【免费下载】常微分方程教程丁同仁李承治第二版第四章 奇解

第四章 奇解

习题4-1

1．求解下列微分方程：

（通解）

特解）

（特解）解：2

212

22

)(22222

2

2222)(2101.(42202..

0)1)(2(0)2()2(2222);

(,242).1(C Cx y x x C x y C x p b x x x x y x p x p a x p x p x p x

x p p p x px y p x px p y x C x dx

dp

dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp p dx

dy ++-

=

⇒++-+=

⇒+-=⇒-=⇒

=+-=+-=⇒-=⇒=+=++⇒=+++⇒+++=++=

=

++=+-2

2

4ln 4ln 2ln 22ln 2ln 2ln 222ln )(ln 0x .)]([ln 2ln 02ln ..

0))(2(ln 22)1(ln ln );

(,)(ln ).2(2

2

2

C x C y x x x y p p x b y x x x y p xp x xp x a p x xp x p x xp x p x x p p xp x px y x

C x

C x

C dx dp x

x x x x x x x

x dx dp dx

dp dx dp dx

dy +=⇒+=

⇒=

⇒=+-=+-=⇒-+-=⇒-=⇒-=⇒=+=++⇒++++==

+=（特解）

解：dy

dq

q

y

q y y dy

dq q y

dy

dx p

y

p p y q y q y q x q y x y p y xp 3

2

2

2

222cos 2)

sin (cos 222cos 12

cos 123sec tan ,

tan ,

,tan .

cos tan 22).3(-++=+

==

=

+

=+=-令解：y

y y y x q q y b y C x y C q y q y q a y y q y q y q y y q y y

y y

t

y

y

y

y

y q

y

C dy

dq dy dq q y dy dq dy dq

q y dy dq dy

dq q

y

q

y

y dy dq 32

32

32

32sin 2cos 23

13

133

22

323

2

3

2

2

sin sin sin tan 0tan .sin cos tan 0tan .0

)(tan tan (0)tan ()tan (tan 0

tan tan 23212

cos sin cos sin cos sin cos 3

cos 21cos cos cos sin cos 2=+=+

=

⇒=

⇒=

⇒=-

+

=⇒=⇒-=⇒

=+=-+⇒=+-+⇒=-+

+⇒-（通解）

2．用参数法求解下列微分方程：

（特解）当当由解：令2

1cos 0sin )]

(cos[

2)](cos[

20sin .sin ,

,sin ,cos 2,sin ,cos 4)(52)1(5

25

102

102

10sin sin 2)

cos 2(sin 5

525

525

2

2

2

225

525

525

52±=⇒±=⇒=+-=+-=⇒+-

=⇒-

==

⇒

=

⇒≠=

=

+∞<<-∞=

==

=

=+y t t b C x C x y C

dt x dt dx t a t

p x t p t y t p t y y t

tdt t d t

dy

dx

dy dx

dy 故

解：令dt t sh xht d sht dx sht dy sht dx dy e e sht e e cht sht

p cht x dx

dy x t t t t 3)(3332,2,3

,.1)(

3).2(22

2===⇒=-=

+====---

C

t t sh C

t e e C t d e e C

dt t

sh y t t t t +-=+-+=

+-+=

+=--⎰

⎰

)224

1(31)4(381

)2()2(381

3

22222C

dt t t t C

dt t

t t v dt

v v t t vt u t vdv

du v u vdu vdv udu pdx

dy v u y v p u x x y t

t t v

dv t t t dv dt

t dv dt

t dv

vdt tdv t vdt

tdv dv v u v

u v

v u du

dv dx

dy v

u v

u

++---=++--==

⇒

=

⇒=

+⇒=

⇒

=

-=⇒

===

-==

⇒

=-⇒=-=-====-+⎰⎰

+---+---+-+--2

21

2221

2ln ,

,2)2(22,,,.0).(3(2222121

2221

221

22

1

1221222

122222222令齐次方程

解：令