高三数学专题复习-几何概型-“约会问题”

数学专题复习 几何概型中的“约会问题”总结
几何概型是每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积和体积有关，它与古典概型最本质的区别就是基本事件的个数是无限的，学生对于有限的情况比较容易接受，但是对于无限的情形就觉得有点抽象，所以我们用长度、面积、体积这三个“几何测度”来刻画几何概型，将代数上的无限转化为几何上的有限，在这三种测度里面关于长度的问题学生一般觉得较简单，关于体积的问题考的不是很多，最主要还是关于面积测度的问题，由于出现的情况比较多，学生容易犯错，下面将以不同“约会问题”来讲解几何概型中的面积问题，“约会问题”的模型基本涵盖了几何概型中关于相遇类型的面积测度的情形。

（1）小明和小雪约了星期天下午在月牙塘公园见面，由于龙泉路最近在修路，可能会
堵车，小明说他大概4:00—5:00会到，小雪说她可能5:30—6:30到，他们约定先到的等二十分钟如果另一个还没来就可以先走了，假设他们在自己估计时间内到达的可能性相等，问他们两个能相遇的概率有多大？ 解：设小明和小雪相遇为事件A
从右侧图形中我们可以知道他们相遇的概率P(A)=0
（2）第二次约会：小明说他大概4:00—5:00会到，小雪说这次她大概5:00—6:00就会到了，这次他们约定先到的等半个小时另一个还没来就可以先走，假设他们在自己估计时间内到达的可能性相等，问他们两个能相遇的概率有多大？
分析：如果在一维坐标轴中表示他们相遇的可能性则种类太多，表达不清，又因为小明到达的时间在4点至5点间，小雪到达的时间在5点到6点间，属于两个变量的情形，所以我们采用二维的坐标系来构建这个题的数学模型。

设小明到达的时间为x ，小雪到达时间为y ，那么45x ≤≤
56y ≤≤
约定先到的等半个小时另一个还没来就可以先走则他们两个要相遇需要满足0.5y x ≤+
解：设小明到达的时间为x ，小雪到达时间为y ，小明和小雪相遇为事件A
则
45560.5x y y x ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤+⎩
试验的全部结果所构成的区域为
}
{(,)/45,56x y x y Ω=≤≤≤≤
事件A 构成的区域为
}
{(,)/0.5,45,56A x y y x x y =≤+≤≤≤≤
由图可知1111
2228
A S =⨯⨯=
，则
()8A P A S Ω=
=
所以小明和小雪相遇的概率为1/8
第一种约会情况也可以画二维坐标，由图可知，事件A 与试验全部结果所构成的区域没有交集，所以P(A)=0
（3）第三次约会：这次他们两个约定5:00—6:00见面，约定先到的等另一个半个小时，没来就可以先走了，假设他们在自己估计时间内到达的可能性相等，问他们两个能相遇的概率有多大？
事件A 构成的区域为
}
{
(,)/0.5,56,56A x y y x x y =-≤≤≤≤≤
由右图可知
1113
122224A S =-⨯⨯⨯=
所以两人相遇的概率
3()4A S P A S Ω=
=
（4）第四次约会：小雪说她大概4:30—5:30会到，小明说他可能因为有事会在5:00—6:00走，假设他们两个在估计时间内到和走的可能性都是一样的，问他们两个能相遇的概率有多大？
小明走的时间要大于小雪到的时间，这样两人才能相遇，所以事件A 构成的区域为
}
{(,)/,56,4.5 5.5A x y y x x y =≤≤≤≤≤
由右图可知
1117
12228A S =-⨯⨯=
所以两人相遇的概率
()8A P A S Ω=
=
（其实该模型就是必修三P137的送报纸模型）
（5）第五次约会：小明说他大概4:00—5:00会到，小雪说这次她大概5:00—6:00会到，他们约定先到的要等另一个两个小时，要是对方还没来才可以走，假设他们在自己估计时间内到达的可能性相等，问他们两个能相遇的概率有多大？
两人约定的条件是先到的等两个小时则
2y x -≤两人一定能遇到，则P(A)=1
（6）小明和小雪两人约定星期天下午4:00—5:00之间在小西门乘公共汽车一起去学校，在这段时间内有3班公共汽车，公车准时到达时刻分别为 4∶20，4∶40，5∶00，如果他们约定，见车就乘，求他们两个同乘一车的概率？
设两个人同乘一辆车为事件B ，则两人同乘一辆车必须满足
11
44,44
33x y ≤≤≤≤ 1212
44,443333x y ≤≤≤≤ 22
45,4533x y ≤≤≤≤
1113333B S ∴=⨯⨯=
1()3B S P A S Ω∴== 所以两人同乘一辆车的概率1/3
只要表示两个人或者两个物体相遇（如两条轮船靠港相遇）的几何概型问题或者更一般点两个变量之间的几何概型问题，都可以用二维坐标系将所有基本事件的区域和发生事件区域表示出来，最后由两个面积之比即可求出概率。