三角函数性和e指数形式的傅里叶变换

三角级数、傅里叶级数

对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数系将其展开：

1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……

显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系为坐标的投影值a0,an,bn……

一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项a0和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。

傅里叶级数的复数形式

根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一个周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1，

e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将有所变化。由于复数的引入，每一个复指数e^jnx相对于三角函数系都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单，一个实参a表示数轴上的一点，而一个复数a+bj表示二维坐标上的一点，所以cosx，sinx分别表示

一条二维曲线，而e^jx=cosx+jsinx是一条空间三维曲线。

傅里叶变换

周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行. 对实信号做傅立叶变换时，如果按指数e^jωt为核来求，我们将得到双边频谱。以角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两处的，幅度各为0.5，相角为零的频率特性。实际上，COSΩt就是e^jΩt与e^j-Ωt两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩下实部。

Ω1与Ω2两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度

Ω1+Ω2，因为从角速度到螺旋线的映射不是线性关系。这一现象正体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础.

经过傅立叶变换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线,而复频率表示一条整体改变90度相位的螺旋线，它们分别与正频率,实频相对应,都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义。

连续频谱

周期信号用傅里叶级数展开所获得频率线状谱的物理意义十分明确,即整个信号由所有谱线存在处频率分量叠加而成.比如信号COSΩt 对应Ω与-Ω处两根谱线.

困难的问题是对连续谱的理解.以下为标准的傅里叶变换对:

由于存在关系式:e^j-wt=cos-wt+j*sin-wt,再联想一个信号在三角

函数系上的展开,可以认为上述傅里叶变换的意义是得到信号x(t)实部的cos-wt系数以及x(t)虚部的sin-wt系数.又由于cos的偶函数性质,sin的奇函数性质以及j*j=-1这一定义,对于某一个特定的w',出现在变换式左边的将是x(t)实部的cosw't系数以及x(t)虚部的sinw't系数,两者的加和显然可以用e^jwt的系数表示.

假如直接以几何意义来思考,为什么傅里叶变换式两端正负号不一致,也很有趣.回到三角函数展开,在周期[-pi,pi]上,只有coswx与coswx的乘积不为零,这也是正交性.而在三维空间中,一条螺旋线与它自身的乘积再做积分却是零,非要与它每一点的共轭值相乘才不为零.造成这种形式不统一的根源,可以认为一维是一种特例,而二维是较普遍的表达,也可以认为实数的共轭是它本身,而复数共轭虚部相反.

连续频谱意义

现在来看连续谱线的含义,它与概率密度函数一样,只有相对的意义,也就是说,在频谱上高度相同的两点,只表示这两点含对应频率给信

号的贡献相同,而无法得出任一频率分量本身的能量.这与概率密度

函数是相同的,任何一点的概率取值都是零,但概率密度函数曲线相

同高度处代表可能性相同.出现这一问题的根源可能是微积分,或者

说是"极限"带来的困绕,因为物理世界中,时间,能量,都有最小量值,不可再分.那么,我们可以仅仅把微积分看作只是一种数学处理,对微小离散累加的近似.因此连续谱线可以理解成相当多,相当细密离散

谱线束的近似,但每一根离散谱线的高度值并非其对信号的贡献,仅

仅表示一个相对的意义.依然可以借助概率密度函数的意义来理解,

离散分布律对应的概率线,线有多高,随机变量取值就有多大可能性,在连续概率密度函数中,假如化为微小离散的分布律线,将不再是原

来的高度,而应该用该值微笑领域内与原连续曲线所围面积来替代其高度,这一理解与从频谱回到信号的傅里叶变反换是吻合的.

为了便于理解,我们重新叙述整个问题:1,对于周期信号,由于其由多个三角函数线性叠加而成,而三角函数本身又具有正交性,那么通过

如下的运算:

即任何基函数与原信号相乘后做区间积分,就可以得到任意特定基函数在区间平方后曲线所围面积与该基在原信号中加权系数之积.显然,要把基函数平方曲线所围面积的值去除,才能得到系数净值.因此,在上述式子前,要除以一个pi,也就是去掉了所围面积.

2,那么,对于非周期信号,首先我们可以视其为一个周期极长的信号,而且这个信号只在周期中的一部分有非零值,当然,这个信号只有部

分非零并不影响所有的操作和理解.在周期信号的展开中,所有可能

包含的基函数为其周期的分数也即这些基函数频率是原信号频率的

倍数.比如一个2Hz的周期信号,他包含的基函数只可能是偶数Hz的三角函数.因此,我们假设一个信号的周期特别长,也即频率特别低,

会导致什么呢?当周期长到趋近于极限,频率也同时低到趋近于极限,结合时间量子的概念,可以认为这个极端是原子频率,即一个最小的

频率.那么,对这个非周期信号展开时,所有频率都有可能对其有贡献,因为原信号的频率低到了一个原子频率.于是,对一个非周期,或者说是一个周期无限长信号展开时,我们必须考虑所有可能的频率分量,

实际上,这些微间隙量子化的频率值并不连续,但是由于它们非常细蜜,可以用人类思维理念中虚拟出来的"连续"这一概念来近似.可以

想到的是,由于频率分量足够多,每一分量的权值系数将非常小,实际上,对比周期信号的展开式,我们发现,在傅里叶积分式前,并没有去

除基函数平方在周期内所围的面积值,因此,用连续近似繁多离散的

频谱起伏曲线只有相对的意义.