2012高等数学下试题及参考答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2011~2012学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．设有向量(1,2,2)a =-，(2,1,2)b =-，则数量积()()a b a b -⋅+ 。

2.曲面22z x xy y =++在点(1,1,3)M 处的切平面方程是 。

3．设u =(1,1,1)u =grad 。

4．幂级数0()3
n n x
∞
=∑的收敛半径R = 。

3
5．微分方程430y y y '''-+=的通解是 。

（今年不作要求）
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．已知(1,1,1)A ，(2,2,1)B ，(2,1,2)C ，则AB 与AC 的夹角θ是（B ）
A ．
4π B ．3π C ．6π D ．2
π
2．函数2z xy =在点(1,2)处的全微分是 （ D ）
A ．8
B ．4dx dy +
C ．22y dx xydy +
D ．4()dx dy + 3．设L 为圆周2
22x y a +=，取逆时针方向，则
2222()L
x ydx x x
y dy ++=⎰
（ B ）
A ．2a π
B ．
42a π C ．2
π
D ．0
4．下列级数中收敛的是 （ C ）
A
．1n ∞
= B
．1n ∞= C ．114n n ∞=∑ D ．11
4n n
∞
=∑
5．微分方程12
x y e
-'=的通解是 （ C ）
A ．12
x y e
C -=+ B ．12
x y e C =+ C ．12
2x y e C -=-+ D ．12
x y Ce
-=
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.设2,,x
s f x xyz y
⎛
⎫
= ⎪⎝
⎭
，且f 具有一阶连续偏导数，求
s x ∂∂，s y ∂∂，s z
∂∂. 2. 设由方程22240x y z z +++=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。

3．计算2D
x yd σ⎰⎰，其中D 是由直线2x =
，y 1
y x
=
所围成的区域。

4.计算d d d z x y z Ω
⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的闭区域。

（今
年不作要求）
5. 计算()()L
x y dx y x dy ++-⎰，其中L 是2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧。

6．判定级数1
5!
n n n n n ∞
=⋅∑的收敛性。

7．试用间接法将函数ln(5)x +展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。

四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1．从斜边之长为l 的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形。

2．计算22(1)84I x dydz xydzdx xzdxdy ∑
=-+-⎰⎰，其中∑是由曲线(0)
y x e y a =≤≤绕x 轴旋转而成的曲面，取左侧。

（今年不作要求）
3．设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有
2
()()0
x
S
xf x dydz xyf x dzdx e zdxdy
--=
⎰⎰，
其中函数()
f x在(0,)
+∞内具有连续的一阶导数，且
lim()1
x
f x
+
→
=，求()
f x。

（今年不作要求）
华南农业大学期末考试试卷（A卷）2011~2012学年第2 学期考试科目：高等数学AⅡ参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．02．3330
x y z
+--=3．或者++j4．3
5．3
12
x x
y C e C e
=+
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．B2．D 3．B 4．C 5．C
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
1.设2,,x
s f x xyz
y
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，且f具有一阶连续偏导数，求s
x
∂
∂
，s
y
∂
∂
，s
z
∂
∂。

解：令2
u x
=，
x
v
y
=，,
w xyz
=则………………1分
1
2
u v w
s s u s v s w
xf f yzf
x u x v x w x y
∂∂∂∂∂∂∂
'''
=++=++
∂∂∂∂∂∂∂
………………3分
2v w
s s v s w x
f xzf
y v y w y y
∂∂∂∂∂
''
=+=-+
∂∂∂∂∂
………………5分
w
s s w
xyf
z w z
∂∂∂
'
==
∂∂∂
………………7分
2. 设由方程22240
x y z z
+++=确定隐函数(,)
z z x y
=，求全微分dz。

解：令2224
F x y z z
=+++
2
x
z
F
z x
x F z
∂
=-=-
∂+
………………3分
2
y
z
F
z y
y F z
∂
=-=-
∂+
………………6分
()
22
x y
dz dx dy
z z
=-+
++
………………7分
3．计算二重积分2
D
x ydσ
⎰⎰，其中D是由直线2
x=，y=及曲线
1
y
x
=所围成
的区域。

解：原式2
211
x
dx x ydy =⎰⎰………………4分
32
1
1
()22
x dx =-⎰………………6分 11
8
=
………………7分 4.计算d d d z x y z Ω
⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的闭区域。

解1：把闭区域Ω投影到xOy 面上，得半径为2的圆形闭区域
{(,)|02,02π}xy D ρθρθ=≤≤≤≤.………………1分
在xy D 内任取一点(,)ρθ，过该点作平行于z 轴的直线，此直线通过曲面22z x y =+穿入Ω内，然后通过平面4z =穿出Ω外．因此闭区域Ω可用不等式
24,02,02πz ρρθ≤≤≤≤≤≤………………3分 来表示．于是2
2π24
00d d d d d d d d d z x y z z z z z ρ
ρρθθρρΩΩ
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰………………5分
2
2π2426000
11164d (16)d 2π8π.2263θρρρρρ⎡
⎤=-=⋅-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰………………7分 解2：可用先一后二，或者先二后一也可。

5. 计算曲线积分()()L
x y dx y x dy ++-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点
(1,1)的一段弧。

解：
原式1
(x dx x =++⎰………………5分
1211
2323=
++-………………6分 4
3
=………………7分
6．判定级数1
5!
n n n n n ∞
=⋅∑的收敛性。

解：1115(1)!lim lim (1)5!n n
n n n n n n
u n n u n n +++→∞→∞⋅+=⋅+⋅………………4分
l i m 5()1n n n
n →∞=+………………5分
5
1e
=>………………6分
∴原级数发散。

………………7分
7．试用间接法将函数ln(5)x +展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。

解：ln(5)ln[5(1)]5
x
x +=+………………1分
l n 5l n (1)5
x
=++………………3分
1
1
l n 5(1)(1)5
n n
n n x n +∞
+==+-+∑
………………6分 115
x
-<
≤，即55x -<≤………………7分 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1．从斜边之长为l 的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形。

解：作222()L l x y x y l λ=++++-………………1分
222120120L
x x L
y y
x y l λλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪+=⎪⎩
………………5分 得x y =………………6分 得x y ==
（唯一）………………7分 2．计算22(1)84I x dydz xydzdx xzdxdy ∑
=-+-⎰⎰，其中∑是由曲线(0)
y x e y a =≤≤绕x 轴旋转而成的曲面，取左侧。

解：作平面a x e =，取右侧，与曲面∑围成闭区域Ω。

………………2分
由高斯公式可得222
22(1)0a y z a I e dydz dV Ω
+≤+
-=⎰⎰⎰⎰⎰………………5分
所以222
2222(1)2(1)a a y z a I e dydz a e π+≤=-
-=-⎰⎰
………………7分
3．设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有
2()()0x
S
xf x dydz xyf x dzdx e zdxdy --=⎰⎰
， 其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数，且0
lim ()1x f x +→=，求()f x 。

解：由题设和高斯公式可得
220()()('()()())x x S
V
xf x dydz xyf x dzdx e zdxdy xf x f x xf x e dV =--=±+--⎰⎰⎰⎰⎰
…………2分
由S 的任意性知2'()()()0,0x xf x f x xf x e x +--=>
即211
'()(1)(),0x f x f x e x x x
+-=>………………3分
解之得：()()x x
e f x e C x
=+………………5分
由于00lim ()lim ()1x x x x e f x e C x ++→→=+=，故必有20lim()0x x
x e Ce +→+=…………6分 所以1C =-，于是()(1)x x
e f x e x
=-………………7分。