理论力学13(1) 罗特军 川大
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理论力学
第15讲 15讲
南非金伯利钻石矿坑
理论力学
点的合成运动(二 点的合成运动 二)
5.2 速度合成定理 5.2.2 速度合成定理
M'
∆r =∆rm+ ∆r'
m'
z z'
M(m)
y' O' O x
∆r ∆ ∆r' ∆rm z'
y'
va= ve+ vr
y
上述结果表明,无论牵连运动为平动还是定轴 转动,动点的绝对速度均等于其相对速度与牵连 动点的绝对速度均等于其相对速度与牵连 速度的矢量和。即 速度的矢量和
绝对加速度(a 绝对加速度 a): 动点相对于定系的加速度
～
牵连加速度( 牵连加速度 ae ): 牵连点相对于定系的加速度。
5.3.2 牵连运动为平动时的加速度合成
由速度合成定理可知
va = vr + ve
上式两边求时间导数得 因为
aa= va= vr+ ve vr= dr'/ dt = x'i' + y'j' + z'k'
ϕ
ω θ
O 而
va = rϕ = rω0, 故 ve= vasinθ = rω0sinθ OM = r/sinθ
ω = ve /OM = r2ω0 /(r2+h2)
例3. 己知 ω, OC = r ,在图示 位置AB⊥CO, CD = OD。求 此时顶杆AB的速度。 动点: 解: 动点 顶杆上的A点, 定 动系: 系: 地面 , 动系 园盘。 速度合成图如图示。 vr
O A
ϕ
M B
vr
ϕ
va
u
ve
va = ve / cos ϕ = 2 u
ω = va / R = 2 u / R
例2. 己知 OC = h , CM = r , ϕ = ω0t ; 求 ϕ = 90º 时, OA杆转动的角速度。 解: va v r A 动点: 定系: 动点 滑块M , 定系 ve θ 地面 , 动系 OA。 动系: C M 速度合成图如图示,
3. 在平面问题中, 因为ω⊥vr 在平面问题中,
aC=2ωvr
aC=2ω×vr
ω
aC
vr
vr按ω的转向 转过90º就是 aC的方向
习题: 习题 P.160 5.4,6,8,12
谢谢大家 谢谢大家! 大家!
aa = ar + ae + aC
式中aC=2ω×vr , 称为科氏加速度。 科氏加速度。 科氏加速度 即牵连运动为定轴转动时,动点的绝对加速度等 牵连运动为定轴转动时, 牵连运动为定轴转动时 于它的相对加速度、 于它的相对加速度、牵连加速度与科氏加速度的 矢量和。 矢量和。
※
科氏加速度a 科氏加速度 C=2ω×vr的 产生是由于牵连转动和相 对运动相互影响的结果。 对运动相互影响的结果。 其中一部分是由于相对运 动改变了牵连点的位置,使 动改变了牵连点的位置 使 牵连速度发生了变化而产 生的附加加速度;另一部分 生的附加加速度 另一部分 是牵连转动使相对速度的 方向发生改变而产生的附 加加速度。 加加速度。
aa = ar + ae
即牵连运动为平动时,动点的绝对加速度等于它 牵连运动为平动时, 牵连运动为平动时 的相对加速度与牵连加速度的矢量和。 的相对加速度与牵连加速度的矢量和。
5.3.3 牵连运动为定轴转动时的加速度合成
牵连运动为定轴转动时加速度合成定理与牵 连运动为平动时具有不同的形式。 连运动为平动时具有不同的形式。
va = vr + ve
这一结论称为点的速度合成定理 速度合成定理。 速度合成定理 注意事项: 注意事项 1. 上述结论适用于任何形式的相对运动和牵连 运动。 2. 注意公式的矢量性和瞬时性。 3. 在定理的应用中常用几何法,作速度合成图, 最后归结为解三角形。
例1. 正弦平动机构如 图示,已知u,OM = R。 用合成法求ϕ = 45º时 OM的角速度。 解: 动点: 滑块M , 定系 定系: 动点 地面 , 动系 AB。 动系: 速度合成图如图示, ve = u, 故
vr ve C
A
ϕ ω θ
O
M
注意事项: 注意事项: 1. 注意牵连运动为平动与牵连运动为定轴转动 求加速度的公式形式不同。 时，求加速度的公式形式不同。 牵连运动为平动 牵连运动为定轴转动
aa = ar + ae aa = ar + ae + aC
2. 在定理的应用中常用解析法。在平面问题中， 在定理的应用中常用解析法。在平面问题中， 解析法 将公式投影到两个坐标轴上, 将公式投影到两个坐标轴上, 可得两个独立 的标量方程, 解两个未知数。 的标量方程, 解两个未知数。注意投影时应 保持公式的原有形式不变。 保持公式的原有形式不变。
～
• • •
•
•
•
当牵连运动为平动时, i'、j'、k'为常矢量，故
vr= dvr / dt = dvr / dt = ar
•
～
牵连运动为平动时, 动系上各点在任一瞬时的速度 都相等，即有
drO' v e = vO ' = dt
ve = rO' = ae
因此 O
• ••
z z' rO' x
M
y' O' x' y
B
va ve
A C D
wk.baidu.com
ω
O
v a = v e = rω
5.3 加速度合成定理 5.3.1 基本概念
aa= dva / dt = d2r / dt2
相对加速度(a 相对加速度 r): 动点相对于动系的加速度,即动 点的相对速度对时间的相对导数
•• •• ar= dvr / dt = x'i' + y'j' + •• z'k'
第15讲 15讲
南非金伯利钻石矿坑
理论力学
点的合成运动(二 点的合成运动 二)
5.2 速度合成定理 5.2.2 速度合成定理
M'
∆r =∆rm+ ∆r'
m'
z z'
M(m)
y' O' O x
∆r ∆ ∆r' ∆rm z'
y'
va= ve+ vr
y
上述结果表明,无论牵连运动为平动还是定轴 转动,动点的绝对速度均等于其相对速度与牵连 动点的绝对速度均等于其相对速度与牵连 速度的矢量和。即 速度的矢量和
绝对加速度(a 绝对加速度 a): 动点相对于定系的加速度
～
牵连加速度( 牵连加速度 ae ): 牵连点相对于定系的加速度。
5.3.2 牵连运动为平动时的加速度合成
由速度合成定理可知
va = vr + ve
上式两边求时间导数得 因为
aa= va= vr+ ve vr= dr'/ dt = x'i' + y'j' + z'k'
ϕ
ω θ
O 而
va = rϕ = rω0, 故 ve= vasinθ = rω0sinθ OM = r/sinθ
ω = ve /OM = r2ω0 /(r2+h2)
例3. 己知 ω, OC = r ,在图示 位置AB⊥CO, CD = OD。求 此时顶杆AB的速度。 动点: 解: 动点 顶杆上的A点, 定 动系: 系: 地面 , 动系 园盘。 速度合成图如图示。 vr
O A
ϕ
M B
vr
ϕ
va
u
ve
va = ve / cos ϕ = 2 u
ω = va / R = 2 u / R
例2. 己知 OC = h , CM = r , ϕ = ω0t ; 求 ϕ = 90º 时, OA杆转动的角速度。 解: va v r A 动点: 定系: 动点 滑块M , 定系 ve θ 地面 , 动系 OA。 动系: C M 速度合成图如图示,
3. 在平面问题中, 因为ω⊥vr 在平面问题中,
aC=2ωvr
aC=2ω×vr
ω
aC
vr
vr按ω的转向 转过90º就是 aC的方向
习题: 习题 P.160 5.4,6,8,12
谢谢大家 谢谢大家! 大家!
aa = ar + ae + aC
式中aC=2ω×vr , 称为科氏加速度。 科氏加速度。 科氏加速度 即牵连运动为定轴转动时,动点的绝对加速度等 牵连运动为定轴转动时, 牵连运动为定轴转动时 于它的相对加速度、 于它的相对加速度、牵连加速度与科氏加速度的 矢量和。 矢量和。
※
科氏加速度a 科氏加速度 C=2ω×vr的 产生是由于牵连转动和相 对运动相互影响的结果。 对运动相互影响的结果。 其中一部分是由于相对运 动改变了牵连点的位置,使 动改变了牵连点的位置 使 牵连速度发生了变化而产 生的附加加速度;另一部分 生的附加加速度 另一部分 是牵连转动使相对速度的 方向发生改变而产生的附 加加速度。 加加速度。
aa = ar + ae
即牵连运动为平动时,动点的绝对加速度等于它 牵连运动为平动时, 牵连运动为平动时 的相对加速度与牵连加速度的矢量和。 的相对加速度与牵连加速度的矢量和。
5.3.3 牵连运动为定轴转动时的加速度合成
牵连运动为定轴转动时加速度合成定理与牵 连运动为平动时具有不同的形式。 连运动为平动时具有不同的形式。
va = vr + ve
这一结论称为点的速度合成定理 速度合成定理。 速度合成定理 注意事项: 注意事项 1. 上述结论适用于任何形式的相对运动和牵连 运动。 2. 注意公式的矢量性和瞬时性。 3. 在定理的应用中常用几何法,作速度合成图, 最后归结为解三角形。
例1. 正弦平动机构如 图示,已知u,OM = R。 用合成法求ϕ = 45º时 OM的角速度。 解: 动点: 滑块M , 定系 定系: 动点 地面 , 动系 AB。 动系: 速度合成图如图示, ve = u, 故
vr ve C
A
ϕ ω θ
O
M
注意事项: 注意事项: 1. 注意牵连运动为平动与牵连运动为定轴转动 求加速度的公式形式不同。 时，求加速度的公式形式不同。 牵连运动为平动 牵连运动为定轴转动
aa = ar + ae aa = ar + ae + aC
2. 在定理的应用中常用解析法。在平面问题中， 在定理的应用中常用解析法。在平面问题中， 解析法 将公式投影到两个坐标轴上, 将公式投影到两个坐标轴上, 可得两个独立 的标量方程, 解两个未知数。 的标量方程, 解两个未知数。注意投影时应 保持公式的原有形式不变。 保持公式的原有形式不变。
～
• • •
•
•
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当牵连运动为平动时, i'、j'、k'为常矢量，故
vr= dvr / dt = dvr / dt = ar
•
～
牵连运动为平动时, 动系上各点在任一瞬时的速度 都相等，即有
drO' v e = vO ' = dt
ve = rO' = ae
因此 O
• ••
z z' rO' x
M
y' O' x' y
B
va ve
A C D
wk.baidu.com
ω
O
v a = v e = rω
5.3 加速度合成定理 5.3.1 基本概念
aa= dva / dt = d2r / dt2
相对加速度(a 相对加速度 r): 动点相对于动系的加速度,即动 点的相对速度对时间的相对导数
•• •• ar= dvr / dt = x'i' + y'j' + •• z'k'