2012高等数学下试题及参考答案
2012年江苏高考数学试卷(高清版含详细答案)
2012年江苏高考数学试卷(高清版含详细答案)参考公式：（1）样本数据x 1 ,x 2 ，…，x n 的方差s 2=n i=11n ∑（x i -x ）2,其中n i i=11x n ∑.（2）(2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c 为底面积，h 为高.（3）棱柱的体积V= Sh ，其中S 为底面积，h 为高.一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。
．．．．．．．．．． 1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A 2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ Read a ，b If a >b Then m ←a Else m ←b End If Print m5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s7、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________9、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ12710、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为11、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 13、设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤。
专升本 高等数学 2012年专升本高等数学(二)参考答案
第一部分 极限和连续同步练习题1.1参考答案一、选择题1.C2.A3. A 二、填空题4. [4,2][2,4]-- 。
5. π。
6.3cos x 。
三、解答题7.2,1,tan ,12y u u v v w z z x ==+==-。
8.222112111()1()2()1()()21xf x f x x x x x x =++=++→=++。
同步练习题1.2参考答案一、选择题1.D2.C3.D4. C5.B6.C7.C 二、填空题8.2,3 9. 1 10. 0 11. 2-三、解答题12 (1)2121230113lim lim 230332433nn n n n n n n ++→∞→∞⎛⎫+ ⎪++⎝⎭===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
(2) 221...111lim lim 1...111n n n n n n a a a a b b b b b a b a →∞→∞++++---=⨯=++++---。
(3)111lim ...1335(21)(21)111111111lim 1...lim 12335(21)(21)2(21)2n n n n n n n n →∞→∞→∞⎡⎤++⎢⎥⨯⨯-+⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-=-=⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦(4)1lim[ln(1)ln]lim ln(1)ln1xx xx x x ex→+∞→+∞+-=+==。
(5)1114x xx→→→===(6)16x x→→==。
(7)22lim2x xx x→→==--(8)0001(1)11lim lim lim()112x x x x x xx x xe e e e e ex x x x---→→→------==+=+=-。
13.100lim(1)lim[(1)]nmn mnx mxx xmx mx e→→+=+=。
14. ()lim(1)lim[(1)]txt x xt tf x et tπππππ→∞→∞=+=+=,(ln3)3fπ=。
2012年浙江专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2012年浙江专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数f(x)=在x∈(一∞，+∞)上为( )A．有界函数B．奇函数C．偶函数D．周期函数正确答案：A解析：因为=0，故函数f(x)有界，答案A正确；可验证f(x)非奇非偶函数，所以答案B，C错误，也明显不是周期函数．2．已知f′(x0)=2，当△x→0时，dy为△x的( )A．同阶无穷小B．等价无穷小C．高阶无穷小D．低阶无穷小正确答案：A解析：=f′(x0)=2，所以当△x→0时，dy为△x 的同阶无穷小，即A答案正确．3．设函数f(x)满足f(0)=1，f(2)=3，f′(2)=5，f″(x)连续，则xf″(x)dx ( )A．10B．9C．8D．7正确答案：C解析：xf″(x)dx=xdf′(x)=xf′(x)f′(x)dx=2f′(2)一f(x)=2f′(2)一f(2)+f(0)=10—3+1=8，选项C正确．4．由y=，y=1，x=4围成的图形的面积为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：画图并利用定积分的几何意义，可知所围图形的面积A=dx－3=，因此答案B正确．5．已知二阶微分方程y″+2y′＋2=e－xsinx，则设其特解y*= ( ) A．e－x(acosx+bsinx)B．ae－xcosx+bxe－xsinxC．xe－x(acosx+bsinx)D．axe－xcosx＋be－xsinx正确答案：C解析：二阶微分方程y″+2y′+2=e－xsinx的特征方程为r2+2r+2=0，解得r1＝－1+i，r2＝－1－i，又因λ+ωi＝－1+i是特征方程的根，故取k=1，Rm(x)=1，因此y″+2y′+2=e－xsinx具有的特解形式可设为y*=xe－x(acosx+bsinx)，答案C正确．填空题6．－(x+1)]=___________．正确答案：2解析：－(x+1)]===2 7．函数y=sin的连续区间为___________．正确答案：[，1]解析：该函数在定义域内处处连续，所以解不等式组，解得定义域为x∈[－，1]．因此所求函数的连续区间为x∈[－，1]8．已知f′(3)=2，则=___________．正确答案：一4解析：由导数定义可得=－4．9．若函数y=y(x)由方程y=1+xey所确定．则y′=___________．正确答案：y′=解析：隐函数方程求导，y′=ey+xey.y′，解得y′=10．dx=___________．正确答案：ln｜cscx－cotx｜＋cosx＋C解析：dx=∫cscxdx－∫sinxdx=ln｜cscx－cotx｜＋cosx＋C11．极限表示的定积分为___________．正确答案：dx解析：利用定积分定义求极限，=，此极限为函数f(x)=在x∈[0，1]上的定积分，即12．级数的收敛区间为___________．正确答案：(－1，1)解析：因为ρ＝＝1，所以幂级数的收敛半径R==1，故收敛区间为(一1，1)．13．一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解为___________．正确答案：y=e∫－P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]解析：由一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解公式y=e∫－P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]．14．在xOy平面上与向量a=(4，一3，7)垂直的单位向量是___________．正确答案：b=解析：设所求向量b=(x，y，0)，则x2+y2=1 ①；且a.b=0，即4x－3y=0②由①和②解得，即b=，0)15．平面2x+y一z一1=0到平面2x+y一z＋3=0的距离为___________．正确答案：解析：可以判断两平面平行，故平面2x+y—z一1=0到平面2x+y—z+3=0的距离可以转换为平面2x+y－z－1=0上任一点到平面2x＋y－z＋3=0的距离，即d=解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2012年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．AB B ．CB C ．DC D ．AD2．函数1y x =+x ≥－1)的反函数为( ) A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1) 3．若函数()sin 3x f x ϕ+=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π34．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin2α＝( ) A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425 5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B ．13()2n -C ．12()3n -D ．112n -7． 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种8．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，122CC =E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A．2 BC ．2D．19．△ABC中，AB边的高为CD．若CB＝a ，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝()A．1133-a b B．2233-a bC．3355-a b D．4455-a b10．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A．14B．35C．34D．4511．已知x＝ln π，y＝log52，12=ez-，则()A．x＜y＜z B．z＜x＜yC．z＜y＜x D．y＜z＜x12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝13.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为() A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．(x＋12x)8的展开式中x2的系数为__________．14．若x，y满足约束条件10,30,330, x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z＝3x－y的最小值为__________．15．当函数y＝sin x x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A．18．已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和23n nnS a+=.(1)求a2，a3；(2)求{a n}的通项公式．19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC=P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．20．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2) 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．21．已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线l与x 轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a的值．22．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－12)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题答案解析:1． B ∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集， ∴C B ．2． A ∵1y x =+∴y 2＝x ＋1， ∴x ＝y 2－1，x ，y 互换可得：y ＝x 2－1. 又∵10y x =+≥.∴反函数中x ≥0，故选A 项． 3．C ∵()sin3x f x ϕ+=是偶函数，∴f (0)＝±1. ∴sin 13ϕ=±.∴ππ32k ϕ=+(k ∈Z)．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)． 又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，3π2ϕ=.故选C 项． 4．A ∵3sin 5α=，且α为第二象限角， ∴24cos 1sin 5αα=-=－－.∴3424sin22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选A 项． 5． C ∵焦距为4，即2c ＝4，∴c ＝2.又∵准线x ＝－4，∴24a c-=-.∴a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4.∴椭圆的方程为22184x y +=，故选C 项．6．B 当n ＝1时，S 1＝2a 2，又因S 1＝a 1＝1，所以21 2a=，213 122S=+=.显然只有B项符合．7．C由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为14A，剩余5人进行全排列：55A，故总的情况有：14A·55A＝480种．故选C 项．8．D连结AC交BD于点O，连结OE，∵AB=2，∴AC=又1CC=AC=CC1.作CH⊥AC1于点H，交OE于点M.由OE为△ACC1的中位线知，CM⊥OE，M为C H的中点．由BD⊥AC，EC⊥BD知，BD⊥面EOC，∴CM⊥BD．∴CM⊥面BDE.∴HM为直线AC1到平面BDE的距离．又△AC C1为等腰直角三角形，∴CH=2.∴HM=1.9．D∵a·b＝0，∴a⊥b.又∵|a|＝1，|b|＝2，∴||5AB=.∴||5CD==.∴2||25AD ==. ∴4544445()5555AD AB AB ===-=-a b a b .10． C 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ， 由双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴2m －m＝.∴m 又24c ==， ∴由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝2221212||||432||||4PF PF c PF PF +-=.11． D ∵x ＝ln π＞1，y ＝log 52＞1log 2=，121e2z -==>=，且12e －＜e 0＝1，∴y ＜z ＜x . 12． B 如图，由题意：tan ∠BEF =12， ∴2112KX =，∴X 2为HD 中点，2312X D X D =，∴313X D =， 4312X C X C =，∴413X C =， 5412X H X H =，∴512X H =， 5612X A X A =，∴613X A =，∴X 6与E 重合，故选B 项． 13．答案：7 解析：∵(x ＋12x )8展开式的通项为T r ＋1＝8C r x 8－r(12x)r ＝C r 82－r x 8－2r，令8－2r ＝2，解得r ＝3.∴x 2的系数为38C 2－3＝7.14．答案：－1解析：由题意画出可行域，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，要使z 取最小值，只需截距最大即可，故直线过A (0,1)时，z 最大．∴z max ＝3×0－1＝－1. 15．答案：5π6解析：y ＝sin xx＝1π2(sin )2sin()23x x x =-． 当y 取最大值时，ππ2π32x k -=+，∴x ＝2k π＋5π6.又∵0≤x ＜2π，∴5π6x =. 16．答案：35解析：设正方体的棱长为a .连结A 1E ，可知D 1F ∥A 1E ，∴异面直线AE 与D 1F 所成的角可转化为AE 与A 1E 所成的角， 在△AEA 1中，2222213cos 5a a a a a AEA ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪∠==. 17．解：由A ，B ，C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，A ＋C ＝120°.由2b 2＝3ac 及正弦定理得2sin 2B ＝3sin A sin C ， 故1sin sin 2A C ＝.cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12， 即cos A cos C －12＝12-，cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0，所以A ＝90°或A ＝30°.18．解：(1)由2243S a ＝得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3； 由3353S a ＝得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时有a n ＝S n －S n －1＝12133n n n n a a -++-， 整理得111n n n a a n -+=-. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，… a n －1＝2nn -a n －2，a n ＝11n n +-a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得(1)2n n n a +=. 综上，{a n }的通项公式(1)2n n n a +=. 19．解法一：(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．又P A ⊥底面ABCD ， 所以PC ⊥BD ． 设AC ∩BD =F ，连结EF .因为AC =P A =2，PE =2EC ，故PC =3EC =，FC = 从而PC FC =，ACEC =， 因为PC ACFC EC=，∠FCE =∠PCA ， 所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC =∠P AC =90°， 由此知PC ⊥EF .PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED ．(2)在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC ． 又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC ． BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直， 故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，2222PD PA AD =+=. 设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD 平面PBC ，BC 平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则1sin 2d PD α==. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.解法二：(1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (220,0)，D 2，b,0)，其中b ＞0， 则P (0,0,2)，E (23，0，23)，B 2b,0)． 于是PC ＝(220，－2)，BE ＝(23，b ，23)，DE ＝(23，－b ，23)，从而0PC BE ⋅=，0PC DE ⋅=， 故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE .(2)AP ＝(0,0,2)，AB ＝b,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量， 则m ·AP ＝0，m ·AB ＝0，即2z ＝0－by ＝0， 令x ＝b ，则m ＝(b，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC ＝0，n ·BE ＝0，即20r -=且2033bq r ++=，令p ＝1，则r =q b =-，n ＝(1，b-)． 因为面P AB ⊥面PBC ，故m·n ＝0，即20b b-=，故b = 于是n ＝(1，－1)，DP ＝(2)，1cos ,2||||DP DP DP ⋅==n n n ，〈n ，DP 〉＝60°. 因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP 〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.20．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2；B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ， P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P(A0·A)＋P(A1·A)＝P(A0)P(A)＋P(A1)P(A)＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2) P(B0)＝0.62＝0.36，P(B1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P(B2)＝0.42＝0.16，P(A2)＝0.62＝0.36.C＝A1·B2＋A2·B1＋A2·B2P(C)＝P(A1·B2＋A2·B1＋A2·B2)＝P(A1·B2)＋P(A2·B1)＋P(A2·B2)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.21．解：(1)f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1.①当a≥1时，f′(x)≥0，且仅当a＝1，x＝－1时，f′(x)＝0，所以f(x)是R上的增函数；②当a＜1时，f′(x)＝0有两个根x1＝－1x2＝－1当x∈(－∞，－1时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈(－11时，f′(x)＜0，f(x)是减函数；当x∈(－1∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．(2)由题设知，x1，x2为方程f′(x)＝0的两个根，故有a＜1，x12＝－2x1－a，x22＝－2x2－a.因此f(x1)＝13x13＋x12＋ax1＝13x1(－2x1－a)＋x12＋ax1＝13x12＋23ax1＝13(－2x1－a)＋23ax1＝23(a－1)x1－3a.同理，f(x2)＝23(a－1)x2－3a.因此直线l 的方程为y ＝23(a －1)x －3a . 设l 与x 轴的交点为(x 0,0)，得02(1)ax a =-， 22322031()[][](12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+----． 由题设知，点(x 0,0)在曲线y ＝f (x )上，故f (x 0)＝0， 解得a ＝0或23a =或34a =.22．解：(1)设A (x 0，(x 0＋1)2)，对y ＝(x ＋1)2求导得y ′＝2(x ＋1)， 故l 的斜率k ＝2(x 0＋1)．当x 0＝1时，不合题意，所以x 0≠1. 圆心为M (1，12)，MA 的斜率2001(1)21x k'x +-=-.由l ⊥MA 知k ·k ′＝－1， 即2(x 0＋1)·2001(1)21x x +--＝－1，解得x 0＝0，故A (0,1)， r ＝|MA |=，即2r =. (2)设(t ，(t ＋1)2)为C 上一点，则在该点处的切线方程为y －(t ＋1)2＝2(t ＋1)(x －t )，即y ＝2(t ＋1)x －t 2＋1.若该直线与圆M 相切，则圆心M=化简得t 2(t 2－4t －6)＝0，解得t 0＝0，12t =22t =抛物线C 在点(t i ，(t i ＋1)2)(i ＝0,1,2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y ＝2x ＋1，①y ＝2(t 1＋1)x －t 12＋1，② y ＝2(t 2＋1)x －t 22＋1，③ ②－③得1222t t x +==. 将x ＝2代入②得y ＝－1，故D (2，－1)． 所以D 到l的距离d ==.。
2012年高考理科数学试题及答案-全国卷2
2012年高考数学试题（理） 第1页【共10页】2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)理 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合A =｛1, 2， 3， 4， 5},B ={(x ,y ）｜ x ∈A ， y ∈A , x —y ∈A },则B 中所含元素的个数为（ ）A 。
3B. 6C. 8D 。
102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A. 12种B. 10种C 。
9种D 。
8种3。
下面是关于复数iz +-=12的四个命题中,真命题为( ）P 1： |z |=2， P 2: z 2=2i ， P 3： z 的共轭复数为1+i ， P 4： z 的虚部为-1 。
A 。
P 2，P 3B 。
P 1,P 2C 。
P 2，P 4D. P 3,P 44。
设F 1，F 2是椭圆E ： 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形,则E 的离心率为（ ） A 。
21B 。
32 C.43 D 。
54 5。
已知｛a n }为等比数列，a 4 + a 7 = 2，a5 a6 = 8，则a 1 + a 10 =（ ）A. 7B. 5C. —5D. —76. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2）和实数a 1， a 2，…,a N ,输入A 、B ,则（ ) A 。
A +B 为a 1， a 2，…，a N 的和B 。
2B A +为a 1， a 2，…，a N 的算术平均数C 。
A 和B 分别是a 1， a 2,…，a N 中最大的数和最小的数D 。
A 和B 分别是a 1， a 2,…，a N 中最小的数和最大的数 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）2012年高考数学试题（理） 第2页【共10页】A 。
2012年成人高考(专科起点升本科) 高等数学(二)试题及参考答案
2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）试题及参考答案试 题 一、选择题：1—10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．ｌｉｍx→３ｃｏｓ（x－２）x－２＝（ ）．Ａ．１ Ｂ．ｃｏｓ１ Ｃ．０ Ｄ．π２２．设函数y＝x２＋１，则ｄyｄx＝（ ）．Ａ．１３x３Ｂ．x２Ｃ．２xＤ．１２x３．设函数f（x）＝ｃｏｓx，则f′π２＝（ ）．Ａ．－１Ｂ．－１２Ｃ．０Ｄ．１４．下列区间为函数f（x）＝ｓｉｎx的单调增区间的是（ ）．Ａ．０，π２Ｂ．π２，πＣ．π２，３π２Ｄ．（０，２π）５．∫x２ｄx＝（ ）．Ａ．３x３＋CＢ．x３＋CＣ．x３３＋CＤ．x２＋C ６．∫１１＋xｄx＝（ ）．Ａ．ｅ１＋x＋CＢ．１１＋x＋CＣ．x＋CＤ．ｌｎ｜１＋x｜＋C７．设函数z ＝ｌｎ（x ＋y ），则抄z 抄x（１，１）＝（ ）．Ａ．０Ｂ．１２Ｃ．ｌｎ２Ｄ．１８．曲线y ＝４－x ２与x 轴所围成的平面图形的面积为（ ）．Ａ．２Ｂ．４Ｃ．２πＤ．４π９．设函数z ＝ｅx＋y ２，则抄２z抄x２＝（ ）．Ａ．２y Ｂ．ｅx＋２yＣ．ｅx＋y ２Ｄ．ｅx１０．设事件A ，B 互不相容，P （A ）＝０．３，P （B ）＝０．２，则P （A ＋B ）＝（ ）．Ａ．０．４４Ｂ．０．５Ｃ．０．１Ｄ．０．０６二、填空题：11—20小题，每小题4分，共40分．１１．ｌｉｍx →１x ２＋x ＋２x ２－３＝．１２．ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x３x＝．１３．设函数f （x ）＝x ２＋１，x ＜０，a ＋x ，x ≥０在x ＝０处连续，则a ＝．１４．曲线y ＝x ３＋３x 的拐点坐标为．１５．设函数f （x ）＝ｃｏｓx ，则f ″（x ）＝．１６．曲线y ＝ｓｉｎ（x ＋１）在点（－１，０）处的切线斜率为．１７．∫２x ｅx ２ｄx ＝．１８．∫１０ｃｏｓx ｄx ＝．１９．∫＋∞０ｅ－xｄx ＝．２０．设函数z ＝x ２ｅy，则全微分ｄz ＝．三、解答题：21—28题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．２１．（本题满分８分）计算ｌｉｍx →０ｅx－１x．２２．（本题满分８分）设函数y ＝ｌｎ（x ２＋１），求ｄy ．２３．（本题满分８分）计算∫ｌｎxxｄx ．２４．（本题满分８分）计算∫x ｃｏｓx ｄx ． ２５．（本题满分８分）已知某篮球运动员每次投篮投中的概率是０．９，记X为他两次独立投篮投中的次数．（１）求X的概率分布；（２）求X的数学期望EX．２６．（本题满分１０分）求函数f（x）＝x３－３x－２的单调区间和极值．２７．（本题满分１０分）已知函数f（x）＝－x２＋２x．（１）求曲线y＝f（x）与x轴所围成的平面图形的面积S；（２）求（１）中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．２８．（本题满分１０分）求二元函数f（x，y）＝x２＋y２＋２y的极值．参考答案 一、选择题１．Ｂ ２．Ｃ ３．Ａ ４．Ａ ５．Ｃ６．Ｄ７．Ｂ８．Ｃ９．Ｄ１０．Ｂ二、填空题１１．－２ １２．２３１３．１１４．（０，０）１５．－ｃｏｓx１６．１１７．ｅx２＋C１８．ｓｉｎ１１９．１２０．２xｅyｄx＋x２ｅyｄy三、解答题２１．解 ｌｉｍx→０ｅx－１x＝ｌｉｍx→０ｅx１＝１．２２．解 y′＝１x２＋１（x２＋１）′＝２x x２＋１，ｄy＝２x x２＋１ｄx．２３．解 ∫ｌｎx xｄx＝∫ｌｎxｄ（ｌｎx）＝１２（ｌｎx）２＋C．２４．解 ∫xｃｏｓxｄx＝∫xｄ（ｓｉｎx）＝xｓｉｎx－∫ｓｉｎxｄx＝xｓｉｎx＋ｃｏｓx＋C．２５．解 （１）X可能的取值为０，１，２．P｛X＝０｝＝０．１×０．１＝０．０１，P｛X＝１｝＝２×０．９×０．１＝０．１８，P｛X＝２｝＝０．９×０．９＝０．８１，因此X的概率分布为X０１２P０．０１０．１８０．８１ （２）数学期望EX＝０×０．０１＋１×０．１８＋２×０．８１＝１．８０．２６．解 函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞）．f′（x）＝３x２－３，令f′（x）＝０，得驻点x１＝－１，x２＝１．x（－∞，－１）－１（－１，１）１（１，＋∞）f′（x）＋０－０＋f（x）赤极大值０尺极小值－４赤 因此f（x）的单调增加区间为（－∞，－１），（１，＋∞）；单调减少区间为（－１，１）． f（x）的极大值为f（－１）＝０，极小值为f（１）＝－４．２７．解 （１）由y＝－x２＋２x，y＝０得交点坐标为（０，０），（２，０）．S＝∫２０（－x２＋２x）ｄx＝－x３３＋x２２０＝４３．（２）V＝∫２０πf２（x）ｄx＝∫２０π（－x２＋２x）２ｄx＝π∫２０（x４－４x３＋４x２）ｄx＝π１５x５－x４＋４３x３２０＝１６１５π．２８．解f′x（x，y）＝２x，f′y（x，y）＝２y＋２． 令f′x（x，y）＝０，f′y（x，y）＝０，得驻点（０，－１）． 因为f″x x（x，y）＝２，f″xy（x，y）＝０，f″y y（x，y）＝２，所以A＝f″x x（０，－１）＝２，B＝f″x y（０，－１）＝０，C＝f″yy（０，－１）＝２． 由于A＞０且AC－B２＞０，故f（x，y）在点（０，－１）处取得极小值，极小值为f（０，－１）＝－１．。
2012年高考数学试题及答案
2012年高考数学试题及答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，求f(0)的值。
A. 3B. -1C. 0D. 1答案：A2. 已知向量a=(3,-2)，b=(1,2)，求向量a+b的坐标。
A. (4,0)B. (2,0)C. (1,0)D. (0,0)答案：A3. 若三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2+b^2=c^2，该三角形为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B4. 函数y=2^x在定义域内是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数答案：A5. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C6. 若直线l的方程为y=2x+3，求该直线与x轴的交点坐标。
A. (0,3)B. (-3/2,0)C. (3/2,0)D. (0,-3)答案：C7. 已知椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a>b>0，求椭圆的离心率e的范围。
A. 0<e<1B. e>1C. e<0D. e=0答案：A8. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[1,2]上是：A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增答案：D9. 已知双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a>0，b>0，求双曲线的渐近线方程。
A. y=±(b/a)xB. y=±(a/b)xC. y=±xD. y=±√(a^2+b^2)x答案：A10. 已知抛物线方程为y^2=4x，求抛物线的焦点坐标。
A. (1,0)B. (0,1)C. (1,1)D. (0,0)答案：A11. 已知正方体的体积为V，求正方体的表面积S。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学江苏卷pdf版含答案
解集为 (m ，m + 6) ，则实数 c 的值为 ▲ ． 14．已知正数 a ，b ，c 满足：5c − 3a ≤ b ≤ 4c − a ，c ln b ≥ a + c ln c ，则 b 的取值范围是
a
▲．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．
同于点 C），且 AD ⊥ DE ，F 为 B1C1 的中点．
A1
C1
求证：（1）平面 ADE ⊥ 平面 BCC1B1 ； （2）直线 A1F // 平面 ADE．
B1 F E
A
C
D B （第 16 题）
17．（本小题满分 14 分） 如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某 炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y =kx − 1 (1 + k 2 )x2 (k > 0) 表示的曲线上， 20 其中 k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不 超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
已知实数 x, y 满足： x + y < 1 , 2x − y < 1 , 求证： y < 5 .
3
6
18
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 请在答．题．卡．指．定．区．域．内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2.(本小题满分 10 分) 设 ξ 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ = 0 ；
(完整版)2012年江苏省高考数学试卷答案与解析
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则A∪B={1.2.4.6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=所以a=5.b=3.故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算.解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭.复数的四则运算是复数考查的重要内容.要熟练掌握.复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图.则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值.判断是否循环.达到满足题目的条件.结束循环.得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0.不满足判断框．则k=2.22﹣10+4=﹣2＞0.不满足判断框的条件.则k=3.32﹣15+4=﹣2＞0.不成立.则k=4.42﹣20+4=0＞0.不成立.则k=5.52﹣25+4=4＞0.成立.所以结束循环.输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用.考查计算能力.注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0.] ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0.真数要大于0.得到不等式组.根据对数的单调性解出不等式的解集.得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0.且x＞0∴.x＞0∴.x＞0.∴.x＞0.∴0.故答案为：（0.]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到.开偶次方时.被开方数要不小于0.；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0.这种题目的运算量不大.是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数.它们能构成一个以1为首项.﹣3为公比的等比数列.若从这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为.然后找出小于8的项的个数.代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1.﹣3.（﹣3）2.（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1.﹣3.（﹣3）3.（﹣3）5.（﹣3）7.（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AB=AD=3cm.AA1=2cm.则四棱锥A ﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O.求出AO.然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O.AO是棱锥的高.所以AO==.所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法.考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线的离心率为.则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0.所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0.可得c2=m2+m+4.最后根据双曲线的离心率为.可得c2=5a2.建立关于m的方程：m2+m+4=5m.解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0.b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为.∴.可得c2=5a2.所以m2+m+4=5m.解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程.在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图.在矩形ABCD中.AB=.BC=2.点E为BC的中点.点F在边CD 上.若=.则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形.把已知向量用矩形的边所在的向量来表示.做出要用的向量的模长.表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于0.得到结果．解答：解：∵.====||=.∴||=1.||=﹣1.∴=（）（）==﹣=﹣2++2=.故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式.本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1]上.f （x）=其中a.b∈R．若=.则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数.由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0.解关于a.b的方程组可得到a.b的值.从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数.f（x）=.∴f（）=f（﹣）=1﹣ a.f（）=；又=.∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1）.∴2a+b=0.②由①②解得a=2.b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性.考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到a.b的方程组并求得a.b的值是关键.属于中档题．（2012•江苏）设α为锐角.若cos（α+）=.则sin（2α+）的值为．11．（5分）考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+.根据cosβ求出sinβ.进而求出sin2β和cos2β.最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+.∴sinβ=.s in2β=2sinβcosβ=.cos2β=2cos2β﹣1=.∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下.求2α+的正弦值.着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用.属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.若直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1.由题意可知.只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.整理得：（x﹣4）2+y2=1.即圆C是以（4.0）为圆心.1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4.0）到直线y=kx﹣2的距离为d.则d=≤2.即3k2﹣4k≤0.∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键.考查学生灵活解决问题的能力.属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.若关于x 的不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系.然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m.m+6.最后利用根与系数的关系建立等式.解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根.即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.即为x2+ax+＜c解集为（m.m+6）.则x2+ax+﹣c=0的两个根为m.m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系.同时考查了分析求解的能力和计算能力.属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a.b.c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a.clnb≥a+clnc.则的取值范围是[e.7] ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2.而5×﹣3≤≤4×﹣1.于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.利用其导数可求得f （x）的极小值.也就是的最小值.于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞.∵5c﹣3a≤4c﹣a.∴≤2．从而≤2×4﹣1=7.特别当=7时.第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc.∴0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.∵f′（x）=.当0＜x＜e时.f′（x）＜0.当x＞e时.f′（x）＞0.当x=e时.f′（x）=0.∴当x=e时.f（x）取到极小值.也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e.=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3.不等式成立.从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e.7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用.得到≥.通过构造函数求的最小值是关键.也是难点.考查分析与转化、构造函数解决问题的能力.属于难题．二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中.已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=.求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边.然后两边同时除以c 化简后.再利用正弦定理变形.根据cosAcosB≠0.利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角.及cosC的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值.进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值.由tanC的值.及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出tan（A+B）的值.利用两角和与差的正切函数公式化简后.将tanB=3tanA代入.得到关于tanA的方程.求出方程的解得到tanA的值.再由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•.∴cb cosA=3cacosB.即bcosA=3acosB.由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB.又0＜A+B＜π.∴cosA＞0.cosB＞0.在等式两边同时除以cosAcosB.可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=.0＜C＜π.sinC==.∴tanC=2.则tan[π﹣（A+B）]=2.即tan（A+B）=﹣2.∴=﹣2.将tanB=3tanA代入得：=﹣2.整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0.即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0.解得：tanA=1或tanA=﹣.又cosA＞0.∴tanA=1.又A为三角形的内角.则A=．点评：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则.正弦定理.同角三角函数间的基本关系.诱导公式.两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.A1B1=A1C1.D.E分别是棱1上的点（点D 不同于点C）.且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.得到CC1⊥平面ABC.从而AD⊥CC1.结合已知1条件AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线.得到AD⊥平面BCC1B1.从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中.A1F⊥B1C1.再用类似（1）的方法.证出A1F⊥平面BCC1B1.结合AD⊥平面BCC1B1.得到A1F∥AD.最后根据线面平行的判定定理.得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.1∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中.A1B1=A1C1.F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1.A1F⊂平面A1B1C1.∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1.∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE.AD⊂平面ADE.∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体.考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点.属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a 不超过多少时.炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标.求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值.由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中.令y=0.得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0.k＞0．∴.当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0.∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0.使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立.即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0.两根之积大于0.故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时.k=＞0．∴当a不超过6千米时.炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值.则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a.b是实数.1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2.求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c.其中c∈[﹣2.2].求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数.根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x.求出g′（x）.令g′（x）=0.求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx.得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点.∴f′（1）=3﹣2a+b=0.f′（﹣1）=3+2a+b=0.解得a=0.b=﹣3．（2）由（1）得.f（x）=x3﹣3x.∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0.解得x1=x2=1.x3=﹣2．∵当x＜﹣2时.g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时.g′（x）＞0.∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时.g′（x）＞0.∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t.则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况.d∈[﹣2.2]当|d|=2时.由（2 ）可知.f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2.注意到f（x）是奇函数.∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时.∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0.f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0.∴一2.﹣1.1.2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知.f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2.+∞）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数.从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2.+∞）无实根．②当x∈（1.2）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0.f（2）﹣d＞0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（1.2 ）内有唯一实根．同理.在（一2.一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1.1）时.f′（x）＜0.于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0.f（1）﹣d＜0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（一1.1 ）内有唯一实根．因此.当|d|=2 时.f（x）=d 有两个不同的根 x1.x2.满足|x1|=1.|x2|=2；当|d|＜2时.f （x）=d 有三个不同的根x3.x4.x5.满足|x i|＜2.i=3.4.5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时.f（t）=c有两个根t1.t2.满足|t1|=1.|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根.f（x）=t2有两个不同的根.故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时.f（t）=c有三个不同的根t3.t4.t5.满足|t i|＜2.i=3.4.5．而f（x）=t i有三个不同的根.故y=h（x）有9个零点．综上所述.当|c|=2时.函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时.函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用.考查函数的极值.考查函数的单调性.考查函数的零点.考查分类讨论的数学思想.综合性强.难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c.0）.F2（c.0）．已知（1.e）和（e.）都在椭圆上.其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A.B是椭圆上位于x轴上方的两点.且直线AF1与直线BF2平行.AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=.求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据椭圆的性质和已知（1.e）和（e.）.都在椭圆上列式求解．析：（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my.与椭圆方程联立.求出|AF1|、|BF2|.根据已知条件AF1﹣BF2=.用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行.点B在椭圆上知.可得..由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2.e=.由点（1.e）在椭圆上.得.∴b=1.c2=a2﹣1．由点（e.）在椭圆上.得∴.∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1.0）.F2（1.0）.又∵直线AF1与直线BF2平行.∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my．设A（x1.y1）.B（x2.y2）.y1＞0.y2＞0.∴由.可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴.（舍）.∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=.∴.解得m2=2．∵注意到m＞0.∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行.∴.即．由点B在椭圆上知..∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得...∴PF1+PF2=．∴PF 1+PF 2是定值．点评： 本题考查椭圆的标准方程.考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题．20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n+1=.n ∈N *.（1）设b n+1=1+.n ∈N*.求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•.n ∈N*.且{a n }是等比数列.求a 1和b 1的值．考点： 数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析：（1）由题意可得.a n+1===.从而可得.可证（2）由基本不等式可得..由{a n }是等比数列利用反证法可证明q==1.进而可求a 1.b 1解答：解：（1）由题意可知.a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n ＞0.b n ＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q.由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1.则.故当时.与（*）矛盾0＜q＜1.则.故当时.与（*）矛盾综上可得q=1.a n=a1.所以.∵∴数列{b n}是公比的等比数列若.则.于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1.b2.b3至少有两项相同.矛盾∴.从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答.22、23必做题）（共3小题.满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图.AB是圆O的直径.D.E为圆上位于AB异侧的两点.连接BD并延长至点C.使BD=DC.连接AC.AE.DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵.求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中.已知圆C经过点P（.）.圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x.y满足：|x+y|＜.|2x﹣y|＜.求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C.就得找一个中间量代换.一方面考虑到∠B.∠E是同弧所对圆周角.相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵.根据定义可求出矩阵A.从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（.）.求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径.∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC.∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D.E 为圆上位于AB异侧的两点.∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵.∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1.λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0.得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1.0）．∵圆C 经过点P（.）.∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|.|x+y|＜.|2x﹣y|＜.∴3|y|＜.∴点评：本题是选作题.综合考查选修知识.考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明.综合性强22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条.当两条棱相交时.ξ=0；当两条棱平行时.ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列.并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意1个顶点恰有3条棱.∴共有8对相交棱.∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行.则它们的距离为1或.其中距离为的共有6对.∴P（ξ=）=.P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望.求概率是关键．23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1.2.….n}.n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A.则2x∉A；③若x∈ A.则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}.故4可求f（4）（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数；若m∉A.则x∈A⇔k为奇数.可求解答：解（1）当n=4时.P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}4故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.于是x=m•2k.其中m为奇数.k∈N*由条件可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数若m∉ A.则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数.当n为偶数时（或奇数时）.P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用.解题的关键是准确应用题目中的定义。
2012级下学期 高等数学2 习题2(解答) 2
dz y cos(xy)dx x cos(xy)dy cos(xy)( ydx xdy)
x y 4．设 D 是由直线 x 0 ， 1 ， 0 ， 1 围成的矩形区域， y
e x y dxdy 【 B 】 则
D
(A)
1
x y
(e 1)2 (B)
x y
f x( x, y ) ，f y ( x, y ) ，f xx ( x, y ) ，f xy ( x, y ) ，f yy ( x, y )
f x( x, y ) 0 ( x, y ) 0 ，解此方程组，求出驻点： fy
2.求驻点：令
( x1 , y1 ) ， x2 , y2 ) ， ( ，( xn , y n ) (n 0) 3.对每一个驻点 ( xi , yi ) (i 1,2,n) ： （见342页定理8.5）
x arcsin e
2
x
dx x 2 arcsin e x C
若 G (x) 是 f (x) 的原函数，则 G( x) f ( x)
[ f (t )dt] f ( x)
a
x
，
[
( x)
a
f (t )dt] f [ ( x)] ( x)
】
cos x
若
p( xi , yi ) 0 ，则此法不能判断 ( xi , yi ) 是否为极值点。
5．求函数
z 2 x x( y 1)
2
2
的极值。
z [2 x 2 x( y 1) 2 ]x (2 x 2 )x [ x( y 1) 2 ]x 4 x ( y 1) 2 解： x z y [2 x 2 x( y 1) 2 ]y (2 x 2 )y [ x( y 1) 2 ]y 2 x( y 1)
6月江苏省2012年高考数学最后一卷(解析版)
2012江苏高考最后一卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的最小正周期是π，则ω= ▲ ．2．若复数(12)(1)i ai ++是纯虚数，则实数a 的值是 ▲ ．3．已知平面向量(1,1)a =- ，(2,1)b x =- ，且a b ⊥，则实数x = ▲ ．4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回．．．地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 ▲ ． 5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ▲ ． 6．给出下列四个命题：（1）如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面α相交（2）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β （3）如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直（4）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β真命题．．．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 7．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为 ▲ ．8．已知二次函数()f x =241ax x c -++的值域是[1,)+∞，则19a c+的最小值是 ▲ ．9．设函数3()32f x x x =-++，若不等式2(32sin )3f m m θ+<+对任意R θ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ．10．若动点(,)P m n 在不等式组2400x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则1n m t m -=+的取值范围是 ▲ ．11．在A B C ∆中，AB 边上的中线2C O =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ▲ ．12．设D 是函数()y f x =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00()f x x =-，则称0x 是()f x 的一个“次不动点”，也称()f x 在区间D 上存在次不动点．若函数25()32f x ax x a =--+在区间（第5题）A BC DD 1C 1B 1A 1 [1,4]上存在次不动点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．将所有的奇数排列如右表，其中第i 行第j 个数表示为ij a ，例如329a =．若445ij a =，则i j += ▲ ．14．若实数,,a b c 成等差数列，点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为M ，点(3,3)N ，则线段M N 长度的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a B c B b C =+． （1）求角B 的大小；（2）设向量(cos ,cos 2)m A A = ，(12,5)n =- ，求当m n ⋅ 取最大值时，tan(4A π-的值．16．（本小题满分14分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，2AB AD =，C D A D =．（1）求证：1B CB ∠是二面角1B AC B --的平面角；（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．17．（本小题满分14分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时m元，根据市场调研，得知m 的波动区间是[1000,1600]，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将从甲地到乙地的运输成本y （元）表示为航行速度x （海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？18．（本小题满分16分）已知中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆C 过点(2,1)M ，离心率为2如图，平行于O M 的直线l 交椭圆C 于不同的两点,A B ．（1）当直线l 经过椭圆C 的左焦点时，求直线l 的方程；1 3 57 9 11 ……（第12题）（2）证明：直线,M A M B 与x 轴总围成等腰三角形．19．（本小题满分16分）已知函数21()(21)2ln 2f x ax a x x =-++，其中常数0a >．（1）求()f x 的单调区间；（2）如果函数(),(),()f x H x g x 在公共定义域D 上，满足()()()f x H x g x <<，那么就称()H x 为()f x 与()g x 的“和谐函数”．设2()4g x x x =-，求证：当522a <<时，在区间(0,2]上，函数()f x 与()g x 的“和谐函数”有无穷多个．20．（本小题满分16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为数列{}n a 的前n 项和． （1）若数列{}n a 是等差数列，且对任意正整数n 都有()33n nS S =成立，求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数n ，从集合12{,,,}n a a a 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与12,,,n a a a 一起恰好是1至n S 全体正整数组成的集合．（i ）求12,a a 的值；（ii ）求数列{}n a 的通项公式．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修41-：几何证明选讲如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C 、D ，且PC PD =，求证：PB 平分∠ABD ．B ．选修42-：矩阵与变换 已知矩阵122A x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为1-，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C ．选修44-：坐标系与参数方程若直线22x t y t =⎧⎨=-⎩（参数R t ∈）与圆cos sin x y a θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2)θπ∈，a 为常数）相切，求a的值．D ．选修45-：不等式选讲若对于一切实数x ，不等式|21||1||||21|x x x a -+-≥⋅+恒成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）一个口袋装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中绿球的个数记为X ．（1）求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率； （2）X 的分布列及X 的数学期望．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，112a <<，21112n n n a a a +=+-(*)n N ∈．（1）求证：3113(,)82a ∈；（2）求证：当3n ≥时，1|2n na -<．2012江苏高考最后一卷 试题答案与评分标准数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．【解析】本题主要考查三角函数的周期性． 【答案】2 2．【解析】本题主要考查复数的概念和运算． 【答案】123．【解析】本题主要考查平面向量的垂直． 【答案】3 4．【解析】本题主要考查古典概型． 【答案】495．【解析】本题主要考查流程图． 【答案】201120126．【解析】本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系． 【答案】（3）（4） 7．【解析】本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算．【答案】8．【解析】本题主要考查基本不等式． 【答案】3 9．【解析】本题主要考查函数的性质． 【答案】(,4)(1,)-∞-+∞ 10．【解析】本题主要考查线性规划． 【答案】2[,4]3-解答如下：画出可行域（如图所示阴影部分），而1111n m n t m m -+==-++，其中11n m ++表示(,)P m n 与点(1,1)--连线的斜率k ，由图可知1[,5]3k ∈，故21[,4]3t k =-∈-11．【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积．【答案】2- 解答如下：因为22221sin cos sin cos 2AP AB AC AO AC θθθθ=⋅+⋅=⋅+⋅且22sin ,cos [0,1]θθ∈，所以点P在线段O C 上，故()2PA PB PC PO PC +⋅=⋅ ，设||PO t =([0,t ∈，则2()2(2)(1)24P A P B P C t t t t +⋅=-⋅-=-，当1t =时取最小值2- 12．【解析】本题主要考查函数的概念和最值．【答案】1(,]2-∞解答如下：由题意，存在[1,4]x ∈，使25()()202g x f x x ax x a =+=--+=．当1x =时，使1(1)02g =≠；当1x ≠时，解得2452(1)x a x -=-．设245()2(1)x h x x -=-，则由222252'()0(1)x x h x x -+-==-，得2x =或12x =（舍去），且()h x 在(1,2)上递增，在(2,4)上递减．因此当2x =时，2451()2(1)2x g x x -==-最大，所以a 的取值范围是1(,]2-∞．13．【解析】本题主要考查数列的通项．【答案】34 解答如下：可以求得通项221ij a i i j =-+-，所以221445i i j -+-=且1j i ≤≤，从而22444446i i i i ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，解得21i =，于是13j =，故34i j +=14．【解析】本题主要考查直线与圆的方程及位置关系．【答案】5+解答如下：由题可知动直线0ax by c ++=过定点(1,2)A -．设点(,)M x y ，由M P M A ⊥可求得点M 的轨迹方程为圆:Q 22(1)2x y ++=，故线段M N 长度的最大值为5Q N r +=+二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．本题主要考查平面向量的数量积、边角关系的互化，考查运算求解能力．解：（1）由题意，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+ …………………………………… 2分所以2sin cos sin()sin()sin A B B C A A =+=π-=. …………………………………… 3分 因为0A p <<，所以sin 0A ¹. 所以1cos 2B =. ………………………………………………………………………………… 5分因为0B p <<，所以3B π=. ………………………………………………………………… 6分（2）因为12cos 5cos 2m n A A ⋅=- …………………………………………………………… 8分所以2234310cos 12cos 510(cos )55m n A A A ⋅=-++=--+ ……………………………… 10分所以当3cos 5A =时，m n ⋅ 取最大值此时4sin 5A =（0A p <<），于是4tan 3A =…………………………………………… 12分所以tan 11tan()4tan 17A A A π--==+ …………………………………………………………… 14分16．本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力． 证明：（1） 直棱柱1111ABCD A B C D -中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC ．…………………… 2分又 ∠BAD ＝∠ADC ＝90°，22AB AD C D ==，∴45C AB ABC ∠=∠=︒，∴BC ⊥AC ．…………………………………………… 5分 ∴A C ⊥平面1B BC ，∴A C ⊥1B C∴1B CB ∠是二面角1B AC B --的平面角．………………………………………… 7分（2）存在点P ，P 为A 1B 1的中点．………………………………………………………… 8分由P 为A 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1＝12AB ．又∵DC ‖AB ，DC ＝12AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝ PB 1，∴DC PB 1为平行四边形，从而CB 1∥DP ． ……………………………………… 11分 又CB 1⊂面ACB 1，DP ⊄面ACB 1，∴DP ‖面ACB 1． …………………………… 12分 同理，DP ‖面BCB 1． ………………………………………………………………… 14分17．本题主要考查，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．解：（1）由题意，每小时的燃料费用为20.5(050)x x <≤ ……………………………………… 1分从甲地到乙地所用的时间为300x小时 …………………………………………………… 2分则从甲地到乙地的运输成本23003000.5y x m x x=⋅+⋅，(050)x <≤即2150()m y x x =+，(050)x <≤…………………………………………………………… 6分（2）22'150(1)my x=-…………………………………………………………………………… 8分令'0y =，得x =当x ∈时，y 关于x 单调递减当)x ∈+∞时，y 关于x 单调递增 ………………………………………………… 9分50即12501600m <≤时，50x =时y 取最小值 ………………… 11分50即10001250m ≤≤时，x =y 取最小值 ……………… 13分综上所述，若10001250m ≤≤，则当货轮航行速度为/小时时，运输成本最少；若12501600m <≤，则当货轮航行速度为50海里/小时时，运输成本最少． …… 14分18．本题主要考查直线的方程及椭圆的标准方程，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力．解：（1）根据2c e a ==，可设椭圆方程为222214xy bb+=，将(2,1)M 代入可得22b =， 所以椭圆C 的方程为22182xy+=………………………………………………………… 4分因此左焦点为(0)，斜率12l O M k k ==所以直线l的方程为1(2y x =+，即122y x =+………………………………… 6分（2）设直线,M A M B 的斜率分别为12,k k ，则11112y k x -=-，22212y k x -=-12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----12211211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)x m x x m x x x +--++--=--121212(2)()4(1)(2)(2)x x m x x m x x +-+--=-- （*） …………………………………… 10分设1:2l y x m =+，1122(,),(,)A x y B x y由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x mx m ++-= 所以，122x x m +=-，21224x x m =-…………………………………………………… 13分 代入（*）式，得 2121224(2)(2)4(1)(2)(2)m m m m k k x x -+----+=--2212242444(2)(2)m m m m x x --+-+=--=所以直线,M A M B 与x 轴总围成等腰三角形． ………………………………………… 16分19．本题主要考查导数的运算及其在研究函数性质、不等式与方程中的运用，考查探索、分析及求证能力．解：（1）22(21)2(2)(1)'()(21)ax a x x ax f x ax a x x xx-++--=-++==(0x >，常数0a >）令'()0f x =，则12x =，21x a=……………………………………………………… 2分①当102a <<时，12a >， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a…………………… 4分②当12a =时，2(2)()2x f x x-'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞…………………… 5分③当12a >时，102a<<，在区间1(0,)a和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a………………… 7分（2）令21()()()(1)(23)2ln 2h x g x f x a x a x x =-=-+--，(0,2]x ∈ 22(2)(23)2(2)[(2)1]'()(2)23a x a x x a x h x a x a xxx-+----+=-+--==令'()0h x =，则12x =，212x a =- ………………………………………………………… 10分因为522a <<，所以21x x >，且20a -<从而在区间(0,2]上，'()0h x <，即()h x 在(0,2]上单调递减 …………………………… 12分所以min ()(2)222ln 2h x h a ==-- ………………………………………………………… 13分 又522a <<，所以222ln 222ln 20a -->->，即min ()0h x > ………………………… 15分设()()(22ln 2)H x f x λ=+-（01)λ<<，则()()()f x H x g x <<所以在区间(0,2]上，函数()f x 与()g x 的“和谐函数”有无穷多个 …………………… 16分20．本题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查分析、论证及解决问题的能力． 解：（1）设无穷等差数列{}n a 的公差为d ，则11(1)222n n n d d S na d n n a -⎡⎤⎛⎫=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以333122n dd S n n a ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦且()333122n d d S n n a ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦233233211133842222d d dd d d n n a n a n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为()33n n S S =对于一切正整数n 都成立，所以32121311,823()0,423()0,22().22d dd da d d a d d a a ⎧=⎪⎪⎪-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎪⎪-=-⎪⎩①②③④…………………………………………………… 4分因为数列{}n a 的各项均为正整数，所以0d ≥ 由①，可得0d =或2d =．当0d =时，由④得11a =，且同时满足②③． 当2d =时，由②得112d a ==，且同时满足③④．因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为1n a =或21n a n =- ………… 6分（2）（i ）记{1,2,,}n n A S = ，显然111a S == …………………………………………………… 7分 对于21221S a a a =+=+，有22222{1,2,,}{1,,1,|1|}{1,2,3,4}A S a a a ==+-=故214a +=，所以23a = …………………………………………………………………… 9分 （ii ）由题意可知，集合12{,,,}n a a a 按上述规则，共产生n S 个正整数．………………… 10分而集合121{,,,,}n n a a a a + 按上述规则产生的1n S +个正整数中，除1,2,,n S 这n S 个正整数外，还有111,,||n n n a a i a i ++++-(1,2,,)n i S = ，共21n S +个数．所以，1(21)31n n n n S S S S +=++=+……………………………………………………… 12分 又1113()22n n S S ++=+，所以111111()332222n nn S S -=+⋅-=⋅-……………………… 14分当2n ≥时，11111113(3)32222nn n n n n a S S ---=-=⋅--⋅-= …………………………… 15分而11a =也满足13n n a -=所以，数列{}n a 的通项公式是13n n a -= …………………………………………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修41-：几何证明选讲本题主要考查三角形、圆的有关知识． 证明：连结OP ，因为AC ⊥l ，BD ⊥l ，所以AC //BD ……………………………………………3分又OA =OB ，PC =PD ，所以OP //BD …………………………………………………………… 6分于是∠OPB =∠DBP ………………………………………………………………………………8分 又等腰△OPB 中，∠OPB =∠OBP故PB 平分∠ABD …………………………………………………………………………………10分B ．选修42-：矩阵与变换本题主要考查矩阵的特征值与特征向量． 解：矩阵M 的特征多项式为 xf ----=λλλ221)(=4))(1(---x λλ…………………………………………………1分因为11λ=-方程0)(=λf 的一根，所以1=x …………………………………………………3分 由04)1)(1(=---λλ得23λ=…………………………………………………………………5分 设23λ=对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α则220220x y x y -=⎧⎨-+=⎩得x y =…………………………………………………………………………8分所以矩阵M 的另一个特征值为3，对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………………………10分C ．选修44-：坐标系与参数方程本题主要考查极坐标方程与参数方程．解：直线的普通方程是220x y +-=…………………………………………………………… 2分 圆的普通方程是22()1x y a +-=…………………………………………………………… 4分1=……………………………………………………… 7分解得，2a =± ………………………………………………………………………… 10分D ．选修45-：不等式选讲本题主要考查绝对值不等式．解：当0x =时，20≥恒成立，所以a R ∈………………………………………………………2分当0x ≠时，|21||1||21|||x x a x -+-+≤………………………………………………………… 4分∵|21||1||211|1||||x x x x x x -+--+-≥=……………………………………………………… 6分∴|21|1a +≤……………………………………………………………………………………… 8分 解得10a -≤≤ ………………………………………………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．本题主要考查概率分布列的计算．解：（1）记“摸出的三球中既有红球又有绿球”为事件A ，依题意知()122153533845.56C C C C P A C+==…………………………………………………………………4分所以摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率为45.56（2）3533810(0)56C C P X C ===……………………………………………………………………5分21533830(1)56C C P X C ===………………………………………………………………………6分12533815(2)56C C P X C ===………………………………………………………………………7分0353381(3)56C C P X C===………………………………………………………………………8分所以X 的分布列为所以X 的数学期望9()8E X =………………………………………………………………10分23．本题主要考查数学归纳法的原理及简单应用． 解：（1）因为112a <<，所以22211111331(1)(1,)2222aa a a =+-=--+∈……………… 2分 故2232221131131(1)(,)22282a a a a =+-=--+∈………………………………… 4分（2）当3n =时，3113(82a ---，又11131,8828->--<，所以31188a -<-<，即31|8a -<………………………………… 6分假设当(3)n k k =≥时，1|2k ka -<则当1n k =+时，11||||2|2k k k a a a +-=⋅-⋅+……………………………… 8分111|2|222kk<⋅+ 112k +<…………………………………………………………10分即1n k =+时结论成立综上所述，当3n ≥时，1||2n na -<．。
(理科)(大纲版)2012年全国统一高考数学试卷答案与解析
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2014•大庆二模）复数=（）的分子分母都乘以分母的共轭复数，得=或．C D．轴上，且椭圆的方程为4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=2，，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的C DEC=×××BD=2BE=DE==2×=2×h=5．（5分）（2014•重庆三模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为．C D．=∴==6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）．C D．，进而可求，从而可求与解：∵•=0∵||=1||=2AB=∴∴∴7．（5分）（2014•宜春模拟）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）D．=，两边平方得：=﹣，）×8．（5分）（2014•闸北区三模）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=．C D．，==9．（5分）（2014•湖北）已知x=lnπ，y=log52，，则（），＞，即可得到答案．5=，=＞，即（311．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的CG=DH=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1．解：作出不等式组14．（5分）（2014•武汉模拟）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．﹣cosx cosx=2sinx cosx﹣﹣＜，=，x=．故答案为：）15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56．解：由题意可得，此时系数为16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．=，，，∵∴（）﹣++=|==|===＜，=所成角的余弦值为三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．，sinAsinC=①sinC=18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．，（2），﹣∴2，（，（）∴=﹣=0•=0），（的法向量为，则，=，则，﹣），∴•﹣b=∴，，（﹣，﹣＜，==19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．1，根据120．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．，构造函数）x；②≤﹣时，∵，即x时，有时，，当时，≤≤21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．，到该切线的距离为，建立方程，求得，的斜率×=r=|MA|=到该切线的距离为∴﹣﹣﹣的距离为22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．的方程为时，可得，可得，可得是以﹣为首项，的方程为时，∴的方程为时，∴，∴，可得，∴∴∴是以﹣为首项，∴∴∴。
(完整版)2012年江苏省高考数学试卷答案与解析
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012?江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则A∪B={1.2.4.6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012?江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（2012?江苏）设 a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到 a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=. .。
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、选择题（1）、复数131ii-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算 【难度】容易 【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（2）、已知集合A ＝{1.3.}，B ＝{1，m } ,A U B ＝A , 则m =A. 0B. 0或3C. 1D. 1或3 【考点】集合 【难度】容易 【答案】B 【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴=====或舍去Q .【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。
（3） 椭圆的中心在原点，焦距为4， 一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为A. 216x +212y =1B. 212x +28y =1C. 28x +24y =1D. 212x +24y =1【考点】椭圆的基本方程【难度】容易 【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a=22=184x y+【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。
在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。
在高考精品班数学（文）强化提高班中有对圆锥曲线相关知识的总结讲解。
2012年河南省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2012年河南省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数y=的定义域是( )A．[-4，+∞)B．(-4，+∞)C．[-4，0)∪(0，+∞)D．(-4，0)∪(0，+∞)正确答案：C解析：函数有意义，则x+4≥0且x≠0，即x≥-4且x≠0．故选C.2．下列函数中为偶函数的是( )A．y=x2+log3(1-x)B．y=xsinxC．y=lnD．y=ex正确答案：B解析：两个奇函数之积为偶函数，故选B，选项A和D是非奇非偶函数，选项C为奇函数．3．当x→0时，下列无穷小量中与ln(1+2x)等价的是( )A．xB．C．x2D．2x正确答案：D解析：因为当f(x)→0时ln(1+f(x))-f(x)，故选D.4．没函数f(x)=sin2，则x=0是f(x)的( )A．连续点B．可去间断点C．跳跃间断点D．第二类间断点正确答案：D解析：因为当x→0时均不存在，因此属于第二类间断点，故选D.5．函数y=在点x=0处( )A．极限不存在B．间断C．连续但不可导D．连续且可导正确答案：C解析：因=0，所以函数y=在点x=0处连续，但因其导数在x=0处没有意义，所以不可导，故选C.6．设函数f(x)=｜x｜φ(x)，其中φ(x)在x=0处连续且φ(0)≠0，则f’(0) ( )A．不存在B．等于φ’(0)C．存在且等于0D．存在且等于φ(0)正确答案：A解析：又因ψ(0)≠0，所以，因此f’(0)不存在．7．若函数y=f(u)可导，u=ex，则dy= ( )A．f’(ex)dxB．f’(ex)d(ex)C．f’(x)exdxD．[f(ex)]’dex正确答案：B解析：根据一阶微分形式的不变性得dy=df(u)=f’(u)du=f’(ex)d(ex)．8．曲线y=有水平渐近线的充分条件是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：若水平渐近线存在，则要求自变量逼近无穷大时函数值能无限地逼近某确定的数值，因此首先要求自变量的变化为x→∞，因此可直接排除选项C和D．而当=∞，因此选项A错误，故选B．9．设函数y=x-=( )A．B．C．D．正确答案：D解析：因为dy=dx-d(sinx)=(1-cosx)dx，所以，故选D．10．曲线f(x)=在点(0，1)处的切线斜率是( )A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：由导数定义易知曲线f(x)在x=0处的左右导数均存在且相等，并等于1．11．方程x3+3x+c=0(其中c为任意实数)在区间(0，1)内实根最多有( )A．4个B．3个C．2个D．1个正确答案：D解析：令f(x)=x3+3x+c，则f’(x)=3x2+3＞0，表明f(x)在实数范围内是严格单调递增的，又因为f(0)=c，f(1)=4+c，则当任意实数c取区间(-4，0)内的值时，可由零点定理证明原方程在区间(0，1)内最多有1个实根．12．若f’(x)连续，则下列等式正确的是( )A．[∫f(x)dx]’=f(x)B．∫f’(x)dx=f(x)C．∫df(x)=f(x)D．d[∫f(x)dx=f(x)正确答案：A解析：选项B和C是先求导(微分)后积分，分别少了一个积分常数．选项D 是先积分后微分，而等式右端缺少微分符号，因此选A.13．如果f(x)的一个原函数为x-arcsinx，则∫f(x)dx=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：若f（x)的一个原函数为F(x)，则∫f(x)dx=F(x)+C，故选C.14．设f’(x)=1，且f(0)=1，则∫f(x)dx= ( )A．x+CB．+x+CC．x2+x+CD．+C正确答案：B解析：因为f’(x)=1，所以f(x)=x+C1，又因f(0)=1，所以C1=1，因此f(x)=x+1，所以∫f(x)dx=+x+C15．(-cost2)dt= ( )A．-cosx2B．cos(sinx)2cosxC．xcosx2D．cos(sinx2)正确答案：B解析：因为f(t)dt=f[u(x)]u’(x)-f[v(x)]v’(x)，所以(-cost2)dt=0-[-cos(sinx)2]×cosx=cos(sinx)2cosx16．= ( )A．1B．0C．1-2e-1D．e-1-1正确答案：C解析：17．下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：因为=-∞，故选项A发散；因为当k≤1时收敛，当k＞1时发散，故选项B发散；因为当k＞1时收敛，当k≤1时发散，故选项C发散；，所以选项。
2012年下学期高数(下)期末试卷和答案
1、曲面)(2122y x z +=在)1,1,1(P 处的切平面为01=--+z y x 。
2、函数)0(>=x x u y，则d u =xdy x dx yxy y ln 1+-。
3、设函数23u x y z =，则沿方向角3π=α，3π=β，4π=γ的方向l ϖ的方向导数(1,1,1)ul-∂=∂2123-。
4、交换二次积分的次序：21d (,)d x x f x y y ⎰⎰1(,)d x f x y y +⎰⎰=⎰⎰-221),(y ydx y x f dy 。
5、22()d LI x y s =+⎰，:3cos ,3sin (0)2L x t y t t π==≤≤，则=I π227。
2、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),(00y x f x ，),(00y x f y 存在且连续，是),(y x f 在该点可微分的（A ）。
A. 充分条件而非必要条件; B. 必要条件而非充分条件;C. 充分必要条件;D. 既非充分条件又非必要条件． 3、设22y xy x u +-=在点)1,1(M 处的(1,1)grad u=( A ).。
A. j i ϖρ+;B. j i ϖρ+2;C. j i ϖρ-;D. j i ϖρ-2. 4、若区域D 为122≤+y x，则二重积分d Dx y ⎰⎰的值为(B)A.π35; B. π65; C. π710; D. π1110. 5、设22Σ:,04z x y z =+≤≤的部分，则S ∑=（ A ）。
A. π8; B. π4; C. π-)1517(; D. π-21517. 2、设xyez arctan=，求yx z x z ∂∂∂∂∂2,。
解：=∂∂x z x ye arctan 221()1()y y x x⋅⋅-+xye arctan -=22y x y ⋅+，y x z ∂∂∂2arctan y x e ⎛=- ⎝x xy 1)(112⋅+⋅22y x y ⋅+x y e arctan +22222()x y x y ⎫-⋅⎪+⎭xy e arctan =22222()y x xy x y --⋅+。
2012年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1．已知集合A ＝{x ｜x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形｝,C ＝｛x ｜x 是正方形｝，D ＝{x ｜x 是菱形｝，则( )A ．AB B ．CB C ．DC D ．AD2．函数1y x =+x ≥－1)的反函数为（ ） A ．y ＝x 2－1（x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1） C ．y ＝x 2＋1（x ≥0） D ．y ＝x 2＋1（x ≥1） 3．若函数()sin 3x f x ϕ+=(φ∈[0，2π]）是偶函数，则φ＝( ） A ．π2 B ．2π3 C ．3π2 D ．5π34．已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin2α＝（ ) A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425 5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 6．已知数列{a n ｝的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝（ ）A ．2n －1B ．13()2n -C ．12()3n -D ．112n -7． 6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种8．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝2，122CC =E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为（ ）A．2 BC ．2D．19．△ABC中，AB边的高为CD．若CB ＝a，CA＝b，a·b＝0，|a｜＝1，|b｜＝2，则AD＝（）A．1133-a b B．2233-a bC．3355-a b D．4455-a b10．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，｜PF1|＝2|PF2｜，则cos∠F1PF2＝(）A．14B．35C．34D．4511．已知x＝ln π，y＝log52，12=ez-，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上,点F在边BC上,AE＝BF＝1 3 .动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(）A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．(x＋12x)8的展开式中x2的系数为__________．14．若x，y满足约束条件10,30,330, x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z＝3x－y的最小值为__________．15．当函数y＝sin x x(0≤x＜2π）取得最大值时，x＝__________。
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华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设有向量(1,2,2)a =-，(2,1,2)b =-，则数量积()()a b a b -⋅+ 。
2.曲面22z x xy y =++在点(1,1,3)M 处的切平面方程是 。
3．设u =(1,1,1)u =grad 。
4．幂级数0()3n n x∞=∑的收敛半径R = 。
35．微分方程430y y y '''-+=的通解是 。
（今年不作要求）二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．已知(1,1,1)A ，(2,2,1)B ，(2,1,2)C ，则AB 与AC 的夹角θ是（B ）A ．4π B ．3π C ．6π D ．2π2．函数2z xy =在点(1,2)处的全微分是 （ D ）A ．8B ．4dx dy +C ．22y dx xydy +D ．4()dx dy + 3．设L 为圆周222x y a +=，取逆时针方向，则2222()Lx ydx x xy dy ++=⎰（ B ）A ．2a πB ．42a π C ．2πD ．04．下列级数中收敛的是 （ C ）A．1n ∞= B．1n ∞= C ．114n n ∞=∑ D ．114n n∞=∑5．微分方程12x y e-'=的通解是 （ C ）A ．12x y eC -=+ B ．12x y e C =+ C ．122x y e C -=-+ D ．12x y Ce-=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.设2,,xs f x xyz y⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f 具有一阶连续偏导数，求s x ∂∂，s y ∂∂，s z∂∂. 2. 设由方程22240x y z z +++=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
3．计算2Dx yd σ⎰⎰，其中D 是由直线2x =，y 1y x=所围成的区域。
4.计算d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的闭区域。
（今年不作要求）5. 计算()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧。
6．判定级数15!n n n n n ∞=⋅∑的收敛性。
7．试用间接法将函数ln(5)x +展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1．从斜边之长为l 的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形。
2．计算22(1)84I x dydz xydzdx xzdxdy ∑=-+-⎰⎰，其中∑是由曲线(0)y x e y a =≤≤绕x 轴旋转而成的曲面，取左侧。
（今年不作要求）3．设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有2()()0xSxf x dydz xyf x dzdx e zdxdy--=⎰⎰，其中函数()f x在(0,)+∞内具有连续的一阶导数，且lim()1xf x+→=，求()f x。
（今年不作要求）华南农业大学期末考试试卷（A卷）2011~2012学年第2 学期考试科目：高等数学AⅡ参考答案一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．02．3330x y z+--=3．或者++j4．35．312x xy C e C e=+二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．B2．D 3．B 4．C 5．C三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.设2,,xs f x xyzy⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f具有一阶连续偏导数，求sx∂∂，sy∂∂，sz∂∂。
解：令2u x=，xvy=，,w xyz=则………………1分12u v ws s u s v s wxf f yzfx u x v x w x y∂∂∂∂∂∂∂'''=++=++∂∂∂∂∂∂∂………………3分2v ws s v s w xf xzfy v y w y y∂∂∂∂∂''=+=-+∂∂∂∂∂………………5分ws s wxyfz w z∂∂∂'==∂∂∂………………7分2. 设由方程22240x y z z+++=确定隐函数(,)z z x y=，求全微分dz。
解：令2224F x y z z=+++2xzFz xx F z∂=-=-∂+………………3分2yzFz yy F z∂=-=-∂+………………6分()22x ydz dx dyz z=-+++………………7分3．计算二重积分2Dx ydσ⎰⎰，其中D是由直线2x=，y=及曲线1yx=所围成的区域。
解：原式2211xdx x ydy =⎰⎰………………4分3211()22x dx =-⎰………………6分 118=………………7分 4.计算d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的闭区域。
解1：把闭区域Ω投影到xOy 面上，得半径为2的圆形闭区域{(,)|02,02π}xy D ρθρθ=≤≤≤≤.………………1分在xy D 内任取一点(,)ρθ，过该点作平行于z 轴的直线，此直线通过曲面22z x y =+穿入Ω内，然后通过平面4z =穿出Ω外．因此闭区域Ω可用不等式24,02,02πz ρρθ≤≤≤≤≤≤………………3分 来表示．于是22π2400d d d d d d d d d z x y z z z z z ρρρθθρρΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰………………5分22π242600011164d (16)d 2π8π.2263θρρρρρ⎡⎤=-=⋅-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰………………7分 解2：可用先一后二，或者先二后一也可。
5. 计算曲线积分()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧。
解：原式1(x dx x =++⎰………………5分12112323=++-………………6分 43=………………7分6．判定级数15!n n n n n ∞=⋅∑的收敛性。
解：1115(1)!lim lim (1)5!n nn n n n n nu n n u n n +++→∞→∞⋅+=⋅+⋅………………4分l i m 5()1n n nn →∞=+………………5分51e=>………………6分∴原级数发散。
………………7分7．试用间接法将函数ln(5)x +展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。
解：ln(5)ln[5(1)]5xx +=+………………1分l n 5l n (1)5x=++………………3分11l n 5(1)(1)5n nn n x n +∞+==+-+∑………………6分 115x-<≤，即55x -<≤………………7分 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1．从斜边之长为l 的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形。
解：作222()L l x y x y l λ=++++-………………1分222120120Lx x Ly yx y l λλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪+=⎪⎩………………5分 得x y =………………6分 得x y ==（唯一）………………7分 2．计算22(1)84I x dydz xydzdx xzdxdy ∑=-+-⎰⎰，其中∑是由曲线(0)y x e y a =≤≤绕x 轴旋转而成的曲面，取左侧。
解：作平面a x e =，取右侧，与曲面∑围成闭区域Ω。
………………2分由高斯公式可得22222(1)0a y z a I e dydz dV Ω+≤+-=⎰⎰⎰⎰⎰………………5分所以2222222(1)2(1)a a y z a I e dydz a e π+≤=--=-⎰⎰………………7分3．设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有2()()0xSxf x dydz xyf x dzdx e zdxdy --=⎰⎰， 其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +→=，求()f x 。
解：由题设和高斯公式可得220()()('()()())x x SVxf x dydz xyf x dzdx e zdxdy xf x f x xf x e dV =--=±+--⎰⎰⎰⎰⎰…………2分由S 的任意性知2'()()()0,0x xf x f x xf x e x +--=>即211'()(1)(),0x f x f x e x x x+-=>………………3分解之得：()()x xe f x e C x=+………………5分由于00lim ()lim ()1x x x x e f x e C x ++→→=+=，故必有20lim()0x xx e Ce +→+=…………6分 所以1C =-，于是()(1)x xe f x e x=-………………7分。