物理弹簧模型

含弹簧的物理模型

题目类型有：静力学中的弹簧问题，动力学中的弹簧问题，与动量和能量有关的弹簧问题．

1．静力学中的弹簧问题

(1)胡克定律：F ＝kx ，ΔF ＝k ·Δx ．

(2)对弹簧秤的两端施加(沿轴线方向)大小不同的拉力，弹簧秤的示数一定等于挂钩上的拉力．

●例4 如图9－12甲所示，两木块A 、B 的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，两弹簧分别连接A 、B ，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提木块A ，直到下面的弹簧对地面的压力恰好为零，在此过程中A 和B 的重力势能共增加了( )

图9－12甲

A ．(m 1＋m 2)2g 2

k 1＋k 2

B ．(m 1＋m 2)2g 22(k 1＋k 2)

C ．(m 1＋m 2)2g 2(k 1＋k 2k 1k 2

) D ．(m 1＋m 2)2g 2k 2＋m 1(m 1＋m 2)g 2k 1

【解析】取A 、B 以及它们之间的弹簧组成的整体为研究对象，则当下面的弹簧对地面的压力为零时，向上提A 的力F 恰好为：

F ＝(m 1＋m 2)g

设这一过程中上面和下面的弹簧分别伸长x 1、x 2，如图9－12乙所示，由胡克定律得：

图9－12乙

x 1＝(m 1＋m 2)g k 1，x 2＝(m 1＋m 2)g k 2

故A 、B 增加的重力势能共为：

ΔE p ＝m 1g (x 1＋x 2)＋m 2gx 2

＝(m 1＋m 2)2g 2

k 2＋m 1(m 1＋m 2)g 2k 1

． [答案] D

【点评】①计算上面弹簧的伸长量时，较多同学会先计算原来的压缩量，然后计算后来的伸长量，再将两者相加，但不如上面解析中直接运用

Δx ＝ΔF k

进行计算更快捷方便． ②通过比较可知，重力势能的增加并不等于向上提的力所做的功W ＝F ·x 总＝(m 1＋m 2)2g 22k 22＋(m 1＋m 2)2g 22k 1k 2

． 2．动力学中的弹簧问题

(1)瞬时加速度问题(与轻绳、轻杆不同)：一端固定、另一端接有物体的弹簧，形变不会发生突变，弹力也不会发生突变．

(2)如图9－13所示，将A 、B 下压后撤去外力，弹簧在恢复原长时刻B 与A 开始分离．

图9－13

●例5 一弹簧秤秤盘的质量m 1＝1.5 kg ，盘内放一质量m 2＝10.5 kg 的物体P ，弹簧的质量不计，其劲度系数k ＝800 N/m ，整个系统处于静止

状态，如图9－14 所示．

图9－14

现给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0.2 s 内F 是变化的，在0.2 s 后是恒定的，求F 的最大

值和最小值．(取g ＝10 m/s 2)

【解析】初始时刻弹簧的压缩量为：

x 0＝(m 1＋m 2)g k

＝0.15 m 设秤盘上升高度x 时P 与秤盘分离，分离时刻有：

k (x 0－x )－m 1g m 1

＝a 又由题意知，对于0～0.2 s 时间内P 的运动有：

12

at 2＝x

解得：x＝0.12 m，a＝6 m/s2

故在平衡位置处，拉力有最小值F min＝(m1＋m2)a＝72 N

分离时刻拉力达到最大值F max＝m2g＋m2a＝168 N．

[答案] 72 N 168 N

【点评】对于本例所述的物理过程，要特别注意的是：分离时刻m1与m2之间的弹力恰好减为零，下一时刻弹簧的弹力与秤盘的重力使秤盘产生的加速度将小于a，故秤盘与重物分离．

3．与动量、能量相关的弹簧问题

与动量、能量相关的弹簧问题在高考试题中出现频繁，而且常以计算题出现，在解析过程中以下两点结论的应用非常重要：

(1)弹簧压缩和伸长的形变相同时，弹簧的弹性势能相等；

(2)弹簧连接两个物体做变速运动时，弹簧处于原长时两物体的相对速度最大，弹簧的形变最大时两物体的速度相等．

●例6如图9－15所示，用轻弹簧将质量均为m＝1 kg的物块A和B 连接起来，将它们固定在空中，弹簧处于原长状态，A距地面的高度h1＝0.90 m．同时释放两物块，A与地面碰撞后速度立即变为零，由于B压缩弹簧后被反弹，使A刚好能离开地面(但不继续上升)．若将B物块换为质量为2m 的物块C(图中未画出)，仍将它与A固定在空中且弹簧处于原长，从A距地面的高度为h2处同时释放，C压缩弹簧被反弹后，A也刚好能离开地面．已知弹簧的劲度系数k＝100 N/m，求h2的大小．

图9－15

【解析】设A物块落地时，B物块的速度为v1，则有：

1

mv12＝mgh1

2

设A刚好离地时，弹簧的形变量为x，对A物块有：

mg＝kx

从A落地后到A刚好离开地面的过程中，对于A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，则有：

1

mv12＝mgx＋ΔE p

2

换成C后，设A落地时，C的速度为v2，则有：

1

·2mv22＝2mgh2

2

从A落地后到A刚好离开地面的过程中，A、C及弹簧组成的系统机械能守恒，则有：

1

·2mv22＝2mgx＋ΔE p

2

联立解得：h 2＝0.5 m ．

[答案] 0.5 m

【点评】由于高中物理对弹性势能的表达式不作要求，所以在高考中几次考查弹簧问题时都要用到上述结论“①”．如2005年高考全国理综卷Ⅰ第25题、1997年高考全国卷第25题等．

●例7 用轻弹簧相连的质量均为2 kg 的A 、B 两物块都以v ＝6 m/s 的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4 kg 的物块C 静止在前方，如图9－16 甲所示．B 与C 碰撞后二者粘在一起运动，则在以后的运动中：

图9－16甲

(1)当弹簧的弹性势能最大时，物体A 的速度为多大？

(2)弹簧弹性势能的最大值是多少？

(3)A 的速度方向有可能向左吗？为什么？

【解析】(1)当A 、B 、C 三者的速度相等(设为v A ′)时弹簧的弹性势能最大，由于A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒，则有：

(m A ＋m B )v ＝(m A ＋m B ＋m C )v A ′

解得：v A ′＝(2＋2)×62＋2＋4

m/s ＝3 m/s ． (2)B 、C 发生碰撞时，B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者的速度为v ′，则有：

m B v ＝(m B ＋m C )v ′

解得：v ′＝2×62＋4

＝2 m/s A 的速度为v A ′时弹簧的弹性势能最大，设其值为E p ，根据能量守恒定律得：

E p ＝12(m B ＋m C )v ′2＋12m A v 2－12

(m A ＋m B ＋m C )v A ′2 ＝12 J ．

(3)方法一 A 不可能向左运动．

根据系统动量守恒有：(m A ＋m B )v ＝m A v A ＋(m B ＋m C )v B

设A 向左，则v A ＜0，v B ＞4 m/s

则B 、C 发生碰撞后，A 、B 、C 三者的动能之和为：

E ′＝12m A v 2

A ＋12(m

B ＋m

C )v 2B ＞12

(m B ＋m C )v 2B ＝48 J 实际上系统的机械能为：

E ＝E p ＋12

(m A ＋m B ＋m C )v A ′2＝12 J ＋36 J ＝48 J 根据能量守恒定律可知，E ′＞E 是不可能的，所以A 不可能向左运动． 方法二 B 、C 碰撞后系统的运动可以看做整体向右匀速运动与A 、B 和C 相对振动的合成(即相当于在匀速运动的车厢中两物块相对振动)

由(1)知整体匀速运动的速度v 0＝v A ′＝3 m/s