
高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修一、教学目标知识与技能：1. 理解幂函数的定义和性质；2. 掌握幂函数的图像和几何特征；3. 学会运用幂函数解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察、分析和探究，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力；2. 利用信息技术辅助教学，提高学生对幂函数图像的理解和应用能力。
情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的自主学习能力；2. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的应用意识。
二、教学重点与难点重点：1. 幂函数的定义和性质；2. 幂函数的图像和几何特征；3. 幂函数在实际问题中的应用。
难点：1. 幂函数的性质的推导和证明；2. 幂函数图像的分析和理解；3. 幂函数在实际问题中的灵活运用。
三、教学过程1. 导入：1.1 复习相关概念：函数、指数函数、对数函数；1.2 提问：幂函数在实际生活中有哪些应用？2. 知识讲解：2.1 引入幂函数的概念；2.2 讲解幂函数的性质；2.3 分析幂函数的图像和几何特征。
3. 案例分析：3.1 分析实际问题，引入幂函数；3.2 利用幂函数解决实际问题。
4. 课堂练习：4.1 练习幂函数的性质和图像分析；4.2 运用幂函数解决实际问题。
四、作业布置1. 复习幂函数的定义和性质；2. 分析幂函数的图像和几何特征；3. 运用幂函数解决实际问题。
五、教学反思本节课通过引入幂函数的概念，讲解幂函数的性质，分析幂函数的图像和几何特征，以及运用幂函数解决实际问题，旨在培养学生对幂函数的理解和应用能力。
在教学过程中，注意引导学生观察、分析和探究，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。
利用信息技术辅助教学，提高学生对幂函数图像的理解和应用能力。
在作业布置方面，注重巩固所学知识，培养学生的自主学习能力。
在教学反思中，要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行针对性教学，提高教学效果。
六、教学拓展1. 介绍幂函数在其他领域的应用，如物理学、化学、经济学等；2. 探讨幂函数与其他函数的关系，如指数函数、对数函数等；3. 引导学生进行课外阅读，了解幂函数的历史和发展。
高中数学教案《幂函数》
教学计划：《幂函数》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解幂函数的概念，掌握幂函数的一般形式及其图像特征；能够识别并绘制基本幂函数的图像；理解幂函数在特定区间内的单调性、奇偶性等基本性质。
2.过程与方法：通过观察、分析幂函数的图像，引导学生发现幂函数的性质；通过小组合作、讨论交流，培养学生探究问题的能力和团队合作精神；通过实例分析，提高学生运用幂函数解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的观察力和数学思维能力；通过幂函数的学习，让学生体会数学中的对称美、变化美，增强对数学美的感受力；培养学生的严谨治学态度和科学探索精神。
二、教学重点和难点●教学重点：幂函数的概念、一般形式及其图像特征；幂函数的基本性质（如单调性、奇偶性）及其判断方法。
●教学难点：理解幂函数图像与性质之间的关系，能够准确判断幂函数在特定区间内的性质；运用幂函数性质解决实际问题。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●情境创设：通过生活中的实例（如细胞分裂、面积与边长的关系等）引出幂的概念，进而引出幂函数的概念。
●问题导入：提出“这些关系能否用函数来表示？它们具有怎样的图像特征？”等问题，激发学生的好奇心和探究欲。
●明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握幂函数的概念、图像特征及基本性质。
2. 讲授新知（约15分钟）●定义讲解：详细讲解幂函数的概念和一般形式，强调底数为常数且不为0，指数为自变量。
●图像特征：利用多媒体展示基本幂函数（如y=x, y=x², y=x³, y=√x, y=1/x等）的图像，引导学生观察并总结它们的共同特征和不同点。
●性质阐述：结合图像，阐述幂函数在特定区间内的单调性、奇偶性等基本性质，并给出判断方法。
3. 观察探究（约10分钟）●图像分析：引导学生分组观察并分析更多幂函数的图像，记录它们的特征，并尝试从图像中判断幂函数的性质。
●小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自观察到的图像特征和判断结果，相互纠正错误，共同探究幂函数性质的图像表示方法。
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幂函数(第一课时)
课 型：新授课 教学目标：
通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 教学过程：
一、新课引入：
（1）边长为a 的正方形面积2
a S =，这里S 是a 的函数； （2）面积为S 的正方形边长2
1S a =，这里a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3
a V =，这里V 是a 的函数；
（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度s km t v /1
-=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付w p =元，这里p 是w 的函数. 观察上述五个函数，有什么共同特征？（指数定，底变） 二、讲授新课：。
幂函数的定义：一般地，我们把形如α
=x y 的函数称为幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是常数。
【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念）
结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从
它们的解析式看有如下区别：
对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数 对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数 试一试：判断下列函数那些是幂函数
（1）x
2.0y = （2）5
1x y = （3）3x y -= （4）2
x y -=
我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？（研究图象和性质）
（二）几个常见幂函数的图象和性质
【探究二】观察函数1
2
1
3
2
x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的图象，将你发现的结论写在下
表内。
【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：2
13
2x y ,x y ,x y ,x y ====的共同性质。
（1） 函数2
13
2
x y ,x y ,x y ,x y ====的图象都过点)0,0(),1,1( （2） 函数2
13
2
x y ,x y ,x y ,x y ====在[)+∞,0上单调递增；
归纳：幂函数α
=x y 图象的基本特征是，当0>α是，图象过点)0,0(),1,1(，且在第一象限随x 的增大而上升,函数在区间[)+∞,0上是单调增函数。
请同学们模仿我们探究幂函数α
=x y 图象的基本特征0>α的情况探讨0<α时幂函数
α=x y 图象的基本特征。
归纳：0<α 时幂函数α
=x y 图象的基本特征：过点)1,1(，且在第一象限随x 的增大而下降，函数在区间),0(+∞上是单调减函数，且向右无限接近X 轴，向上无限接近Y 轴。
例1（P78例1）
．证明幂函数()[0,]f x =
+∞上是增函数
证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则
12()()f x f x -=
因12x x -＜0
所以12()()f x f x <
，即()[0,]f x =+∞上是增函数.
例2. 比较大小：5
.1)1(+a 与5
.1a
；223
(2)a -+与23
2
-
；2
11
.1-
与2
19
.0-
.
三、巩固练习：
1、论函数3
2x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．
2. 比较下列各题中幂值的大小：4
33.2与434.2；5631.0与5
635.0；2
3)2(-
与2
3)
3(-
.
幂函数性质的应用(第二课时)
课 型：新授课
教学目标：利用幂函数性质求解析式，证明，及实际应用。
教学过程：
例1、已知函数2
21
()(2)m
m f x m m x +-=+，m 为何值时，()f x 是：
（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数。
解：（1）若2
21
()(2)m
m f x m m x +-=+为正比例函数，
则2211120
m m m m m ⎧+-=⇒=⎨+≠⎩ （2）若2
21
()(2)m
m f x m m x +-=+为反比例函数，
则22
11120m m m m m ⎧+-=-⇒=-⎨+≠⎩
(3) 若2
21
()(2)m
m f x m m x +-=+为二次函数，
则221220
m m m m m ⎧+-=⇒=⎨+≠⎩
（4）若2
21
()(2)m
m f x m m x +-=+为幂函数，
则2
21,1m m m +=⇒=-
例2、已知函数2
23
()()m
m f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(5)f f <，
（1）求m 的值，并
确定()f x 的解析式；
（2）若()log [()](0,1),a g x f x ax a a =->≠且是否存在实数a ，使()g x 在区间[2，3]上为增函数。
解：由
2
2
223
23
230
(3)5),3533()1()55
m
m m
m m m f f -++-++-++<⇒<⇒<=
2222
3
()5
3
2301.
2
,0 1.02331232
()1,(x y m m m m Z m m m m m m m f x m f x =∞∞∴-++>⇒-<<∈∴==-++==-++=∴=Q Q 在（-,+)上为减函数，
或当时，当时，而为偶函数，此时）=x （2）假设存在实数a ，使2
()log ()a g x x ax =-在区间[2,3]上为增函数，由
2420(2)(3)2, 1.
9302(),()1
2
a a
g g a a a
h x x ax h x x ->⎧⇒<<⎨->⎩=-=<与存在，得令则开口向上，对称轴
[2,3]x ∴∈当时,()h x 为增函数，又由()log ()a g x h x =在区间[2,3]上为增函数，得
1,1 2.a a >∴<<
例3、
若312(),(),f x x g x x x ==<<求证：
（1）12121
[()()](
);22
x x f x f x f ++>
（2）12121
[()()]();22
x x g x g x g ++<
证明：（1）
1212212121
[()()]()22..........
3
()()08
x x f x f x f x x x x ++-=-+>Q
∴12121
[()()]();22
x x f x f x f ++> （2）
22121221
{[()()]}[()]22
(1)
4
x x g x g x g ++-=-<
∴12121
[()()]();22
x x g x g x g ++< 例4、某工厂1968年的产值100万元增加到40年后2008年的500万元，如果每年年增长率相同，则每年年产值增长率是多少？
(lg 20.3,lg1.040.0175)==
解: 设每年年增长率为x ，根据题意，有40
40100(1)500,(1)5x x +=+=即
两边取自然对数，得40lg(1)lg5x +=
10
lg 20.3.lg5lg 1lg 20.72
=∴==-=Q lg50.7
lg(1)0.01754040
x ∴+=
== lg1.040.01750.044%x =∴==Q
答：每年的年增长率为4%。
练习：
1.指出函数2245
()44
x x f x x x ++=++
的单调区间，比较(),(2f f π--的大小。
增区间：(,2)-∞-，减区间(2,)-+∞；
()(2
f f π->-。